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1、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（一）一、知识归纳：1.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式是：=b2-4ac，当0 时；=0；0 时方程分别有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根。2.判别式“”的应用：1)由“”的符号判定方程根的情况；2)由“”的符号，证明方程的根可能出现的情况；3)由方程的情况通过“”的符号，确定方程中参数字母的取值范围。例 1.关于 x 的方程（m 1）x22（m 3）xm 20 有实数根，求 m的取值范围。解：当 m 10 时,该方程为关于 x 一元二次方程 原方程有实数根 0即2（m 3）24（m 1）（m 2）28m440即7
2、11m，当 m-1=0 时，该方程变为 4x+3=0,它是一元一次方程，有实数根34x 练习：1.关于 x 的方程 m2x2+(2m+1)x+1=0 有两个不相等的实数根，求 m。(注意二次项系数不为零)2.已知 a，b，c 为一个三角形的三边，求证方程 b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0 无实数根。3.已知方程 x2+2x=k-1没有实数根，求证方程 x2+kx=1-2k必定有两个不相等的实数根。4.已知 x1,x2是关于 x 的方程 x2+m2x+n=0 的两个实数根，y1,y2是关于 y 的方程 y2+my+7=0 两个实数根，且x1-y1=2,x2-y2=2，求 m，n 的值。
3、3一般地，对于关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0(a0)用求根公式求出它的两个根 x1、x2，由一元二次方程 ax2bxc0的求根公式知 x1=aacbb242,x2=aacbb242 能得出以下结果：x1x2=即：两根之和等于 x1 x2=即：两根之积等于 12xx=aacbb242+aacbb242 =aacbbacbb24422 =12.x x=aacbb242aacbb242 =2224)4)(4(aacbbacbb =2224)()(a=由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为 x1+x2=ab，x1x2=ac 如果把方程 ax2bxc0(a0)的二次项系数化为 1，则
4、方程变形为 x2 xac0(a0)，则以 x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是：x2-（）xx1x20(a0)3.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根为 x1,x2它的根与系数的关系是：例 1：已知方程 5x2kx-6 0 的一个根为 2，求它的另一个根及 k 的值；解：设方程的另一个根是 x1，那么5621x （为什么？）x1=又 x1+2=5k （为什么？）k=例 2：利用根与系数的关系，求一元二次方程 2x23x-1 0 的两个根的（1）平方和 （2）倒数和 解：设方程的两个根分别为 x1，x2，那么 x1+x2=，x1x2=（1）（x1+x2）2=x12+2
5、+x22 x12+x22=（x1+x2）2-2 =（2）212111xxxx 例 3：求一个一元二次方程，使它的两个根是212313，解：所求的方程是x2-（212313）x（）2120 (为什么？)即 x2+x-0 或 6x2+x-0 太妙了！我想知 道 为 什么？相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根判别式的应用由的符号判定方程根的情况由的符号证明方程的根可能出现的情况由方程的情况通过的符号确定方程中参数字母的取值范围例关于的方程有实数根求的取值范围解当时该方相等的实数根求注意二次项系数不为零已知为一个三角形的三边求证方程无实数根已知方程没有实数根求证方程必定有两个不相等的实数根已知是关
6、于的方程的两个实数根是关于的方程两个实数根且求的值一般地对于关于的一元二太妙了我想知道为什么由此得出一元二次方程的根与系数之间存在得关系为如果把方程的二次项系数化为则方程变形为则以为根的一元二次方程二次项系数为是一元二次方程的两根为它的根与系数的关系是例已知方程的一个根为求 相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根判别式的应用由的符号判定方程根的情况由的符号证明方程的根可能出现的情况由方程的情况通过的符号确定方程中参数字母的取值范围例关于的方程有实数根求的取值范围解当时该方相等的实数根求注意二次项系数不为零已知为一个三角形的三边求证方程无实数根已知方程没有实数根求证方程必定有两个不相等的实数根已知是关于的方程的两个实数根是关于的方程两个实数根且求的值一般地对于关于的一元二太妙了我想知道为什么由此得出一元二次方程的根与系数之间存在得关系为如果把方程的二次项系数化为则方程变形为则以为根的一元二次方程二次项系数为是一元二次方程的两根为它的根与系数的关系是例已知方程的一个根为求