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1、学习必备 欢迎下载 一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【学习目标】1掌握一元二次方程根的判别式的应用 2掌握一元二次方程的根与系数的关系【主体知识归纳】1一元二次方程的根的判别式：b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式通常用符号“”来表示 2对于一元二次方程ax2bxc0（a0），当0 时，方程有两个不相等的实数根；当 0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程没有实数根反过来也成立 3.如果关于 x 的一元二次方程ax2bxc0（a0）的两个根是 x1，x2，那么 x1+x2=-ab，x1x2=ac 4.如果关于 x 的一元二次方程x2pxq0（a0）的
2、两个根是 x1，x2，那么 x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系 2.根的判别式是指b24ac，而不是指acb42 3根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况 要注意方程中各项系数的符号 4如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b24ac0，不要丢掉等号 5.利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数 a0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前
3、提，即：b24ac0 6判别式有以下应用：学习必备 欢迎下载(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明 根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。【例题罗列】根的判别式 类型 1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x22x10；（2）y22y4；（3）（2k21）x22kx10；（4）9x2（p7）xp30（系数
4、中有字母的情况）解：(1)（2）243（1）4120，原方程有两个不相等的实数根(2)原方程就是y22y40（2）24144160，原方程无实数根(3)2k210，原方程为一元二次方程 又（2k）24（2k21）14k240，原方程无实数根(4)（p7）249（p3）（p11）236，不论p取何实数，（p11）2均为非负数，(p11)2360，即0，原方程有两个不相等的实数根 升级:如果关于x的方程x22xm9 没有实数根，试判断关于y的方程y2my2m50 的根的情况 应用掌握一元二次方程的根与系数的关系主体知识归纳一元二次方程的根的判别式叫做一元二次方程的根的判别式通常用符号来表示对于一元
5、二次方程当时方程有两个不相等的实数根当时方程有两个相等的实数根当时方程没有实数根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系根的判别式是指而不是指根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的因此必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况要注意方程中各项系数丢掉等号利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是二次项系数即保证是一元二次方程由于我们目前只研实数根的问题故还要考虑实数根存在的前提即判别式有以下应用学习必备欢迎下载不解方程判定一元二次方程根的情况根据学习必备 欢迎下载 这是一类需要自己找出隐含条件的题 解：x22xm90 没有实数根，1224(m9)4m400，即m
6、10 又y2my2m50 的判断式22m24(2m5)m28m20 当m10 时，m28m200，即20 方程y2my2m50 有两个不相等的实数根 类型 2：1.已知关于x的一元二次方程(k1)x22kxk30k取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根?(2)方程有两个相等的实数根?(3)方程没有实数根?解：(2k)24（k1）（k3）8k12(1)当8k120，且k10，即k23且k1 时，方程有两个不相等的实数根；(2)当8k120，且k10，即k23时，方程有两个相等的实数根；(3)当8k120，且k10，即k23时，方程没有实数根 说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的
7、条件：二次项系数不等于零 2已知 a、b、c 是ABC的三边，且方程 a(1+x2)+2bx-c(1-x2)=0 有两个相等的实数根，则此三角形为（）A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式 解：原方程可化为（a+c）x22bxa-c0，(2b)24（a+c）（a-c）0 得到 a2=b2+c2，因此此三角形为直角三角形。升级：已知关于 x 的方程 x2+(2m+1)+m2+2=0 有两个不相等的实数根，试判断直线 y=(2m-3)x-4m+7能否通过点（-2，4），并说明理由 这是与一次函数相结合的题目 解：一元二次方程有两
8、个不相等的实数根(2m+1)24（m2+2）4m-6 0，应用掌握一元二次方程的根与系数的关系主体知识归纳一元二次方程的根的判别式叫做一元二次方程的根的判别式通常用符号来表示对于一元二次方程当时方程有两个不相等的实数根当时方程有两个相等的实数根当时方程没有实数根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系根的判别式是指而不是指根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的因此必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况要注意方程中各项系数丢掉等号利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是二次项系数即保证是一元二次方程由于我们目前只研实数根的问题故还要考虑实数根存在的前提即判别
9、式有以下应用学习必备欢迎下载不解方程判定一元二次方程根的情况根据学习必备 欢迎下载 即 m 23。如果直线 y=(2m-3)x-4m+7 能通过点（-2，4）m=8923 所以不通过。类型 3:（1）求证：不论a、b、c为何值，关于x的方程(bx)24(ax)(cx)0必有实数根 证明:原方程可化为3x2(4a4c2b)xb24ac0，(4a4c2b)24(3)(b24ac)16a216b216c216ab16bc16ac 8(ab)2(ac)2(bc)2 不论a、b、c为何值，都有(ab)20，(bc)20，(ca)20 8(ab)2(bc)2(ca)20 方程必有实数根（2）已知方程 x2
10、+2x=k-1 没有实数根。求证：方程 x2+kx=1-2k 有两个不相等的实数根。也是一类需要自己找出隐含条件的题 解:第一个方程224(-k+1)0 即 k 0 第二个方程 k24(-1+2k)=k28k+4=（k-4）2-16 在 k 0的情况下必大于 0 根与系数的关系 类型 1;如果是方程的一个根，求 的值，并求出方程另一xxkxkk 2502 个根。解:设另一个根为，据方程的根的意义与根与系数的关系，可列出方程组 22502522 kkkk，或()即有 应用掌握一元二次方程的根与系数的关系主体知识归纳一元二次方程的根的判别式叫做一元二次方程的根的判别式通常用符号来表示对于一元二次方
11、程当时方程有两个不相等的实数根当时方程有两个相等的实数根当时方程没有实数根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系根的判别式是指而不是指根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的因此必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况要注意方程中各项系数丢掉等号利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是二次项系数即保证是一元二次方程由于我们目前只研实数根的问题故还要考虑实数根存在的前提即判别式有以下应用学习必备欢迎下载不解方程判定一元二次方程根的情况根据学习必备 欢迎下载 3125kk，；解这个方程组，得 k 1373 类型 2 求作以方程的两根的负倒数为根的一个一元二次方程
12、。3102xx 解设方程的两根为，则310212xxxx xxxx12121313，所求方程两根为，。1112xx 1113131121212xxxxx x 11131212xxx x()所求方程为yy230 类型 3 设方程的两根为，不解方程，求下列各式的值：4730212xxxx ()()()()1332121323xxxx ()()3114211212xxxxxx 其关键是将它们用 x1+x2，x1x2表示出来，如何表示呢？常用的变形有：解()()12122212212xxxxx x；()()()2412212212xxxxx x；应用掌握一元二次方程的根与系数的关系主体知识归纳一元二次
13、方程的根的判别式叫做一元二次方程的根的判别式通常用符号来表示对于一元二次方程当时方程有两个不相等的实数根当时方程有两个相等的实数根当时方程没有实数根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系根的判别式是指而不是指根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的因此必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况要注意方程中各项系数丢掉等号利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是二次项系数即保证是一元二次方程由于我们目前只研实数根的问题故还要考虑实数根存在的前提即判别式有以下应用学习必备欢迎下载不解方程判定一元二次方程根的情况根据学习必备 欢迎下载 ()311121212xxxx
14、x x；()()()()41212122xaxax xa xxa ()()()5132312121222xxxxxx xx ()()xxxxx x12122123 ()()xxx xxx12312123 由根与系数的关系可得：xxx x12127434，()()()()13339121212xxx xxx 343749 3 ()()()2313231231212xxxxx xxx ()()74334743 59564 ()()()()()31111112112221112xxxxxxxxxx ()()()xxx xxxx xxx1221212121221 ()()7423474347412 1
15、0132 ()()412122xxxx ()xxx x122124 ()()744342 应用掌握一元二次方程的根与系数的关系主体知识归纳一元二次方程的根的判别式叫做一元二次方程的根的判别式通常用符号来表示对于一元二次方程当时方程有两个不相等的实数根当时方程有两个相等的实数根当时方程没有实数根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系根的判别式是指而不是指根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的因此必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况要注意方程中各项系数丢掉等号利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是二次项系数即保证是一元二次方程由于我们目前只研实数根的问题
16、故还要考虑实数根存在的前提即判别式有以下应用学习必备欢迎下载不解方程判定一元二次方程根的情况根据学习必备 欢迎下载 1497 类型 4 1.已知关于 x 的一元二次方程：xmxm22224084()的两个实数根的平方和比这两根的积大，求：实数 m的值。这一块很容易和根的判别式结合在一起 解 设方程两根为，xx12 ，xxmxxm12122224()由题意可得：xxxx12221284 即：()xxx x12212384 ()()22348422mm，mm12204 ()()224416022mmmm 0 舍去m 20()m 4 2 设关于 的方程xxmxm22240 （1）证明：不论 m为何实
17、数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）m为何实数时，两根之差的绝对值等于 4。（1）证明：4424481622mmmm()424411222()()mmm ，()()mm104112022 此方程有两个不相等的实数根。（2）设：方程的两根为 x1，x2，则 x1+x2=2m xxmxxxxx x121212212244，又|()21342()m 得，解得，故()mmm1102212 应用掌握一元二次方程的根与系数的关系主体知识归纳一元二次方程的根的判别式叫做一元二次方程的根的判别式通常用符号来表示对于一元二次方程当时方程有两个不相等的实数根当时方程有两个相等的实数根当时方程没有实数根的判
18、别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系根的判别式是指而不是指根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的因此必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况要注意方程中各项系数丢掉等号利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是二次项系数即保证是一元二次方程由于我们目前只研实数根的问题故还要考虑实数根存在的前提即判别式有以下应用学习必备欢迎下载不解方程判定一元二次方程根的情况根据学习必备 欢迎下载 当或时，方程两根之差的绝对值等于。mm024 升级：已知：关于 的方程：的两个实数根的平方和不小于这xxxk23210 两个根的积，且反比例函数的图象的两个分支在各自的象限内 随 的
19、ykxyx12 增大而减小，求满足上述条件的 k 的整数值。与反比例的结合 解关于 的方程有两个实数根。xxxk23210 ，解得 34 2101382()kk 设方程两根，xxxxxxk121212321 ，xxxxxxx xk12221212212302()k 138 反比例函数的图象的两个分支在各自象限内随 的增大而减小，ykxyx12 ，即12012kk 12138k k 的整数值为 0，1 类型 5 已知，是关于 的一元二次方程的两非零xxxxmxm12224410()实数根，问 x1与 x2能否同号？若能同号，请求出相应的 n 的取值范围；若不能同号，请说明理由。解：因为关于 的一
20、元二次方程有两个非零实数根，xxmxm441022()则有 4144321601222()mmmm，。应用掌握一元二次方程的根与系数的关系主体知识归纳一元二次方程的根的判别式叫做一元二次方程的根的判别式通常用符号来表示对于一元二次方程当时方程有两个不相等的实数根当时方程有两个相等的实数根当时方程没有实数根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系根的判别式是指而不是指根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的因此必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况要注意方程中各项系数丢掉等号利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是二次项系数即保证是一元二次方程由于我们目前只研
21、实数根的问题故还要考虑实数根存在的前提即判别式有以下应用学习必备欢迎下载不解方程判定一元二次方程根的情况根据学习必备 欢迎下载 又，是方程的两个实数根，所以由一元二次方程xxxmxm12224410()根与系数的关系，有：，。xxmxxm12122114()假设、同号，则有两种可能：xx12 ()()1002001212xxxx，若，则有xx1200 xxx xmmmm12122001014010 即有解这个不等式，得且 。()即：当且 时，原方程两根能同号。mm120 若，则有xx1200 xxx xmm121220010140 即有()解这个不等式，得：。m 1 而时方程才有实数根，所以此
22、种情况不存在。m 12 综上所述：当且 时，原方程两根能同号。mm120 根的判别式与根与系数关系的综合题 1（2010年绵阳市）已知关于x的一元二次方程x2=2（1m）xm2 的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值 解：（1）将原方程整理为 x2+2（m1）x+m2=0 原方程有两个实数根，=2（m1）24m2=8m+4 0，得 m 应用掌握一元二次方程的根与系数的关系主体知识归纳一元二次方程的根的判别式叫做一元二次方程的根的判别式通常用符号来表示对于一元二次方程当时方程有两个不相等的实数根当时方程有两个相等的实数根当
23、时方程没有实数根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系根的判别式是指而不是指根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的因此必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况要注意方程中各项系数丢掉等号利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是二次项系数即保证是一元二次方程由于我们目前只研实数根的问题故还要考虑实数根存在的前提即判别式有以下应用学习必备欢迎下载不解方程判定一元二次方程根的情况根据学习必备 欢迎下载（2）x1，x2为x2+2（m1）x+m2=0 的两根，y=x1+x2=2m+2，且m 因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得最小值1 2(2001 年湖北省荆门
24、市)已知关于x的方程02)2(2kxkx，(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC的一边长a1，另两边长b、c 恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长 （1）=-（k+2）28k=k2-4k+4=（k-2）20 无论 k 取任何实数值，方程总有实数根；（2）若为等腰三角形有两种情况，cb 或b、c中有一个与 c 相等 当 b=c 时 方程有两个相等的实根 k=2 那么 b+c=k+2=4 ABC的周长为5 当b、c中有一个与 c 相等 设 b=1 代入方程1-（k+2）+2k=0 解得 k=1 那么 b+c=k+2=3 c=2 这与 a+bc 相矛盾，故这种情况
25、不存在 ABC的周长为5 应用掌握一元二次方程的根与系数的关系主体知识归纳一元二次方程的根的判别式叫做一元二次方程的根的判别式通常用符号来表示对于一元二次方程当时方程有两个不相等的实数根当时方程有两个相等的实数根当时方程没有实数根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系根的判别式是指而不是指根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的因此必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况要注意方程中各项系数丢掉等号利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是二次项系数即保证是一元二次方程由于我们目前只研实数根的问题故还要考虑实数根存在的前提即判别式有以下应用学习必备欢迎下载不解方程判定一元二次方程根的情况根据