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1、内蒙古赤峰市2015届高考数学模拟试卷(理科）（12 月份）一、选择题:本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1（5 分）设集合A=x|1 x 2，x N，集合 B=2，3，则 AB=（)A1，2，3 B 0，1，2，3C2D 1,0，1，2,3 2（5 分）设复数z 满足 z?i=2015i,i 为虚数单位，则在复平面内，复数z 对应的点位于()A第一象限B 第二象限C第三象限D第四象限3（5 分）已知|=1,=（0,2），且?=1，则向量与夹角的大小为（）ABCD4(5 分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10 月 1 日 9
2、 时至 14 时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示已知 9 时至 10 时的销售额为3 万元,则 11 时至 12 时的销售额为(）A8 万元B 10 万元C12 万元D15 万5(5 分）已知x，y 满足约束条件,则 z=2x+4y 的最小值为（）A10 B 10 C6D 6 6(5 分)已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2 的正三角形,侧视图是有一直角边为2 的直角三角形,则该三棱锥的正视图面积为（）AB 2C4D7（5 分)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（)A3B 6 C10 D 15 8（5 分）设 a=log，b=log，c=(）0.3则（)Ac
3、ba B bac Cbca Dabc 9（5 分)已知点 A（0,2),抛物线 C1：y2=ax(a 0）的焦点为F,射线 FA 与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM：|MN=1：,则 a的值等于（）ABC1D4 10（5 分)已知 a、b、c 是三条不同的直线，命题“ab 且 ac?bc”是正确的，如果把a、b、c 中的两个或三个换成平面,在所得的命题中,真命题有（）A1 个B 2 个C3 个D4 个11（5 分)设函数 f（x）=Asin(x+），(A 0,0，）的图象关于直线x=对称，它的周期是 ，则（）Af（x）的图象过点（0,)Bf(x）的图象在上递减Cf（x）的最大
4、值为A Df(x）的一个对称中心是点（，0)12（5 分)对于函数f(x）,若?a，b,c R,f（a)，f(b），f(c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数 t 的取值范围是(）ABCD三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（12 分)设数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2，(1）求数列 an的通项公式；(2）设 Tn=log2a1+log2a2+log2an,求证：2（n N，n 2）18（12 分）如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，A1AB=45 ，四边形 B
5、CC1B1为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3（1）求证:AB1面 A1BC；(2）求二面角CAA1B 的余弦值19（12 分）某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为100 位顾客准备泡茶工具所需的时间(t），结果如下：类别铁观音龙井金骏眉大红袍顾客数(人）20 30 40 10 时间 t(分钟/人)2 3 4 6 注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率（1）求服务员恰好在第6 分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率;（2）用 X 表示至第4 分钟末已准备好了工具的顾客人数，求X 的分布列及数学期望20（12 分）已知
6、椭圆C:+=1（a b0)的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为BQ 为抛物线 y2=12x 的焦点，且?=0，2+=0(）求椭圆C 的标准方程；（）过定点 P（0,2）的直线l 与椭圆 C 交于 M，N 两点(M 在 P，N 之间），设直线l 的斜率为 k（k0）,在 x 轴上是否存在点A（m，0），使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形?若存在,求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由21（12 分)已知 f（x)=xlnx，g（x）=x+a（1)当 a=2 时，求函数y=g（x)在上的值域；（2）求函数f(x)在（t0）上的最小值；（3）证明：对一切x（0，+)，都有 xlnx 成
7、立四、请考生在第22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分。选修41：几何证明选讲22（10 分)如图所示，圆 O 的直径为BD，过圆上一点A 作圆 O 的切线 AE，过点 D 作 DEAE于点 E，延长 ED 与圆 O 交于点 C（1）证明：DA 平分 BDE；（2)若 AB=4，AE=2，求 CD 的长选修 44:坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为，(t 为参数），曲线 C1的方程为（4sin）=12，定点 A（6，0），点 P是曲线 C1上的动点，Q 为 AP 的中点(1）求点 Q 的轨
8、迹 C2的直角坐标方程;（2）直线 l 与直线 C2交于 A，B 两点，若 AB|2，求实数a的取值范围选修 4-5：不等式选讲24已知函数f(x）=x+a|+x2|（1）当 a=3 时,求不等式f(x）3 的解集；（2)若 f（x）x 4|的解集包含,求 a 的取值范围内蒙古赤峰市2015届高考数学模拟试卷(理科）（12月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题,每小题 5 分，共 60 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）设集合A=x 1 x 2,x N，集合 B=2,3 ,则 AB=（）A1，2，3B 0，1,2,3 C 2D 1,0,1，2，
9、3 考点：并集及其运算专题：计算题分析：把集合 A 的所有元素和集合B 的所有元素合并到一起，得到集合 AB由此根据集合 A=x 1 x 2,x N,集合 B=2，3，能求出AB解答:解：集合 A=x 1 x 2，x N=0，1，2,集合 B=2，3,AB=0，1,2,3 故选 B点评：本题考查集合的并集的定义及其运算,解题时要认真审题，仔细解答，注意并集中相同的元素只写一个2（5 分）设复数z 满足 z?i=2015i，i 为虚数单位，则在复平面内，复数z 对应的点位于（）A第一象限B 第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：数系的扩充和复数分析：化简复数为a+b
10、i 的形式，即可判断复数所在象限解答：解：复数z 满足 z?i=2015 i 所以 z=12015i复数对应点为：(1，2015）在第三象限故选：C点评：本题考查复数的基本运算，考查计算能力3(5 分）已知=1，=（0,2），且?=1,则向量与夹角的大小为(）ABCD考点:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题:平面向量及应用分析：利用向量的夹角公式即可得出解答:解：|=1，=(0，2），且?=1,=向量与夹角的大小为故选：C点评：本题考查了向量的夹角公式，属于基础题4（5 分)某商场在国庆黄金周的促销活动中,对 10 月 1 日 9 时至 14 时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示已
11、知9 时至 10 时的销售额为3 万元，则11 时至 12 时的销售额为（)A8 万元B 10 万元C12 万元D15 万考点：频率分布直方图专题：计算题；概率与统计分析:由频率分布直方图得0。4 0。1=4，也就是 11 时至 12 时的销售额为9 时至 10 时的销售额的 4 倍解答：解：由频率分布直方图得0.4 0。1=4 11 时至 12 时的销售额为3 4=12 故选 C 点评：本题考查频率分布直方图,关键是注意纵坐标表示频率比组距,属于基础题5(5 分）已知x，y 满足约束条件，则z=2x+4y 的最小值为(）A10 B 10 C6D 6 考点：简单线性规划专题：解题思想分析:根据
12、约束条件,作出平面区域，平移直线2x+4y=0,推出表达式取得最小值时的点的坐标,求出最小值解答：解:作出不等式组,所表示的平面区域作出直线2x+4y=0,对该直线进行平移，可以发现经过点C（3,3)时z 取得最小值 6;故选 D点评：本题主要考查线性规划中的最值问题,属于中档题，考查学生的作图能力，计算能力，在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为：由约束条件画出可行域?求出可行域各个角点的坐标?将坐标逐一代入目标函数?验证,求出最优解6（5 分）已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图,俯视图是边长为2 的正三角形，侧视图是有一直角边为2 的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为
13、（）AB 2C4D考点：简单空间图形的三视图专题：空间位置关系与距离分析：三棱锥的正视图如图所示，即可得出该三棱锥的正视图面积=解答：解:三棱锥的正视图如图所示,该三棱锥的正视图面积=2故选:B点评：本题考查了三视图的有关知识、三角形面积计算公式,属于基础题7(5 分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A3B 6 C10 D 15 考点:循环结构;选择结构专题：计算题分析:分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环判断i 是否为奇数求出S的值，并输出最后的S值解答：解：程序运行过程中,各变量的值如下表示:是否继续循环i S 循环前1 0 第一圈
14、是21 第二圈是3 3 第三圈是46 第四圈是5 10 第五圈否故最后输出的S 值为 10 故选 C点评：根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是从流程图中既要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据，选择恰当的数学模型解答8（5 分）设 a=log，b=log，c=（）0。3则(）Acba B bac Cbca Dabc 考点:对数值大小的比较专题:函数的性质及应用分析：利用对数函数和指数函数的性质求解解答：解：由 a=log=1,b=loglog=a，c=（)0。3，c=()0。3（）0=1，故 bac故选：B点评：本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要
15、认真审题,注意对数函数和指数函数性质的合理运用9(5 分）已知点A（0，2）,抛物线 C1：y2=ax（a 0)的焦点为 F，射线 FA 与抛物线C 相交于点 M，与其准线相交于点N,若 FM：MN=1:，则 a 的值等于(）ABC1D4 考点：抛物线的简单性质专题:圆锥曲线的定义、性质与方程分析:作出 M 在准线上的射影，根据KM：MN 确定 KN:KM 的值，进而列方程求得a解答：解：依题意F 点的坐标为（，0），设 M 在准线上的射影为K，由抛物线的定义知MF=|MK|，KM：|MN=1：，则 KN|：KM=2：1,kFN=，kFN=2=2，求得 a=4，故选 D点评:本题主要考查了抛物
16、线的简单性质抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决10（5 分）已知a、b、c 是三条不同的直线,命题“ab 且 ac?bc”是正确的，如果把a、b、c 中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有（）A1 个B 2 个C3 个D4 个考点：命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系专题：探究型分析:先求出把a、b、c 中的任意两个换成平面，得到的三个命题，然后根据线面平行的性质和面面垂直的判定定理进行判定即可最后再把a、b、c 中的三个都换成平面,得到的一个命题进行判断解答：解:（I）先求出把a、b、c 中的任意两个换成平面：若 a,b 换为平面，,则命
17、题化为“，且 c?c”，根据线面平行的性质可知此命题为真命题;若 a，c 换为平面，则命题化为“b,且?b”，b 可能与 相交或在平面 内，此命题为假命题;若 b,c 换为平面，则命题化为“a，且 a?”，根据面面垂直的判定定理可知此命题为真命题,即真命题有2 个；（II)把 a、b、c 中的三个都换成平面，得到的一个命题：“，且?，根据面面垂直的判定定理可知此命题为真命题，故选 C点评：本题主要考查了平面的基本性质及推论，以及线面平行的性质和面面垂直的判定定理等，属于中档题11（5 分）设函数f（x）=Asin(x+）,（A 0,0，）的图象关于直线x=对称，它的周期是,则（）Af(x）的图
18、象过点(0，)Bf（x)的图象在上递减Cf(x）的最大值为A Df（x)的一个对称中心是点（，0)考点:三角函数的最值；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性专题：计算题分析：由周期公式可先求,根据函数对称轴处取得函数最值,由函数的图象关于直线x=对称，可得sin（?+)=1，代入可得?=，根据三角函数的性质逐个检验选项解答:解：T=，=2图象关于直线x=对称,sin（+2）=1 即 2+=+k，k Z 又 ,=f（x）=Asin(2x+)再用检验法逐项验证故选 D 点评:本题考查了三角函数的性质：周期公式的应用;三角函数对称轴的性质，正弦函数在对称轴处取得最值12(5 分)对于函数f（x)，若?
19、a，b，c R，f(a),f（b），f（c)为某一三角形的三边长，则称f（x)为“可构造三角形函数”已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数 t 的取值范围是（)ABCD专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析:（）由已知 Q（3，0)，F1BQB，QF1|=4c=3+c,解得 c=1 在 RtF1BQ 中,|BF2=2c=2，所以 a=2，由此能求出椭圆C 的标准方程（)设 l：y=kx+2（k0），M（x1，y1），N（x2，y2）,取 MN 的中点为E（x0，y0）假设存在点 A(m，0），使得以AM，AN 为邻边的平行四边形为菱形,由，由此利用韦达定理结合已知条件能求出实数m 的取
20、值范围解答：解：（)由已知 Q（3，0），F1BQB，|QF1|=4c=3+c，所以 c=1 （1 分)在 RtF1BQ 中，F2为线段 F1Q 的中点，故|BF2|=2c=2，所以 a=2（2 分）于是椭圆 C 的标准方程为(4 分)（）设 l:y=kx+2(k 0）,M（x1,y1），N（x2，y2），取 MN 的中点为E(x0,y0）假设存在点A(m，0），使得以 AM，AN 为邻边的平行四边形为菱形，则AEMN，又 k 0，所以(6 分）因为，所以，(8 分)因为 AE MN，所以，即,整理得（10 分)因为时,，,所以（12 分)点评:本题考查椭圆C 的标准方程的求法,考查在 x 轴
21、上是否存在点A(m,0)，使得以AM，AN 为邻边的平行四边形为菱形的确定与实数m 的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用21(12 分)已知 f（x）=xlnx,g（x)=x+a(1）当 a=2 时，求函数y=g（x)在上的值域;（2)求函数 f（x）在（t0）上的最小值；（3)证明:对一切 x（0，+），都有 xlnx 成立考点：利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值专题：计算题分析:（1）当 a=2 时，由 g（x）=，x，利用二次函数的性质求出它的值域（2）利用函数f（x）的导数的符号，分类讨论f（x)单调性，从而求出f（x）的最小
22、值(3)令 h（x)=，通过h(x)=的符号研究h(x）的单调性，求出h（x）的最大值为h(1)=再由 f（x）=xlnx 在（0,+)上的最小值为,且 f（1）=0 大于 h（1），可得在（0，+)上恒有 f（x）h（x），即解答:解：(1）当 a=2 时，g（x）=，x，当 x=1 时，；当 x=3 时,故 g(x）值域为（2)f（x)=lnx+1，当，f（x）0,f（x)单调递减，当,f（x）0，f（x)单调递增 若，t 无解；若,即时,;若,即时，f(x）在上单调递增，f(x）min=f（t）=tlnt，所以f（x）min=(3)证明:令 h(x）=,h（x)=，当 0 x1 时,h（
23、x）0,h（x）是增函数当1x 时h(x)0，h(x）是减函数,故 h（x）在(0，+)上的最大值为h（1)=而由(2）可得，f（x）=xlnx 在(0,+）上的最小值为，且当 h（x）在（0,+)上的最大值为h(1）时,f（x）的值为ln1=0,故在（0,+）上恒有f（x)h(x),即 点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于中档题四、请考生在第22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分。选修41：几何证明选讲22（10 分）如图所示,圆 O 的直径为BD,过圆上一点A 作圆 O 的切线 AE，过点 D 作 DEAE于点 E
24、，延长 ED 与圆 O 交于点 C（1）证明:DA 平分 BDE;（2）若 AB=4，AE=2，求 CD 的长考点：相似三角形的判定专题:立体几何分析：(1）由于 AE 是 O 的切线,可得 DAE=ABD 由于 BD 是O 的直径,可得BAD=90 ，因此 ABD+ADB=90 ,ADE+DAE=90 ,即可得出 ADB=ADE （2）由（1）可得：ADE BDA，可得,BD=2AD 因此 ABD=30 利用 DE=AEtan30 切割线定理可得：AE2=DE?CE，即可解出解答：（1）证明:AE 是 O 的切线，DAE=ABD，BD 是 O 的直径,BAD=90 ，ABD+ADB=90 ，
25、又 ADE+DAE=90 ,ADB=ADE DA 平分 BDE（2）由（1）可得：ADE BDA,，化为 BD=2AD ABD=30 DAE=30 DE=AEtan30 =由切割线定理可得：AE2=DE?CE，解得 CD=点评:本题考查了弦切角定理、圆的性质、相似三角形的性质、直角三角形的边角公式、切割线定理,考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修 4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为，(t 为参数),曲线 C1的方程为（4sin）=12，定点 A（6，0),点 P 是曲线 C1上的动点,Q 为 AP 的中点（
26、1)求点 Q 的轨迹 C2的直角坐标方程；(2)直线 l 与直线 C2交于 A，B 两点，若|AB 2,求实数 a 的取值范围考点：简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程专题：坐标系和参数方程分析：(1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系,从而确定点 Q 的轨迹 C2的直角坐标方程;(2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系,确定取值范围解答：解：(1）根据题意，得曲线 C1的直角坐标方程为：x2+y24y=12，设点 P(x，y），Q（x,y）,根据中点坐标公式，得，代入 x2+y24y=12,得点 Q 的轨迹 C2的直角坐标方程为:（x 3）
27、2+（y1）2=4,（2)直线 l 的普通方程为：y=ax，根据题意，得,解得实数a的取值范围为：点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解选修 4-5：不等式选讲24已知函数f(x）=x+a|+x2|（1）当 a=3 时，求不等式f（x）3 的解集；（2)若 f(x)|x4|的解集包含，求a 的取值范围考点：绝对值不等式的解法;带绝对值的函数专题：计算题;压轴题分析：（1)不等式等价于,或，或,求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求（2）原命题等价于2x a 2x 在上恒成立，由此求得求a的取值范围解答：解：（1）当 a=3 时,f（x）3 即|x 3+|x2|3，即 ，或 ，或 解 可得 x 1，解 可得 x?，解 可得 x 4把、的解集取并集可得不等式的解集为x x 1 或 x 4（2）原命题即f(x)x4在上恒成立，等价于|x+a|+2x 4 x 在上恒成立,等价于|x+a 2,等价于 2 x+a 2，2x a 2x 在上恒成立故当1 x 2 时,2x 的最大值为21=3,2x 的最小值为0，故 a 的取值范围为点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题