《2021年全国中考数学真题分类汇编--圆：与圆有关的位置关系（老师版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年全国中考数学真题分类汇编--圆：与圆有关的位置关系（老师版）.pdf（60页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021全国中考真题分类汇编（圆）与圆有关的位置关系一、选择题1.（2021山东省临沂市）如图，PA、阳分别与。相切于/、B,NA 7 0 ,。为。上一点，则 的 度 数 为（）A.110B.120C.125 D.130【分析】由切线的性质得出N O 4 Q N a W=9 0 ,利用四边形内角和可求N 4仍=110,再利用圆周角定理可求N/加=5 5 ,再根据圆内接四边形对角互补可求【解答】解：如图所示，连接的，O B,在优弧4 6上取点，连接4 9,BD,；AP、8 P是0 0切线,：.N 0AP=N 0BP=g 0 ,如=36 0-9 0 -9 0-7 0 =110,.,./4如=/4施
2、=5 5 ,又 圆内接四边形的对角互补，.,.Z J6 =18 0o-N4 08=1 80-5 5 =125 .故选：C.2.（2021山东省泰安市）如图，在 4 6 C中，4 8=6,以点/为圆心，3为半径的圆与边相切于点。，与4 G 4 9分别交于点后和点G,点尸是优弧磔 上一点，定=18 ,则N G硬的度数是（）BDCA.50 B.48 C.45 D.36【分析】连接皿 根 据 切 线 的 性 质 得 到 根 据 垂 直 的 定 义 得 到/%=/力 加=90,根据直角三角形的性质得到N4=30,根据三角形的内角和定理得到/劭=60,根据等腰三角形的性质得到/业”=/力=72,根据圆周角
3、定理即可得到结论。【解答】解：连接力，,加 与 相 切 于 点:.ADIBC,：.ZAJ)B=ZADC=90,AG=AD=3f：.AD=1.AB)2 N8=30 N必。=60,:/CDE=180,：NADE=90-18=72,：AD=A：.ZAED=AADE=12,：.ZDAE=180-ZADE-ZAED=180-72-72=36,:./BAC=NBAm/CAD=6V+36=96,/砥=工/0 =工乂96。=48,2 2故选：B.BC3.（2021上海市）如图，已知长方形A B C。中，A B =4,AD=3,圆 6的半径为1,圆4与圆8内切，则点C,。与圆4的位置关系是（）A.点，在圆力外，
4、点。在圆力内C.点 C 在圆力上，点在圆/内B.点 C 在 圆/外，点在圆/外D.点。在 圆/内，点在圆/外【答案】C【解析】【分析】根据内切得出圆/的半径，再 判 断 点 小 点 K 到圆心的距离即可.圆力与圆6内切，A B =4，圆 6的半径为1圆A的半径为5A D =3/42+32=5.点。在圆4上故选：C4.（2021山西）如图，在0 中，AB切0 于 点 A,连 接 0 B交0 于 点 C,过 点 A作A D/0B 交 0 于点 D,连接 C D.若NB =5 0 ,则N0C D 为（）A.15 B.20 C.25 D.30A B5.（2021 四川省凉山州）如图，等边三角形ABC的
5、边长为4,O C 的半径为6，P为AB边上一动点，过点P 作 O C 的切线P。，切点为。，则 P。的最小值为【答案】3【解析】【分析】连接OC和 P C,利用切线的性质得到C Q L P Q,可得当CP最小时，P。最小，此时C P L A B,再求出C P,利用勾股定理求出PQ 即可.【详解】解：连接QC和 PC，：P。和圆C 相切,C.C Q V P Q,即CP。始终为直角三角形，CQ为定值，.,.当CP最小时，PQ最小，ZABC是等边三角形，.当 CPJ_A8 时，CP最小，此时 CPJ_A8,：AB=BCAC=4,：.AP=BP=2,-CP=AC2-A P2=2A/3，:圆 C 的半径
6、。2=百，:.PQ=4C产-C C=3,故答案为：3.A6.（2021泸州市）如图，。的直径/庄8,AM,8 M是它的两条切线，/应与。相切于点E,并与4 伙 刑 分别相交于 C 两点，B D,%相交于点凡 若 止 10,则跖的长是A 8 M 口 10V 17 8 7 15 口 I。厉9 9 9 9【答案】A【解析】【分析】过点作D QB C 于点G,延长CO交 DA的延长线于点H,根据勾股定理求得GC=6 ,即可得4=8 R 2,吩8,再证明/3 8 C O,根据全等三角形的性质可得/生妒8,即可求得/=10；在中，根据勾股定理可得8 0 =2 J I 7;证明根据相似三角形的性质可得也=丝
7、，由此即可求得8 尸=生 叵.BC BF 9【详解】过点作D G1 BC于 一 点、G,延 长C0交 DA的延长线于点H,B G C N,.,M/是它的两条切线，与。相切于点发：.AD=DE,BOCE,ZDAB=ZABO900,.：DGLBC,四 边 形 为 矩 形，:,AD=BG,AB二g 8,在 RtZ GC中，010,*-GC=JCD2-DG2=71O2-82=6，:AD=DE,BC=CEf CZ10,：.CD-DRCE=AD+BC=10,:AD+BG+GCM0,:AD=B g,BOCG+B(8,:NDAB=/ABC=9QQ,：.AD/BQ：.AAHO-ABCO,/HAW 4CB0,:O
8、AOB,HAgXBCO,：.AH=BC=,9：AD-2,/0 4不1分10；在 RtZ4?中，AD-2,A斤8,BD=y/AB2+AD2=/82+22=2A/17，*：AD/BC,:DHFSXBCF,PH _DF.10 2历-BF =-,8 BF解得，8尸=生 叵.9故选A.7.(2021浙江省嘉兴市)已知平面内有。和点4,B,若。半径为2腐，线 段。1=3仍=2 c/,则直线46与。的位置关系为()A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.【解答】解：。的半径为2颂，线段勿=3创，OB=2c%即点4到圆心。的距离大于圆的半径，点5到圆心。的距
9、离等于圆的半径，.点/在。外，点8在。上，直线46与。的位置关系为相交或相切，故选：D.8.(2021湖北省荆门市)如图，PA,PB是。的切线，A,8是切点，若NP=70,则N A B O=()A.30 B.35 C.45 D.55【分析】连接O A,根据切线的性质得到/2 8。=/以。=9(),根据四边形的内角和等于360得到/8。4=360-ZPBO-ZPAO-Z P H 0Q,根据等腰三角形的性质即可得到结论.【解答】解：连接OA,：PA,P 8是。0的切线，A,B是切点，：.ZPBO=ZPAO=90,/尸=70,NBOA=360-ZPBO-ZPAO-Z P=110,：OA=OB,：.Z
10、 A B O=Z B A O=-(180-ZBOA)=A (180-110)=35,22故选：B.B9.（2021福建省）如图，AB为。的直径，点 P 在 AB的延长线上，PC,与。相55P C=4,贝 I sin/CA。等 于（）c-710.（2021吉林省长春市）如图，AB是。的直径，BC是。的切线，若 N 84C =35,则 NACB的大小为（）11.（2021 广西贺州市）如图，在中，NC=9 0，A8=5,点。在 A B 上，0 3 =2,以。8 为半径的。与 A C 相切于点 ,交 B C 于点E，则CE的 长 为（）【答案】BV 2VD.1【解析】-、_zrl _zr,OD OA
11、 BF BE、“,【分析】连 接。，E F,可 得 O O 8 C,EF/AC,从而得=,=,进而BC BA BA BC即可求解.【详解】解：连 接 0。，EF,：与 AC相切于点。，B 尸是0。的直径,：.0DLAC,FELBC,NC=9 0,J.0D/BC,EF/AC,.OD OA BF _ BEBCBA BABCAB-5,OB-2，：.0D=0B=2,=NCB；若NBE=40。，则的长为一；=；9 EF BF若 EF=6,则。=2.24.【答案】2.（2021江苏省南京市）如图，FAGB,HCD,JE是五边形ABCDE 外接圆的切线,则 4 4 +/。友；+6 7 7 +/石/”+/忘/
12、=【答案】180【解析】【分析】由切线的性质可知切线垂直于半径，所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半.【详解】如图：过圆心连接五边形ABCDE的各顶点，则 ZOAB+ZOBC+Z.OCD+ZODE+ZOEA=ZOBA+/OCB+Z.ODC+NOED+ZOAE=；（5 2180。=270。NBAF+NCBG+NDCH+NEDI+ZAEJ=5 x 90(N0A3+ZOBC+ZOCD+NODE+ZOEA)=450 270=180.故答案为：180。.3.（2021陕西省）如图，正方形46（笫的边长为4,。的半径为1.若。在正方形内 平 移（。可以与该正方形的边相切）3丘1 .【分
13、析】当。与、或相切时，点 4 到 上 的 点。的距离最大，如图，过。点作LB C 于 E,。/制于尸，根据切线的性质得到应=方=1,利用正方形的性质得到点0在 4C上，然后计算出40的长即可.【解答】解：当0 0 与 C&切相切时，如图，过。点作0E 1 BC于 E,OF 1 CD于 F,：.OE=OF=,：.0C 平分/BCD,.四边形更吻为正方形，.点。在/C 上，A C=巾C=5 7 次 施=近，.止%+=4 0-扬1 =3近,即点A到。上的点的距离的最大值为3&+3,故答案为372+2.4.（2021湖北省荆州市）如图，48是。的直径，4。是。的弦，ODL AC于 D,连 接0a这点、
14、D 悴 DF OC亥 AB于 F,过点8的切线交然的延长线于反 若4=4,D F=,则2B E=工.一 2 一【分析】根据垂径定理得到4 4比；根据三角形中位线定理求出OG根据勾股定理求出01）,证明 叱/微根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.【解答】解：切，；/片4,：.AD=DC=,J DF/OC,DF=,2：.OC=2 DF=5,在 RtZCW中，f l9=70C2-CD2=3,是。的切线，：.ABL BE,J ODL AD,：.AADO=AABE,：Z O A g N E A B,：./AODAE B,0D 一 AD 即 3=4丽而、而 一 五 解得：蚌 坦,2故答案为：1 5.
15、25.（2 0 2 1 青海省）点户是非圆上一点，若点尸到。上的点的最小距离是4 c m,最大距离是 9c m,则。的半径是 6.5 颂 或 2.5 颂.【分析】点应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论：当点P 在圆内时，直径=最小距离+最大距离；当点Q 在圆外时，直径=最大距离-最小距离.【解答】解：分为两种情况：当点在圆内时，如 图 1,点到圆上的最小距离加=4。处 最大距离为=9。勿,:.直径 AB=4 c 研9c m=13 c m,半径r=6.5 c m；当点在圆外时，如图2,点到圆上的最小距离PB=4 c m,最大距离PA=9c m,二 直径 AB=9c m-4 c 勿=5 c /,工
16、半径r=2.5 c m；故答案为：6.5 c/z?或 2.5 c%.6.（2 0 2 1 浙江省杭州）如图，已知。的半径为1,点户是。外一点，7 为切点，连结OT,则P T=N -【分析】根据圆的切线性质可得出 0 7 为直角三角形，再利用勾股定理求得a 7 长度.【解答】解：是。的切线，7为切点、,OTIPT,在 Rt俯7中，O L I,P J R oM -OT 4r 2 2-5 A 遍，故：PT瓜7.（2021浙江省温州市）如图，。与OAB的边AB相切，切点为B.将OAB绕点8按顺时针方向旋转得到a o A B,边 A B 交线段AO于 点 C.若NA=25,则N【分析】根据切线的性质得到
17、NO84=90,连接。，如图，再根据旋转的性质得NA=25,ZABA=NOBO,B O=B O,则判断OO B 为等边三角形得到/。80=60,所以NABA=60,然后利用三角形外角性质计算NOCB.【解答】解：0。与0 4 8 的边AB相切，0B1.AB,084=90,连 接 O。，如图，绕点B 按顺时针方向旋转得到（?A B,./4 =乙 4=25,NABA=N O B O,：0 8 0 0,.0。8 为等边三角形，.ZOBO=60,：.ZABA=60,A ZOCB=ZA+ZABC=25+60=85.故答案为85.8.（2 0 2 1 浙江省温州市）图 1 是邻边长为2和 6 的矩形，它由
18、三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2）6-2 道 ；记 图 1 中小正方形的中心为点4,B,C,图 2中的对应点为点A ,B ,C,以大正方形的中心O为圆心作圆，则当点 4 ,8,则当点A ,8 ,C在圆内或圆上时。圆的最小面积为（1 6-8、伍）n.图1 图2【分析】如图，连接F H,由题意可知点A ,O,C 在线段/上，连 接 O B C,过点。作C于 H.证明/E G F=30 ,解直角三角形求出J K,。”,，再求出0 8 图1 图2;大 正方形的面积=1 2,：.FG=G H=2,:EF=HK=2,.在 Rt Z E F G 中，t a n/E G F=l=2
19、_=近FG 274 3.ZEGF=30,：JK/FG,:.N KJ G=N E GF=3 0 ,：.（1=母=瓜 张=丑6-6）=6 -2“，0 F=0 4=工/7/=也 如，2 O C=V6-V2，:B C /Q H,B C=2,：.ZOC H=ZF HQ=4 5 ,：.O H=H C=娟-2,:.HB=2-（V 3-6）=3-V 3,：.OB 5=O H2+B/2=（V 7-D2+（8-V 3）2=16-3VS：0A =0 C 0 B,当点A ,B1,圆的最小面积为（1 6-8故答案为：6-2 （1 6-8 /3-9.(2021北京市)如图，PA,P 8是。的切线，A,8是切点.若/尸=5
20、 0 ,贝 U/A O 8三、解答题1.(2 0 2 1 甘肃省定西市)如图，比 内 接 于 是。的直径4 8 的延长线上一点,A D C B=A 0 A C.过圆心。作区的平行线交加 的延长线于点E.(1)求证：切是。的切线；(2)若 切=4,CE=6、求 的 半 径 及 t a n/%的值.【分析】（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出，由圆周角定理可得N4 =9 0 ,进而得到/。仪=9 0 ,即可得出结论；（2）根据平行线分线段成比例定理得到毁=毁=2,设 劭=2x,则0B=0C=3 x,0D=OB CE 3阶 加=5 x,在 RtZO切中，根据勾股定理求出x=l,即。的半径为3,由平
21、行线的性质得到NO C Q 4 E 0C,在 RtZkO龙 中，可求得 tan N ZQ=2,即 t a nN 0CB=2.【解答】（1）证明：=%：.ZOACZOCA,：N DCB=2 0AC,：.ZOCA=ZDCB,是。的直径，：.ZACB=W ,：.N OCA+N 0CB=9Q ,:.N DC济N 0CB=9Q ,即 NM）=90,：.OCL DC,是。的半径，,必 是。的切线；解:：0E/AC,.BD=CDOB CE：CD=,CE=6,-B-D_4_2,0B 6 3设 B X 2 x,贝!|0B=0C=3 x,如=在 即=5%：OCL DC,.0口是直角三角形，在 口W中，0d+5=切
22、，(3X)2+42(5%)2,解得，x=l,g 3x=3,即。的半径为3,JBC/OE,：./OCB=/EOC,在 Rt腔中，tan Z O?=2.=A=2,0C 3tan Z OCB=tanZ EOC=2.2.(2021湖南省常德市)如图，在中，N A B C =90,以AB的中点。为圆心,AB为直径的圆交AC于，是BC的中点，。后交8 4的延长线于反(1)求证：E D是 圆。的切线；(2)若8 C =4,尸8 =8,求A8的长.【答案】(1)见解析；(2)J万-1 【解析】【分析】(1)连接切，利用等腰三角形性质，直角三角形证明O D J _ E E即可;(2)设0D=x,求证ODFS A
23、E B R,列比例求解即可.【详解】解：证明：连接勿，如图：o/D：48为直径,：.ZADB=ZBDC=90,.点是死的中点，：.ED=EB,；ZEDB=/E B D,/NEBD+ZABD=90,ZDAB+ZABD=90,；ZDAB=ZDBE=ZBD E，,/0A=0D,.ZODA=ZDAB=ZDBE=ZBDE：/O D A+ZODB=90,ZCDE=ZAD F,NFDO=90。,：.O D 1F D/ED是 圆。的切线.(2)是 比 中 点，80=4,:.B5 2,FE=yjBE2+FB2=V F+F =2717，在和6尸中，NODF=NEBF=90,Z F =Z F，:.AODFSEBF,
24、.,.设 0D 为 X,ODEBOF x=FE 28 x2V17解得:V17-1则则 A B=2X=V I7-1.3.(2021湖南省衡阳市)如图，4?是。的直径，。为。上一点，为俞的中点，点C在胡的延长线上，且/物=/8(1)求证：切是。的切线；(2)若 朦 =2,NBDE=30,求切的长.【分析】（1）连结勿，利用已知条件证明，即可求证必是。的切线；连 结 施 根 据/M =30 ,为 俞 的 中 点 即 可 求 出 度 数 以 及 求 证 三 角 形 坑 必为等边三角形，进而求出/如度数，再利用tan/，0C的值即可求出口的长.【解答】解：（1）证明：连结如，如图所示：:./BDA=9Q
25、 ,:./即 份N ADO=90,又：浙 如，/物=/6,:.N B=N B D g/C D A,：.A C D A+A A D O=,ODYCD,且 如 为。半径,5 是。的切线；:./BOE=2 N BDE=6Q ,又 为 谢 的 中 点，；./侬=6 0 ,.氏必为等边三角形，:.E g E g 0X 2,又 ：/B 0g/B烟 2 E0D=20。,：.ZDOC=1800-N8 0 g l80-120=60,在 Rt宓中，/00=60,OD=2,.tanNar=tan60。=_=乌1=,OD 2：.CD=2y3,4.(2021怀化市)如图，在半径为5颂 的。中，是。的直径，W是过。上一点
26、C的直线，且 力 于 点 ，AC平分NBAD,V 是a 的中点，0E=3cm.(1)求证：切是。的切线；(2)求初的长.【分析】(1)连 接0C,由47平 分/%。，OA=OC,可得N%C=N0。，AD/0C,根据相LD C,即可证明切是。的切线；(2)由 如 是 的 中 位 线，得 6,再证明得也=典，即 皎A C A B 6 10从而可得4 4 0.5【解答】(1)证明：连 接0C,如图:=9 0,从而可得答案；CD 24（2）由。C，CD,tanZDOC=,设C=2 4 x,则OC=7 x,再求解0C 7OO=25x,Q4=7 x,再表示 0 8 =0 0 +8。=4 9 x,再利用 A
27、O?+50?=A 8?,列方程解方程，可得答案.【详解】解：（1）直 线 切 与 圆0相切，理由如下：如图，连接OC,.ZAOB=90o,QA=OC,:.ZB+ZO AC=90,ZOAC=ZOCA,-.CD=BD,：.NB=NDCB,ZOCD=180-90=90,OCA.CD,OC为o o的半径,.c o是。的切线.CD 24(2)-：0C 1CD,tanZDOC=,OC 7设 CD=2 4 x,则 OC=lx,:.OD=A/0C2+CD2=25x,OA=OC=7x,CD=BD,：.BD=24x,：.OB=OD+BD=49x,/IB=40,ZAOB=90,:.AO2+BO2=AB2,.(7x)
28、2+(49x)2=402,2 32X=495.3=半，尤2=一半(负根舍去).O(9的半径为：OC=7x=7x =4&.77.(2021山东省聊城市)如图，在中，AB=AC,。是 的 外 接 圆，/是直径,交和于点，点在AC上，连 接 ，过 点 作周H以 交4的延长线于点凡 延长和交 于点G.(1)求证：防 是。的切线;(2)若a=2,AH=CG=3,求)和 切 的 长.EF【答案】（1）见解析；（2）EF=,c o =*L9 5【解析】【分析】（1）因为加?是直径，所以只需证明3即可；（2）的E F BG,可利用Z W/G A E E,将要求的厮的长与己知量建立等量关系；因四边形力时是圆内接
29、四边形，可证得C O G s A B G,由此建立必与已知量之间的等量关系.【详解】（1）证明：*8=然，AB=AC-又/是。的直径，BE=CE-：.ZBAE=ZCAE.:A 片 AC,：.AE L BC.：.ZAHC=90.：E F/BC,:.N A E F/A晔9Q .:.E F AE.是。的切线.(2)如图所示，连 接0C,设。的半径为r.AE BC,：.CH=BH=-BC=-x2=l.2 2CG=3,：.HG=HC+CG=+3=4.AG=ylAH2+HG2=V32+42=5.在/C O/中，OH2+CH1=OC-又,:OH=AH-OA=Z-r,.*.(3-r)2+l2=r2.解得，r=
30、?.AE=2r=2x=.3 3：EF/BC,；AAHG AAEF.AH HGAEEF.3 _ 4.,io EFT m _ 40 Er 9.四 边 形/四 内接于O。，：.ZB +ZADC=S00.:NAZ)C+NCOG=180,：.ZCDG=ZB.：ZDGC=ZBGA,.ACDG-AABG.CD CG.AB AGAC=JCH2+AH2=712+32=屈,：.AB=AC=y/0.C D 3V 1 0 53返58.(2 0 2 1湖北省随州市)如图，。是 以 为 直 径 的0 上一点，过点。的切线。交A B的延长线于点E,过点8作8 C _ L O E交 的 延 长 线 于 点C,垂足为点尸.(1
31、)求证：A B=B C；(2)若。的直径A B为9,求线段8尸的长；求线段3E的长.1-39(1)见解析；(2)5尸=1；B E =-7【分析】(1)连接。，由OE是。的切线，可得OEJL8,可证O L W B C,可得Z O D A =Z C.由 Q 4 =8,可得N84=N A即可；Dry 1(2)连接5 0，由。的直径A 8为9,si nA =-,可求8 0 =3.可证A B 3B F 1=/R D F,由 si n N B D F =,B F=1.B D 3B E 1 由(1)可知O D U B F,可证A E B F -A E O D,由性质可得D?9 =,解方程得2 2B E =.
32、7【详解】(1)证明：连接O D,/是。的切线，：.DEOD,又:BC 工 DE,：.OD/BC,，NODA=NC.又.,在Q4Z）中，OA=OD,：.Z.ODA=ZA,/.NC=ZA,AB=BC；（2）连接BO，,/。的直径AB为9,AB-9，在 RtZA5 中，.BD.sin A=,AB 3B D=LAB=3.3又,/ZOBD+ZA=ZFDB+ZODB=9 0,且 ZOBD=ZODB,:.ZA=ZBDF，在用V3。77中，BF 1V sin NBDF=-,BD 3:.BF=-BD =1.3 由（1）可知OD BF,A AD0E=Z.FBE,A0DE=ABFE,：.AEBF s /EOD,B
33、E 1,即 9=,OE OD B E+2 29解得BE=.7经检验符合题意.oI/;9.（2021湖北省宜昌市）如图，在菱形48徵 中，。是对角线劭上一点（阳勿），OE L AB,垂足为反 以位为半径的。分别交ZT于点，交面的延长线于点凡 跖与加交于点G.（1）求证：6c是。的切线；（2）若 6是航的中点，0c=2,DG=.求言的长；求助的长.【分析】（1）过 点。作的比于点M,证 明 的仁侬即可；（2）先求出N5=120。，再求 出 加 4,代入弧长公式即可;过作加工加，由仇如为M 对应边成比例求出助的长.【解答】解：（1）证明：如 图 1,过 点。作的吐回于点，.加是菱形46切的对角线，：
34、.ZABDACBD,：0M1 BC,OE L AB,：.OE=OM,是。的切线.图1(2)如图2,图2G是冰的中点，OF=OH,:.O G=LO H,2,:AB C D,0E工 AB,：,0F1CD,：.ZOGH=90,：.sinZG/O=,2：.ZG/0=30,：.ZGOH=60,:、/HOE=20。,：0G=2,：.0H=4,由弧长公式得到黄的长：12QX4X 7T=8180 3如图3,过4作AN1.BD于点N,：DG=,OG=2,OE=OH=4,：.0D=娓,OB=2娓,DN=313,2:.XDOGSDAN,.Q D D GA D DN.返 _ 1前 W7T2片 里21 0.(2 0 2
35、 1山东省荷泽市)如图，在。中，4 8是直径，弦垂足为，E为最上一点，尸为弦加延长线上一点，连 接 并 延 长 交 直 径4夕的延长线于点G连 接 交5于点P,若F E=F P.(1)求证：所 是。的切线；(2)若。的半径为8,si nb=3,求8 G的长.【分析】(1)由 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得/F P E=N F E P,由余角的性质可求N F E PN AE g 90 ,可得结论；(2)由余角的性质可求/尸=/戊；，由锐角三角函数可设 G=3x,OG=5 x,在R t。比中，利用勾股定理可求*=2,即可求解.【解答】解：(1)如图，连 接OE,：OA=OE,/=/力4。：
36、CD LAB,/必=90,：FE=FP,:./F P E=/F E P,:/A+/A P H=4A+/FP E=9G 0,:/FE P r/A E O=9G =4FEO,：.OELEF,龙 是。的切线；(2)、：4FHG=2OEG=9/,：.ZG+ZEOG=90=/仆/Z F=/EOG,：.s in F=s in Z E O G=-=-,OG 5设eG=3x,0G=3x,=VOG2-EG2=V25 X2-9X2=4X,：0E=8,:.x=2,：.OG=10,G=1 0-8 =2.11.(2021四川省成都市)如图，4?为。的直径，C为。上一点，连 接4C,BC,为46延长线上一点，连接切，且N
37、 B g/A.(1)求证：切是。的切线；(2)若。的半径为泥，48C的面积为2加，求 的 长；（3）在（2）的条件下，为。上一点，连接方交线段见于点凡 若旦2=工，求 跖CF 2【分析】（1）连 接0C,由4 8为。的直径，可得N 4+N 4?C=9 0 ,再证明/力比三/勿力,结合已知可得N 4%=9 0 ,从而证明切是。的切线；（2）过。作 戊1 _/6于M,过8作BN 1 CD于N,由力配的面积为2巫,可 得C M=2,由N8 c =/4得 典=&L,可解得8仁、石-1,根据4 8双丝比V,可 得。4。/=2,再由CM AM _ADBN s 4 DCM,得 毁=典=迪 即B D -里 _
38、,解DN=2娓-2,故 必CD CM DM DN+2 2 BD-h/s-l=D2 CN=2 娓；（3）过（7作C肌L 4?于M,过 1作 成L/8于H,连 接0E,由CM L AB,E H L A B,可 得 理 _=胆CF CM=更，而旦E=JL,故 HE=,M F=2 H R R S 0 E H 中,0 H=2,可得 总-。=遥-2,MF CF 2设 HF=x,则 如=2 x,则（娓-1）+2A+（V5-2）=2泥,可解得 HF=,MF=2,从而 BF=阳上加=（泥-1）+2=泥+1.（资料来源于微信公众居：数学第六感）.N 4 2 7=9 0 ,N 4+N 4?G=9 0 ,OB=OC,
39、：.N ABC=ABCO,又 N B C g/A,：.Z B C D A B C O=Wa,即N/C =9 0 ,J.OCL CD,切是。的切线；(2)过。作 0 月_/5于 也 过 8 作B N 1 C D 于 N,如图:的半径为、而，:.AB=2 娓,.四。的面积为2 企，.J 6 CQ 2泥，即 _X 2 旄 阴 2 泥,2,RtZ 6 C，V 中，N 6 C，k 9 0 -ZCBA,RtZ 4 5 C 中，N 4=9 0 -ACBA,，4 BCM=N 4,：.t a nZBClf=t a nA,即 现=里C M AM-B M=2 2 2 V5-B M 解得1,（阳/=，+1已舍去），,
40、/4B C Q Z4 N BGV=A A,:.N BCD=/BC虬而N R MC=N BN C=9Q。,BC=BC,.8 C 侬 8 G U4 S,，CN=CM=2,BN=B M=巫-1,ZDN B=ZDMC=9Q，/g/4X D B N s MDCM,.B D =B N =D N*C D C M D M 即 B D =遥-1=D N ,D N+2 2 B D-h/5-f解得以-2遥-2,CD=DCN=2 后（3）过。作6月_四于M,过 作E H1 AB于 H,连 接0E,如图:,：CM L AB,E HL AB,/=胆=里*C F C M 而，E F=1C F 2胆=/=*C M M F 2
41、由（2）知 G f/=2,5忆 遥-1,:.HE=,MF=2 HF,口龙中O，=YOE2-HE2=J（泥）2-1 2=2,：.AH=OA-例=遥 2,设HF=x,则物1=2%由1 6=2泥 可 得：B阪MF+HF+AH=2/（V5-1）+2A+AH-（V5-2）=2A/5）解得：x=l,：.HF=,MF=2,：.BF=B M M F=（V5-1）+2=V5+1.1 2.（2 0 2 1四川省乐山市）如图，已知点C是 以 为 直 径 的 圆 上 一 点，。是A 3延长线上一点，过点。作6。的垂线交A C的延长线于点E，连结CO,且CD=ED.DBA（1）求证：CD是OO的切线；（2）若tanCE
42、=2,BD=1,求。的半径.3【答案】（1）见解析；（2）-2【解析】【分 析】（1 ）连 接O C、BC,根 据 已 知 条 件 证 明ZE+ZOAC=90,ZECD+ZOCA=90。即可得解；（2）由（1）可得DCBSQJ M C,得到0 c2=D4.）5,令AO=r,根据正切的定义列式求解即可；【详解】解：（1）证明：连结。C、BC.V OC=OA,DC=DE,：.ZOCA=ZOAC,ZE=NDCE.：ED rAD,:.ZADE=90,：.NE+ZOAC=90,ZECD+ZOCA=90,ZDCB+ZBCO 90,：.DCL C O,即CO是G）O的切线.（2）由（1）知，ZDCB=ZCA
43、O,又 NCDB=ZADC，：.4D CBs/D AC,DC DB 口“.=，即。DA DC令AO=r,。2=（2r+1）1即。C=即。Rn,L c AZ）tanZD CE=2,即 tan/E =2=，D E2r+l 4 i=2,J2 r+13 1解得r=一或r=（舍），2 230。的半径为一.213.（2021四川省凉山州）如图，在H/AABC中，NC=9 0 ,小 平 分NBAC交比、于点反 点。在4?上，D E LA E.。是RrAAOE的外接圆，交朋于点尸.（1）求证：比1是。的切线;（2）若。的半径为5,AC=8,求S/。上.【答案】（1）见解析；（2）20【解析】【分析】（1）连接
44、施，由的=；利用等边对等角得到一对角相等，再 由 为 角 平 分 线 得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到与鹤平行，再根据两直线平行同位角相等及/C为直角，得到施1与况垂直，可 得 出 以 为 圆0的切线；（2）过 作 笈7垂直于切，利用A4S得出侬4丝，得到水 4店8,从而可得0G,利用勾股定理求出以，再利用三角形面积公式可得结果.【详解】解：（1）证明：连 接0E,R,/0A=0E,A Z1=Z3,*：AE 平 分 乙 BAC,.-.Z1=Z2,/2=N3,J.OE/AC,颂=/伍90,则8C为圆。的切线；(2)过 作 614?于点G,在1和/必1中，
45、N2=N1/10 求 3的长.【答案】（1）见解析：（2）见解析：（3）E F=6.【解析】【分析】（1）连接如，B D,由圆的切线的性质结合圆周角定理可求得/期=/4能 再利用等角的余角相等，可证明结论；（2）如图，连接M、B F,利用平行线的性质以及圆周角定理证得N3 NW,根 据（1）的结 论 可 证 明 可证明结论；（3）设。2O F x,利用三角函数的定义和勾股定理得到况M x,C D=屏 乂，A C x,根据相似三角形的判定和性质求解即可.详解】（1）证明：连 接OD,BD,.9是。的切线，。为切点,：.ODL E D,：.N 0DA+N E DQ 9Q ,为。的直径，:.N AD
46、B=9Q ,:.N ODA+N OD六9Q ,：.AODB=ZE DA,：OB-OD,：.AODB=AOBD,：.N E DA=N ABD,/AELCD,；/斤9 0 ,N Z M E =Z Z M C （等角 余角相等）;（2）如图，连接物、BF,.38为。的 直 径，陷90,J.BF/CF,C.AOAABfAADF,由(2)得4=ZZMC,：./ADF-M A C D,.AD DFACCD.DF AC=AD DC.(3)过 D作 DHLAB于 H,连接。，B D,设 O A=O D-x,在欣眦中，sinC=-=-,OC 4，OOAx,则 C D=y/oC2-OD2=V15x-AO0A+0O
47、5x,由(2)得止AC=AZOC,即 DF=?娈：=4后,5x N G N%=90,N勿m N戊 沪90,：./0Dt/C,在 Rt丛O D H中,sinNODH=L,OD 41：.O H=-x,4：.DH=OD2-O H24由（1）得N 4E =N Z M C,旌游姮X，4劭（圆内接四边形外角等于内对角）,由（1）得 NEDA=NABD,：.AEFD=AEDA,：.XEAD XEDF,EDEFADDFV l 5即 工 彳 _ 4&U ,EF 47 6解得：x =8,3/.EF=x 8 =6 .416.（2021 天津市）已知 AA B C内接于O O,A B =A C,N 8 4 c =42
48、,点是。上一点.(I )如图，若80为。的直径，连接C。，求/D BC和N A C。的大小；(I I)如图，若C E M/B 4,连接A。，过点作0。切线，与OC的延长线交于点,求NE的大小.【答案】（I）=48,ZACD=21；（II）Z=36.【解析】【分析】（I）由圆周角定理的推论可知NBCD=90,NBDC=NBAC=42。,即可推出ZDBC=90-ZBDC=48；由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出NABC=NACB=69，从而求出 NACD=N8CD NACB=21.（H）连接。，由平行线的性质可知NACD=N84C=4 2 .由圆内接四边形的性质可求出NA）C=180 N
49、A5C=111.再由三角形内角和定理可求出ND4C=27.从而由圆周角定理求出NDOC=2NZXC=5 4 .由切线的性质可知NODE=90.即可求出ZE=90-ZDOE=36。.【详解】（I）8。为。的直径，NBCD=90。.在中，ZBZ)C=ZBAC=42。，ZDBC=90。一 /BDC=48；V AB=AC,N84c=42。，ZABC=ZACB=；(180。-ZBAC)=69.ZACD=ZBCD-ZACB=21.(I I)如图，连接o o.A；C D/BA,:.Z A C D =A B A C 4 2 .四边形A B C 是圆内接四边形，Z A B C =69,：.Z A D C =18
50、 0o-Z A B C =l l l 0.Z Z M C =18 0-Z A C D-Z A Z X?=27 .Z D O C =2 Z D A C=54 .,/是O。的切线，A D E1O D,即 N O D E =9 0。.N E=9 0 -Z D O E=36 .17.(2021湖北省恩施州)如图，在R t44如 中，N AOB=90,。与 相 交 于 点G与1。相交于点反 连接应，已知(1)求证：46为。的切线；(2)若 40=20,80=1 5,求应的长.【分析】（1）证施二四即可证四为。的切线；（2）作E H1 AC于H,利用三角形相似和勾股定理分别求出阴和的长度，再利用勾股定理求