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1、2021年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）（3 月份）一、选 择 题（共 12小题）.1.已知集合 A=x l r V 3,B=x3x6,则 A G 8=()A.(1,3)B.(1,6)C.(-1,3)D.02.已知复数z 满 足(3+i)z=l -3/(z 为虚数单位)，则 z=()A.i B.-i C.1+ix-y C o3.己知x,y 满足约束条件 0,o)0,|(p|0i i .已 知函数/a)=4 /、),则不等式/(2 x-1)v/a-2)的解集为()lg(l-x),x 中，A B/C D,A B A Df A B=2f AD=M，Z C A B=,点 F 是3线段A 5 上的
2、一点，若 前=2 而，屈=入 标，且 标 而=丹，则入=()1112A.B.C.D.4 3 2 3二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.曲线)，=2c o s x+s i n x 在 点(0,2)处 的 切 线 方 程 为.14.大西洋鱼生鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲜鱼的科学家发现鲤鱼的游速可以表示为函数丫;告兀名二号，单位是机/s,其 中O表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼2 3100的耗氧量是2 7 00个单位时,它的游速是 mis.1 5 .已知圆锥的体积为2 返 n,其底面半径和母线长的比为1：3,则该圆锥内半径最大的3球 的 表 面 积 为.2 21
3、6.过双曲线C：3万 二 亍=1 (a 0,6 0)的右焦点P作 C的一条渐近线的垂线，垂足a bz为 A,交另一条渐近线于点B.若 而=X AF-3W入 W4,则C的离心率的取值范围为.三、解答题：共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1 7-2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共 60分.1 7 .已知公差d WO的等差数列%的前项和为邪,且 4 2 =5,!，04,S 3 成等比数列.(1)求数列 a“的通项公式；(2)求证数歹!；的前项和7；b 0)的离心率为夸，其左、右 焦 点 为 尸 尸 2，过点入
4、 的直线/与椭圆E交于M、N 两点、,代出的周长为4 加.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过椭圆E右焦点的直线/i，6互相垂直，且分别交椭圆E于A,8和C,O四点，求|A用+|8|的最小值.2 1.设函数,f(x)(x+a/x)(a 0),f(x)是函数/(x)的导函数.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(I)+f(1)=0,证明：+二二(n+1)(/e N*).1 2 n(二)选考题：共 10分.请考生在第22、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程|2 2 .在直角坐标系x O)，中，直线Ci的参数方程为(X+1 G为参数).以坐标原点为
5、极点,l y=t+5X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p2-_2+co s2 0(1)求直线Cl的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)求曲线C2上的动点到直线C,距离的最大值.选修4-5：不等式选讲2 3 .已知函数/(x)=|x-l|+2 1x+l|.(I )求不等式/(x)W5的解集；(I I)若不等式/(x)机的解集为R,求加的取值范围.参考答案一、选 择 题（共12小题）.1.已知集合 4=国1 3 ,B=x 3 x 6 ,则 AC B=()A.(1,3)B.(1,6)C.(-1,3)D.0解：因为集合 A =x l 2=/，|2X0-0+5|则弦心距为d=正/
6、=代,（V5）2+（2）2=/,解得/=%可得圆的标准方程为,+2=9,故选：B.6.已知 A8 C的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 满足/+?-J=%c,且 a=则（）s i n BA.2 B.3 C.4 D.2 M解：/XABC 的三边 a,b,c 满足/+?-J=b c,由于 Ae(0,I T),I T所以故 sinA=,2 _b 二 a 二如故sinB sinA-/32故选：A.7.已知递增等比数列 为 的前“项和为s”4 2 =2,$3 =7,则 S7=()A.6 4B.6 3C.1 2 7D.4 8解：设等比数列 斯 的公比为q,a】q=2 f a,=1由题设可得：,解得
7、：1或4a j(l+q+q)=7 q=2 数列 为 是递增数列,9=2:.Si=1-27=1 2 7,1-2故选：C.冗 18.已知(-，I T),K co s 2 a=-=Ls i n 2 a+l,则 c o s a=()2 2A.3 -B.-3 C.10 5 10解：因为 co s 2 a=-s i n 2 a+l,_ )o ,2 _ 9所以 co s-a -s i n-a=X 方i n a co s a+s i r T a+co s-a,可 得-2 s i n a=s i n a co s a,j r因为 a (-j T I),s i n a W O,2所以s i n a=-由于 co
8、s2a+s i n2a=1,可得上o s +co s%=1,可得co s a=越,4 57 T因为 a E(，I T),co s a 0,a)0,|(p|0,o)0,|(p|01 1.已知函数/、)，则不等式八级-1)V/(x-2)的解集为()lg(l-x),x0 时，-x 0,则/(-x)=lg(1+x)=/(x),当 x 0,贝i j f(-x)=lg(1 -x)=f(x),所以函数f(x)在R上是偶函数，所以不等式/(2 x -1)f(x-2)等价于 f(|2 x -1 1)f(|x -2|),因为f(x)在 0,+8)上单调递增，所以|2 x-l|x-2|,两边同时平方化简可得：-1%
9、1,即不等式/(2 x -1)=,Z C A B=,点尸是3线段A 8上的一点，若 前=2用，AF=入标，且 标，而=弋，则入=()1 I I 9A.B.C.D.4 3 2 3解：直角梯形 A B C。中，A B/C D,A B 1A D,则以A点为原点A B为x轴，A D为y轴建立如图所示的直角坐标系，因为 A B=2,A D=,ZC A B-,3所以 A (0,0),B (2,0),C(1,愿)，D(0,我)，因为正=2温，设E (w,n),贝I(-1 百)=2(m-1,n-我),所以?=5，=盟 ，所以E(，色 巨)，2 2 2 2因为正=X A B,所以尸(2入，0),所以瓶=，DF=
10、（2入，-，所以标而=人 y=-，解得A=-y.4故选：A.E二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3 .曲线y=2c o s x+s iiu在点（0,2）处的切线方程为x -y+2=0.解：.=2c o s x+s inx,.y =-2s inx+c o s x,曲线y=2c o s x+s inx 在 点（0,2）处的切线的斜率&=1,曲线 y=2c o f ix+s ir Lr 在 点（0,2）处的切线的方程 y=x+2,B P x -y+20.故答案为：x-y+2=0.1 4 .大西洋鞋鱼卷年都要逆流而上，游回产地产卵.研究能鱼的科学家发现鞋鱼的游速可以表示为函数v
11、=lo g ,单位是桃/s,其 中。表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼2&31 00的耗氧量是27 00个单位时，它 的 游 速 是-I mis.2-解：将。=27 00代入可得v ql og?冬 器N 。1 U U N 。N故答案为：盘21 5 .已知圆锥的体积为空%,其底面半径和母线长的比为1：3,则该圆锥内半径最大的3球 的 表 面 积 为2TT.解：设内切球的半径为r,则利用轴截面，根据等面积可得，X2XJ E 7=/X（3+3+2）r,.,.V22该圆锥内切球的表面积为4 nr2=4 n X=2TT,2故答案为：2n.1显2 21 6.过双曲线 C：（a 0,a2 b2为A,交另一条渐
12、近线于点B.若 而=2V1 0，解：不妨设点A在渐近线y=-2a9：AB.L0A,直线A B的方程为、=邑（x-c）,bby=Tx 2联立 a ，解得A （且 一,y=f（x-c）cy亭 2联立 ，解得B（一 产改）7F B=入而，。0）的右焦点尸作c的一条渐近线的垂线，垂足入市,3 W入 4,则C的离心率的取值范围为 醇二，则点8在渐近线），=与 上，aa b 、a b c2 2,2）,&a -ba b c 、a2 ab2 2)=入(c -,),岩胃即入=舟：3 W入W 4,.,.3 ,.逅a 2 5 _.c的离心率的取值范围为 返，2叵.2 5三、解答题：共 7()分.解答应写出文字说明、
13、证明过程或演算步 骤.第 1 7-2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共 60分.1 7.己知公差dWO的等差数列”“的前”项和为S,”且s=5,他，田3成等比数列.(1)求数列 为 的通项公式：(2)求证数列 白 的前项和bn4解:(1)Va 04、勾3成等比数列,C.a=aay,：.(5+2J)2=(5-J)(5+1 I d),化 为/-2d=0,d#0,解得d=2,/.an=5+2(n-2)=2+l.证明：(2)S-=n(3+,n+D=n(+2),.-1_ 1 _ 1 ,1 1)$n n(n+2)2 n n+2=工(/-工-
14、工)=1-12 3 2 4 3 5 n n+2 2 2 n+1 n+2 4 2(L J；(2)证明：平面ABC_L平面4DM；(3)求点加到平面A3。的距离.【解答】(I)解：取 AC的中点N,因为M,N 分别为BC,AC的中点，所以又 MNC平面AB。，ABu平面A B D,所以MN平面ABD；(2)证明：因为AO J_平面8 8,又 8C u平面B C Q,所以4OLBC,因为DC=DB,M 为 8 c 的中点，所以。ML8C,又 ADriDM=,AD,DMu平面 A)M,所以 BCJ_平面 AOM,又因为BCu平面A B C,所以平面A8 c l.平面ACM；(3)解：设点M 到平面A8
15、O的距离为d,由等体积法VM-ABD=VA-BDM t 0)的离心率为a2 b2 3其左、右焦点为F i，F2,过点代的直线/与椭圆E 交于M、N两点，的周长为4 代.（1）求椭圆E 的标准方程;（2）过椭圆E右 焦 点 的 直 线，2互相垂直，且分别交椭圆E于4,B和C,。四点,求|A B|+|C ）|的最小值.解：（1）由题意可知，M N&的周长为4、后，所以 4 a=4，,即由。=返，即=返，解得c=2,3 a 3所以 b2=a2-C2=4,2 2所以椭圆的方程为_+?_=1.6 2（2）由（1）知，椭圆的右焦 点 为（2,0）,设A （x i，y i）,B（X2，j2）C（由，j3）,
16、D（&，以），当 直 线 的 斜率为0时，|A B|=2 a=2加，直线b为：x=2,所以ic o|=2返，3_所以HB I+IC QI=2捉+当3=等，当直线八的斜率不存在时，直线/2的斜率为0,A B+C D=,当直线人的斜率存在且不为。时，直线&的方程可设为x=a），+2 （m#0）,则直线h的方程为x=-y+2,m2 2x y _所以 6 2 一匕整 理 得（3+加2）；=4碎y -2=0,x=my+2=1 6 m2+8（/+3）0 恒成立，所以忸8|=71+m2 回网=V 1+m2 d（丫1+丫2）2-4丫1丫2 =*产-4年mz+3 +3-2 7 6（1+m2）m+3联立直线/2与
17、椭圆的方程可得|CD|=2 6 ()2+1 m(二)2+3m2%(l+m2)3 m2+1则|AB|+|CD|=2加(吟1-芭+1-)=纯2+；)2,m+3 3 m+1 3 m4+1 0mJ+3+2 -1-令/+l=r,则 g(r)=-=_4_A+Q=/2.(?1)3 t2+4 t-4 +2 7 3 -1)+4当 始(1,+8)时，-(2-1)2=46(3,4,t则 g=_ 夺)2+4吟-所以|AB|+|C)|e2jE，逅)，3所以H8|+|CC|的最小值为2瓜2 1.设函数/(x)=f-a (x+alnx)(a0)，/(x)是函数/(x)的导函数.(1)讨论/(x)的单调性;2 3 n+1(2
18、)若/(I)4/(1)=0,证明：Y In(n+1)(G N*).1 2 n解：(1)/G)的定义域是(0,+8),f (x)=2 x-a-J li=(2x+a)(x-a),x X Z 0,.xe(0,a)时，(x)0,f (x)单调递增，即f (x)在(0,a)单调递减，在(a,+8)单调递增；(2)证明：由(1)可知/(I)=1-m /(1)=2-。-/,二 1 -a+2-a-“2=0,解得：4=1 或 4=-3 (舍)，.f(x)=x2-x-Inx,由(1)知：函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,：.f(x)为 =0,即f (x)，。即f-x N/n x 对任意
19、x 0 恒成立，当且仅当x=l时”=”成立，令 工=空 工 1,n则 卢 包)2-(吗 打(吗，n n n整理得：n J In(-n+)=In(/?+l)-Inn,n n2 3 n+1 z、/、:.-2+2+*+-2-(ln2-/?1)+(In3-ln2)+,+/?(H+1)-lnn=ln(H+1),1 2 n即原不等式成立.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选 修44：坐标系与参数方程f x=t+122.在直角坐标系xOy中，直线G的参数方程为 G为参数).以坐标原点为极点,y=t+5X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标
20、方程为P2-2+cos2 0(1)求直线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)求曲线C2上的动点到直线G距离的最大值.解：(1)直线Ci的参数方程为(x=t+l(为参数)y=t+5转换为普通方程为x-y+4=0.曲线C2的极坐标方程为0=-2+cos2 0根据 x=P cos：,转换为直角坐标方程为2上=y=P sin x 3(2)设 曲 线+三-二i上 的 点(cosO,/3in0),3兀利用点到直线的距离得dJ c o s 8-g i n +4|=12cos(后)+4&-忑-当 cos(e+-)=1 时,dm ax=-=3V2.选修4-5：不等式选讲23.已知函数f(x)=x-l|
21、+2|x+l|.(1)求不等式/(x)W5的解集；(I I)若不等式/(x)的解集为R,求小的取值范围.3x+l,x l解：(I)由已知得f(x)=x+3,-1 X 1-3x-l,x 1、3 x+l 4 5 1/4 =1 x4J；X T (B i1 x+3 4 5-3 x T 5r-ix i _1 x 1；l x-2,:x|U x 1 U x|-2 x T =(x -2 4 x.不等式f (x)W 5的解集为 x|-2 4 x告 .(II)不等式f (x)m解集为R o -m W/(x)-x 恒成立,2 x+l,xl设 g (x)=于(x)-x,则g(x)=3,T x l-4 x-l,x l 时，g(x)=2x4-1 3；当-IWx这 1 时，g(x)=3；当 xV-1 时，g(x)=-4 x-13.g(X)uiin-3.:-mWg(x)恒成立=-m g(x)m in由-m 3,得m2-3.m 的取值范围是-3,+8).