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1、2021年 北 京 市 朝 阳 区 高 考 数 学 一 模 试 卷 一、选 择 题 共 1 0小 题，每 小 题 4 分，共 4 0分.在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中，选 出 符 合 题 目 要 求 的 一 项.1.（4 分）（2021朝 阳 区 一 模）已 知 集 合 人=一 1,0,1,2,3,B=x|x-L.O）,则 A B=（）A.0,1,2,3 B.1,2,3）C.2,3 D.32.（4分）（2021朝 阳 区 一 模）如 果 复 数 0 电 S e R）的 实 部 与 虚 部 相 等，那 么/,=（）iA.-2 B.1 C.2 D.43.（4 分）（2021朝 阳
2、区 一 模）已 知 等 差 数 列 为 的 前 项 和 为 S“，a3=l,S9=18,则 4=（）A.0 B.1 C.2 D.34.（4 分）（2021朝 阳 区 一 模）已 知 圆 d+y2=4截 直 线 y=H+2所 得 弦 的 长 度 为 2 6，则 实 数%=（）A.V2 B.-73 C.72 D.土 坦 2 25.（4分）（2021朝 阳 区 一 模）已 知 双 曲 线 C:5=1（a0力 0）的 离 心 率 为 2,则 双 曲 az bz线 C 的 渐 近 线 方 程 为（）A.y=y/3x B.y=x C.y=-x D y=2x6.（4分）（2021朝 阳 区 一 模）在 AA
3、BC中，若 片 一 廿 十，+加=0,则 3=（）A.-B.-C.-D.6 4 3 37.（4 分）（2021朝 阳 区 一 模）某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示，已 知 网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1,则 该 三 棱 锥 最 长 的 棱 长 为（）C.瓜 D.228.（4 分）（2021朝 阳 区 一 模）在 AABC中，“tanAtanBcl”是“AABC为 钝 角 三 角 形”的）A.充 分 而 不 必 要 条 件 C.充 分 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 9.（4 分）（2021朝 阳
4、区 一 模）已 知 抛 物 线 C：V=4 x 的 焦 点 为 产，准 线 为/,点 尸 是 直 线/上 的 动 点.若 点 A 在 抛 物 线 C 上，且|AF|=5,则 1PAi+|PO|（O 为 坐 标 原 点）的 最 小 值 为（）A.8B.2713 C.日 D.610.（4 分）（2021朝 阳 区 一 模）在 棱 长 为 1的 正 方 体 A B 8-A 4 G R 中，P 是 线 段 8 G 上 的 点，过 A 的 平 面 C 与 直 线 P D 垂 直.当 P 在 线 段 B G 上 运 动 时，平 面 a 截 正 方 体 A8C-A与 G A 所 得 的 截 面 面 积 的
5、最 小 值 是（）A.1 B.-C.D.V24 2二、填 空 题 共 5 小 题，每 小 题 5 分，共 2 5分.11.（5 分）（2021朝 阳 区 一 模）在（x+3 的 展 开 式 中，/的 系 数 为.（用 数 字 作 答）X12.（5 分）（2021朝 阳 区 一 模）已 知 函 数，（x）=P，xl 则/（o）=_；/（x）的 值 域-log2x,x.l,为.13.（5 分）（2021 朝 阳 区 一 模）已 知 向 量 4=（6，1）,6=（x,y）（盯 w0），且|6|=1,a h 0,则 向 量 h 的 坐 标 可 以 是.（写 出 一 个 即 可）14.（5 分）（202
6、1朝 阳 区 一 模）李 明 自 主 创 业，经 营 一 家 网 店，每 售 出 一 件 A 商 品 获 利 8元.现 计 划 在“五 一”期 间 对 A 商 品 进 行 广 告 促 销，假 设 售 出 A 商 品 的 件 数，（单 位：万 件）与 广 告 费 用 x（单 位：万 元）符 合 函 数 模 型 机=3-二 一.若 要 使 这 次 促 销 活 动 获 利 最 x+1多，则 广 告 费 用 X 应 投 入 一 万 元.15.（5 分）（2021 朝 阳 区 一 模）华 人 数 学 家 李 天 岩 和 美 国 数 学 家 约 克 给 出 了“混 沌”的 数 学 定 义，由 此 发 展
7、的 混 沌 理 论 在 生 物 学、经 济 学 和 社 会 学 领 域 都 有 重 要 作 用 在 混 沌 理 论 中，函 数 的 周 期 点 是 一 个 关 键 概 念，定 义 如 下：设/（x）是 定 义 在 R 上 的 函 数，对 于 令 xn=）（n=l 2,3,.）,若 存 在 正 整 数 k使 得 x*=x（）,且 当 0/女 时，为 x 七，则 称 尤。是/（的 一 个 周 期 为 4 的 周 期 点.给 出 下 列 四 个 结 论：若，则/（x）存 在 唯 一 一 个 周 期 为 1的 周 期 点；若/（x）=2（l-x）,则/（x）存 在 周 期 为 2 的 周 期 点；C
8、12x,x0,6y0,0e）由 下 列 四 个 条 件 中 的 三 个 来 确 定：最 小 正 周 期 为;r；最 大 值 为 2；f（一 2）=0；/（0）=-2.6（I）写 出 能 确 定 了（X）的 三 个 条 件，并 求 的 解 析 式；（II）求“X）的 单 调 递 增 区 间.17.（13分）（2021朝 阳 区 一 模）如 图，在 四 棱 锥 P A B C D 中，O 是 4 D 边 的 中 点，PO V底 面 ABC。，PO=.在 底 面 中，BC/AD,CD LAD,BC=CD=l,A D=2.（I）求 证：AB/平 面 P O C；（I D 求 二 面 角 3 A P-。
9、的 余 弦 值.18.(14分)(2021中 卫 模 拟)我 国 脱 贫 攻 坚 战 取 得 全 面 胜 利，现 行 标 准 下 农 村 贫 困 人 口 全 部 脱 贫，消 除 了 绝 对 贫 困.为 了 解 脱 贫 家 庭 人 均 年 纯 收 入 情 况，某 扶 贫 工 作 组 对 A,5 两 个 地 区 2019年 脱 贫 家 庭 进 行 简 单 随 机 抽 样，共 抽 取 500户 家 庭 作 为 样 本，获 得 数 据 如 表：假 设 所 有 脱 贫 家 庭 的 人 均 年 纯 收 入 是 否 超 过 10000元 相 互 独 立.A 地 区 8 地 区 2019年 人 均 年 纯 收
10、 入 超 过 10000 元 100户 150户 2019年 人 均 年 纯 收 入 未 超 过 10000 元 200户 50户(I)从 A 地 区 2019年 脱 贫 家 庭 中 随 机 抽 取 1户，估 计 该 家 庭 2019年 人 均 年 纯 收 入 超 过 10000元 的 概 率；(II)在 样 本 中，分 别 从 A 地 区 和 3 地 区 2019年 脱 贫 家 庭 中 各 随 机 抽 取 1户，记 X 为 这 2户 家 庭 中 2019年 人 均 年 纯 收 入 超 过 10000元 的 户 数，求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望；(III)从 样 本 中 A 地
11、区 的 300户 脱 贫 家 庭 中 随 机 抽 取 4 户，发 现 这 4 户 家 庭 2020年 人 均 年 纯 收 入 都 超 过 10000元.根 据 这 个 结 果，能 否 认 为 样 本 中 A 地 区 2020年 人 均 年 纯 收 入 超 过 10000元 的 户 数 相 比 2019年 有 变 化？请 说 明 理 由.19.(15分)(2021朝 阳 区 一 模)已 知 椭 圆 C 的 短 轴 的 两 个 端 点 分 别 为 40,1)，B(0,-1),离 心 率 为 好.3(I)求 椭 圆 C 的 方 程 及 焦 点 的 坐 标；(II)若 点 M 为 椭 圆 C 上 异
12、于 A,8 的 任 意 一 点，过 原 点 且 与 直 线 平 行 的 直 线 与 直 线 y=3交 于 点 尸，直 线 M B 与 直 线 y=3交 于 点。，试 判 断 以 线 段 P Q 为 直 径 的 圆 是 否 过 定 点？若 过 定 点，求 出 定 点 的 坐 标；若 不 过 定 点，请 说 明 理 由.20.(15 分)(2021朝 阳 区 一 模)己 知 函 数 f(x)=(ax-l)e*(n e R).(I)求 f(x)的 单 调 区 间；(II)若 直 线 y=or+a 与 曲 线 y=/(x)相 切，求 证：a e(-1,-).21.(15分)(2021朝 阳 区 一 模
13、)设 数 列 A,：4,出，,若 存 在 公 比 为 4 的 等 比 数 列 旦 向：伪，b2.%,使 得 4 其 中 夕=1,2,m,则 称 数 列 向 为 数 列 4 的”等 比 分 割 数 列(I)写 出 数 列 为：3,6,12,24的 一 个”等 比 分 割 数 列 B5；(II)若 数 列 A。的 通 项 公 式 为 4,=2(=1，2.10),其 等 比 分 割 数 列“B”的 首 项 为 1,求 数 列 综 的 公 比 夕 的 取 值 范 围；(H D 若 数 列 4 的 通 项 公 式 为 a“=2(=i,2.，且 数 列 4,存 在“等 比 分 割 数 列”,求?的 最 大
14、 值.2021年 北 京 市 朝 阳 区 高 考 数 学 一 模 试 卷 参 考 答 案 与 试 题 解 析 一、选 择 题 共 1 0小 题，每 小 题 4 分，共 4 0分.在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中，选 出 符 合 题 目 要 求 的 一 项.1.（4 分）（2021 朝 阳 区 一 模）已 知 集 合 4=-1,0,1,2,3,B=x|x-l.O）,则 B=（）A.0,1,2,3 B.1,2,3）C.2,3 D.3【解 答】解：因 为 集 合 人=1,0,1,2,3,B=x|x-l=x|x 1,所 以 哨 B=1,2,3）.故 选：B.2.（4分）（2021朝 阳
15、区 一 模）如 果 复 数 生 史 geR）的 实 部 与 虚 部 相 等，那 么 6=（）iA.-2 B.1 C.2 D.4【解 答】解：旦=（2+（）=匕 一 方 的 实 部 与 虚 部 相 等,i-i2:.b=-2.故 选：A.3.（4 分）（2021朝 阳 区 一 模）已 知 等 差 数 列“的 前 项 和 为 S“，q=l,S9=18,则 q=（）A.0 B.-1 C.-2 D.-3【解 答】解：.59=18=%4；佝）=9%，c i 2 j又=1,由 等 差 数 列 的 性 质 可 得：4+a5=a+2=2%=2,4=0,故 选：A.4.（4 分）（2021朝 阳 区 一 模）已
16、知 圆 x?+y2=4截 直 线 产 丘+2所 得 弦 的 长 度 为 2 6,则实 数%=()A.-s/2 B.-J3 C.土 近 D.73【解 答】解：圆 f+V=4 截 直 线 y=fcc+2所 得 弦 的 长 度 为 2 6，可 得 弦 心 距 为：v r 3=i,所 以：-7=辿=1，解 得 A=6.故 选：D.5.（4 分）（2021朝 阳 区 一 模）已 知 双 曲 线 C:2 2._ 2 1a2 b2=l（a0,b0）的 离 心 率 为 2,则 双 曲 线。的 渐 近 线 方 程 为（）A.y=A/3X B.y=-x C.y=x D.y=2x2 2【解 答】解：根 据 题 意，
17、双 曲 线 C:；-2=1（0/0）的 离 心 率 为 2,a b其 焦 点 在 y 轴 上，其 渐 近 线 方 程 为 丫=2了，a又 由 其 离 心 率 e=2,贝!j c=2a,a则 b=/c2-a2=y/3a，即 2=6，a则 其 渐 近 线 方 程 y=Gx；故 选：A.6.（4 分）（2021朝 阳 区 一 模）在 A/WC中，若/一 从+。2+收=0,则 3=（）A 冗 A.6D.2/rTc-?【解 答】解：a2-h2+c2+ac=0,所 以 2由 于 6（0,万）,所 以 8=丝.3故 选：D.7.（4 分）（2021朝 阳 区 一 模）某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图
18、所 示，已 知 网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1,则 该 三 棱 锥 最 长 的 棱 长 为（）C.瓜 D.22【解 答】解：根 据 几 何 体 的 三 视 图 转 换 为 直 观 图 为：该 几 何 体 为 三 棱 锥 A-8 8；如 图 所 示:所 以：AB=BC=/l2+12=42,C D=B D=,4 9=收+0=后,AC=/12+22+12=y/6,故 选：C.8.(4 分)(2021朝 阳 区 一 模)在 AABC中，“ta n A ta n 3 I”是“A4BC为 钝 角 三 角 形”的()A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件
19、C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【解 答】解：解 法 一：(1)若 C 为 钝 角，则 A,8 为 锐 角，/.tan C=-tan(A+B)=-to n t a n-解 得 tan Alan 8 c l.1-tan A tan B若 A或 5 为 钝 角，则 ta n A ta n B c l成 立.(2)若 ta n A ta n 8 l成 立，假 设 A或 8 为 钝 角，则 AA8C为 钝 角 三 角 形.假 设 A,都 3 为 锐 角，tanC=-tan(A+8)=_ tanA+ta n 8 0,解 得 C 为 钝 角，则 AABC为 1-tan
20、 A tan 8钝 角 三 角 形.综 上 可 得：在 A 4BC中，“ta n A ta n B v l是 A4BC为 钝 角 三 角 形”的 充 要 条 件.如 汁 一 A,sin Asin 3 八 cos（A+8）八.门 八 人”解 法 一：tan 4 tan 1 1-0-0 cos A cos 8cos C v 0 0 AABCcos A cos B cos A cos B为 钝 角 三 角 形.在 AABC中，“tan A tan B cl”是“AABC为 钝 角 三 角 形”的 充 要 条 件.故 选：C.9.（4 分）（2021朝 阳 区 一 模）已 知 抛 物 线 C：V=4
21、x的 焦 点 为 F,准 线 为 七 点 P 是 直 线/上 的 动 点.若 点 A在 抛 物 线 C 上，且|A F|=5,则|PA|+|P O|（O 为 坐 标 原 点）的 最 小 值 为（）A.8 B.25/13 C.历 D.6【解 答】解：不 妨 设 A为 第 一 象 限 内 的 点，坐 标 为 力），由 抛 物 线 的 方 程 可 得 焦 点 F（l,0）,则|A F|=a+l=5,解 得=4,所 以 4 4,4）,所 以 点 A 关 于 直 线 x=-1 的 对 称 点 为 片（-6,4）,故|P 4|+|P O|=|/W|+|P O|.|A 0 1=752=2713,当 且 仅
22、当 4,P,O三 点 共 线 时，等 号 成 立，即|PA|+1 P O|的 最 小 值 为 2万.故 选：B.10.（4 分）（2021朝 阳 区 一 模）在 棱 长 为 1的 正 方 体 A B 8-A B C R 中，P 是 线 段 8 G 上 的 点，过 A 的 平 面 a 与 直 线 P D 垂 直.当 P 在 线 段 B G 上 运 动 时，平 面。截 正 方 体ABCD-A与 G A 所 得 的 截 面 面 积 的 最 小 值 是（）A.1 B.-C.D.V24 2【解 答】解：当 P 在 8 点 时，3。，平 面 A C G A，平 面 e 截 正 方 体 A 3 C O-A
23、8 C R所 得 的 截 面 面 积：l x a=&是 最 大 值；当 尸 与 C1重 合 时，平 面 A R C 8,平 面 a 截 正 方 体 A B C D-A B C R 所 得 的 截 面 面 积：1 x 0=0 是 最 大 值；当 尸 由 3 向 G 移 动 时，平 面 a 截 正 方 体 A 8 C O-4 8 C R 所 得 的 截 面 A E F，E 由 A 向 3 移 动，当 尸 到 8C1的 中 点 时，取 得 最 小 值，如 图 此 时 E 为 他 的 中 点，P 为 的 中 点，（尸 在 底 面 上 的 射 影 为 O H,H 是 3 c 的 中 点，此 时 EC_L
24、Z），可 得 O P _ L E C,同 理 可 得。P J _ b,可 证 明 平 面 AECF）,A E=CE=Z AC=E,EF=42,四 边 形 A E b 是 菱 形，所 以 平 面 a 截 正 方 体 A B C D-A B R 所 得 的 截 面 面 积：*EF.AC=邑 号 号 是 最 小 值.故 选：C.二、填 空 题 共 5 小 题，每 小 题 5 分，共 25分.11.(5分)(2021朝 阳 区 一 模)在(x+，)8的 展 开 式 中，T 的 系 数 为 28.(用 数 字 作 答)X【解 答】解：展 开 式 的 通 项 为=C；x，(_L=喙 8一 2，X令 8 2
25、r=4,解 得 r=2,所 以 x4的 系 数 为 盘=28,故 答 案 为：28.2 xl12.(5分)(2021朝 阳 区 一 模)已 知 函 数 f(x)=1 则 0)=(；Ax)的 值 域-log2 x,x.A,为.【解 答】解：/(0)=2=1,当 xI 时，0 2*2,此 时 0/(x)2,当 X.1 时,log,x.O 则-log?%,。，即 此 时 f(x),0,综 上/(x)2,即 函 数/(x)的 值 域 为(ro,2),故 答 案 为：1,(-0,2).13.(5 分)(2021 朝 阳 区 一 模)已 知 向 量 a=(#)1),h=x,y)(xy/0),且|6|=1,
26、力 0,则 向 量 b 的 坐 标 可 以 是.(写 出 一 个 即 可)-2-2-【解 答】解：向 量 d=(6，1)，b=(x,y)(初 w 0),且|切=1,a b 0,如 图，可 知 向 量 8 的 坐 标 可 以 是 红 色 曲 线 上 的 任 意 一 点，向 量 方 的 坐 标 可 以 是(-,-1).故 答 案 为：.14.(5 分)(2021朝 阳 区 一 模)李 明 自 主 创 业，经 营 一 家 网 店，每 售 出 一 件 A 商 品 获 利 8元.现 计 划 在“五 一”期 间 对 A 商 品 进 行 广 告 促 销，假 设 售 出 A 商 品 的 件 数 加(单 位：万
27、 件)与 广 告 费 用 x(单 位：万 元)符 合 函 数 模 型 机=3-二 一.若 要 使 这 次 促 销 活 动 获 利 最 x+1多，则 广 告 费 用 x应 投 入 3 万 元.【解 答】解：由 题 意 知，每 售 出 1万 件 A 商 品 获 利 8 万 元，售 出 加 万 件 A 商 品 的 总 获 利 为：N A8/n-x=8(3-)-x=24-x,x+1 x+1设 f(x)=24-x(x.0),x+1则 3=-x Q,)，令 f(x)0，(x+l即 16 i0(x.o),(x+1)2解 得 0,x3,.当 0,x0,函 数 f(x)在 0,3)单 调 递 增，当 x 3时，
28、f(x)0,函 数/(x)在(3,茁)上 单 调 递 减，则 当 x=3时，函 数 f(x)取 得 极 大 值，即 最 大 值，.要 使 这 次 促 销 活 动 获 利 最 多，则 广 告 费 用 x 应 投 入 3 万 元.故 答 案 为 3.15.(5 分)(2021朝 阳 区 一 模)华 人 数 学 家 李 天 岩 和 美 国 数 学 家 约 克 给 出 了“混 沌”的 数 学 定 义，由 此 发 展 的 混 沌 理 论 在 生 物 学、经 济 学 和 社 会 学 领 域 都 有 重 要 作 用 在 混 沌 理 论 中，函 数 的 周 期 点 是 一 个 关 键 概 念，定 义 如 下：
29、设,f(x)是 定 义 在 R 上 的 函 数，对 于 令 玉=/Q,i)(=L 2,3,)，若 存 在 正 整 数 Z使 得%，且 当。/左 时，Xj x(),则称 X。是/(X)的 一 个 周 期 为 的 周 期 点.给 出 下 列 四 个 结 论:若,f(x)=e，T,则/(X)存 在 唯 一 一 个 周 期 为 1 的 周 期 点；若/(x)=2(l-x),则/(x)存 在 周 期 为 2 的 周 期 点；C 12x,x 若/(%)=2 则/(x)不 存 在 周 期 为 3 的 周 期 点；2(1 A,),X.-2 若/(x)=x(l-x),则 对 任 意 正 整 数，g 都 不 是
30、f(x)的 周 期 为 的 周 期 点.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【解 答】解：对 于 令 X”=/*_)(九=1,2,3,.),若 存 在 正 整 数 攵 使 得/=不，且 当 0/v R 时;马。/，则 称/是/(x)的 一 个 周 期 为 k 的 周 期 点.对 于/W=exl,当 左=1 时，=f(x0)=ex l,因 为 直 线 y=x 与 y=/(x)只 有 一 个 交 点(1,1),故 正 确；对 于，f(x)=2(l-x),%=2 时，x2=/(Xl)=2(1-x,)=21-/(x0)=4x0-2,所 以/(x)存 在 周 期 为 2 的 周 期 点，故
31、正 确；心 12x,x 对 于，/(x)=2,当 x v o 时，/(幻 鼻=/(毛)=8)0,显 然 x0=x,在%=0 时 成 立，所 以 存 在 正 确 为 3 的 周 期 点，故 错 误；对 于,/(X)=X(1 X)=(X)+所 以/(*),4 即 所 以 L 不 是 周 期 点，故 正 确.2故 答 案 为：.三、解 答 题 共 6 小 题，共 85分.解 答 应 写 出 文 字 说 明，演 算 步 骤 或 证 明 过 程.16.(13 分)(2021 朝 阳 区 一 模)已 知 函 数/(x)=Asin(fwx+e)(A0,0,0夕)由 下 列 四 个 条 件 中 的 三 个 来
32、 确 定:最 小 正 周 期 为;r；最 大 值 为 2；/(三)=0；/(0)=-2.6(I)写 出 能 确 定 了(X)的 三 个 条 件，并 求 f(x)的 解 析 式；(II)求 f(x)的 单 调 递 增 区 间.【解 答】解：(I)若 函 数/(x)满 足 条 件，则/(0)=Asin9=一 2,这 与 A0,0*0,可 得 口=2,由 条 件，可 得 A=2,./(%)=2sin(2九+)由 条 件，可 得/(-马=2sin(-巳+0)=0,6 3sin(+夕)=0,+(p=K7T,ZwZ,.=(+2乃，k eZ,又 因 为 所 以 0=(,所 以 f(x)=2sin(2x+y)
33、.(II)令 一 9+2攵 超 必 x+工 4-2k7r,k eZ,2 3 2+k7Vy12 12.J(x)的 单 调 递 增 区 间 为 冷+S*kQ,(keZ).17.(13分)(2021朝 阳 区 一 模)如 图，在 四 棱 锥 中，。是 4)边 的 中 点，尸 O_LJR A B C D,PO=,在 底 面 A8CE 中，BC/AD,CD.LAD,BC=C D=T,A D=2.(I)求 证：Ab/平 面 P O C；(II)求 二 面 角 5 A P-。的 余 弦 值.【解 答】(I)证 明：在 四 边 形 ABC。中，因 为 3C/AQ,BC=-A D92O是 A E 的 中 点，则
34、 8 C/A O,BC=AO,所 以 四 边 形 M C O 是 平 行 四 边 形，所 以 A B/O C，又 因 为 A B U平 面 POC,C O u平 面 POC,所 以 A B/平 面 POC；(H)连 结。B,因 为 POJ_ 平 面 ABCE,所 以 PO_LOB,POA.OD,又 因 为 点 O时 A D的 中 点，且 BC=A,所 以 BC=OD,2因 为 B C/A D,CDA.AD,BC=CD,所 以 四 边 形 0 8 8 是 正 方 形，所 以 BO_LA,建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 所 示，则 A(0,-1,0),8(1,0,0),C(1,1,0)
35、,0(0,1,0),尸(0,0,1),所 以 AB=(l,l,0),4P=(0,l,l),设 平 面 5A P的 法 向 量 为?=(x,y,z),则 卜 AB=0,即,+y=0,令 y=i,则=-1,故 m=m-AP=0 y+z=0因 为 OB上 平 面 PAD,所 以 OB=(1,0,0)是 平 面 PAD的 一 个 法 向 量，所 以 1 8 s s。八|=胃 僚 二 号 邛,由 图 可 知，二 面 角 B AP-。为 锐 角，18.(1 4分)(2021 中 卫 模 拟)我 国 脱 贫 攻 坚 战 取 得 全 面 胜 利，现 行 标 准 下 农 村 贫 困 人 口 全部 脱 贫，消 除
36、 了 绝 对 贫 困.为 了 解 脱 贫 家 庭 人 均 年 纯 收 入 情 况，某 扶 贫 工 作 组 对 A,8 两 个 地 区 2019年 脱 贫 家 庭 进 行 简 单 随 机 抽 样，共 抽 取 500户 家 庭 作 为 样 本，获 得 数 据 如 表：A 地 区 3 地 区 2019年 人 均 年 纯 收 入 超 过 10000 元 100户 150户 2019年 人 均 年 纯 收 入 未 超 过 10000 元 200户 50户 假 设 所 有 脱 贫 家 庭 的 人 均 年 纯 收 入 是 否 超 过 10000元 相 互 独 立.(I)从 A 地 区 2019年 脱 贫 家
37、 庭 中 随 机 抽 取 1 户，估 计 该 家 庭 2019年 人 均 年 纯 收 入 超 过 10000元 的 概 率；(II)在 样 本 中，分 别 从 A 地 区 和 3 地 区 2019年 脱 贫 家 庭 中 各 随 机 抽 取 1户，记 X 为 这 2户 家 庭 中 2019年 人 均 年 纯 收 入 超 过 10000元 的 户 数，求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望；(III)从 样 本 中 A 地 区 的 300户 脱 贫 家 庭 中 随 机 抽 取 4 户，发 现 这 4 户 家 庭 2020年 人 均 年 纯 收 入 都 超 过 10000元.根 据 这 个 结
38、果，能 否 认 为 样 本 中 A 地 区 2020年 人 均 年 纯 收 入 超 过 10000元 的 户 数 相 比 2019年 有 变 化？请 说 明 理 由.【解 答】解：(I)设 事 件 C：从 A 地 区 2019年 脱 贫 家 庭 中 随 机 抽 取 1户，该 家 庭 2019年 人 均 纯 收 入 超 过 10000元，从 表 格 数 据 可 知，A 地 区 抽 出 的 300户 家 庭 中 2019年 人 均 年 收 入 超 过 10000元 的 有 100户，因 此 尸(C)可 以 估 计 为 当=1；300 3(1【)设 事 件 A：从 样 本 中 A 地 区 2019年
39、 脱 贫 家 庭 中 随 机 抽 取 1 户，该 家 庭 2019年 人 均 纯 收 入 超 过 10000元，设 事 件 8：从 样 本 中 6 地 区 2019年 脱 贫 家 庭 中 随 机 抽 取 1 户，该 家 庭 2019年 人 均 纯 收 入 超 过 10000元，由 题 意 可 知，X 的 可 能 取 值 为 0,1,2,P(X=O)=/J(AB)=P(A)P(B)=(l-1)x(l-1)=l,_ _ _ _ 3 7P(X=1)=P(ABJAB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=(1-)X+-X(1,1 3 IP(X=2)=P(AB)=尸(A)P(8)=-x-=-,3 4 4
40、所 以 X 的 分 布 列 为:所 以 X 的 数 学 期 望 为 E(X)=0 X 1+1X N+2 XL=Y；6 12 4 12X 0 1 2p16712 4(III)设 事 件 E 为“从 样 本 中 A 地 区 的 300户 脱 贫 家 庭 中 随 机 抽 取 4 户，这 4 户 家 庭 2020年 人 均 年 纯 收 入 都 超 过 10000元”，假 设 样 本 中 A 地 区 2020年 人 均 年 纯 收 入 超 过 10000元 的 户 数 相 比 2019年 没 有 变 化,C则 由 2019年 的 样 本 数 据 可 得 P(E)=上 詈 冗 0.012.Goo答 案 示
41、 例 1:可 以 认 为 有 变 化，理 由 如 下：P(E)比 较 小，概 率 比 较 小 的 事 件 一 般 不 容 易 发 生，一 旦 发 生，就 有 理 由 认 为 样 本 中 A 地 区 2020年 人 均 年 纯 收 入 超 过 10000元 的 户 数 相 比 2019年 发 生 了 变 化，所 以 可 以 认 为 有 变 化.答 案 示 例 2：无 法 确 定 有 没 有 变 化，理 由 如 下：事 件 E 是 随 机 事 件，P(E)比 较 小，一 般 不 容 易 发 生，但 还 是 有 可 能 发 生 的，所 以 无 法 确 定 有 没 有 变 化.19.(15分)(202
42、1 朝 阳 区 一 模)已 知 椭 圆 C 的 短 轴 的 两 个 端 点 分 别 为 4(0,1)，8(0,-1)，离 心 率 为 包.3(I)求 椭 圆 C 的 方 程 及 焦 点 的 坐 标；(II)若 点 M 为 椭 圆 C 上 异 于 A,5 的 任 意 一 点，过 原 点 且 与 直 线 平 行 的 直 线 与 直 线 y=3交 于 点 P,直 线 M B 与 直 线 y=3交 于 点 Q,试 判 断 以 线 段 P Q 为 直 径 的 圆 是 否 过 定 点？若 过 定 点，求 出 定 点 的 坐 标；若 不 过 定 点，请 说 明 理 由.【解 答】解(I)由 题 意 可 得
43、力=1,e=迈，c2=a2-b2,a 3解 得/=3,所 以 椭 圆 的 方 程 为：工+9=1,且 焦 点 坐 标(土 应，0)；3(II)设 直 线 的 方 程 为：y=kx+,(%30),则 过 原 点 的 直 线 且 与 直 线 M A 平 行 的 直 线 为 y=kx因 为 P 是 直 线 y=，y=3 的 交 点，所 以 P(3,3),ky=fcc+1X 2.+y=13,整 理 可 得:。+3/)/+6区=0,可 得 品-6二 1一 3公-7+1=-T1+3/+3k2即 河(-J,上 当)，因 为 8(0,7),1+3公 1+3公 直 线 M B 的 方 程 为：y=-,3k，=_
44、 土 _联 立)3k，解 得：y=3,x=2k,J=3由 题 意 可 得 Q(-12%,3)，设 7（x。，%）,3所 以 PT=（x-，%-3）,QT=（x0+2k,y0-3）,k由 题 意 可 得 以 线 段 P Q 为 直 径 的 圆 过 T 点，所 以 PT QT=0,3所 以（福 一 7,y0-3）（与+12攵，%-3）=0,k可 得 片+1 2 I X Q%）36+y（；6yo+9=0,k要 使 成 立，%）二 为 2-6%+9-36=0解 得：/=0,%=-3,或%=0,%=9,所 以 7 的 坐 标(0,-3)或(0,9).20.(15 分)(2021朝 阳 区 一 模)己 知
45、 函 数/(x)=(or-l)e*(wR).(I)求/(x)的 单 调 区 间；(II)若 直 线 y=or+a 与 曲 线 y=/(x)相 切，求 证：.【解 答】解：(I)f(x)=(ax+a-)ex,令/(x)=0,得 依=l a,当 a=0 时，f(x)=-ex 0 时，x,r(x),f(x)的 变 化 如 下：当 0 时,x,f(x),f(x)的 变 化 如 下:X1-(7a(.a4-00)f M0+/(x)递 减 极 小 值 递 增 X(f1-a(.a+0 0)/(X)+0/(X)递 增 极 大 值 递 减 综 上：当 a=0 时，y=/(x)在/?单 调 递 减，当 a 0 时，
46、y=/(x)的 单 调 递 减 区 间 是(-co,上 色)，单 调 递 增 区 间 是(上 以，+00),a a当 a 0,故(px单 调 递 增,夕(一 3)=+；0,(-1)=-l0,故 存 在 唯 一/w(-l,-g)使 得 源+毛=0,将 代 入 得”2+o-x0+=0,故 a=-=./+$+1 人 0 T_ _Tp 1I易 知 在(一 1,一 工)内 y=x+l单 调 递 减，且 x+l0,2 x x故 y=1：在(-1,-3内 单 调 递 增，+1 2X1 2 3 2,JCn G(-1,)，:.-a，故。(一 1,).2 3 321.(15分)(2021朝 阳 区 一 模)设 数
47、 列 4,:卬，a2,若 存 在 公 比 为 4 的 等 比 数 列 与 向：伪，瓦，,%,使 得 瓦%瓦 八,其 中 夕=1,2,m,则 称 数 列 纥 为 数 列 4 的 等 比 分 割 数 列”.(I)写 出 数 列 4：3,6,12,24的 一 个”等 比 分 割 数 列(11)若 数 列 4 的 通 项 公 式 为%=2(=1,2.10),其 等 比 分 割 数 列“B”的 首 项 为 1,求 数 列%的 公 比 q 的 取 值 范 围；(III)若 数 列 4 的 通 项 公 式 为%=2(=1,2.m),且 数 列 4 存 在”等 比 分 割 数 列”,求 机 的 最 大 值.【
48、解 答】解：(I)根 据 定 义 可 得 数 列 4:3,6,12,24的 一 个“等 比 分 割 数 列”&:2,4,8,16,32.(答 案 不 唯 一)(II)由 题 意 可 得，q-1 2 2,且=2,3,.10),当=1时，12成 立；当=2,3,，10时，应 有 成 立,n i 10因 为 y=2,在 A 上 单 调 递 增，所 以 2力=2+商 随 着 的 增 大 而 减 小，故 夕 0,q0,设 机.6,此 时 有 4 1白 9 3 16人 闻 4 25 bq5 36 v b/2,可 得 q39,所 以 q强 2,瓦 又 4/9,所 以 9x2,=36,与 如 36q，矛 盾,故 科,5,又 当 帆=5时，取 4=0.99,q=2.09,可 得 0.9910.99 x 2.09 4 0.99 x 2.092 90,99x2.093 160,99x2.094 250.99x2.095,所 以 帆=5时 成 立，综 上，机 的 最 大 值 为 5.