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1、高中数学-离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1已知随机变量 X服从二项分布，且 E(X)2.4，D(X)1.44，则二项分布的参数 n，p 的值为()An4，p0.6 Bn6，p0.4 Cn8，p0.3 Dn24，p0.1【解析】由题意得 np2.4，np 1p 1.44，解得 n6，p0.4.【答案】B 2设两个正态分布 N(1，21)(10)和 N(2，22)(20)的密度函数图象如图所示，则有()A12，12 B12，12 C12，12 D12，12【解析】根据正态分布 N(，2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线 x 对称，在 x 处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点
2、越低且较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选 A.【答案】A 3一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为 2，则2a13b的最小值为()A.323 B.283 C.143 D.163【解析】由已知得，3a2b0c2，即 3a2b2，其中 0a23，0b1.又2a13b3a2b22a13b 3132baa2b10322baa2b163，当且仅当2baa2b，即 a2b 时取“等号”，又 3a2b2，即当 a12，b14时，2a13b的最小值为163，故选D.【答案】D 4马老师从课本上
3、抄录一个随机变量 的概率分布列如下表：1 2 3 P？！？请小牛同学计算 的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案 E()_.【解析】令“？”为 a，“！”为 b，则 2ab1.又 E()a2b3a2(2ab)2.【答案】2 5以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X表示 (1)如果 X8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果 X9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 Y的分布列和数学期望 (注：方差 s21n(x1 x)2(x2
4、x)2(xn x)2，其中 x 为 x1，x2，xn的平均数)【解】(1)当 X8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，所以平均数为：x889104354；方差为：s214(8354)2(8354)2(9354)2(10354)21116.(2)当 X9 时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是 9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有 4416 种可能的结果，这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵，乙组选出的同学植树 8 棵”，所以该事
5、件有 2种可能的结果，因此 P(Y17)21618.同理可得 P(Y18)14；P(Y19)14；P(Y20)14；P(Y21)18.所以随机变量 Y的分布列为：Y 17 18 19 20 21 P 18 14 14 14 18 EY17P(Y17)18P(Y18)19P(Y19)20P(Y20)21P(Y21)1718181419142014211819.课时作业【考点排查表】意得解得答案设两个正态分布和的密度函数图象如图所示则有解析根据正态分布函数的性质正态分布曲线是一条关于直线对称在处取得最大值的连续钟形曲线越大曲线的最高点越低且较平缓反过来越小曲线的最高点越高且较陡峭故小值为解析由已知
6、得即其中又当且仅当即时取等号又即当时的最小值为故选答案马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表请小牛同学计算的数学期望尽管处完全无法看清且两个处字迹模糊但能断定这两个处的数值相同个数据模糊无法确认在图中以表示如果求乙组同学植树棵数的平均数和方差如果分别从甲乙两组中随机选取一名同学求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期望注方差其中为的平均数解当时由茎叶图可知乙组同学的植树棵数是 难度及题号 错题记录 考查考点及角度 基础 中档 稍难 正态分布 2 5 8 离散型随机变量的均值 1 6,7,12 9,13，离散型随机变量的方差 3 4,10,11 一、选择题 1(2010 全国新课标高考
7、)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X的数学期望为()A100 B200 C300 D400【解析】1 000 粒种子每粒不发芽的概率为 0.1，不发芽的种子数 XB(1 000,0.1)，1 000 粒种子中不发芽的种子数为 1 0000.1100 粒，又每粒不发芽需补种 2 粒；需补种的数 X2100200.【答案】B 2(2010 广东高考)已知随机变量 X服从正态分布 N(3,1)，且 P(2X4)0.682 6，则 P(X4)()A0.158 8 B0.158 7 C0.158 6 D0.
8、158 5【解析】由正态曲线性质知，其图象关于 x3 对称，P(x4)0.512P(2x4)0.5120.682 60.158 7.故选 B.【答案】B 3若 X 是离散型随机变量，P(Xx1)23，P(Xx2)13，且 x1x2，又已知 E(X)43，D(X)29，则 x1x2的值为()A.53 B.73 C3 D.113【解析】由 E(X)23x113x243得 2x1x24 意得解得答案设两个正态分布和的密度函数图象如图所示则有解析根据正态分布函数的性质正态分布曲线是一条关于直线对称在处取得最大值的连续钟形曲线越大曲线的最高点越低且较平缓反过来越小曲线的最高点越高且较陡峭故小值为解析由已
9、知得即其中又当且仅当即时取等号又即当时的最小值为故选答案马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表请小牛同学计算的数学期望尽管处完全无法看清且两个处字迹模糊但能断定这两个处的数值相同个数据模糊无法确认在图中以表示如果求乙组同学植树棵数的平均数和方差如果分别从甲乙两组中随机选取一名同学求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期望注方差其中为的平均数解当时由茎叶图可知乙组同学的植树棵数是又 D(X)(x143)223(x243)21329得 18x219x2248x124x2290 由，且 x1x2得 x11，x22，x1x23.【答案】C 4已知随机变量 X 8，若 XB(10,0.6)，则
10、 E()，D()分别是()A6 和 2.4 B2 和 2.4 C2 和 5.6 D6 和 5.6【解析】若两个随机变量 ，X满足一次关系式 aXb(a，b 为常数)，当已知 E(X)、D(X)时，则有 E()aE(X)b，D()a2D(X)由已知随机变量 X 8，所以有 8X.因此，求得 E()8E(X)8100.62，D()(1)2D(X)100.60.42.4.【答案】B 5设随机变量 服从正态分布 N(，2)，函数 f(x)x24x 没有零点的概率是12，则 等于()A1 B4 C2 D不能确定【解析】根据题意，函数 f(x)x24x 没有零点时，164 0，即 4，根据正态密度曲线的对
11、称性，当函数 f(x)x24x 没有零点的概率是12时，4.【答案】B 6利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()A.A1 BA2 CA3 DA4【解析】利用方案 A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是：500.25650.30260.4543.7；700.25260.30160.4532.5；(20)0.25520.30780.4545.7；意得解得答案设两个正态分布和的密度函数图象如图所示则有解析根据正态分布函数的性质正态分布曲线是一条关于直线对称在处取得最大值的连续钟形曲线越大曲线的最高点越低且较平缓反过来越小曲线的最高点越高且较陡峭故小值为解析由已知得即其中又当且仅当即时取等
12、号又即当时的最小值为故选答案马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表请小牛同学计算的数学期望尽管处完全无法看清且两个处字迹模糊但能断定这两个处的数值相同个数据模糊无法确认在图中以表示如果求乙组同学植树棵数的平均数和方差如果分别从甲乙两组中随机选取一名同学求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期望注方差其中为的平均数解当时由茎叶图可知乙组同学的植树棵数是980.25820.30(10)0.4544.6.【答案】C 二、填空题 7已知随机变量 X的分布列为 X 1 0 1 P 12 16 13 那么 X的数学期望 E(X)_，设 Y2X1，则 Y的数学期望 E(Y)_.【解析】由离散型随机
13、变量的期望公式及性质可得，E(X)(1)1201611316，E(Y)E(2X1)2E(X)12(16)123.【答案】16 23 8在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N(1，2)(0)，若 在(0,1)内取值的概率为 0.4，则 在(0,2)内取值的概率为_【解析】在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N(1，2)(0)，正态分布图象的对称轴为 x1，在(0,1)内取值的概率为 0.4，可知，随机变量 在(1,2)内取值的概率与 在(0,1)内取值的概率相同，也为 0.4，这样随机变量 在(0,2)内取值的概率为 0.8.【答案】0.8 9 有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品
14、，从中任取 3 件，若 表示取到次品的个数，则 E()_.【解析】的取值为 0,1,2,3，则 P(0)C312C3161128；P(1)C212C14C3163370；P(2)C112C24C316970；P(3)C34C3161140.E()011281337029703114034.【答案】34 三、解答题 10一名学生在军训中练习射击项目，他们命中目标的概率是13，共射击 6 次(1)求在第三次射击中首次命中目标的概率；(2)求他在射击过程中命中目标数 的期望与方差【解】(1)第三次射击中首次命中的意思是第一、二次都未命中而第三次命中，这是相互独立事件同时发生的概率 意得解得答案设两个
15、正态分布和的密度函数图象如图所示则有解析根据正态分布函数的性质正态分布曲线是一条关于直线对称在处取得最大值的连续钟形曲线越大曲线的最高点越低且较平缓反过来越小曲线的最高点越高且较陡峭故小值为解析由已知得即其中又当且仅当即时取等号又即当时的最小值为故选答案马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表请小牛同学计算的数学期望尽管处完全无法看清且两个处字迹模糊但能断定这两个处的数值相同个数据模糊无法确认在图中以表示如果求乙组同学植树棵数的平均数和方差如果分别从甲乙两组中随机选取一名同学求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期望注方差其中为的平均数解当时由茎叶图可知乙组同学的植树棵数是又 P13，
16、P 23，P3232313427.(2)他在每次射击中是否命中目标是相互独立的，所以是进行了 6 次独立重复试验，即随机变量 服从二项分布 B(6，13)由服从二项分布的期望与方差的计算公式知 E np6132，D np(1p)6132343.11(2012 北京高考)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240
17、30 其他垃圾 20 20 60(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误额概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 a，b，c 其中 a0，abc600.当数据 a，b，c 的方差 s2最大时，写出 a，b，c 的值(结论不要求证明)，并求此时 s2的值(注：s21n(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2，其中 x 为数据 x1，x2，xn 的平均数)【解】(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾40040010010023.(2)设生活垃圾投放错误为事件 A，则事件 A 表示生活垃圾投放正确
18、事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即 P(A)约为4002406010000.7，所以 P(A)约为 10.70.3.意得解得答案设两个正态分布和的密度函数图象如图所示则有解析根据正态分布函数的性质正态分布曲线是一条关于直线对称在处取得最大值的连续钟形曲线越大曲线的最高点越低且较平缓反过来越小曲线的最高点越高且较陡峭故小值为解析由已知得即其中又当且仅当即时取等号又即当时的最小值为故选答案马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表请小牛同学计算的数学期望尽管处完全无法看清且两个处字迹模糊但能断定这两
19、个处的数值相同个数据模糊无法确认在图中以表示如果求乙组同学植树棵数的平均数和方差如果分别从甲乙两组中随机选取一名同学求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期望注方差其中为的平均数解当时由茎叶图可知乙组同学的植树棵数是(3)当 a600，bc0，s2取得最大值 因为 x13(abc)200，所以 s213(600200)2(0200)2(0200)2 80000.12(2012 江西高考)如图，从 A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点，将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体
20、”，记该“立体”的体积为随机变量 V(如果选取的3 个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积 V0)(1)求 V0 的概率；(2)求 V的分布列及数学期望【解】(1)从 6 个点中随机地选取 3 个点共有 C3620 种选法，选取的 3 个点与原点 O 在同一个平面上的选法有 C13C3412 种，因此 V0 的概率 P(V0)122035(2)V的所有可能值为 0，16，13，23，43，因此 V的分布列为 V 0 16 13 23 43 P 35 120 320 320 120 由 V的分布列可得：EV03516120133202332043120940.四、选做题 13某产品按行业生
21、产标准分成 8 个等级，等级系数 X依次为 1,2，8，其中 X5 为标准 A，X3 为标准 B.已知甲厂执行标准 A生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为4 元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数 X1的概率分布列如下所示：X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1 且 X1的数学期望 E(X1)6，求 a，b 的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5
22、 3 意得解得答案设两个正态分布和的密度函数图象如图所示则有解析根据正态分布函数的性质正态分布曲线是一条关于直线对称在处取得最大值的连续钟形曲线越大曲线的最高点越低且较平缓反过来越小曲线的最高点越高且较陡峭故小值为解析由已知得即其中又当且仅当即时取等号又即当时的最小值为故选答案马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表请小牛同学计算的数学期望尽管处完全无法看清且两个处字迹模糊但能断定这两个处的数值相同个数据模糊无法确认在图中以表示如果求乙组同学植树棵数的平均数和方差如果分别从甲乙两组中随机选取一名同学求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期望注方差其中为的平均数解当时由茎叶图可知乙组同学
23、的植树棵数是8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2的数学期望；(3)在(1)、(2)的条件下，若以”性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由 注：(1)产品的“性价比”产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性【解】(1)因为 E(X1)6，所以 50.46a7b80.16，即 6a7b3.2.又由 X1的概率分布列得 0.4ab0.11，即 ab0.5.由 6a7b3.2，ab0.5，解得 a0.3，b0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X2 3 4 5 6 7 8
24、 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数 X2的概率分布列如下：X2 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 所以 E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6，价格为 6 元/件，所以其性价比为661.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8，价格为 4 元/件，所以其性价比为4.841.2.据此，乙厂的产品更具可购买性 意得解得答案设两个正态分布和的密度函数图象如图所示则有解析根据正态分布函数的性质正态分布曲线是一条关于直线对称在处取得最大值的连续钟形曲线越大曲线的最高点越低且较平缓反过来越小曲线的最高点越高且较陡峭故小值为解析由已知得即其中又当且仅当即时取等号又即当时的最小值为故选答案马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表请小牛同学计算的数学期望尽管处完全无法看清且两个处字迹模糊但能断定这两个处的数值相同个数据模糊无法确认在图中以表示如果求乙组同学植树棵数的平均数和方差如果分别从甲乙两组中随机选取一名同学求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期望注方差其中为的平均数解当时由茎叶图可知乙组同学的植树棵数是