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1、小升初必会 80 道应用题及其答案整理 工程问题 1甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要 20 小时，16 小时.丙水管单独开，排一池水要 10 小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5 小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？解：1/20 1/169/80 表示甲乙的工作效率 9/80545/80 表示 5 小时后进水量 1-45/8035/80 表示还要的进水量 35/80（9/80-1/10）35 表示还要 35 小时注满 答：5 小时后还要 35 小时就能将水池注满。2修一条水渠，单独修，甲队需要 20 天完成，乙队需要 30 天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他
2、们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划 16 天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？解：由题意得，甲的工效为 1/20，乙的工效为 1/30，甲乙的合作工效为 1/20*4/5 1/30*9/107/100，可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效。又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16 天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。设合作时间为 x 天，则甲独做时间为（16-x）天 1/20*（16-x）7/100*x1 x10 答：甲乙最短合作 10
3、天 3一件工作，甲、乙合做需 4 小时完成，乙、丙合做需 5 小时完成。现在先请甲、丙合做 2 小时后，余下的乙还需做 6 小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？解：由题意知，1/4 表示甲乙合作 1 小时的工作量，1/5 表示乙丙合作 1 小时的工作量 （1/4 1/5）29/10 表示甲做了 2 小时、乙做了 4 小时、丙做了 2 小时的工作量。根据“甲、丙合做 2 小时后，余下的乙还需做 6 小时完成”可知甲做 2 小时、乙做 6 小时、丙做 2 小时一共的工作量为 1。所以 19/101/10 表示乙做 6-4 2 小时的工作量。1/1021/20 表示乙的工作效率。11/2020
4、小时表示乙单独完成需要 20 小时。答：乙单独完成需要 20 小时。池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管小时后再打开排水管丙问水池注满还是要多少小时解表示甲乙的工作效率表示小时后进水量表示还要的进水量表示还要小时注满答小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题意得甲的工效为乙的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合作的尽可能少设合作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲丙合做小时后余下的乙
5、还需做小时完成乙单独做完这件工作要多少小时解由题意知表示甲乙合作小时的工作 4一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需 17 天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？解：由题意可知 1/甲 1/乙 1/甲 1/乙?1/甲1 1/乙 1/甲 1/乙 1/甲?1/乙 1/甲0.51 （1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多 0.5 天）1/甲1/乙 1/甲0.5（因为
6、前面的工作量都相等）得到 1/甲1/乙2 又因为 1/乙1/17 所以 1/甲2/17，甲等于 1728.5 天 5师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了 1/2 时，徒弟完成了 120 个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了 4/5 这批零件共有多少个？答案为 300 个 池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管小时后再打开排水管丙问水池注满还是要多少小时解表示甲乙的工作效率表示小时后进水量表示还要的进水量表示还要小时注满答小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题意得甲的工效为乙
7、的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合作的尽可能少设合作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲丙合做小时后余下的乙还需做小时完成乙单独做完这件工作要多少小时解由题意知表示甲乙合作小时的工作120（4/52）300 个 可以这样想：师傅第一次完成了 1/2，第二次也是 1/2，两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了 4/5，可以推算出第一次完成了 4/5 的一半是 2/5，刚好是 120 个。6一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽 6 棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10 棵。单份给男生栽，平均每人栽
8、几棵？答案是 15 棵 算式：1（1/6-1/10）15 棵 7一个池上装有 3 根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20 分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30 分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了 18 分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？答案 45 分钟。1（1/20 1/30）12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。1/12*（18-12）1/12*61/2 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了 6 分钟的水，也就是甲 18 分钟进的水。1/2181/36 表示甲每分钟进水 最后就是 1（1/20-1/36）
9、45 分钟。8某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管小时后再打开排水管丙问水池注满还是要多少小时解表示甲乙的工作效率表示小时后进水量表示还要的进水量表示还要小时注满答小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题意得甲的工效为乙的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合作的尽可能少设合作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲
10、丙合做小时后余下的乙还需做小时完成乙单独做完这件工作要多少小时解由题意知表示甲乙合作小时的工作过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？答案为 6 天 解：由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知：乙做 3 天的工作量甲 2 天的工作量 即：甲乙的工作效率比是 3：2 甲、乙分别做全部的的工作时间比是 2：3 时间比的差是 1 份 实际时间的差是 3 天 所以 3（3-2）26 天，就是甲的时间，也就是规定日期 方程方法：1/x 1/（x 2）2 1/（x 2）（x-2）1 解得 x6 9两根
11、同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要 2 小时，而点完一根细蜡烛要 1 小时，一天晚池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管小时后再打开排水管丙问水池注满还是要多少小时解表示甲乙的工作效率表示小时后进水量表示还要的进水量表示还要小时注满答小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题意得甲的工效为乙的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合作的尽可能少设合作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲丙合做小时
12、后余下的乙还需做小时完成乙单独做完这件工作要多少小时解由题意知表示甲乙合作小时的工作上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的 2 倍，问：停电多少分钟？答案为 40 分钟。解：设停电了 x 分钟 根据题意列方程 1-1/120*x（1-1/60*x）*2 解得 x40 二鸡兔同笼问题 1鸡与兔共 100 只,鸡的腿数比兔的腿数少 28 条,问鸡与兔各有几只?解：4*100400，400-0400 假设都是兔子，一共有 400 只兔子的脚，那么鸡的脚为 0 只，鸡的脚比兔子的脚少 400 只。400-28372 实际鸡的脚数比兔子的
13、脚数只少 28 只，相差 372 只，这是为什么？4 26 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少 4 只（从 400 只变为 396 只），鸡的总脚数就会增加 2 只（从 0 只到 2 只），它们的相差数就会少 4 26 只（也就是原来的相差数是 400-0400，现在的相差数为 396-2394，相差数少了 400-3946）372662 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的 100 只兔子中有 62 只改为了鸡，所以脚的相差数从 400 改为 28，一共改了 372 只 池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管小时后再打开排水管丙问水池注满还是要多少小时解表示甲乙的工作效率表
14、示小时后进水量表示还要的进水量表示还要小时注满答小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题意得甲的工效为乙的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合作的尽可能少设合作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲丙合做小时后余下的乙还需做小时完成乙单独做完这件工作要多少小时解由题意知表示甲乙合作小时的工作 100-6238 表示兔的只数 三数字数位问题 1把 1 至 2005 这 2005 个自然数依
15、次写下来得到一个多位数 123456789.2005,这个多位数除以 9 余数是多少?解：首先研究能被 9 整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被 9 整除，那么这个数也能被 9 整除；如果各个位数字之和不能被 9 整除，那么得的余数就是这个数除以 9 得的余数。解题：1 2 3 4 5 6 7 8 9=45；45 能被 9 整除 依次类推：11999 这些数的个位上的数字之和可以被 9 整除 1019，2029?9099 这些数中十位上的数字都出现了 10 次，那么十位上的数字之和就是 10 20 30?90=450 它有能被 9 整除 同样的道理，100900 百位上的数字之和为 4
16、500 同样被 9 整除 也就是说 1999 这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被 9 整除；同样的道理：10001999 这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被 9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少 200020012002200320042005 从10001999 千位上一共 999 个“1”的和是 999，也能整除；200020012002200320042005 的各位数字之和是 27，也刚好整除。池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管小时后再打开排水管丙问水池注满还是要多少小时解表示甲乙的工作效率表示小时后进水量表示还要的进水量表示还要小时注满答
17、小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题意得甲的工效为乙的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合作的尽可能少设合作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲丙合做小时后余下的乙还需做小时完成乙单独做完这件工作要多少小时解由题意知表示甲乙合作小时的工作最后答案为余数为 0。2A 和 B 是小于 100 的两个非零的不同自然数。求 A B 分之 A-B的最小值.解：(A-B)/(A B)=(A B
18、-2B)/(A B)=1-2*B/(A B)前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时(A-B)/(A B)最大。对于 B/(A B)取最小时，(A B)/B 取最大，问题转化为求(A B)/B 的最大值。(A B)/B=1 A/B，最大的可能性是 A/B=99/1 (A B)/B=100 (A-B)/(A B)的最大值是：98/100 3已知 A.B.C 都是非 0 自然数,A/2 B/4 C/16 的近似值市 6.4,那么它的准确值是多少?答案为 6.375 或 6.4375 因为 A/2 B/4 C/168A 4B C/16 6.4，所以 8A 4B C102.4，由于 A、B、C
19、为非 0 自然数，因此 8A 4B C 为一个整数，可能是102，也有可能是 103。池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管小时后再打开排水管丙问水池注满还是要多少小时解表示甲乙的工作效率表示小时后进水量表示还要的进水量表示还要小时注满答小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题意得甲的工效为乙的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合作的尽可能少设合作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲丙
20、合做小时后余下的乙还需做小时完成乙单独做完这件工作要多少小时解由题意知表示甲乙合作小时的工作 当是 102 时，102/166.375 当是 103 时，103/166.4375 4 一个三位数的各位数字 之和是 17.其中十位数字比个位数字大 1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大 198,求原数.答案为 476 解：设原数个位为 a，则十位为 a 1，百位为 16-2a 根据题意列方程 100a 10a 16-2a100（16-2a）-10a-a 198 解得 a6，则 a 17 16-2a4 答：原数为 476。5一个两位数,在它的前面
21、写上 3,所组成的三位数比原两位数的 7 倍多 24,求原来的两位数.答案为 24 解：设该两位数为 a，则该三位数为 300 a 7a 24300 a a24 答：该两位数为 24。池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管小时后再打开排水管丙问水池注满还是要多少小时解表示甲乙的工作效率表示小时后进水量表示还要的进水量表示还要小时注满答小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题意得甲的工效为乙的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合作的尽可能少设合
22、作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲丙合做小时后余下的乙还需做小时完成乙单独做完这件工作要多少小时解由题意知表示甲乙合作小时的工作 6把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少?答案为 121 解：设原两位数为 10a b，则新两位数为 10b a 它们的和就是 10a b 10b a11（a b）因为这个和是一个平方数，可以确定 a b11 因此这个和就是 1111121 答：它们的和为 121。7一个六位数的末位数字是 2,如果把 2 移到首位,原数就是新数的 3 倍,求
23、原数.答案为 85714 解：设原六位数为 abcde2，则新六位数为 2abcde（字母上无法加横线，请将整个看成一个六位数）再设 abcde（五位数）为 x，则原六位数就是 10 x 2，新六位数就是 200000 x 根据题意得，（200000 x）310 x 2 池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管小时后再打开排水管丙问水池注满还是要多少小时解表示甲乙的工作效率表示小时后进水量表示还要的进水量表示还要小时注满答小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题意得甲的工效为乙
24、的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合作的尽可能少设合作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲丙合做小时后余下的乙还需做小时完成乙单独做完这件工作要多少小时解由题意知表示甲乙合作小时的工作解得 x85714 所以原数就是 857142 答：原数为 857142 8有一个四位数,个位数字与百位数字的和是 12,十位数字与千位数字的和是 9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加 2376,求原数.答案为 3963 解：设原四位数为 abcd，则新数为 cdab，且 d b12，
25、a c9 根据“新数就比原数增加2376”可知 abcd 2376=cdab,列竖式便于观察 abcd 2376 cdab 根据 d b12，可知 d、b 可能是 3、9；4、8；5、7；6、6。再观察竖式中的个位，便可以知道只有当 d3，b9；或 d8，b4 时成立。先取 d3，b9 代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。根据 a c9，可知 a、c 可能是 1、8；2、7；3、6；4、5。再观察竖式中的十位，便可知只有当 c6，a3 时成立。池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管小时后再打开排水管丙问水池注满还是要多少小时解表示甲乙的工作效率表示小时后进水量表示还要的进水量表示还要小时注满
26、答小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题意得甲的工效为乙的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合作的尽可能少设合作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲丙合做小时后余下的乙还需做小时完成乙单独做完这件工作要多少小时解由题意知表示甲乙合作小时的工作 再代入竖式的千位，成立。得到：abcd3963 再取 d8，b4 代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。9有一个两位数,如果
27、用它去除以个位数字,商为 9 余数为 6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为 5 余数为 3,求这个两位数.解：设这个两位数为 ab 10a b9b 6 10a b5（a b）3 化简得到一样：5a 4b3 由于 a、b 均为一位整数 得到 a3 或 7，b3 或 8 原数为 33 或 78 均可以 10如果现在是上午的 10 点 21 分,那么在经过 28799.99(一共有 20 个 9)分钟之后的时间将是几点几分?答案是 10：20 池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管小时后再打开排水管丙问水池注满还是要多少小时解表示甲乙的工作效率表示小时后进水量表示还要的进水量表示还
28、要小时注满答小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题意得甲的工效为乙的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合作的尽可能少设合作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲丙合做小时后余下的乙还需做小时完成乙单独做完这件工作要多少小时解由题意知表示甲乙合作小时的工作解：（28799?9（20 个 9）1）/60/24 整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是 10：21，因为事先计算时加了 1 分钟
29、，所以现在时间是 10：20 四排列组合问题 1有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（）A 768 种 B 32 种 C 24 种 D 2 的 10 次方中 解：根据乘法原理，分两步：第一步是把 5 对夫妻看作 5 个整体，进行排列有 54321120 种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生 5 个 5 个重复，因此实际排法只有 120524 种。第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有 2 种排法，总共又 2222232 种 综合两步，就有 2432768 种。2 若把英语单词 hello 的字母写错了,则可能出现的错误共有()A 11
30、9 种 B 36 种 C 59 种 D 48 种 解：池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管小时后再打开排水管丙问水池注满还是要多少小时解表示甲乙的工作效率表示小时后进水量表示还要的进水量表示还要小时注满答小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题意得甲的工效为乙的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合作的尽可能少设合作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲丙合做小时后余下的乙还需做小时完成
31、乙单独做完这件工作要多少小时解由题意知表示甲乙合作小时的工作 5 全排列 5*4*3*2*1=120 有两个 l 所以 120/2=60 原来有一种正确的所以 60-1=59 五容斥原理问题 1 有 100 种赤贫.其中含钙的有 68 种,含铁的有 43 种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是()A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 解：根据容斥原理最小值 68 43-10011 最大值就是含铁的有 43 种 2在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校 25 名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题
32、的人数是解出第三题的人数的 2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多 1 人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是()A，5 B，6 C，7 D，8 解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7 类：只答第 1 题，只答第 2 题，只答第 3 题，只答第 1、2 题，只答第 1、3 题，只答 2、3 题，答 1、2、3 题。分池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管小时后再打开排水管丙问水池注满还是要多少小时解表示甲乙的工作效率表示小时后进水量表示还要的进水量表示还要小时注满答小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独
33、修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题意得甲的工效为乙的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合作的尽可能少设合作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲丙合做小时后余下的乙还需做小时完成乙单独做完这件工作要多少小时解由题意知表示甲乙合作小时的工作别设各类的人数为 a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由（1）知：a1 a2 a3 a12 a13 a23 a12325?由（2）知：a2 a23（a3 a23）2?由（3
34、）知：a12 a13 a123a11?由（4）知：a1a2 a3?再由得 a23a2a32?再由得 a12 a13 a123a2 a31 然后将代入中，整理得到 a24 a326 由于 a2、a3 均表示人数，可以求出它们的整数解：当 a26、5、4、3、2、1 时，a32、6、10、14、18、22 又根据 a23a2a32?可知：a2a3 因此，符合条件的只有 a26，a32。然后可以推出 a18，a12 a13 a1237，a232，总人数8 6 2 7 225，检验所有条件均符。故只解出第二题的学生人数 a26 人。池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管小时后再打开排水管丙问水池注满还
35、是要多少小时解表示甲乙的工作效率表示小时后进水量表示还要的进水量表示还要小时注满答小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题意得甲的工效为乙的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合作的尽可能少设合作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲丙合做小时后余下的乙还需做小时完成乙单独做完这件工作要多少小时解由题意知表示甲乙合作小时的工作 3一次考试共有 5 道试题。做对第 1、2、3、4、5 题的分
36、别占参加考试人数的 95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？答案：及格率至少为 71。假设一共有 100 人考试 100-955 100-8020 100-7921 100-7426 100-8515 5 20 21 26 1587（表示 5 题中有 1 题做错的最多人数）87329（表示 5 题中有 3 题做错的最多人数，即不及格的人数最多为 29 人）100-2971（及格的最少人数，其实都是全对的）及格率至少为 71 六抽屉原理、奇偶性问题 1一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手
37、套才能保证有 3 副同色的？池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管小时后再打开排水管丙问水池注满还是要多少小时解表示甲乙的工作效率表示小时后进水量表示还要的进水量表示还要小时注满答小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题意得甲的工效为乙的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合作的尽可能少设合作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲丙合做小时后余下的乙还需做小时完成乙单独做完这件工作要多少小
38、时解由题意知表示甲乙合作小时的工作 解：可以把四种不同的颜色看成是 4 个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副同色的，就是 1 个抽屉里至少有 2 只手套，根据抽屉原理，最少要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后 4 个抽屉中还剩 3 只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出 2 只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推。把四种颜色看做 4 个抽屉，要保证有 3 副同色的，先考虑保证有 1 副就要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后，4 个抽屉中还剩下 3 只手套。根据抽屉原理，只要再摸出 2 只手套，又能保证有 1 副是同色的。以此类推，要保证有 3 副同色的，共摸出的手套有：5
39、2 2=9（只）答：最少要摸出 9 只手套，才能保证有 3 副同色的。2有四种颜色的积木若干，每人可任取 1-2件，至少有几个人去取，才能保证有 3 人能取得完全一样？答案为 21 解：每人取 1 件时有 4 种不同的取法,每人取 2 件时,有 6 种不同的取法.当有 11 人时,能保证至少有 2 人取得完全一样:当有 21 人时,才能保证到少有 3 人取得完全一样.3某盒子内装 50 只球，其中 10 只是红色，10 只是绿色，10 只是黄色，10 只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有 7 只同色的球，问：最少必须从袋中取出多少只球？池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管
40、小时后再打开排水管丙问水池注满还是要多少小时解表示甲乙的工作效率表示小时后进水量表示还要的进水量表示还要小时注满答小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题意得甲的工效为乙的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合作的尽可能少设合作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲丙合做小时后余下的乙还需做小时完成乙单独做完这件工作要多少小时解由题意知表示甲乙合作小时的工作 解：需要分情况讨论，因为无法确
41、定其中黑球与白球的个数。当黑球或白球其中没有大于或等于 7 个的，那么就是：6*4 10 1=35(个)如果黑球或白球其中有等于7 个的，那么就是：6*5 3 134（个）如果黑球或白球其中有等于8 个的，那么就是：6*5 2 133 如果黑球或白球其中有等于9 个的，那么就是：6*5 1 132 4地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31 如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由）不可能。因为总数为 1 9 15 3156 56/414 池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管小
42、时后再打开排水管丙问水池注满还是要多少小时解表示甲乙的工作效率表示小时后进水量表示还要的进水量表示还要小时注满答小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题意得甲的工效为乙的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合作的尽可能少设合作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲丙合做小时后余下的乙还需做小时完成乙单独做完这件工作要多少小时解由题意知表示甲乙合作小时的工作14 是一个偶数 而原来 1、9、
43、15、31 都是奇数，取出 1 个和放入 3 个也都是奇数，奇数加减若干次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14 个）。七路程问题 1狗跑 5 步的时间马跑 3 步，马跑 4 步的距离狗跑 7 步，现在狗已跑出 30 米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？解：根据“马跑 4 步的距离狗跑 7 步”，可以设马每步长为 7x 米，则狗每步长为 4x 米。根据“狗跑 5 步的时间马跑 3 步”，可知同一时间马跑 3*7x 米21x 米，则狗跑 5*4x20 米。可以得出马与狗的速度比是 21x：20 x21：20 根据“现在狗已跑出 30 米”，可以知道狗与马相差的路程是 30 米，
44、他们相差的份数是21-201，现在求马的 21 份是多少路程，就是 30（21-20）21630 米 2甲乙辆车同时从 a b 两地相对开出，几小时后再距中点 40 千米处相遇？已知，甲车行完全程要 8 小时，乙车行完全程要 10 小时，求 a b 两地相距多少千米？答案 720 千米。池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管小时后再打开排水管丙问水池注满还是要多少小时解表示甲乙的工作效率表示小时后进水量表示还要的进水量表示还要小时注满答小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题
45、意得甲的工效为乙的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合作的尽可能少设合作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲丙合做小时后余下的乙还需做小时完成乙单独做完这件工作要多少小时解由题意知表示甲乙合作小时的工作由“甲车行完全程要 8 小时，乙车行完全程要 10 小时”可知，相遇时甲行了 10 份，乙行了 8 份（总路程为 18 份），两车相差 2 份。又因为两车在中点 40 千米处相遇，说明两车的路程差是（40 40）千米。所以算式是（40 40）（10-8）（10 8）720 千米。3在一个 600 米的环形
46、跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12 分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔 4 分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？答案为两人跑一圈各要 6 分钟和 12 分钟。解：60012=50，表示哥哥、弟弟的速度差 ，表示哥哥、弟弟的速度和 （50 150）2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数 （150-50）/2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数 600100=6 分钟，表示跑的快者用的时间 600/50=12 分钟，表示跑得慢者用的时间 4慢车车长 125 米，车速每秒行 17 米，
47、快车车长 140 米，车速每秒行 22 米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？答案为 53 秒 算式是（140 125)(22-17)=53 秒 池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管小时后再打开排水管丙问水池注满还是要多少小时解表示甲乙的工作效率表示小时后进水量表示还要的进水量表示还要小时注满答小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题意得甲的工效为乙的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合
48、作的尽可能少设合作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲丙合做小时后余下的乙还需做小时完成乙单独做完这件工作要多少小时解由题意知表示甲乙合作小时的工作 可以这样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。5在 300 米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒 5 米，乙平均速度是每秒 4.4 米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？答案为 100 米 300（5-4.4）500 秒，表示追及时间 55002500 米，表示甲追到乙时所行的路程 2
49、5003008 圈?100 米，表示甲追及总路程为 8 圈还多 100 米，就是在原来起跑线的前方 100 米处相遇。6一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57 秒火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他 1360 米，(轨道是直的),声音每秒传 340 米，求火车的速度（得出保留整数）答案为 22 米/秒 算式：1360(1360340 57）22 米/秒 关键理解：人在听到声音后 57 秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出13603404 秒的路程。也就是 1360 米一共用了 4 5761 秒。池水要小时若水池没水同时打开甲乙两水管小时后再打开排水管丙问水池注满还是
50、要多少小时解表示甲乙的工作效率表示小时后进水量表示还要的进水量表示还要小时注满答小时后还要小时就能将水池注满修一条水渠单独修甲队需分之四乙队工作效率只有原来的十分之九现在计划天修完这条水渠且要求两队合作的天数尽可能少那么两队要合作几天解由题意得甲的工效为乙的工效为甲乙的合作工效为可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效又因为要求两队合作的尽可能少设合作时间为天则甲独做时间为天答甲乙最短合作天一件工作甲乙合做需小时完成乙丙合做需小时完成现在先请甲丙合做小时后余下的乙还需做小时完成乙单独做完这件工作要多少小时解由题意知表示甲乙合作小时的工作7猎犬发现在离它 10 米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去