2021届高考数学(理)全真模拟卷03(理新课标Ⅲ卷)(解析版).pdf

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1、新高考全真模拟卷03(新课标in卷)理科数学本卷满分15 0分,考试时间12 0分钟。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共6 0分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合4=划2*1,B=X|X2 0 ,B=x-2 x =x|x -2,故选 B。2 .设复数z满足z2 +Z,则|z|=()。iA、3B、MC、9D、10【答案】A【解析】z=+2f=2-V 5z,则|z|=2?+(括/=3,故选A。i3 .函数f(x)=s i n:”的图像大致是()。【答案】B【解析】函数的定义域为R,又/(T)=s i n:+x=_/(x),则J )为奇函数,排除C、D,ewV

2、 s in x-x 0在xe(0,+oo)匕恒成立,当x-0+时,/(x)p),a称为全音,p称为半音,则下列关系式成立的是()。(参考数据:1g2R 0.301()、lg3 0.4771)A、a=2pB、a=p-C、|lga-lgP|0.01D、|lga-21gp|0.01,C 错误,8 243而|lga 21gBi=|lg2 21g型|=|121g3 191g21ao.00620.01,,D 正确,故选 D。8 2435.己知(a+2 y的展开式中的常数项为-1,则炉的系数为()oA、-560B、-280C、280D、560【答案】Ar 解析(a+2&y的展开式的通项公式为7)+1=C;4

3、 常数项,.r =0,,常数项为心7.2 =-1,解得 =1,一=4,二 2的系数 为(一1)32 4=-5 6 0,故选A。k +2”46.已知x、y满足约束条件 龙 一2y 2-4,则目标函数z=1 6/+8x+4y2-4 n一16个的取值范围是()。x3A、-1,24B、-4,8C、-4,48D、-1,143【答案】D【解析】z =1 6 x2+8x +4 y?-4y-1 6 xy=(4x-2y)2+2(4 x-2 y)作图,令女=4 x-2 y,则y =2 x-;Z,做虚线y =2 x,上下移动,则过A(0,2)截距最大即kmin=-4 ,过B(3,1)截距最小即 m a x =1 1

4、,则转换为f(k)k2+2k(-4 k =1内,02+(/?-3)2 1,解得 24,则 2 招 H 4,即 2 抬 164,得2石 。0)倍(纵坐标不变),得到函数g(X)的图像,若函数g(X)在区间(二二)上是增函数,则 3的取值范围是6 3()。A、(0.1 B、(0,2 C、(2,3)D、3,+o o)【答案】B【解析】将函数f(x)=2 s i n x 的图像经过变化后得到g(x)=2 s i n(a r 工)的图像,6-2kitwc-+2kri(k G Z),g|J -+2 h i c a r +2f or(k e Z),2 6 2 3 3;g(x)在(二,四)上是增函数,二/6(

5、蹩,C W),又T =空 2 2 x(3-二)=2,6 3 6 3 c o 3 6 3n eo 冗-2-令k =0 时 6 3,解得0 342,当k#0 且Ze Z时,不符合题意,故选B。7 1 C D 2 兀 1 t.一 3、C4k_I/则由正方体与半球q 的位置关系易知正方体的棱长为2,设正方体的下底面的中心为G ,连接PG,则四棱锥P-A 3CD的高P G =3 r,易知该四棱锥为正四棱锥,则其斜高为J(3 r再3=,由题意得(2r)2+4x x 2rx M 厂=4 +4 而,得 r=l,2根据几何体的对称性知球0 的球心。在线段OQ上,连接OC、CG,在 R/A OGC 中,O C =

6、R,0 G =3-R,CG=-x 72 x2 =V2 ,2则(3-R)2+(后)2=叱,解得 R =U,6二球。的表面积S=4 成 2=4 兀、(募)2=詈,故选B。1 2.设函数/(x)=x-e*-3-3 的零点为X、,E l表示不超过x 的最大整数,有下述四个结论:函数人幻在(0,+8)上单调递增;函数f(x)与 包 有相同零点;函数f(x)有且仅有一个零点,且X x =2;函数,”X)有且仅有两个零点,且 xJ+I k-6。其中所有正确结论的个数是()。A、1B、2C、3D、4【答案】C【解析】/(x)=,-(l+x)-,当 x w(0,+oo)E l寸,fx)0,.函数/(x)在(0,

7、+8)上单调递增,故正确,显然x=0 不是/(x)零点,令 g(x)=-3-,,x x 2则在(Y O,0)U(0,+8)匕/(此与 g(x)有相同零点,故正确,3在(F,0)U(0,+8)上,(%)=eA+0,X g(x)在(9,0)上单调递增,在(0,+8)上也单调递增,而 g=6一 0,存在不(1,2),使 以西)=0,乂 g(7)=-0,存在的 (一 7,6),使 g(%)=0,e 14 eg(x)在(fO,0)U(0,+8)上只有两个零点再、,也即/(X)在 R上只有两个零点到X、x2,且 而+出 =1 +(-7)=-6,故错误、正确,正确的命题有3 个,故选C。二、填空题:本题共4

8、 小题,每小题5 分,共 20分。13.已知向量a=(3,2),=(1,x),且 a 人与 2a+力 平行,那么x=。2【答案】-3【解析】:。一人二(2,2 幻、2。+入=(7,4+不),且一人与2。+/?平行,,2/.2 x(-4+x)=(-2-x)x 7,解得 x=o314.曲线y=3x+s】n x在(。,处的切线方程为_ _ _ _ _ ex【答案】4 x-y =0.,3x+sinx,3-3x-sinx+cosx 解析由y=-求导可得y =-,e e故在(0,0)处切线斜率为力后0=4,,切线方程为y=4 x。15.已知抛物线C:x2=4y,A(0,3),若抛物线C 上存在点尸(%,%

9、)(5*0),使得过点P 的切线/J_ PA,设/与y 轴交于点E,则 A4PE的面积为。【答案】【解析】由=4 y可得y=,y =g x,.,.直线/的斜率左=)=而=3/,又直线AP的斜率为四二切线U P 4,拉 口=-1,又 芯=4%,瓦2 x0解得入 0=2,y0=1 不妨设P(2,l),则直线/的方程为y-l=x-2,E|J y=x-,E(0,-l),则 A4PE的面积 为,x4x2=4。216.已知数列 a“满足q=4,a,l+l+an=2n+3,neN+,则 为=,2()20(。1%-。2%+%4一%+一。2 0 2 0 ,W021)=。(本题第一空2 分,第二空3 分)【答案】

10、2019,-1010【角 牛 析】a+=2鹿 +3,a+2+a”+i=2tl+5,。+2 =2,M.%+4=5,乜 a?=1,,%的奇数项 4 为首项为4、公差为2 的等差数列,设 2一 1 =%(ZwN+),则a=4+2乂(攵-1)=2k+2,an的偶数项 q 为首项为1、公差为2 的等差数列,设 2n=k(k s N+),贝 ijq =1+2x(4-1)=2%1 ,。2 0 2 0 =1010=2x1010-1=2019;,2 0 2 0,W-。2,%.。4 -。4 .%1 6 r2 0 2 0,“2 0 2 1)二2 02。(一%)+。4 (。3 。5)h。2 0 2 0 ,(的0 1

11、9 七0 2 1)1=-(-2)x(%+&+,+)=-x2020 10101010 x(1+2019)2=-1010o三、解 答 题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12 分)在AABC中a、b、c分别为角A、B、C所对的边,已知2 _ =!。2a-c 2cosC(1)求角5的大小;(2)若。=1、b=#i,求 A48C 的面积。【解析】(1)在A4BC中,A+8+C n ,2 _=L,.由正弦定理得:一网&一=,2a-c 2cosC 2sinA-sinC 2cosC2sin8 cosc=2sin/4-sinC,即 2sinB-cosC=2sin(B+

12、C)-sinC=2sinB-cosC+2cos B-sinC-sinC,化简得 2cos8 sinC=sinC,1 兀又sinC。,cosB=B=;2 3 在A48C中,由余弦定理得:b=a2+c2-2ac-cos B,即7=1 +/-c,、2-0-6 =0,解得c=3(可取)或c=-2(舍),c _ 1 ,7 n _ 3 6,*AABC-5 c.sin B o2分4分6分8分10分12分18.(12 分)某商场为了了解顾客的购物信息,随机在商场收集了 100位顾客购物的相关数据如下表:一次购物款(单位:元)0,50)50,100)100,150)150,200)200,+0 0)顾客人数20

13、a3020b统计结果显示100位顾客中一次购物款不低于150元的顾客占30%,该商场每日大约有4000名顾客,为了增加商场销售额度,对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品。(1)试确定a、的值,并估计每日应准备纪念品的数量;(2)现有4人前去该商场购物,用频率估计概率,求获得纪念品的数量自的分布列与数学期望。【解析】(1)由已知,100位顾客中购物款不低于150元的顾有:&+20=100 x30%=3 0,解得人=1 0,则 a=l(X)-(20+30+20+10)=20,2分该商场每日应准备纪念品的数量约为4 0 0 0 x约1 0 0(2)由(1)可知1人购物获得纪念品的频率即为概率p=

14、故4人购物获得纪念品的数量自 服从二项分配看=2 4 0 0;4分6 0 _ 3wo?5分5(4,|),6分则尸 =0)=心,(当.)4=上5 5 6 2 5P(&=1)=煤中.令嚷,2 =2)=量.(3 2.(令2=我5 5 6 2 5P(=3)=C:-(|)3-(|)I=|1|3 3 OZJ尸 =4)=仁.(少 右。=袅,5 5 6 2 5则&的分布列为:1 0分101234p1 66 2 59 66 2 52 1 66 2 52 1 66 2 58 16 2 53 1 2自 的数学期望为E(?=4 x(=1 2分1 9.(1 2 分)T T如图所示,在三棱柱A B C A M G中,四边

15、形A8 B|A|为菱形,ZAAiBi=-,平面4 3 4 A 平面AB C ,AB=BC,A C =y2AAi=242,E 为 AC 的中点。(1)求证:B J平面 ABBlAl;(2)求平面EB|G与平面B B|GC所成角的大小。【解析】(1):四边形 为菱形,A B =BC,A C =y2AAi=2yf2,1分A C2=A B1+B C2,:.A B L B C,2分乂平面A344 1.平面AB C,平面A344D平面A BC=AB,BC _L 平面 A5 3 14,又B|G BC,:.31G 1 平面 ABBiA:3分4分 取A耳的中点。,AG的中点N,连接O A、O N ,:BG JL

16、 平面 A B B ,:.O N 平面 A3片 A,;.ON _L 0 4、O N V O A,乂四边形AB g A是菱形,N AAB|=g,。是4耳的中点,.O 4 _LA4 ,故0 4、O N、0 A两两互相垂直,6分以。为坐标原点,0 4、O N、0 A所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,.%1,0,0)、C,(-1,2,0),耳(一 1,1,石)、fi(-2,0,V 3),7 分由图可知,平面E B 的一个法向量为云=(1,0,0),8分设平面BBC。的法向量为7=(x,y,z),则:空 二 ,即n-BB=0取z=l,得平面BB|G C的一个法向量为G=(、Q

17、,O,1),10分设平面E B 与平面3月G C所成角的平面角为。,n -tn n 1 x7 3+0 x0 +0 x1 右 7.贝ij cos 0=|cos|=1=-=11 分tn-n 1x2 22y=0-x +V iz=0又:。(0,乌 ,.0=3,.平面Eg G与平画3 B|G C所成角为四。12分2 6 62 0.(12 分)已知函数/。)=五,g(x)=/n九,a w R。(1)设函数或x)=f(x)-g(%),当加 存在最小值时,求其最小值(p(a)的解析式;(2)对(1)中的晒a)和任意的。0、6 0,证明:(/(巴 史)史 竺 曳 型4 0(22)。2 2 a+b1r-?【解析】

18、(1)例 =五一h(x)的定义域为(0,+8),hf(x)=-,1分2V x x 2x当。0时,令人(=0,解得X=4 2,,当 0 x v4a2 时,li(x)4/时,hr(x)0,(幻在(4/,+ao)上递增,x=4 2是(X)在(0,+8)上的唯一极值点,从而也是(X)的最小值点,/.最小值(p(a)=/?(t z2)=2 c z 6 Z -l n 4 t z2=2 a(1-l n 2 a),4分当Q KO时,(x)0 恒成立,%(x)在(0,+8)上递增,无最小值,故6(x)的最小值(p(a)的解析式为(p(a)=2 a(l-l n 2 a)(。0);6分由知(p (a)=-2 1n

19、2 a,对任意的。0、b 0,(p (4)+(p S)2 1n 2 a +2 1n 2 Z?,.,父 6-=-n4ab,Q);8 分2-2=-2 1n(2 x =-l n(t z +b)2 -2 1 n-=-2n2yfah=-n4ab,10 分a+h a+h lyjab故由得 p,(巴W)幽逊4 0)的焦点为尸,过点尸的动直线/与。的交点为A、Bo当/的斜率为1时,O A O B =-3o求抛物线C的方程;若 E(0,l),r a =X F(l k 4),求 而 瓦 的取值范围。【解析】抛物线。的焦点 呜,0),直线/的方程为丁=1-勺 1 分联立直线/与抛物线C的方程”=一3 得:x2-3

20、p x +=0,2分y2=2px 4设 A(X 1,%)、8(工 2,丁 2),则“1 +=3 p,九 ,x?=:,则 y ,%=-J2 P 再.2=-p2,3 分/O A-O B =-3 ,,再%2 +必,%=-3 ,B P -p2=-3 ,解得 p =2,抛物线C的方程为丁=4 x ;4分(2)由(1)知,焦点/(1,0),由月5 二 九 AF得:x2-l =X(l-X j),为=一 肛,由力=一 如 得 父=乃,又 了;=4 百、y;=4%2,故2=入 2 不,代入 2 1 =九。一为)得玉=,即“(,6分当A(:,1)时,点 3(人,一 23),此 时 而怎=(0,1),A B OE

21、=-2A.+2,记-生2A.+萨 2,则 f)=;1 (V1-l),当IV 为4 4 时,/(入)4 0,故/(九)在 1,4 上单调递减,A B O E的取值范围是-5,-4 ,9 分当A(;,专)时,点伙入,2 6),此时 Q =(片 土 与”),怎=(0,1),2 尢 +2.AB O E =-=,同理,当14人4 4 时,A R O E 在 1,4 上单调递增,A B O E的取值范围是 4,5,综上,荏 丽 的取值范围是 5,4 U 4,5。11分12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分。22.选修4-4:坐标系与参数方

22、程(10分)在直角坐标系xOy中,直线/的参数方程为 =+s s*(/为参数,牛田。,兀)。以坐标原点为极点,xy=yQ+z-sin(p轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为P=8cos(1-。(1)化圆C 的极坐标方程为直角坐标标准方程;I P M I IP NI设点PCX。,为),圆心。(2两,2%),若直线/与圆C 交手M、N 两点,求+1的最大值。|P N|P M|【解析】(1)圆。的极坐标方程为p=8 c o s q-e)=4cos。+4sine,p2=4pcos9+4V3psin0,2 分/p2=x2+,x=p-cos0,y=psin。,/.x2+y2-4 x-4 V

23、 3 y =0,.圆C的直角坐标标准方程为(x-2)2+(y 2 6)2=1 6;4 分l f2xn=2 fxn=1(2)由(1)知圆C 的圆心的直角坐标为(2,2 6),则 l,l,2yo=2j3 1%=J3x=l+/-cos(p,直线/的参数方程为 厂(/为参数,(p e 0,2),6 分y=A/3+/-sin(p将直线/的参数方程代入(工一2)2+(丁一2退)2=16得:/一(2百 sin(p+2cos(p 12=0,设点 A/、N 对应的参数方程为 4、t2,则 4+2 =2 g s in(p+2 8 S(p,-t2=-1 2,8 分PM +PN _=|加+回|2 =川 2+&|2 =

24、伍+幻 2 一2 八1 2T PN 两广 I PM I I P N I 一 片|山2 1 -t-ti=(2-7 3 si n p +2 c o s(p)2+2=4 si n(p +)2+2 ,1 2 1 2 6.当(P =二时,也1 +11取得最大值为 竺。1 0 分3 I W I PM 32 3.选修 4-5:不等式选讲(1 0 分)已知函数/(戈)=x+a+x-2a0(1)若 4 =1,解不等式/(X)z 0的实数y、z,若总存在实数x,使/(x)=),+?一,求实数a的取值范围。(y-z)-zy-_ 1 (_ 1 2【解析】(1)当。=1,/(x)=|x+l|+|x-2|5,即 或一 一 一 或 4 ,2 分1 -2%5 3 5 2 x-l 5解 得-2 v x v-l 或-或 2 Vx 3,3 分-2 x 3 ,即不等式/(%)5 的解集为x|-2 x z 0,由基本不等式得:y+-二一=(y-z)+-二一 +z 3 x3 (y-z)x-一二一 xz=3 .7 分(y-z)-z(y-z)-z v(y-z)-z当且仅当y=2、z=l 时等号成立,y+5 的取值范围为 3,+o o),8分(y-z)-z:/(x)=|x+a|+|x-2。以3 a|,二 /(x)的值域为|3 a|,+8),.,.|3|3,即实数a的取值范围为-1,1 。1 0 分

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