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1、2021年北京市朝阳区高考数学二模试卷一、选 择 题(共io小 题).1.在复平面内，复数Z=(1 -/)2+1对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列函数是奇函数的是()A.y=cosx B.y=x1 C.y=lnx D.y=ex-e x23.已知双曲线C N-4=1 的一个焦点为(-2,0),则双曲线C 的一条渐近线方程为()A.B.焉 计 y=0 C.x+J y-l=0 D.-s/jc+y-I=07T4.已知函数/(x)=s in(3x+(p)(3 0,|p|0,y 0,则“x+y=l”是“孙的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必
2、要条件 D.既不充分也不必要条件7 .某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理.该地2 0 2 0年产生的生活垃圾为2 0万吨，其 中1 5万吨以填埋方式处理，5万吨以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1万吨，同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求从2 0 2 1年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的q倍，若要使得2 0 2 4年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的5 0%,则4的值至少为()A.v n B.c-V n d-8 .若圆。：/+)?=1上存在点P,直线/：y=k(x+2)上存在点Q,使 得 加=而，则实数k的取值范围为()A.-,旧 B.-堂，
3、*C.-,D.-堂,春 9 .集 合A =1,2,3,4,5 的所有三个元素的子集记为3,B.,B(G N*).记6为 集 合(i=1,2,3,，n)中的最大元素，则1+岳+历+5=()A.1 0 B.4 0 C.4 5 D.5 01 0 .己知抛物线C的焦点F到准线/的距离为2,点P是直线/上的动点.若点A在抛物线C上，且忸月=5,过点力作直线P尸的垂线，垂足为“，则的最小值为()A.2旄 B.6 C.D.2 7 7 3二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。1 1 .已 知 向 量=(2,m),芯=(-1,2),且系2 3=5，则相=.1 2 .在等差数列 中，已知 4 2 =5,4 5
4、 =2,则 4 3+0 5+4 7+4 9 =.1j r1 3.已知 s i n a=,则 s i n (2 a+)=.3 2-1 4 .已知函数/(X)=3 3 g(x)x+a -2 (aeR).若函数 y=/(g (x)是偶函数，则a=;若函数y=g (f(x)存在两个零点，则a的 一 个 取 值 是.1 5 .“S”型函数是统计分析、生态学、人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字 母“S ，所以其图象也被称为“S ”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的 数 量y(单位：个)与 时 间/(单位：
5、小 时)的 关 系 近 似 为 一 个“S 型 函 数y=3 7 53 7 5-万 丽”已知函数/(，)=万 嬴 。2)的部分图象如图所示，f(r)1+7 4 e u st 1+7 4 e u仇为(r)的导函数.给出下列四个结论：f，(t )+f，(t )对任意 f t(0,2 4),0 6(9 6,1 4 4),存在 r26(2 4,9 6),使得/(/2)-i-匚；2三f (t q)-f (t 1)对任意 tie(0,2 4),t3E(9 6,1 4 4),存在 t2e(2 4,9 6),使得75)=-；t3-tl对任意 tie(2 4,9 6),存在(0,2 4),r3e (9 6,1
6、4 4),使得/(公*11)+13)；2_f (t o)-f (t 1)对任意 e (2 4,9 6),存在 riG(0,2 4),打 6 (9 6,1 4 4),使得/S)=-.t3-tl其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.三、解答题共6 小题，共 85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1 6.在A B C 中，扶+3-2=Kbc.3(1 )求 t an A 的值；(I I )若 3 csin A=M sin 8,且 A B C 的面积 5=2&,求 c 的值.1 7.为迎接2 0 2 2 年冬奥会，某地区高一、高二年级学生参加了冬奥知识竞赛.为了解知识竞赛成绩优秀(不
7、低于8 5 分)学生的得分情况，从高一、高二这两个年级知识竞赛成绩优秀的学生中分别随机抽取容量为1 5、2 0 的样本，得分情况统计如图所示(满分1 0 0 分,得分均为整数)，其中高二年级学生得分按 8 5,9 0),9 0,9 5),9 5,1 0 0 分组.（II）从该地区高二年级参加知识竞赛成绩优秀的学生中随机抽取3 人，用频率估计概率，记为取出的3 人中得分不低于90分的人数，求 X 的分布列及数学期望；（III）由于高二年级学生样本原始数据丢失，请根据统计图信息，判断高二年级学生样本得分的最高分至少为多少分时，高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分，并说明
8、理由.1 8.如图，在三棱柱A B C-481G 中，四边形A 4 G C 是边长为4 的正方形，A B=3.再从条件、条件、条件中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.（I）求证：ABJ_平面 AAICIC；（II）求直线BC与平面4 8。所成角的正弦值.条件：BC=5；条件：A B 1 A A；条件：平面ABC，平面4 4 G C.(I )当a=0时,求曲线y=f(x)在 点(1,/(1)处的切线方程；(I I)判断函数/(%)的极值点的个数，并说明理由；(I I I)若对任意X ER,/(x)N O恒成立，求。的取值范围.2 A2 0 .已知尸为椭圆C：三-+丫2=1的左焦点，直
9、线/：y=k(x-2)与椭圆C交于不同的两2 y点 M,N.(I )当A=-工时，求 尸 的 面 积；2(I I )设直线FM,F W分别与直线x=l交于两点P、Q,线段M N,P Q的中点分别为G,”、点A (4，0).当变化时，证明A,G,H 三点共线.52 1 .已知各项均为整数的数列AN：a,s,，狈(N 2 3,N e N*)满 足a yaN =co sx,是余弦函数，是偶函数，不符合题意，对于8,y=N,是二次函数，是偶函数，不符合题意，对于C,ylnM，其定义域为x|x#0,有历|-x|=/o r,是偶函数，不符合题意，对 于D,ye -ex,其定义域为R,e1-ex-(y-e
10、-e O ,则函数为奇函数，符合题意，故选：D.23 .已知双曲线C N-J=1的一个焦点为(-2,0),则双曲线C的一条渐近线方程为()A.x+y=0 B.3 x+y=0 C.-1 =0 D.-1 =02_解：双曲线C N-J=1的一个焦点为(-2,0),所以c=2,因为。=1,所以b=正,所以双曲线的渐近线方程为：V 3 x y=0.故选：B.1 T4 .已知函数/(x)=sin(3 x+(p)(u)0,|(p|SA B C P=7X 1X 2V 2=V 2 故最大面积为3.故选：D.6 .设 x 0,y 0,贝i j “x+y=l”是“孙W 上”的()4A.充分而不必要条件 B.必要而不
11、充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解：当 x+y=l 时，V x 0,y 0,.,.x+y 2y,当且仅当x=y时取等号，.犯2，.充分性成立，4当xjW4 时，比如x=l,时，町成立，但x+y=l不成立，4 5 4，必要性不成立，.,.x+y=1是xyw 1的充分不必要条件.4故选：A.7 .某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理.该地2 0 2 0年产生的生活垃圾为2 0万吨,其 中 1 5 万吨以填埋方式处理，5万吨以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1 万吨，同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求从2 0 2 1 年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一
12、年的夕倍，若要使得2 0 2 4 年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的5 0%,则 q 的值至少为()A.Vn B.V T B c-Vn D-解：由题意可知2 0 2 4 年的生活垃圾为2 4 万吨，有题意可知2 0 2 4 年通过环保方式处理的生活垃圾量为5X/(万 吨)，-24-5X q4+/=()A.1 0B.4 0C.4 5D.5 0解：由题意知：集合A中含三个元素的子集共C?个，.几=1 0,则在集合氐中含最大元素为3的共有1 个，在集合5中含最大元素为4的共有C =3 个，在集合5中含最大元素为5的共有C：=6个，.-.3 X1+4 X3+5 X6=4 5,故选：
13、C.1 0.己知抛物线C 的焦点/到准线/的距离为2,点 P 是直线/上的动点.若点A 在抛物线C 上，且依Q=5,过点A 作直线PF的垂线，垂足为H,则的最小值为()A.2娓 B.6 C.V41 D.2773解：抛物线C 的焦点F 到准线/的距离为2,:p=2,抛物线方程为产=4羽/.Fi(1,0),准线 x=-1,设 A(xi,y ),丁点A 在抛物线。上，且|Af=5,X1+艮=5,2%1 =4,.A(4,4),设直线P R x=m y+lf，直线 AH：厂 4=-4),，联立方程可得加=一y,1+m/-2 4+3 m.顺=国百7 7 TI,m 1+m吁五二21，：.PHPF=(1+zn
14、2)(1+)+m!4+3m).|2 2|5+匡+刍,m(l+m )m m m设-=/,m则|PH|PFl=2|2P+4什5|=2|2(r+1)2+3|=4(r+1)2+6,当 f=-1,即，=-1时，IPHHPfl取得的最小值6,故选：B.二、填空题共5 小题，每小题5 分，共 25分。1 1.已知向量1=（2,m）,芯=（-L 2）,且W+2E=8 则 加=-4解：二=加），b=（一 1，2）,且高2 卫=每，Z+2E=m）+2 （-1,2）=（0,m+4）=Q,优+4=0,解得：?=-4,故答案为：-4.1 2 .在等差数列 如 中，己知2 =5,45=2,则。3+5+7+9=4.解：（1
15、）设等差数列。“公差为d,.。2 =5,1 5 =2,a1+d=5-a1+4d=2，解得。=6,d=-1,:a=7-几,:.。3+。5+。7+。9=4a6=4,故答案为：4.1 3.已知 s in a=4-则 s in (2 a+-)=工.3 2 -9 一解：因为s in a=1,T T 1 7所以 s in (2 a+-)=co s 2 a=1 -2 s in2a=1 -2 X=.2 9 9故答案为：誉.1 4.已知函数/(x)=3、g(x)=x+a -2(ER).若函数 y=/(g (x)是偶函数，则a=0;若函数y=g(/(x)存在两个零点，则 的 一 个 取 值 是3.解：f(g (x
16、)=3/如2 为偶函数，则f (g(-x)=3 im=f (g(公)，|尤+a|=|-x+a|,则 Q=0；g(/(x)=3x+a-2,若。2 0,则 g(/(x)=3+a-2 在 R 上为增函数，至多有一个零点，不合题意；-3x-a-2,xlo g3(-a)a)=-20,又 xlog3(-a)时，-3V-a 0,解得 a-L _-3 _:f (t3)-f (t J对任意/iG(O,2 4),“e (9 6,1 4 4),存在小(2 4,9 6),使得/()=.：t 3f对任意此(2 4,9 6),存在 n e (0,2 4),(9 6,1 4 4),使得/(r2)，(t 口+f (t?.)2
17、f (t3)-f (t J对任意 f 2 e (2 4,9 6)，存在 A G (0,2 4),“5 9 6,1 4 4),使得/(玄)=-.-.t 3f其中所有正确结论的序号是 .解：根据函数的图象知导数的图象如下图所示：设导数/(Z)在，=切取最大值，结合/G)的图象可知2 4 如9 6,且 当 生(0,to)时，f(r)为增函数，在(to,+8)上，为 减 函 数，(t)+f，(t)对于，任意 n e(0,2 4)3 6(9 6,1 4 4),取 ti=to,5 1 0 f，(t)-i-2 2故成立；对于，设 A 5,f(n),B&2,/(f2),由/G)的图象的性质可平移直线2至 C处
18、，此时平移后的直线与/(f)图象相切，且 x c (2 4,9 6),取介=应,f(13)-f(1 1 )(t9)=-故正确；t 3-J对于，取如图所示的“，设。5,/S)，S 5,3),2过 S作横轴的平行线，交 J(t)的图象于T,由函数的图象特征可得XT(2 4,9 6),取 f 2=X7 ，则”(f 2)=/(Z 3)8 7.4,解得“98.20高二年级学生样本得分的最高分至少为99分时，高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分.1 8.如图，在三棱柱A B C-4 3 G 中，四边形4 4 C C 是边长为4 的正方形，A B=3.再从条件、条件、条件中选择两
19、个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.(I)求证：AB_L平面 AAiCiC；(I I)求直线BC与平面4 B G 所成角的正弦值.条件：BC=5；条件：ABAAi;条件：平面ABC_L平面44G C.解：若选择，(I)证明：AC=4,A8=3,BC=5,J.ABA.AC,又：A5_LAAi,ACQAAi=A,平面 A4C1C；(H)由(I)可知，ABAC,AB_LA4,.四边形A 4 C C 是正方形,J.A C L A A t,如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,0,4),Ai(0,4,0),Ci(0,4,4),A AB=(3)-4,
20、0),A C；=(0,0,4),B C=(-3,0,4),n*A,B=3 x-4 y=0设 平 面 4BG 的 一 个 法 向 量 为 n=(x,y,z)，则 _ _ _ _二 ，则可取n,A C i=4 z=0n=(4,3,0)，设直线BC与平面4 8 a 所成角为0,则S in8 =|cos 前，一 整句=巴I B C I I n I 2 5直线2 c 与平面AiBG所成角的正弦值为圣.2 5若选择，(I)证明：AC=4,AB=3,BC=5,：.A BA C,又 平 面 A3C_L平面A A C C f平面A B C0 平面AACIC=AC9 A5_L平面A41GC；(I【)由(I)可知I
21、,A BL A C,ABAAi,四边形4 4 G C 是正方形，AAClAAi,如图，以4 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,0,4),Ai(0,4,0),Ci(0,4,4),.不=(3,-4,0),A i C；=(0,0,4),B C=(-3,0,4),_ f n AB=3 x-4 y=0设 平 面 A 山G的 一 个 法 向 量 为 n=(x,y,z),则 _ _ _ _ _ _ _ _,则可取n*AtC 1=4 z=0n=(4,3,0)设直线BC与平面48G 所成角为。，则sin。=|cos(丽，三|一 四句=巴I B C I I nI 2 5
22、，直线BC与平面AiBG所成角的正弦值为圣.251 9.已知函数/(x)=(x-1)(C ZG R).(I)当 a=0 时，求曲线y=/(x)在 点(1,/(1)处的切线方程;(I I)判断函数/()的极值点的个数，并说明理由；(III)若对任意xR,/(%)2 0 恒成立，求。的取值范围.解：(I)当 a=0 时，f (x)=(x-1)e，+l,/(1)=1,又，(x)=企+(x-1)ex=xex1 故(1)=e,故曲线y=f(x)在 点(0,7(1)处的切线方程是ex-y+-e=0；(II),:于(x)=(x-1)-ax2+,(x)=xex-or=x-a),(z)当 aWO 时，有 令/(
23、x)=0,解得：x=0,x,f (x),/(x)的变化如下：X(-8,()0(0,+8)f (x)-0+f(x)递减极小值递增当。WO时，函数/(无)只有1 个极值点，(Z Z)当 4 0 时、令，(X)=0,解得：X=0 或尤=加7,当 0VV 1 时，lrui09x,f (x),f(X)的变化如下：x(-,Ina(/，0)0(0,+8)Ina)f(X)+0-0+/(X)递增极大值递减极小值递增故当0。1 时，ina 0,x,f(x),f C x)的变化如下：X(-8,()0(0,Ina)Ina(Ina,+8)f(X)+0-0+f(x)递增极大值递减极小值递增故当“1时，函数/(x)有2个极
24、值点，综上：当“W0时，函数/(X)有1个极值点，当0。0,当 X V 0 时，,/(X -1)ev 0,(J C)=(x -1)e -ar2+l -ar2+l,2 2又“0不恒成立，故。0不合题意，综上：a的取值范围是(-8,0.2 c2 0.已知尸为椭圆C：2+丫2=1的左焦点，直线/：y=k(x-2)与椭圆C交于不同的两2 -点 M,N.(I )当k=-工时，求尸M N的面积；2(II)设直线F M,FN分别与直线x=l 交于两点P、Q,线段MN,P Q的中点分别为G,H、点A(，0).当 k 变化时，证明4,G,，三点共线.5解：(I )当人=微时,由 2),y=k(x2)由1 D，可
25、 得(1+2 R)x2-8FX+8F-2=0,xJ+2 y =2由4=(-8 F)2-4 (1+2 R)(8 F-2)0,解得2Q b-2 Q b-2-9所以3+X2 =-绚 亍，X|X2=k 3l+2 kJ 1+24 kyyz=k(,x+xi-4)=-7,l+2 k 4 k 2所以G (),1+2 1-2 kl+2 k21 l+2k-in由题意可得好二白，直线AG的斜率kAG=-=1 8 4 k z _1 1gk1l+2 k2 5直线FM 的方程为y=(x+1),X+l2 y,则点P 的坐标为(1,一 一),1+X2 y 2同理可得Q(1,也2 y l 2 y 2 2 k(Xj-2)(x2+
26、l)+(x2-2)(xj+l)因为X+l x2+l (x j+1)(x2+l)2k 2 x x 2-(x 1 +x 2)-4x1x2+(x1+x2)+l-16k18k2-1-.0所以4 (1,噂),所以直线AH的斜率&AH=&=1=一/k 一,18k-1,1 18k-11万因为 kA G =k/H，所以A,G,三点共线.2 1.已知各项均为整数的数列AN：a x,s,，aN(N 2 3,N e N*)满 足 0,且对任意 i=2,3,，N,都有|田-加1区1.记 S (AN)=。1+。2+0M(I )若“1=3,写出一个符合要求的4 6；(I I )证明：数列AN中存在ak使得0t=0；(II
27、I)若S (AN)是N的整数倍，证明：数列AN中存在小,使得S G 4N)=N-ar.解：(I )3,2,1,1,0,-1.(答案不唯一).(II)证明：a a N 0,.a i,av异号，假设 G。,设 T=ai0,t l,2,3,N,：a i 0,.*.7=0,又 是 有 限 自 然 数 集，.可设T中的最大数为，小(IW mW N-l),令k=m+l,则四，0,*.*a k-a k=a k-,VO 1,且以为整数，以=0,若数列 A v：a,a i，t w(N 2 3)满足 m 0,且对任意 i=2,3,，N,都有依-*i|W 1,则存在a t,使得a k0,若“i 0,a N 0,则数
28、列-m,-a i,-a/v满 足-4 i 0,且对任意k=2,3,，N,都 旬(-a*)-(-娱i)|=|以-以/W l,.存在-以，使得-以=0,即存在以，使得诙=0,数列A v中存在arf吏得a k0.(Il l)证明：设/=S(A p),则 Z,N设数列AN：a t,a z,弧中最大的值为例 0,最小值为?0,Nltt S (AN)NM,Am t=a+&2+a设在数列AN中，a im,a j=M,若 i j,I的-勾|=M-m 2 1 -(-1)=2,.-.y i+2,设数列5：a,-r,如i-3 ,a j-6则数列8至少有3项，:(a,-/)(。厂/)=(2 -1)(M-t)j,设数列,-q，L 勾+1,，L S,同理，存在z-加 使得f-a=0(/(/+1,，+2,z -1 ,即/=F9匕=小,N综上，若S (AN)是N的整数倍，则数列A v中存在G,使得S (AN)=N a .