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1、2021年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选 择 题(共 12小题).1.已知集合 A=x|l 0),则 A C lB=()A.(1,3)B.(1,6)C.(-1,3)D.02.若4=2-券,（x,y&R,i 为虚数单位）1+1贝！以+训=（）A.依 B.5C.2娓D.20 x-y O3.已知x,y 满足约束条件 x B%则 z=2 r-y 的最小值为（）x lA.-2 B.-1 C.0 D.14.新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了能（yue）,合、升、斗、斛这五个容量单位.每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积.根据铭文不但可以直接
2、测得各个容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度.现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547,3.1992,3.1498,3.2031,比径一周三的古率已有所进步，则这4 个数据的平均数与极差分别为（）A.3.1767,0.0615 B.3.1767,0.0533C.3.1745,0.0484 D.3.1547,0.05335.已知0 0 的圆心是坐标原点。，且被直线2x-y+5=0截得的弦长为4,则。的方程为（）A./+)2=4B./+产=9C.x2+y2=8D,x2+y2=6在ABC中，内角A,B,C 的对边分别为a
3、,b,c,a+c=2b,且 sinM+sin2-siiVlsinB,则 co sB=()A.尤B.C.D.1 421 42已知数列 a“的前项和为S”若 小=2,S =S-l+3a-|(1,neN*),贝 lj S4=A.80B.86C.240D.243.K已知(x6(-，兀、，兀、-),COS(X)1TT，则 sin(2oH)=()22 65 3A.逅B.旭C.D.5525259.已知直线h 过抛物线C：炉=4 x 的焦点F,且与抛物线C 在第一象限的交点为4,点 B在抛物线C的准线/2上，且A B L/2.若点A到直线B F的距离是2 y，则直线/,的斜率是A.MB.返c.1 0.已知函数
4、f (x)=A s i n(3 x+0,3 0,|q)|0,且#1）在 区 间（0,1 0）上有5个不同的实数根，则实数。的取值范围为（）1 2.在直角梯形 4 2C。中，A B/CD,A BA D,A B=2,AD=M，Z C A B=,点 F 是3线段A B上的一点，M为直线B C上的动点，若 前=2无，屈=入 屈，且 标 而=则 而 而 勺 最 大 值 为（）A.B.C.-1 1 D.4 64 64二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3.（2 x）5的展开式中x与 的 系 数 之 比 为.1 4 .大西洋鲤鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究雄鱼的科学家发现鲤鱼的
5、游速可以表示为函数v=/l o g3M，单位是 加，其 中O表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是2 7 00个单位时,它的游速是 mis.1 5 .己知圆锥的体积为2返7 T,其底面半径和母线长的比为1:3,则该圆锥内半径最大的球的表面积为2 21 6.已知双曲线/三=1 (。0,万0)的左、右焦点分别为为、尸2,M是双曲线一条a b渐近线上位于第二象限的一点，M F】而J=o(。为坐标原点)，若线段 V交双曲线于点P,且|尸危|+产人|=3小 则 双 曲 线 的 离 心 率 为.三、解答题：共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.第 1 7-2 1 题为必考题，每个试
6、题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共 60分.1 7.已知公差d W O的等差数列 斯 的前项和为S”，且 公=5,m,四，m3成等比数列.(1)求数列 小 的通项公式；1o(2)求证数歹八三一 的前项和7；丹.bn 41 8 .如图所示的几何体中，A B E,/BCE,O C E都是等腰直角三角形，AB=AE=DE=DC,K BEDC,CE1AB.(1)求证：B E,平面。C E；(2)若下为线段B C的中点，求二面角F-A。-E的余弦值.1 9 .甲、乙、丙三人，为了研究某地区高中男生的体重y (单位：依)与身高x(单位：c?)是否存在较好的线性关系
7、，他们随机调查了 6位高中男生身高和体重的数据，得到如下表格：身高/C T O体重/依根据表中数据计算得到y关于X的线性回归方程对应的直线的斜率为0.89.(1)求y关于x的线性回归方程=：+；y b a(2)从该地区大量高中男生中随机抽出1 0位男生，他们身高单位：。修)的数据绘制成如图的茎叶图.估计体重超过6 0初 的频率p,视频率为概率，从该地区大量高中男生中随机选出2人，记这2人中体重超过6 0必的人数为X,求X的分布列及其数学期望(用(1)中的回归方程估测这1 0位男生的体重).16 2 3 3J7 3 4 6 618 I 2 42 2 J-2 0 .已知椭圆E：(/0)的离心率为义
8、包，且 过 点(百，1)2 ,2 Q v 0a b(1)求椭圆E的标准方程；(2)过椭圆E右焦点的直线小/2互相垂直，且分别交椭圆E于A,8和C,。四点，求I A8I+I C。的最小值.2 1 .设函数/(x)=N -。(尤+a/n x)(a#0).(1)讨论/(x)的单调性；(2)当”0时，若/(x)的最小值为0,证明：+二整/(+1)(n G N*).1 2 n(二)选考题：共 10分.请考生在第22、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程2 2 .在直角坐标系宜力中，直线G的参数方程为 x=t+l仆为参数).以坐标原点为极点,y=t+5x轴
9、的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为p2=-2+c o s 2 6(1)求直线C l的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点到直线C i距离的最大值.选修4-5：不等式选讲2 3 .已知函数=x-l|+2 l r+l|.(I )求不等式/(x)W5的解集；(I I)若不等式/(x)机的解集为R,求机的取值范围.参考答案一、选 择 题（共12小题）.1.己知集合 4=m 0 ,则 A C B=()A.(1,3)B.(1,6)C.(-1,3)D.0解：集合A=却x0)=X|JC6,：.AQ B=0.故选：D.2.-2 -yi(x,yeR,i 为虚数单位)，则
10、|x+y4=()1+1A.7 5 B.5 C.2 7 5 D.20解：(x，y C R,，为虚数单位)，1+1.x=(1+i)(2-yi)=2+y+(2-y)i,x=2+y,2-y=0,解得 y=2,x=4.则 MWI=7 22+42=2灰，故选：C.x-y O3.已知x,y 满足约束条件 5=0 截得的弦长为4,设 的 方 程为炉+产=户，一 ,|2 X 0-0+5|L则弦心距为d=也2 2=依，(V 5)2+(2)2=凡 解 得 产=9,可得圆的标准方程为/+产=9,故选：B.6 .在 A BC 中，内角 A,B,。的对边分别为，b,c,a+c=2b9 且 s i n 2 A+s i n
11、2 3 -s i n 2 C=-s i n T l s i n B,则 c o s B=()解：因 为 s i n2A+s i n2B-s i n2C=-s i n A s i n B,所 以 t z2+/?2-c2=-a b,所以(-c)(+c)+a h=-h2f因 为 a+c=2 b,所 以 2 b (a -c)+a b=-b2f即 b(3 a -2 c)-b1,因 为bW O,所 以 3a-2 c=-b,即 b=2 c -3a,%_ 7 549a2 25a29 91114故 选：c.7.已 知 数 列“的 前 项 和 为 S，若 防=2,S n=S n-+3 a n-(1,n N*),则
12、 S 4=(A.8 0B.8 6C.2 4 0解：i=2,S =S .1+3如一 i,当 n=2 时，S 2=S i+3 i=4 a i=8,：.(12=S2-S i=8 -2=6,Sn-1 3。-1，Cln=3(In-1，.数 列斯是以2为 首 项，以3为 公 比 的 等 比 数 歹U,.5 4=2.杷 a)一=8 0.故 选：A.7 B.噜 C.M 一誓TT IT解：因为(,-),2 2r r r l兀 兀 2兀、6 3 3又 c o s (a+三-)=0,a)0,的图象如图所示，且f (x)的图象关于点(x o，0)对称，则|x o|的最小值为()解：函数/(x)=A s i n (o
13、u+(p)(A 0,a)0,|(p|0,且)在 区 间(0,1 0)上有5个不同的实数根，则实数的取值范围为()A.C.(0,U 8,1 0)(0,)U (6,1 0 8B.(0,y U 6,1 0)D.(0,y)U (6,1 0 解：函数/(X)是定义在R 上的偶函数,：.x&-2,0 时，f(x)=N-3,：f(x+4)=/(x),即函数/(x)的周期为4,/(x)的图像与函数y=l o g”的图像，情况当”1时，根据在区间(0,1 0)上有5个不同的实数根,即有5个不同交点,则y=l o g d的图像高于点(1 0,1),低 于 点(6,1)可得 6 V a W1 0,当O V a V
14、l时，则y=l o g d的图像高于点(8,-3),可得a y,综上可得O a g或6 中，NBHCD,ABLAD,AB=2,愿，Z C A B=,点尸是3线段48 上的一点，M 为直线BC上的动点，若 前=2 不，屈=入 瓦，且 标 而=一年，则 而 而 i的最大值为（）A.B.C.-1 1 D.4 6 4 6 4解：直角梯形 AB C。中，AB/CD,AB1AD,则以A 点为原点A 8 为 x轴，A O为 y 轴建立如图所示的直角坐标系,JT因为 AB=2,AD=y,N C A8=-,所以 A（0,0）,B （2,0）,C （1,愿），D（0,煦），因为皮=2 无，设 石（加，），则（-1
15、，）=2 （tn-1,n-）,所以?=，=2 返，所以E（，鼻 返），2 2 2 2因为三=入标，所以产（2 人，0）,所以屈=鼻；-）,DF=（2 入，-），所以AE，DF=、-导=7,解得入=5.所以F（!，0）,2 4 4 2因为M 为直线BC上的动点，设面i=x 前，则 而=而-B D=B C -BD=（7+2,M F=B F -B M=B F-B C=0,b 0)的左、右焦点分别为R、F i,M 是双曲线一条渐近线上位于第二象限的一点，M FI.M=O(。为坐标原点)，若线段M B 交双曲线于点 P,且|PB|+|PB|=3，则双曲线的离心率为_ 料_.解：由已知可得点M 所在的渐近
16、线方程为：y=-x,a又M F|OM=0,则所以点八(-c,0)到渐近线y=-的距离为：1a,所以在直角三角形OMFi中，CO S/M F 1 0=，IM FII b因为IPF2I+IP尸 i|=3 a,且|尸 尸 2卜|PFi|=2a,所以|PF|普，|PF|则在三角形P F iB 中，由余弦定理可得:|P F/2+|F F 2|2-|P F 2|2 即也 停,+姓 2-爵-2*|恒 士|、丁 2 XAX 2 c 化简可得：a2+ab-2 i2=0,解得或-2 6 （舍去），所以ab,则双曲线的离心率为e=故答案为：三、解答题：共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1 7
17、-2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题:共 60分.1 7.已知公差W0的等差数列 的前项和为S”且 4 2 =5,4 1,:.(5+2 J)2=(5-d)(5+1 I d),化为/-2 d=0,dWO,解得d=2,.斯=5+2 (-2)=2+1.证明：(2)S,=n(3+j n+l)=(+2),1 ,Sn n(n+2)2 n n+2,TnT=1(-1-k1-.-1-L1-.-1-L-F,H-)=(1 4-1-l-.)_-3-12 3 2 4 3 5 n n+2 2 2 n+1 n+2 4 2 J 衣，&)，E(-五,0,0),所以
18、7X=(0,-，V2),FD=(V2 o&)，设平面FAO的一个法向量为1=(x,y,z)，1ml J nFA=0 nt1f V2y4V2z=0则有 一 一，即 t-，n-FD=0 1-V2x+V2z=0令 x=l,则 y=l,z=l,故W=(l,1,1)同理可求出平面EAO的法向量为h=(1,1,-1),所以|c o s u =1|n|m|V3Xc2 1 5J oP(X=2)=-=,2 1 5U1 O则X的分布列为:X012P7711515157 7：.E(X)=0 X-!-I-1X-4-2X1 5 1 5_1 _=3 _1 5 5 2 2 r-2 0.已知椭圆E：（。人 0）的离心率 为
19、乂 且 过 点（花，1）2 ,2 Q v ja b（1）求椭圆E的标准方程;（2）过椭圆E右焦点的直线h人互相垂直，且分别交椭圆E于A,B和C,。四点,求|A 8|+|C O|的最小值.解：（1）由已知可得：c _娓7，解得。=遍，b=&,c=2,a2 b22八2上2a=b+c2 2所以椭圆的标准方程为江上=1；6 2（2）由（1）知椭圆的右焦点坐标为（2,0）,设A （,y i）,B（及，yi）,C（心,y 3）,D（X4,y 4）,当直线/i的斜率为0时，|A B|=2 a=2近，直 线 小x=2,此时|。|=35,所以|A制+|C 0|=2逅；3当直线/I的斜率存在且不为0,直 线 人的
20、方程可设为x=，即+2 （,W 0）,则直线/2的方程为：X-y+2 mx=in y+2联立方程J /v2 ，消去无整理可得：（3+祥）卢4冲-2=0,A J 0 恒成立，则当+了？=-2 9 yly2=-293+m 3+m所以 H B I 二 A/W(y1+y2)2-4yiy2 二 五 二 1 出脸犬2 V(l+m2)3+m22遍1+(-工)之 同理可得|C|=-#一2爬(1+舟l+3 m2则|A 8|+|C|=2 加(上 彳+吟)”,3+m l+3 m/3 m4+1 0 m2+3nrz 2 8&=_V 6 _令 l+,*2=i,贝 ij|A B|+|C|=一=-4 4 ,2 i、24，3
21、t 2+4 5 4 ”7+3 -(7-I)+4当 f l 时，-(2-1)2+4 G (3,4,则|A B|+|C)I C 2代，过 工)，t 3所以|A 剧+|C|的最小值为2瓜.2 1.设函数f(x)=x2-a(无+a阮1)(W 0).(1)讨论/(x)的单调性；2 3 n+1(2)当 0 时，若/(x)的最小值为 0,证明：+-+-2ln(n+1)(E N*).1 2 n【解答】(1)解：函数/(x)=x2-a(x+alnx)的定义域为(0,+),2 a af(%)=2 x-a-*(x+)(x-a),当VO时，当xw (0,一!)时，f(x)0,/(x)在(4，Q)上单调递增；当 0时，
22、当x W (0,a)时，f(x)0,f(x)在(a,+8)上单调递增;故当。V0时，/(x)在(0,|)上单调递减，在(一Q)上单调递增;当。0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(，+)上单调递增；(2)证明：由(1)知，f(x)的最小值为/()=-足防 =o,解得。=1,于是当 x 0 且 时，f(x)=x (x -1)-lnxf(1)=0,2 3 n+1下面用数学归纳法证明-y+y+-2/(n+1)(nG N*),1 2 n2当=1 时，一(1+1)e22,r不等式成立;假设（在N*）时，不等式成立,2 3即一+,k+l-2ln(H l),k+2+(k+l 产M-2 3 k+l k+2
23、/、当=女+1 时，T+7-+-5ln(Z+1)r 2J k (k+l)2k+2 k+2 k+2=ln(攵+2)-/点 4-7=/?(左+2)+(-7(-2)-(R I)k+l(k+l 产(k+l 尸)-In-)k+l I n(女+2)+(_K吆_)2-史2-加k+2 _)(攵+2),不等式成立.k+l k+l k+l2由得一+r3n+1-y+2-/n(n+1)(WN*).2 n（二）选考题：共 10分.请考生在第22、2 3 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.选 修 44：坐标系与参数方程2 2.在直角坐标系M下 中，直线C i的参数方程为 x=t+l（/为参数）.以坐标原点
24、为极点,y=t+5x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p2=-2+cos2 6（1）求直线C l的普通方程和曲线C2的直角坐标方程：（2）求曲线C2上的动点到直线Ci距离的最大值.解：（1）直线G 的参数方程为（x=t+l c 为参数），转换为普通方程为x-），+4=0.y=t+5曲线C2的极坐标方程为p2=）+：,彳，根据卜=P c s：,转换为直角坐标方程为2 d l=1；y=P s in 6 x 32（2）设曲线乂24x 31 上 的 点（cosO,J 务in。），兀利用点到直线的距离得“J c o s B-哗sin+4|=12 co s（9 守）+41,近-7 2-
25、当 cos（。+专）=1 时，dm a x=-=3V 2-选修4-5：不等式选讲2 3.已知函数/（x）=|x-l|+2|x+l|.（I）求不等式/（x）l解：(I)由已知得f(x)=x+3,-1 X 1-3 x-l,x lI：/二 A /4=1 X告3x+l5 X(E 3r-ixi r-Kxi.1x1；lx+35 lx 2 卜 T =*4 71-3xT 5 1 x)-2(x|l x U x 1 U x|-2 x-l=(x-2 4xo不等式f(x)W5的解集为x|-2 x l设 g(x)=f(x)-X,贝 lg(x)=l 时，g(x)=2x+l 3；当-时，g(x)=3；当 xV-1 时，g(x)=-4x-13.g(X)m in =3.*/-mWg(x)恒成立=-mWg(x)而，由-m 3,得m2-3.加的取值范围是-3,+8).