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1、2021年“超级全能生”高考数学联考试卷（文科）（丙）（B卷）（1月份）一、选 择 题（每小题5 分）.I.已知，是虚数单位，若复数Z 满 足（2+3i）z=-1+八 则|z|=（）A.2/26 B.J _ c.返 D.叵13 13 13 132.已知集合4=2,4,6,7,B=x e N|l o g2（x -1 ）W 3 ,则C M 的元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.53.从装有2 个红球与3 个白球的口袋中任选2 个球，那么得到的2 个球颜色相同的概率是)A-iD.310B.25C 44.在某次数学测试中6名同学的成绩分别为91,100,95 ,92,x,9 2,且 91V x
2、 95,x为正整数，若 6名同学的数学成绩的中位数与众数相等，则这6名同学的数学成绩的平均 数 是（）（结果保留一位小数）A.93.0 B.92.5 C.94.5 D.93.75 .己知数列 斯 是等差数列，且“3,S是方程10 x+9=0的两根，则 冬=（）A.3 B.4 C.5 D.62x+2,06 .已知函数/（x）=/,的图象如图所示，则满足解集为3-IV x V l 的-x+a,0 xl o g 2(x+1)D.f(x)l o g 2(x+2)yx7.已知变量x,y 满足约束条件，则目标函数z=3x+2y的最小值为（）y0,a）0,|（p|0）个O单位长度后，得到函数g （x）的图象
3、，其图象关于y轴对称，则机的值可能为（）A.工6B,三410.过双曲线-y 2=i（o）的右焦点尸作x轴的垂线与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,。为坐标原点，当 A B O的面积取得最小值时，双曲线的渐近线方程为()A.尸 土 上B.y=%2C.y+xD.y=%311.在A 8C 中,a,h,c分别是角A,B,C的对边，且t a n 4=-，。=3,A A B C的面3积为2,则 A 8C的周长为（）A.713B.10C-1+713D-3+V 1312.已知圆N+y2=4与x轴的交点分别为A,8,点尸是直线/：y=-x+6上的任意一点,椭 圆C以4 8为焦点且过点P,则椭圆。的离心率e的
4、取值范围为（）A.B.(0,C.二、填 空 题（每小题5分）.13.曲线/（x）=正计3工-1在 点（0,/（0）处 的 切 线 的 斜 截 式 方 程 为.14 .已知=（c o s a,-s i na）,石=（八 退），旦a W （0,n）,贝U a=n C JT JT15 .己知 c o s (a+p),s i n(n-p)=,且 a,p G (0,-),则 t a n(a -)=.16 .已知函数/(x)是 R上的奇函数，且对任意的x 都 有 八+当)=-.f (x)成立，/(-2)1,于(1 7)多，则实数a的取值范围为_ _ _ _ _ _ _.2 a+5三、解答题：共 7 0 分
5、。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22,23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题:共 60分。17 .已知正项数列 斯 的前项和为S”且 S“=l-a”(吒N*).(I )求数列 ”的通项公式；(I I )若b=l S _ l _an+2 ,求数列 5 的前n项和Tn.218 .某商场随机抽取在一年中7个月的月平均促销费x(单位：万元)与月平均利润y(单位：万元)作统计，如表：月份i月平均促销费x(万元)1120.831.341.850.96 71.2 1.4月平均利润 y(万元)13.51115.319.211.716.5 1
6、7.8经7 X j y广i=l7132,i=l计(x r x)6 心一了)=6,算 得7 7 7 xi2=10.78,xi=8-4,52 74=105i=l i=l i=l-2 7 x VEi=l仇-y)2=6.31.(I)求 y 关于x 的 线 性 回 归 方 程(结 果 保 留 两 位 小 数)；y-b x+a(H)求5,y)(i=l,2,3,4,5,6,7)的相关系数r,并回答该商场的月利润额与促销费的相关关系如何？nn 区-*)仇一y)X i yj-nxyn _ _ (x4-x)(y-y)1=1Fn nJz (XX)2 (yy)2V i=l i=l19 .在正方体A B C。-4 B
7、1G D 1中，E,F分别是B B,A i)i的中点.(I )求证：E F平面B C Q i；(I D若正方体的棱长为2,求三棱锥。-BGA的体积.2 0 .已知 f(x)lnx+ax,aR.(I )讨论/(x)的单调性；(I I )若“V-I,证明：/(%)0)的焦点在直线x-y-2=0上.(I )求抛物线C的方程；(I I)设P,M,N为抛物线C上的不同三点，点 尸(2,4),且P M L P N.求证：直线MN过 定 点(10,-4).(二)选考题：共 10分。请考生在第22,2 3 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
8、选修4-4：坐标系与参数方程2 2 .在平面直角坐标系xO y中，曲线C i的参数方程是Q (甲为 参 数).以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程是p s i n e =.(I )求曲线G的极坐标方程和直线C 2的直角坐标方程；(I I)过 点O的直线/与G异于点O的交点为点A,与C 2的交点为点B,求10A l。8|的值.选修4-5：不等式选讲23.(I I )若m A R,且满足a 4吟=VT1，证明:4 0参考答案一、选 择 题（每小题5 分）.1.己知，是虚数单位，若复数z 满 足（2+3i）z=-1+z,则|z|=（）A.226 B.13 13c噜解：因
9、为(2+3i)z-1+i,痂 I ,-l+i|V2 V26故旧二百广布故选：A.2.已知集合4=2,4,6,7,B=xeN|log2(x-1)3 ,则CBA 的元素的个数为(A.2 B.3 C.4 D.5)解：A=2,4,6,7,B=xeNOx-K8=XGN|1X9=2,3,4,5,6,7,8,9,ACBA=3,5,8,9,CBA 的元素个数为：4.故选：C.3.从装有2 个红球与3 个白球的口袋中任选2 个球，那么得到的2 个球颜色相同的概率是（）A.B.C.D.5 5 10 10解：从 2 个红球与3 个白球的口袋中任选2 个球的所有选法有C=10种等可能结果，得到的2 个球颜色相同的情况
10、有C+C=4种结果，故?=.10 5故选：B.4.在某次数学测试中6 名同学的成绩分别为91,100,95,92,x,9 2,且 91Vx95,x为正整数，若 6 名同学的数学成绩的中位数与众数相等，则这6 名同学的数学成绩的平均 数 是（）（结果保留一位小数）A.93.0B.92.5C.94.5D.93.7解：将成绩按从小到大排列为:91,92,92,95,100,又x 的值必定在92,93,94之中，若 x 为 9 2,则众数为9 2,中位数也是9 2,符合题意；若 x 为 9 3,则中位数是9 2.5,不可能与众数92相等，不符合题意；若为9 4,则中位数为9 3,与众数92不相等，不符
11、合题意.故 x 为 92,所以这6 名同学的数学成绩的平均数是为91+92/2：92+95生00 93.7.6故选：D.5.已知数列。是等差数列，且3,s是方程N-10工+9=0 的两根，则5=()A.3 B.4 C.5 D.6解：因为数列 是等差数列，且3,s是方程N-l0 x+9=0的两根，所以。3+7=2 5=10,则 45=5.故选：C.2x+26.已知函数f CO=/的图象如图所示，则满足解集为3-1 1 的-x+a,0 xlog2(x+2)解：当 x=0 时，f (0)=0+2=a,解得 a=2,由满足解集为 川-IV x V l,则只要将y=log”的图象向左移一个单位即可,即不
12、等式为f(X)10g2(X+1),故选：B.y x7.己知变量x,），满足约束条件（x+X l，则目标函数z=3x+2y的最小值为（）yC2x+4A.3 B.-5 C.-10 D.-20解：由约束条件作出可行域如图，联立J Y-X,解得 A（-4,-4）,y=2x+4由z=3x+2y,得 尸-方 与，由图可知，当直线y=-声 岩 过 A 时,直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为-20.故选：D.8.如图所示，在正方体ABCD-AiBiCQi中，E,尸分别是BC,的中点，则异面直线EF与 4 G 所成角的余弦值为（)D.亨解：取 AB的中点0,连 结。E,OF,AC,因为E 为 BC的中点，
13、所以。EAC,又 ACA iG,所以 OEA C”故N F E O即为异面直线E F与 4 G 所成的角，设正方体ABCD-AIBICIDI的棱长为2,则0总人，=历，DO=V22+12=V 5）所以 F O=F ETD C）2+F D 2 T （与 2+/二氓,在 人?中，由余弦定理可得，cosZFEO EF24OE2-0F2-EFOE6+2-6 _ V32 X%X&V所以异面直线E F与 4 G 所成角的余弦值为返.6故选：B.9.已知函数/（x）=Asin（o）x+（p）（A0,u）0,|（p|0）个单位长度后，得到函数g（x）的图象，其图象关于y 轴对称，则 m 的值可能为（）6431
14、21T解：函数f（x）=Asin（u）x+（p）（A0,a）0,|（p|ir）的图象上最高点的坐标为（二:一,62),相 邻 最 低 点 的 坐 标 为(号，-2),1 2兀 2兀 兀.A=2,-,.*.a)=2,f(x)=2sin(2x+(p).2但36TT TT TT TT结合五点法作图，2X-+(p=,故/(%)=2sin(2x+).6 2 6 6jr将函数f(x)的图象向右平移tn(m 0)个单位长度后，得 到 y=2sin(2 x+-2m)6的图象.jr jr再根据所得图象关于y 轴对称，故所得函数g（x）为偶函数，故 令-2 根=心计二，依Z,6 2k 冗 K即 t n=-则m的值
15、可能是26IT,此时，k=-,故选：C.21 0.过 双 曲 线 七-y 2=1（巾0）的右焦点尸作X轴的垂线与双曲线的两条渐近线分别交m于 4,8 两点,0 为坐标原点，当aA B O 的面积取得最小值时，双曲线的渐近线方程为()A.y=x4B.y=L2C.y=xD.y=x32解：双曲线2 万-ym2=1（根0）的右焦点产（，1+血 2,0）,渐近线的方程为=土区，m令 7 1+1n2,可得y=土 西 亚,m则A3。的面积为5=,l+m2,Hl+私2.=-l.+2-=m+2,2 m m m当且仅当机=1 时，上式取得等号.所以双曲线的渐近线方程为y=x.故选：C.A1 1.在 A B C中，
16、a,b,c分别是角A,B,C的对边，且t a n A=-停。=3,A B C的面积为2,则A B C的周长为()A.万 B.1 0 C.1+J 3 D.3+1 3解：因为 t a r b 4=-,3Q 4所以 c o s A=-,s i n A=,5 51 0因为A B C 的面积 S=j-b c s i n A=(b c=2,2 5则 bc=5f由余弦定理得，a2=9=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-1 0+1 O X,5故人+。=A A B C 的周长为 a+b+c=3+fl2.故选：D.1 2.已知圆/+,2=4与光轴的交点分别为A,8,点尸是直线/：y=-x+6上的任意一点，
17、椭圆。以A,3为焦点且过点尸，则椭圆。的离心率e的取值范围为（）A.p 乎 B.（0,踣 C.4,V3 口.百，1）解：圆/+炉=4与x轴的交点分别为A,B,点P是直线/：=-x+6上的任意一点，椭圆C以4,8为焦点且过点P,可知A （-2,0）,B （2,0）,c=2,P是直线/上的点，P到A、8两点距离之和的最小值为：8关于直线的对称性夕 与A的距离，Hlj n-9设8,（2,八），可得1 ,解得=4,7 7 2 =6,I 亍n+0 Fm+2 66所 以*（6,4）,AB|=J（6+2 ）2+（4-0 ）2=4A/,所以椭圆的长轴长2=4遥，所以的最小值为2泥，椭圆的离心率的最大值为：片3
18、=逅.椭圆C的离心率e的取值范围为（0,匹 .故选：B.65432-4-3-2-1?1 2 3 4/5 X.7 二、填空题(每小题5 分).13.曲线/(x)=xe+3x-1在 点(0,f(0)处的切线的斜截式方程为y=4x-1 .解：f(x)=xe+,ix-1 的导数为/(x)=(x+1)砂+3,可得在点(0,/(0)处的切线的斜率为/(0)=4,切 点 为(0,-1),则切线的斜截式方程为y=4x-1.故答案为：y4x-I.7T14.已知=(cosa,-sina),(1,y),且彳_1总 a(0,n),则 a=_ 6解：:彳=(cosa,-sina),(1,M)，且-a,b c o s a
19、 -V3sina=0,故 lana=3IT结合(0,n),则 a=-,6IT故答案为：.615.已知 cos(a+P),sin(n-p)=-,且 a,(0,则 tan(a-=51324.2 3 89,解:Vsin(n-B)=-,.*.sinB=-，13 13又 pG(0,213cos(a+p)sin(a+p)3 19 4 5 56A cosa=cos(a+p)-p=cos(a+p)cosp+sin(a+p)sinp=-X-FX-=;5 13 5 13 65V0(6(0,-)，2A s in a=71-cos2a=-ZF-U Dtana=旦吧cos a3356Alan(a-)=4ta n a-t
20、a r 44 _ 56n1+tanO.tan-2389故答案为：-罢.891 6.已知函数/(x)是R上的奇函数，且对任意的x都 有/(呜)=-/(x)成立，/(-2)U /(1 7)=;总，则实数。的取值范围为_(-,栏)_.2 a+5 2 3解：根据题意，对任意的X都有/(x+l)=-/(X)成立，则/(1+5)=-/(X+)=/(x),则有/(1 7)=/(2+1 5)=/(2)=/(-2),又由2)1,则/(1 7)=-=-/(-2)-1,2a+5则有/-1,变形可得：警(),2a+5 2a+5解可得：-a 0-7 5,故该商场的月利润额与促销费具有很强的相关性.19.在正方体A BC
21、。-4 B 1 C Q 1 中，E,尸分别是BBi,4 n 的中点.(I )求证：E F平面 BCIOI；(II)若正方体的棱长为2,求三棱锥Q-B G。的体积.【解答】(I)证明：取8 G的中点0,连结9 0,E0,因为E,0分别为BB”BCi的中点，所以0E乱G,且0=却。”又尸为A Q的中点，故。声B iC i,且。F=/BIC”故 0E。尸且 0E=DiF,所以四边形D,FEO为平行四边形，故 EF/DO,又 ERt平面 BGDi,OiOu平面 8CQ1,所以EF平面BCIDI；(H)解：正方体的棱长为2,所以 SADCR X 2X2=2，在正方体中，BUL平面C D DICI,故B
22、C为三棱锥B-DDiCt的高，14所以 VB-D D&3 X 2X 2=?由等体积法可得，W D=yB_DD c=4，所以三棱锥D -BCiDi的体积为4.2 0.已知f (x)=/wc+ax,aGR.(I )讨论/(x)的单调性；(n )若 a -1,证明：fCx)0恒，得a所以y(x)在(0,-工)上单调递增，在(-2，+8)上单调递减，a a综上所述，当时，/(%)的单调增区间为(0,+8),无单调递减区间；当。0时，f(x)的单调递增区间为(0,-工)，单调递减区间为(-工，+8).a a(n)由(i)-1时，/(%)的单调递增区间为(0,单调递减区间为(-a,+)，a.a 1,；./
23、(-“)0,-In(-a)(-)=-/(-“)-1-1,a a a故若 a -1,则/(x)0)的焦点在直线x-y-2=0上.(I )求抛物线C的方程；(0)设P,M,N为抛物线C上的不同三点，点P (2,4),且R W _LP M 求证：直线M N 过 定 点(10,-4).解：(I )抛物线C的 焦 点 为(导0),因为抛物线C：y2=2px(p0)的焦点在直线x-y-2=0上，所以-0-2=0,解得p=4,所以抛物线的方程为V=8x.(I I )证明：设 M(xi,y),N(%2,”)，直线 M N 的方程为x=m y+，x=my+n联立，9，得炉-Smy-8=0,、y=8x所以 yi”
24、=-8%yi+”=8m,所以 K X 2=(wyi+，7)(myi+n)=ni1yy2+inn(yi+”)+n2=/?(-8H)+烟8 2+层=2,x+x2=(m yi+)+(冲2+)=相(yi+y2)+2 n=m*Sm+2n=87?I2+2H,因为 P M _LP N,所以而,面=。，所 以(xi-2,yi-4)(X 2 -2,yi-4)=0,所 以(j t i -2)(%2 -2)(yi-4)(72 -4)=0,所以 xxi-2 (xi+x2)+4+yi”-4 (yi+2)+16=0,所以2-2 (8m2+2 n)+4+(-8)-4*8m+16=0,解得=4?+2 (舍去)或=4?+10,所以直线 M N 为：x=my+4m+Q=m(H-4)+10,所以直线MN过 点(10,-4).(二)选考题：共 10分。请考生在第22,2 3 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请 用 2 B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修4 4：坐标系与参数方程I2 2.在平面直角坐标系xO y中，曲线Ci的参数方程是卜=c s 0 (6.即a2/*N6成立，当且仅当a=b=2时，等号成立.(I I )由柯西不等式得(4 4)心2号号金击金场产,2 2；得Q2号专)(a玲 号)2 =,2 2即a。6 4 O当且仅当a=b=c=曳 豆 时，等号成立.