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1、学习必备 欢迎下载 一元二次方程单元知识复习与总结 一、引例 瑞士的列昂纳德欧拉（17071783），既是一位伟大的数学家，也是一位教子有方的父亲，他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考。如下题：“父亲临终时立下遗嘱，要按下列方式分配遗产：老大分得 100 克朗和剩下的110；老二分得 200 克朗和剩下的110；老三分得 300 克朗和剩下的110；以此类推分给其他的孩子，最后发现，遗产全部分完后所有孩子分得的遗产相等；遗产总数、孩子人数和每个孩子分得的遗产各是多少？”这道题需要列方程求解。解析 设孩子数为x 人，则最后一个孩子分得遗产为100 x 克朗,老大分得遗产100+110(10
2、0 x2-100)克朗，得方程 100+110(100 x2-100)=100 x.同学们，你会解此方程吗？整理方程得 x2-10 x+9=0.(x-9)(x-1)=0,x1=9,x2=1(舍去).遗产总数是 8100 克朗；有个孩子，每个孩子分得的遗产是 900 克朗。点评：二、一元二次方程的解法 运用因式分解法时，首先应将右边各项移到方程的左边，使方程右边为；然后再将方程左边的式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方程，常借助于提公因式法、公式法、十字相乘法等来分解因式。例：用适当的方法解下列一元二次方程:(1)(2x-1)2-9=0;(2)x2+x-1=0;(3)x2-4x=1;(4)3
3、x2-16x+5=0;(5)(3x+2)2=4(x-3)2;(6)(y-1)2=2y(1-y);(7)3a2x2-3abx-2b2=0(a0)(8)x2+2mx=(n+m)(n-m).解析 (1)两边开平方，得 2x-1=3 或 2x-1=-3,x1=2,x2=-1;(2)已知：a=1,b=1,c=-1.x1=152,x2=152;(3)整理原方程，得 x2-4x-1=0,(x-2)2=5.x1=2+5,x2=2-5.(4)原方程可化为(3x-1)(x-5)=0,x1=13,x2=5;(5)两边开平方,得 3x+2=2(x-3)或 3x+2=-2(x-3),x1=-8,x2=45.学习必备 欢
4、迎下载 (6)原方程可化为(y-1)(3y-1)=0,y1=1,y2=13.(7)原方程可化为(3ax+b)(3ax-b)=0,x1=33ba,x2=2 33ba.(8)原方程可化为(x+n+m)(x+m-n)=0,x1=-n-m,x2=n-m.点评 此题主要考虑怎样选择一元二次方程的解法，使运算达到最简便。(1)由原方程得(2x-1)2=9,显然适合用直接开平方法，当然也可用因式分解法；(2)由不是完全平方数，不适合用因式分解法，因一次项系数不是偶数，也不适用配方法，本题适用公式法；(3)因二次项系数为，一次项系数为偶数故本题适用配方法；(4)本题适用因式分解法（记住符号的选择）；(5)本题
5、可用因式分解法，也可用直接开平方法；(6)把(y-1)看作一个整体，用因式分解法比较合适；(7)注意到 3=(3)2,即可用因式分解法；(8)因二次项系数为，一次项系数为的倍数，故适用配方法；因字母系数较简单，也可用因式分解法。例：解方程 x4+(x-4)4=626.解析 设42xx=y 即 y=x-2,则原方程可化为(y+2)4+(y-2)4=626,化简,得 y4+24y2-297=0,则(y2-9)(y2+33)=0,y2-9=0.则 y1=3,y2=-3,x1=5,x2=-1.点评:此方程是一个高次方程,若展开(x-4)4不但解决不了问题,还使方程变得更无规律可循了,故此处可用“平均值
6、换元法”.例 3：解方程 2x4+3x3-16x2+3x+2=0.解析 观察原方程可知 x0,所以方程两边可同除以 x2,得 2x2+3x-16+232xx=0,2(x2+21x)+3(x+1x)-16=0 配方,得 2(x+1x)2+3(x+1x)-20=0 设 x+1x=y,则 2y2+3y-20=0,(2y-5)(y+4)=0.教子有方的父亲他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考如下题父亲临终时立下遗嘱要按下列方式分配遗产老大分得克朗和剩下的老二分得克朗和剩下的老三分得克朗和剩下的以此类推分给其他的孩子最后发现遗产全部分完数为人则最后一个孩子分得遗产为克朗老大分得遗产克朗得方程同学们
7、你会解此方程吗整理方程得舍去遗产总数是克朗有个孩子每个孩子分得的遗产是克朗点评二一元二次方程的解法运用因式分解法时首先将右边各项移到方程的左字相乘法等来分解因式例用适当的方法解下列一元二次方程解析两边开平方得或已知整理原方程得原方程可化为两边开平方得或原方程可化为学习必备欢迎下载原方程可化为原方程可化为点评此题主要考虑怎样选择一元二次方程的学习必备 欢迎下载 y1=52,y2=-4.由 x+1x=52 解得 x1=2,x2=12;由 x+1x=-4,解得 x3=-2+3,x4=-2-3.原方程的解为 x1=2,x2=12,x3=-2+3,x4=-2-3.点评:若对于一个方程(未知数为 x),以
8、1x代替 x 方程不变,则称为倒数方程,本题即是倒数方程,其系数特点是:与首末两项等距离的两项系数相等且 x0,由此,可在方程两边同除以 x2,然后配方成关于(x+1x)的一元二次方程,再利用换元法来解.例 4：九年义务教育三年制初级中学教科书代数第三册第 52 页的例 2 是:解方程 x4-6x2+5=0.这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的通常解法是:设 x2=y,那么 x4=y2,于是原方程可变为 y2-6y+5=0.解这个方程,得 y1=1,y2=5.当 y=1 时,x2=1,x=1;当 y=5 时,x2=5,x=5.故原方程有四个根.x1=1,x2=-1,x3=5,x4=-5
9、。(1)填空:在由原方程得到方程的过程中,利用_法达到降次的目的,体现了_的数学思想;(2)解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0.解析 (1)换元,转化;(2)设 x2-x=y,原方程变为 y2-4y-12=0,y1=6,y2=-2.当 y=6 时,x2-x-6=0,解得 x1=3,x2=-2;当 y=-2 时,x2-x+2=0,0,此方程无实根.原方程的根为 x1=3,x2=-2.点评：高次方程一般可通过换元的方法转化为低次方程,较复杂的一元二次方程可通过整体代换的方法转教子有方的父亲他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考如下题父亲临终时立下遗嘱要按下列方式分配遗产老大分得克朗
10、和剩下的老二分得克朗和剩下的老三分得克朗和剩下的以此类推分给其他的孩子最后发现遗产全部分完数为人则最后一个孩子分得遗产为克朗老大分得遗产克朗得方程同学们你会解此方程吗整理方程得舍去遗产总数是克朗有个孩子每个孩子分得的遗产是克朗点评二一元二次方程的解法运用因式分解法时首先将右边各项移到方程的左字相乘法等来分解因式例用适当的方法解下列一元二次方程解析两边开平方得或已知整理原方程得原方程可化为两边开平方得或原方程可化为学习必备欢迎下载原方程可化为原方程可化为点评此题主要考虑怎样选择一元二次方程的学习必备 欢迎下载 化为较简单的一元二次方程(如本例 2),这是一种重要的数学思想.例 5：当 m为何值时
11、,关于 x 的方程22111xmxxxx 无实根?解析 原方程可化为211(1)1xmxx xx,去分母,整理,得 x2-x+2-m=0,(1)把增根 x=0 代入,得 m=2,把增根 x=1 代入,得 m=2;(2)令=(-1)2=4(2-m)0,得 m74,综上所述,当 m74 或 m=2时,原方程无实根.点评:分式方程转变成一元二次方程时,根的范围扩大了,所以解分式方程时必须验根.若使分式方程无解,则有两种情况:一元二次方程的解使分母为 0;一元二次方程无解,即0.方程总有 2 个不同的实数根,按题设原方程只有 1 个解,因此必有一根是原方程的增根,从原方程知道,增根只可能是使 x2-x
12、=0 即 x=0 或 x=1.显然,0 不是的根,故 x=1 是方程的根,代入得k=12,由根与系数的关系得原方程的根为-1k=-2,当 k=0 时,方程的解为 x=2;当 k=12 时,方程的解为 x=-2.点评:本题首先想到化为整式方程,这个整式方程是含参系数的二次方程形式,应讨论,将分式方程化为整式方程时,常会出现增根,本题考点就在于此.例 7：设关于 x 的二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4 的两根都是整数,求满足条件的所有实数 k 的值.解析 原方程可化为(k-4)(k-2)x2+(2k2-6k-4)x+(k-2)(k+2)=0,(k-4)x+(k-2)
13、(k-2)x+(k+2)=0.(k-4)(k-2)0 教子有方的父亲他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考如下题父亲临终时立下遗嘱要按下列方式分配遗产老大分得克朗和剩下的老二分得克朗和剩下的老三分得克朗和剩下的以此类推分给其他的孩子最后发现遗产全部分完数为人则最后一个孩子分得遗产为克朗老大分得遗产克朗得方程同学们你会解此方程吗整理方程得舍去遗产总数是克朗有个孩子每个孩子分得的遗产是克朗点评二一元二次方程的解法运用因式分解法时首先将右边各项移到方程的左字相乘法等来分解因式例用适当的方法解下列一元二次方程解析两边开平方得或已知整理原方程得原方程可化为两边开平方得或原方程可化为学习必备欢迎下载原
14、方程可化为原方程可化为点评此题主要考虑怎样选择一元二次方程的学习必备 欢迎下载 x1=-24kk=-1-24k,x2=24122kkk.k-4=121x,k-2=221x,12(1,1)xx 消去 k,得 x1x2+3x1+2=0.x1(x2+3)=-2.由于 x1,x2都是整数.12231xx ;12132xx ;12231xx ;即1222xx ;1215xx;1224xx.k=6,3,103.经检验,k=6,3,103 满足题意.点评 本题方程整理成关于 x 的一元二次方程的一般形式后,二次项系数不为 0 是隐含的条件,应考虑.将参数 k 用方程两根表示并最终消去参数 k 是解题的关键.
15、练习卷 1.解方程 169x2-39x-2=0.教子有方的父亲他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考如下题父亲临终时立下遗嘱要按下列方式分配遗产老大分得克朗和剩下的老二分得克朗和剩下的老三分得克朗和剩下的以此类推分给其他的孩子最后发现遗产全部分完数为人则最后一个孩子分得遗产为克朗老大分得遗产克朗得方程同学们你会解此方程吗整理方程得舍去遗产总数是克朗有个孩子每个孩子分得的遗产是克朗点评二一元二次方程的解法运用因式分解法时首先将右边各项移到方程的左字相乘法等来分解因式例用适当的方法解下列一元二次方程解析两边开平方得或已知整理原方程得原方程可化为两边开平方得或原方程可化为学习必备欢迎下载原方程可
16、化为原方程可化为点评此题主要考虑怎样选择一元二次方程的学习必备 欢迎下载 2.解关于 x 的方程 3x2-2(a+2b)x+b2-a2=0.3.解方程(x+2)4+(x-4)4=272.4.解方程 2x4+3x3-x2+3x+2=0.6.解方程 213134211xxxxxx.7.当方程(m2+1)x2-(m+1)x-3=0 的一个根为 x=-1,则 m的值为多少?8.当1110abab 时,求baab的值.9.已知 a 是方程 x2+x-14=0 的根,求331aaa的根.教子有方的父亲他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考如下题父亲临终时立下遗嘱要按下列方式分配遗产老大分得克朗和剩下的
17、老二分得克朗和剩下的老三分得克朗和剩下的以此类推分给其他的孩子最后发现遗产全部分完数为人则最后一个孩子分得遗产为克朗老大分得遗产克朗得方程同学们你会解此方程吗整理方程得舍去遗产总数是克朗有个孩子每个孩子分得的遗产是克朗点评二一元二次方程的解法运用因式分解法时首先将右边各项移到方程的左字相乘法等来分解因式例用适当的方法解下列一元二次方程解析两边开平方得或已知整理原方程得原方程可化为两边开平方得或原方程可化为学习必备欢迎下载原方程可化为原方程可化为点评此题主要考虑怎样选择一元二次方程的学习必备 欢迎下载 10.已知方程(x-19)(x-97)=p有实根 r1和 r2,试求方程(x-r1)(x-r2
18、)=-p 的最小实根.11.已知两个二次方程 x2+ax+b=0,x2+cx+d=0 有一个公共根 1,求证:二次方程 x2+22acbdx=0也有一个根为 1.12.x表示不超过实数 x 的最大整数,令x=x-x.(1)找出一个实数 x,使x+1x =1;(2)证明:满足上述等式的 x 都不是有理数.13.已知方程组123199812319981234199812199719981111x x xxxx xxx xx xxx xxx 求1990 x.A卷答案:1.x1=31726,x2=31726.2.x1=3ba,x2=a+b.教子有方的父亲他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考如下题
19、父亲临终时立下遗嘱要按下列方式分配遗产老大分得克朗和剩下的老二分得克朗和剩下的老三分得克朗和剩下的以此类推分给其他的孩子最后发现遗产全部分完数为人则最后一个孩子分得遗产为克朗老大分得遗产克朗得方程同学们你会解此方程吗整理方程得舍去遗产总数是克朗有个孩子每个孩子分得的遗产是克朗点评二一元二次方程的解法运用因式分解法时首先将右边各项移到方程的左字相乘法等来分解因式例用适当的方法解下列一元二次方程解析两边开平方得或已知整理原方程得原方程可化为两边开平方得或原方程可化为学习必备欢迎下载原方程可化为原方程可化为点评此题主要考虑怎样选择一元二次方程的学习必备 欢迎下载 提示:原方程可变形为 3x2-4bx
20、+b2=2ax+a2,(2x-b)2=(x+a)2 2x-b=(x+a),即有x1=3ba,x2=a+b.3.m=152 4.5 提示:去分母整理得 a2+ab-b2=0,210aabb 求得152ab 当152ab 时,5abba;当152ab 时,5abba .5.5 由已知 a2+a=14,则3223111(1)(1)1451(1)(1)(1)4aaaaaaaaa aaa a 6.19 r1、r2是一元二次方程(x-19)(x-97)=p的两个根,(x-19)(x-97)-p=(x-r1)(x-r2)=0,则(x-r1)(x-r2)+p=(x-19)(x-97)可见,19、97 为方程(
21、x-r1)(x-r2)+p=0 的两根,19 为所求.B卷答案:1.略 2.0,2 提示:令(2)(4)2xx=x-1=y,原方程变为(y+3)4+(y-3)4=272,即得 y=1.故 x1=0,x2=2.3.方程两边除以 x2得 2(x2+21x)+3(21x+x)-1=0 令 x+1x=y,则有 2y2+3y-5=0,y1=52,y2=1.求得 x1=-2,x2=12.教子有方的父亲他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考如下题父亲临终时立下遗嘱要按下列方式分配遗产老大分得克朗和剩下的老二分得克朗和剩下的老三分得克朗和剩下的以此类推分给其他的孩子最后发现遗产全部分完数为人则最后一个孩子
22、分得遗产为克朗老大分得遗产克朗得方程同学们你会解此方程吗整理方程得舍去遗产总数是克朗有个孩子每个孩子分得的遗产是克朗点评二一元二次方程的解法运用因式分解法时首先将右边各项移到方程的左字相乘法等来分解因式例用适当的方法解下列一元二次方程解析两边开平方得或已知整理原方程得原方程可化为两边开平方得或原方程可化为学习必备欢迎下载原方程可化为原方程可化为点评此题主要考虑怎样选择一元二次方程的学习必备 欢迎下载 4.(1)设x=m+a,m为整数,0a1,1x=n+b,n 为整数,0b1,则 a+b=1,从而x+1x=(m+a)+(n+b)=m+n+1,即满足(1)的 x 必使 x+1x为整数;反之,若 x
23、+1x为整数,则 a+b=1,即(1)成立.令 x+1x=k,(k为整数)则x2-kx+1=0,故 x=21(4)2kk,当k=2 时,x=12 k=1,不合题意.当k3 时,x=21(4)2kk是满足题设条件的全体实数,如取 k=3,则 x=1(35)2.(2)下面证明形如的数不是有理数,这只需证 k2-4 不是完全平方数,设 k2-4=s2,其中 s 为正整数,则(k+s)(k-s)=4,而 k+s 与 k-s 的奇偶性相同,又它们的积为偶数,故有22ksks 或22ksks .解得 k=2,s=0,与k3 矛盾.故 k2-4 不是完全平方数.5.设 x1=y1,x1x2=y2,x1x21
24、997x=1997y,则方程组化为 1219981122199719971111111x xxyyyyyy 求得 y1=y2=1997152y.12199019901990121989198915 151,15 15x xxyxx xxy.6.设 y=131xx,原方程变为 xy(x+y)=42.又xy+(x+y)=22131311xxxxx=13,由韦达定理,xy,(x+y)是方程 z2-13z+42=0 的两根.解得 z1=6,z2=7.即76xyxy 或67xyxy.故 x1=1,x2=6,x3=3+2,x4=3-2.教子有方的父亲他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考如下题父亲临终时立下遗嘱要按下列方式分配遗产老大分得克朗和剩下的老二分得克朗和剩下的老三分得克朗和剩下的以此类推分给其他的孩子最后发现遗产全部分完数为人则最后一个孩子分得遗产为克朗老大分得遗产克朗得方程同学们你会解此方程吗整理方程得舍去遗产总数是克朗有个孩子每个孩子分得的遗产是克朗点评二一元二次方程的解法运用因式分解法时首先将右边各项移到方程的左字相乘法等来分解因式例用适当的方法解下列一元二次方程解析两边开平方得或已知整理原方程得原方程可化为两边开平方得或原方程可化为学习必备欢迎下载原方程可化为原方程可化为点评此题主要考虑怎样选择一元二次方程的