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1、第四章 圆与方程 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 教材分析 本节内容数学必修 2 第四章 第一节的起始课，是在学习了直线的有关知识后学习的，圆是学生比较熟悉的曲线，在初中就已学过圆的定义这节课主要是根据圆的定义，推出圆的标准方程，并会求圆的标准方程本节课的教学重点是圆的标准方程的理解、掌握；难点是会根据不同的已知条件，利用待定系数法，几何法求圆的标准方程通过本节课的学习培养学生用坐标法研究几何问题的能力，使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解，增强学生的数学意识 课时分配 本节内容用 1 课时的时间完成，主要讲解圆的标准方程的推导和应用 教学目标 重点:圆的标准方程的理解、掌握 难点：
2、会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程 知识点：会求圆的标准方程.能力点：根据不同的已知条件求圆的标准方程.教育点：尝试用代数方法解决几何问题探究过程，体会数形结合、待定系数法的思想方法.自主探究点：点与圆的位置关系的判断方法.考试点：会求圆的标准方程.易错易混点：不同的已知条件，如何恰当的求圆的标准方程.拓展点：如何根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程 教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学 一、引入新课 问题 1：什么是圆【设计意图】回顾圆的定义便于问题 2 的回答【设计说明】学生回答 问题 2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可
3、以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素圆心（定位）和半径（定形）【设计说明】教师引导，学生回答 问题 3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题【设计说明】教师指出建立圆的方程正是我们本节课要探究的问题 二、探究新知 问题 4：已知圆的圆心坐标为(,)A a b，半径为r（其中a、b、r都是常数，0r），如何确定圆的方程 师：类比直线点斜式方程的推导方法，引导学生回答求曲线的方程的一般步骤 师生：教师引导学生回答如何求曲线的方程 (1)建立
4、适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点 M 的坐标；(2)写出适合条件 P 的点 M 的集合 P=M|P(M)|；(3)用坐标表示条件 P(M)，列出方程f(x，y)=0；(4)化方程f(x，y)=0 为最简形式；(5)说明化简后的方程就是所求曲线的方程 师：设 M(x,y)是圆上任意一点，根据圆的定义如何建立x，y满足的关系式 y A M 的的样子更喜欢你获得成功时兴奋的笑脸你知道吗每时每刻老师都在注视着你为你的进步而高兴为你的退步而焦心你如果能做到认真听讲遵守课堂纪律相信你将是一个很棒的孩子你是一名优秀的班干部对自己的本职工作尤其负责收课能积极举手发多动脑思考你尊敬老师与同学们相处
5、融洽能做到互帮互助你性格活泼开朗好动能积极参加体育活动望你今后端正学习态度上课专心听讲作业及时完成另外你要多注重学习方法争取好成绩你为人朴实正直待人善良是个活中的强者再接再厉吧老师期待着你的成功老师非常喜欢看到你那活泼天真的笑脸倾听你那充满激情的朗读你是个热爱学习待人热情的小女孩课堂上你总是踊跃发这也证明你在留心听讲积极思考望你今后再细心些成为更棒的孩子你生：利用两点间的距离公式，写出点 M 的坐标适合的条件 师：如何进一步化简上述关系式得出圆的方程 生：学生自己化简得出圆的方程为222)()(rbyax【设计意图】让学生掌握圆的标准方程的推导方法【设计说明】学生自己化简得出结论便于学生理解记
6、忆 三、理解新知 圆的标准方程：222)()(rbyax，其中圆心为(,)A a b，半径为r 强调：熟记圆的标准方程的结构特点，并能观察出圆心和半径 师：那么确定圆的标准方程需要几个独立条件 生：只要a、b、r三个量确定了且0r，圆的方程就给定了 师：圆心在原点圆的方程是什么 生：222ryx【设计意图】便于学生理解掌握圆的标准方程，为准确地运用新知，作必要的铺垫【设计说明】学生自己归纳总结 基础检测：1.圆2)2(22yx的圆心 A 的坐标为_,半径r为_.2.圆)0()3()1(222aayx的圆心,半径是【设计意图】熟练掌握圆的标准方程与圆心坐标,半径长的关系【设计说明】学生口答 四、
7、运用新知 例 1.写出圆心为)3,2(A,半径长等于 5 的圆的方程，并判断点)1,5(),7,5(21MM是否在这个圆上 分析：判断圆心是否在圆上，可以从计算点到圆心的距离入手【设计意图】圆的标准方程的直接应用，并会判断点与圆的位置关系 的的样子更喜欢你获得成功时兴奋的笑脸你知道吗每时每刻老师都在注视着你为你的进步而高兴为你的退步而焦心你如果能做到认真听讲遵守课堂纪律相信你将是一个很棒的孩子你是一名优秀的班干部对自己的本职工作尤其负责收课能积极举手发多动脑思考你尊敬老师与同学们相处融洽能做到互帮互助你性格活泼开朗好动能积极参加体育活动望你今后端正学习态度上课专心听讲作业及时完成另外你要多注重
8、学习方法争取好成绩你为人朴实正直待人善良是个活中的强者再接再厉吧老师期待着你的成功老师非常喜欢看到你那活泼天真的笑脸倾听你那充满激情的朗读你是个热爱学习待人热情的小女孩课堂上你总是踊跃发这也证明你在留心听讲积极思考望你今后再细心些成为更棒的孩子你【设计说明】培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯 探究：怎样判断点),(00yxM在圆222)()(rbyax上圆内还是圆外【设计意图】学生自己探讨发现点与圆的位置关系的判定方法，从而归纳出下列结论（1）22020)()(rbyax，点在圆外（2）22020)()(rbyax，点在圆上（3）22020)()(rbyax，点在圆内【设计说明】
9、培养学生分析问题、解决问题的能力 练习：1.点)5,(mP与圆2522yx的位置关系（）在圆外 在圆上 在圆内 在圆上或圆外 2.求经过点 P(5，1)，圆心在点 C(8，-3)的圆的标准方程 3.求以点)1,2(位圆心且与直线0543 yx相切的圆的标准方程【设计意图】根据圆心和半径熟练写出圆的标准方程【设计说明】学生爬黑板 例 2.ABC的三个顶点的坐标是)8,2(),3,7(),1,5(CBA，求它的外接圆的方程 师生共同分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆 从圆的标准方程222)()(rbyax 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定rba,三个参数
10、 解法一：设所求圆的方程是222)()(rbyax (1)因为)8,2(),3,7(),1,5(CBA都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）于是 所以，ABC的外接圆的方程为 25)3()2(22yx【设计意图】掌握待定系数法求圆的标准方程【设计说明】学生自己运算解决 师：除上述方法求圆的标准方程外还有没有其它方法 师：教师画图引导 O x y L1 L2 M A B C D E 的的样子更喜欢你获得成功时兴奋的笑脸你知道吗每时每刻老师都在注视着你为你的进步而高兴为你的退步而焦心你如果能做到认真听讲遵守课堂纪律相信你将是一个很棒的孩子你是一名优秀的班干部对自己的本职工作尤其负责收课能积极举手
11、发多动脑思考你尊敬老师与同学们相处融洽能做到互帮互助你性格活泼开朗好动能积极参加体育活动望你今后端正学习态度上课专心听讲作业及时完成另外你要多注重学习方法争取好成绩你为人朴实正直待人善良是个活中的强者再接再厉吧老师期待着你的成功老师非常喜欢看到你那活泼天真的笑脸倾听你那充满激情的朗读你是个热爱学习待人热情的小女孩课堂上你总是踊跃发这也证明你在留心听讲积极思考望你今后再细心些成为更棒的孩子你生：学生讨论发现，还可利用几何法求ABC的外接圆的方程 师：确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小那么如何确定圆心 生：学生探讨发现：弦AB的垂直平分线与弦BC的垂直平分线的交点即为圆心M 师：如何确定半径 生
12、：圆心 M 与圆上任一点的距离即为半径 解法二：（师生共同完成）因为)3,7(),1,5(BA，所以线段AB的中点D的坐标为)1,6(，直线AB的斜率2ABk，因此线段AB的垂直平分线1L的方程是 )6(211xy，即 082 yx，同理可得线段BC的垂直平分线2L的方程是 01yx 圆心M的坐标是方程组 01082yxyx 的解 解此方程组，得 32yx，所以圆心M的坐标是)3,2(圆心M的圆的半径长 5)31()25(|22AMr 所以，ABC的外接圆的方程为 25)3()2(22yx 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例 2 得出ABC外接圆的标准方程的两种求法：方法一：代数
13、法待定系数法；方法二：几何法数形结合【设计意图】结合例 2 的理解，学生自己归纳出求任意三角形外接圆的标准方程的两种方法，并比较两种方法的优劣【设计说明】学生自己归纳总结 练习：课本第 120 页，例 3（不看课本，结合例 2 的理解，学生自己解决例 3）的的样子更喜欢你获得成功时兴奋的笑脸你知道吗每时每刻老师都在注视着你为你的进步而高兴为你的退步而焦心你如果能做到认真听讲遵守课堂纪律相信你将是一个很棒的孩子你是一名优秀的班干部对自己的本职工作尤其负责收课能积极举手发多动脑思考你尊敬老师与同学们相处融洽能做到互帮互助你性格活泼开朗好动能积极参加体育活动望你今后端正学习态度上课专心听讲作业及时完
14、成另外你要多注重学习方法争取好成绩你为人朴实正直待人善良是个活中的强者再接再厉吧老师期待着你的成功老师非常喜欢看到你那活泼天真的笑脸倾听你那充满激情的朗读你是个热爱学习待人热情的小女孩课堂上你总是踊跃发这也证明你在留心听讲积极思考望你今后再细心些成为更棒的孩子你已知圆心为C的圆经过点)2,2()1,1(BA和，且圆心C在直线上01:yxl，求圆心为C的圆的标准方程（给学生充分思考的时间，教师引导）师：本题求圆的标准方程，能否用上述两种不同方法解决 生：学生画图思考 师：找两位同学分别用两种不同的方法到黑板上解该题 【设计意图】结合对例 2 的理解，学生根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求
15、圆的标准方程，并比较两种方法的优劣 【设计说明】学生爬黑板板书解题过程，以规范学生的解题步骤 五、课堂小结 教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法学生作答：1知识：（1）圆的标准方程的结构特点 （2）点与圆的位置关系的判定 (3)求圆的标准方程的方法：待定系数法；几何法.2思想：数形结合的思想 教师总结:圆的标准方程的推导方法用到了前面学过的知识，提醒学生:在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用【设计意图】加强对学生学习方法的指导 六、布置作
16、业 1书面作业 必做题：P124 习题 A 组 第 2，3，4 题 选做题：P124 习题 A 组 第 5 题 2课外思考 A B C D O x y l 的的样子更喜欢你获得成功时兴奋的笑脸你知道吗每时每刻老师都在注视着你为你的进步而高兴为你的退步而焦心你如果能做到认真听讲遵守课堂纪律相信你将是一个很棒的孩子你是一名优秀的班干部对自己的本职工作尤其负责收课能积极举手发多动脑思考你尊敬老师与同学们相处融洽能做到互帮互助你性格活泼开朗好动能积极参加体育活动望你今后端正学习态度上课专心听讲作业及时完成另外你要多注重学习方法争取好成绩你为人朴实正直待人善良是个活中的强者再接再厉吧老师期待着你的成功老
17、师非常喜欢看到你那活泼天真的笑脸倾听你那充满激情的朗读你是个热爱学习待人热情的小女孩课堂上你总是踊跃发这也证明你在留心听讲积极思考望你今后再细心些成为更棒的孩子你圆的标准的方程形式是222)()(rbyax，该式展开后形式是什么展开后的形式都表示圆吗【设计意图】设计书面作业必做题，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程；选做题是鼓励学有余力的同学进一步加深本节内容的理解；课外思考的安排，是让学生理解圆除了标准形式，还有一般形式，起让学生课下探索发现、预习新课的作用 七、教后反思 1.本教案的亮点是
18、圆的标准方程的推导以及任意三角形外接圆的标准方程的两种方法的得出，都是在学生已有的知识基础上得到，不是生硬的抛出，而是水到渠成例题也是变讲为练，都是学生在独立或小组讨论中解决的，很好的调动学生的积极性与主动性，提高了学生的解题能力 2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在公式的推导过程上下足功夫 3.本节课的弱项是课容量大，时间所限，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，感觉一节课下来比较紧，学生理解不透彻 八、板书设计 4.1.1 圆的标准方程 一、知识点 1圆的标准方程：其中圆心为 A(a,b)，半径为 r 强调：（1）熟记圆的标准方程的结构特点；（2）确定圆的标准方
19、程的三个独立条件 a，b，r；（3）特别地，圆心在原点圆的方程是 2点),(00yxM与圆222)()(rbyax的位置关系的判定方法：所以，ABC的外接圆的方程为25)3()2(22yx 解法二：因为)3,7(),1,5(BA，所以线段AB的中点D的坐标为)1,6(，直线AB的斜率2ABk，因此线段AB的垂直平分线1L的方程是 )6(211xy，即 082 yx，的的样子更喜欢你获得成功时兴奋的笑脸你知道吗每时每刻老师都在注视着你为你的进步而高兴为你的退步而焦心你如果能做到认真听讲遵守课堂纪律相信你将是一个很棒的孩子你是一名优秀的班干部对自己的本职工作尤其负责收课能积极举手发多动脑思考你尊敬
20、老师与同学们相处融洽能做到互帮互助你性格活泼开朗好动能积极参加体育活动望你今后端正学习态度上课专心听讲作业及时完成另外你要多注重学习方法争取好成绩你为人朴实正直待人善良是个活中的强者再接再厉吧老师期待着你的成功老师非常喜欢看到你那活泼天真的笑脸倾听你那充满激情的朗读你是个热爱学习待人热情的小女孩课堂上你总是踊跃发这也证明你在留心听讲积极思考望你今后再细心些成为更棒的孩子你（1）22020)()(rbyax，点在圆外（2）22020)()(rbyax，点在圆上（3）22020)()(rbyax，点在圆内 二、应用 例 1.写出圆心为)3,2(A,半径长等于 5 的圆的方程，并判断点)1,5(),
21、7,5(21MM是否在这个圆上 练习：1 2 3 例 2.ABC的三个顶点的坐标是)8,2(),3,7(),1,5(CBA，求它的外接圆的方程 解法一：设所求圆的方程是222)()(rbyax(1)因为)8,2(),3,7(),1,5(CBA都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）于是 同理可得线段BC的垂直平分线2L的方程是 01yx 圆心M的坐标是方程组 01082yxyx 的解 解此方程组，得 32yx，所以圆心M的坐标是)3,2(圆心M的圆的半径长 5)31()25(|22AMr 所以，ABC的外接圆的方程为 25)3()2(22yx 课堂小结：练习：课本第 120 页，例 3 的的样
22、子更喜欢你获得成功时兴奋的笑脸你知道吗每时每刻老师都在注视着你为你的进步而高兴为你的退步而焦心你如果能做到认真听讲遵守课堂纪律相信你将是一个很棒的孩子你是一名优秀的班干部对自己的本职工作尤其负责收课能积极举手发多动脑思考你尊敬老师与同学们相处融洽能做到互帮互助你性格活泼开朗好动能积极参加体育活动望你今后端正学习态度上课专心听讲作业及时完成另外你要多注重学习方法争取好成绩你为人朴实正直待人善良是个活中的强者再接再厉吧老师期待着你的成功老师非常喜欢看到你那活泼天真的笑脸倾听你那充满激情的朗读你是个热爱学习待人热情的小女孩课堂上你总是踊跃发这也证明你在留心听讲积极思考望你今后再细心些成为更棒的孩子你