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1、八年级数学(上)期末复习+例题解析 第一章三角形全等 1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。理解：全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；三角形全等不因位置发生变化而改变。2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。理解：长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。全等三角形的周长相等、面积相等。全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。3、全等三角形的判定：边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
2、。角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等。斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、证明两个三角形全等的基本思路：已知两边：找第三边（SSS）；找夹角（SAS）；找是否有直角（HL）.已知一边一角：找一角（AAS或 ASA）；找夹边（SAS）.已知两角：找夹边（ASA）；找其它边（AAS）.例题评析 例 1 已知：如图，点 D、E在 BC上，且 BD=CE，AD=AE，求证：AB=AC 例 2 已知：如图，A、C、F、D 在
3、同一直线上，AFDC，ABDE，BCEF，求证：ABC DEF 例 3 已知：BECD，BEDE，BCDA，求证：BEC DEA；DFBC 例 4 如图，在ABE中，ABAE,AD AC,BAD EAC,BC、DE交于点 O.求证：(1)ABC AED；(2)OBOE.例 5 如图，在正方形 ABCD中，E为 DC边上的点，连接 BE，将BCE绕点 C顺时针方向旋转 90得到DCF，连接 EF，若BEC=60，求EFD的度数.例 6如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点 B的位置，AB与CD交于点E.（1）试找出一个三角形与AED全等，并加以证明.（2）若AB=8，D E=3
4、，P为线段AC上的任意一点，PGAE于G，PHEC于H，PG+PH的值会变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出这个值。B C D E F A B C D E F A A B C D E 理解全等三角形形状与大小完全相等与位置无关一个三角形经过平移翻折旋转后得到的三角形与原三角形仍然全等三角形全等不因位置发生变化而改变全等三角形的性质全等三角形的对应边相等对应角相等理解长边对长边短边对短全等三角形的对应边上的对应中线角平分线高线分别相等全等三角形的判定边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论有两角和其中一角的对边对应相的两
5、个直角三角形全等证明两个三角形全等的基本思路已知两边找第三边找夹角找是否有直角已知一边一角找一角或找夹边已知两角找夹边找其它边例题评析例已知如图点在上且求证例已知如图在同一直线上求证例已知求证例如图例 7已知，点 P是直角三角形 ABC斜边 AB上一动点（不与 A，B重合），分别过 A，B向直线 CP作垂线，垂足分别为 E，F，Q 为斜边 AB的中点 （1）如图 1，当点 P 与点 Q 重合时，AE与 BF的位置关系是，QE与 QF的数量关系是；（2）如图 2，当点 P在线段 AB上不与点 Q 重合时，试判断 QE与 QF的数量关系，并给予证明；（3）如 图 3，当点 P 在线段 BA（或 A
6、B）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明 复习作业：解答题 1.（1）如下图，等边ABC内有一点 P若点 P到顶点 A，B，C的距离 分别为 3，4，5，则APB=_。分析：由于 PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将ABP绕顶点 A旋转到ACP 处，此时ACP _这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出APB的度数。（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知 如右图，ABC中，CAB=90，AB=AC，E、F为 BC上的点且EAF=45，求证：EF2=BE2+FC2。2.如图所示，四边形ABCD的对角线A
7、C，BD相交于点O，ABCBAD 求证：（1）OA=OB；（2）ABCD 3.如图所示，ABCADE，且CAD=10，B=D=25，理解全等三角形形状与大小完全相等与位置无关一个三角形经过平移翻折旋转后得到的三角形与原三角形仍然全等三角形全等不因位置发生变化而改变全等三角形的性质全等三角形的对应边相等对应角相等理解长边对长边短边对短全等三角形的对应边上的对应中线角平分线高线分别相等全等三角形的判定边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论有两角和其中一角的对边对应相的两个直角三角形全等证明两个三角形全等的基本思路已知两边找第三边
8、找夹角找是否有直角已知一边一角找一角或找夹边已知两角找夹边找其它边例题评析例已知如图点在上且求证例已知如图在同一直线上求证例已知求证例如图EAB=120，求DFB和DGB的度数 4.如图所示，已知 AE AB，AFAC，AE=AB，AF=AC.求证：（1）EC=BF；（2）EC BF.5.已知：如图，AB=AE,1=2,B=E.求证：BC=ED.6.如图所示，在ABC中，AB=AC，BDAC于 D，CE AB于E，BD，CE相交于 F.求证：AF平分BAC.7.ABC中，ACB 90，ACBC6，M 点在边 AC上，且 CM2，过 M 点作 AC的垂线交 AB边于 E点.动点 P 从点 A出发
9、沿 AC边向 M 点运动，速度为每秒 1 个单位，当动点 P到达 M 点时，运动停止.连接 EP，EC.在此过程中，当 t 为何值时，EPC的面积为 10？将EPC沿 CP翻折后，点 E的对应点为 F点，当 t 为何值时，PFEC？ACBEMPFACBEMP理解全等三角形形状与大小完全相等与位置无关一个三角形经过平移翻折旋转后得到的三角形与原三角形仍然全等三角形全等不因位置发生变化而改变全等三角形的性质全等三角形的对应边相等对应角相等理解长边对长边短边对短全等三角形的对应边上的对应中线角平分线高线分别相等全等三角形的判定边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理有两角和它们
10、的夹边对应相等的两个三角形全等推论有两角和其中一角的对边对应相的两个直角三角形全等证明两个三角形全等的基本思路已知两边找第三边找夹角找是否有直角已知一边一角找一角或找夹边已知两角找夹边找其它边例题评析例已知如图点在上且求证例已知如图在同一直线上求证例已知求证例如图8.在ABC中，ABC 90，分别以边AB、BC、CA向ABC外作正方形ABHI、正方形BCGF、正方形CAED，连接GD，AG，BD.如图 1，求证：AGBD.如图 2，试说明：SABCSCDG.（提示：正方形的四条边相等，四个角均为直角）图 1 图 2 第二章轴对称 1、轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个
11、图形而言。2、轴对称的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线；3、线段的垂直平分线：性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 4、角的角平分线：ACBFGEDIHACBFGEDIH理解全等三角形形状与大小完全相等与位置无关一个三角形经过平移翻折旋转后得到的三角形与原三角形仍然全等三角形全等不因位置发生变化而改变全等三角形的性质全等三角形的对应边相等对应角相等理解
12、长边对长边短边对短全等三角形的对应边上的对应中线角平分线高线分别相等全等三角形的判定边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论有两角和其中一角的对边对应相的两个直角三角形全等证明两个三角形全等的基本思路已知两边找第三边找夹角找是否有直角已知一边一角找一角或找夹边已知两角找夹边找其它边例题评析例已知如图点在上且求证例已知如图在同一直线上求证例已知求证例如图性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。判定定理：到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。5、等腰三角形：性质定理：
13、等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。（三线合一）判断定理：一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。（等角对等边）6、等边三角形：性质定理：等边三角形的三条边都相等；等边三角形的三个内角都相等，都等于60；拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一这性质。判断定理：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角是 60的三角形是等边三角形；有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。7、直角三角形推论：直角三角形中，如果有一个锐角是 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的
14、一半。拓展：直角三角形常用面积法求斜边上的高。例题评析 1、线段的对称轴有条，是 2、线段垂直平分线上的点到的 距离相等 DCAB理解全等三角形形状与大小完全相等与位置无关一个三角形经过平移翻折旋转后得到的三角形与原三角形仍然全等三角形全等不因位置发生变化而改变全等三角形的性质全等三角形的对应边相等对应角相等理解长边对长边短边对短全等三角形的对应边上的对应中线角平分线高线分别相等全等三角形的判定边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论有两角和其中一角的对边对应相的两个直角三角形全等证明两个三角形全等的基本思路已知两边找第三边找
15、夹角找是否有直角已知一边一角找一角或找夹边已知两角找夹边找其它边例题评析例已知如图点在上且求证例已知如图在同一直线上求证例已知求证例如图 3、到距离相等的点在线段的垂直平分线上 例 1：如图，在ABC中，DE是 AC的垂直平分线 (1)若 AC6，ABD的周长是 13，则ABC的周长是_；(2)若ABC的周长是 30，ABD的周长是 25，则 AC_ 例 2：如图，在ABC中，边 AB、AC的垂直平分线分别交 BC于点 E、点 D.(1)若 BC8，则ADE的周长是_；(2)若BAC=110，那么EAD _(3)若EAD=100，那么BAC _ 4、角的对称轴有条，是 5、角平分线上的点到的距
16、离相等 又 6、角的内部到距离相等 的点在角的平分线上 又 例 3：如图，在ABC中，C=90，AD平分BAC.(1)若 CD=5，则点 D到 AB的距离为.(2)若 BD：DC=3：2，点 D到 AB的距离为 6，则 BC的长是.例 4：如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为 A、B 下列结论中，不一定成立的是 ()APA=PB BPO 平分APB COA=OB DAB垂直平分 OP 补充：三角形的三条边的垂直平分线的交点到的距离相等 三角形的三条角平分线的交点到的距离相等 1.请你先在图的 BC上找一点 P，使点 P到 AB、AC的距离相等，再在射线 AP上找一点 Q，使 Q
17、B=QC 2.如图，求作点 P，使点 P同时满足：PA=PB；到直线 m，n 的距离相等 7、等边对等角 8、等角对等边 FEPBACDCABBACBADC理解全等三角形形状与大小完全相等与位置无关一个三角形经过平移翻折旋转后得到的三角形与原三角形仍然全等三角形全等不因位置发生变化而改变全等三角形的性质全等三角形的对应边相等对应角相等理解长边对长边短边对短全等三角形的对应边上的对应中线角平分线高线分别相等全等三角形的判定边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论有两角和其中一角的对边对应相的两个直角三角形全等证明两个三角形全等的
18、基本思路已知两边找第三边找夹角找是否有直角已知一边一角找一角或找夹边已知两角找夹边找其它边例题评析例已知如图点在上且求证例已知如图在同一直线上求证例已知求证例如图 9、等腰三角形、重合（三线合一）（有条对称轴）又又又 例 5：（1）等腰三角形的一边长为 5，另一边长为 11，则该等腰三角形的周长为（2）等腰三角形的两边长分别为 4、5.则该等腰三角形的周长为（3）已知等腰三角形的一个外角为 100，则这个等腰三角形的顶角为_（4）等腰ABC中，若A=30，则B=例 6：(1)如图，在 RtABC中，若 AB=AC，AD=AE，BAD=40,则EDC=_ (2)如图，ACB=90,E、F为 AB
19、上的点，AE=AC，BC=BF，则ECF=_ (3)如图，AB=AC=DC，且 BD=AD，则B=_ 例 7：如图，ABC、ACB的平分线相交于点 F，过点 F作 DEBC，交 AB于点 D，交 AC于点 E试说明 BDEC DE 例 8：如图，已知 AB=AC，AD=AE 求证：BD=CE 例 9：在ABC中，AB=AC，点 D是 BC的中点，点 E在 AD上（1）求证：BE=CE；（2）如图 2，若 BE的延长线交 AC于点 F，且 BFAC，垂足为F，BAC=45，原题设其它条件不变求证：AEFBCF 10、（1）等边三角形的性质：等边三角形的三条边，三个角都是，每条边上都有三线合一，有
20、条对称轴（2）等边三角形的 3个判定方法：DBCAEEFDBCA理解全等三角形形状与大小完全相等与位置无关一个三角形经过平移翻折旋转后得到的三角形与原三角形仍然全等三角形全等不因位置发生变化而改变全等三角形的性质全等三角形的对应边相等对应角相等理解长边对长边短边对短全等三角形的对应边上的对应中线角平分线高线分别相等全等三角形的判定边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论有两角和其中一角的对边对应相的两个直角三角形全等证明两个三角形全等的基本思路已知两边找第三边找夹角找是否有直角已知一边一角找一角或找夹边已知两角找夹边找其它边例
21、题评析例已知如图点在上且求证例已知如图在同一直线上求证例已知求证例如图三条边都的三角形是等边三角形 三个角都的三角形是等边三角形 有一个角是的三角形是等边三角形 例 10：(1)如图，在等边三角形 ABC中，BDCE，AD与 BE相交于点 P，则APE=_ (2)如图，正方形 ABCD，EAD为等边三角形，则EBC _(3)如图，已知等边ABC，AC=AD,且 ACAD，垂足为 A，则BEC _ 例 11：如图，C为线段 AE上一动点(点 C不与点 A、E重合)，在 AE的同侧分别作等边ABC和等边CDE，AD与 BE相交于点 O，AD与 BC相交于点 P，BE与 CD相交于点 Q，连接 PQ
22、 下列五个结论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60，其中恒成立的有_(填序号)例 12：如图，ABC是等边三角形，D 是 AB边上的一点，以 CD为边作等边三角形 CDE，使点 E、A在直线 DC的同侧，连接 AE 求证：AE BC 11、直角三角形斜边上的中线等于 又 12、用等积法求直角三角形斜边上的高 S ABC=13、直角三角形中，30的角所对的直角 边等于 又 A B C D DABCDABCABC理解全等三角形形状与大小完全相等与位置无关一个三角形经过平移翻折旋转后得到的三角形与原三角形仍然全等三角形全等不因位置发生变化而改变全等三角形的性质全等三角形的对应
23、边相等对应角相等理解长边对长边短边对短全等三角形的对应边上的对应中线角平分线高线分别相等全等三角形的判定边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论有两角和其中一角的对边对应相的两个直角三角形全等证明两个三角形全等的基本思路已知两边找第三边找夹角找是否有直角已知一边一角找一角或找夹边已知两角找夹边找其它边例题评析例已知如图点在上且求证例已知如图在同一直线上求证例已知求证例如图例 12：(1)在 RtABC中，C=90，CD是斜边 AB的中线，且 CD=4 cm，则 AB=_ (2)在 RtABC中，C=90，B=30，AB=8，则
24、 AC=_(3)在 RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，则 AB边上的高 CD=例 13：如图，在ABC中，BD、CE是高，G、F分别是 BC、DE的中点，连接 GF，求证：GFDE 例 14：如图，已知：三角形 ABC中，A90，ABAC，D为 BC的中点，E，F分别是 AB，AC上的点，且 BEAF，求证：DEF为等腰直角三角形 相关练习：1如图，在ABC中，BC=8 cm，BP、CP分别是ABC和ACB的平分线，且 PDAB，PEAC，求PDE的周长 2如图，在边长为 2 等边ABC中，AD是 BC边上的中线，E、F是 AD的三等分点，则图中阴影部分的面积是_cm2 3 如图，在
25、ABC中，CD与 C，分别是ABC的内角、外角平分线，DF/BC交 AC于点 E 试说明(1)DCF为直角三角形；(2)DE=EF 4如图，ABC是等腰三角形，B=C，AD是底边 BC上的高，DEAB交 AC于点 E试找出图中除ABC外的等腰三角形，并说明你的理由 理解全等三角形形状与大小完全相等与位置无关一个三角形经过平移翻折旋转后得到的三角形与原三角形仍然全等三角形全等不因位置发生变化而改变全等三角形的性质全等三角形的对应边相等对应角相等理解长边对长边短边对短全等三角形的对应边上的对应中线角平分线高线分别相等全等三角形的判定边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理有两
26、角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论有两角和其中一角的对边对应相的两个直角三角形全等证明两个三角形全等的基本思路已知两边找第三边找夹角找是否有直角已知一边一角找一角或找夹边已知两角找夹边找其它边例题评析例已知如图点在上且求证例已知如图在同一直线上求证例已知求证例如图5.如图，AD是ABC的角平分线，点 E在 AB上，且 AE=AC，EFBC交 AC于点 F求证：EC平分DEF 6如图，AC平分BAD，CEAB于 E，CFAD于 F，且 BCDC BE与 DF相等吗？请说明理由 7如图，C为线段 AB上任意一点（不与 A、B重合），在 AB的同侧分别作 ACD和BCE，CACD，CBCE，
27、ACD与BCE都是锐角，且ACD BCE，连接 AE交 CD于点 M，连接 BD交 CE于点 N，AE与 BD交于点 P，连接 PC 试说明：(1)ACE DCB (2)PC平分APB 8如图，等边ABC中，D是 AC的中点，延长 BC到点 E，使 CE=CD，AB=10cm(l）求 BE的长；(2）试说明 BD=ED 9画图、证明：如图，AOB=90，点 C、D分别在 OA、OB上（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作AOB 的平分线 OP；作线段 CD 的垂直平分线 EF，分别与 CD、OP相交于 E、F；连接 OE、CF、DF（2）在所画图中，线段 OE与 CD之间有怎样的数量关系
28、，并说明理由 求证：CDF为等腰直角三角形 10.如图，已知点 D为等腰直角ABC内一点，CAD CBD 15，E为 AD延长线上的一点，且 CE CA （1）求证：DE平分BDC；（2）若点 M在 DE上，且 DC=DM，求证：ME=BD 理解全等三角形形状与大小完全相等与位置无关一个三角形经过平移翻折旋转后得到的三角形与原三角形仍然全等三角形全等不因位置发生变化而改变全等三角形的性质全等三角形的对应边相等对应角相等理解长边对长边短边对短全等三角形的对应边上的对应中线角平分线高线分别相等全等三角形的判定边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的
29、两个三角形全等推论有两角和其中一角的对边对应相的两个直角三角形全等证明两个三角形全等的基本思路已知两边找第三边找夹角找是否有直角已知一边一角找一角或找夹边已知两角找夹边找其它边例题评析例已知如图点在上且求证例已知如图在同一直线上求证例已知求证例如图11.如图，设BAC=（0 90）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线 AB，AC上.从点 A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1.(1)小棒能无限摆下去吗？答：.(填“能”或“不能”)(2)若已经摆放了 3 根小棒，则 1=_，2=_，3=_；（用含 的式子表示）(3)若只能摆放4 根
30、小棒，求 的范围.12如图 1，点 P、Q 分别是等边ABC边 AB、BC上的动点（端点除外），点 P从顶 点 A、点 Q 从顶点 B同时出发，且它们的运动速度相同，连接 AQ、CP交于点 M（1）求证：ABQCAP；（2）当点 P、Q 分别在 AB、BC边上运动时，QMC 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数（3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC上运动，直线 AQ、CP交点为 M，则QMC 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数 13如图，在ABC中，ABAC，点 D、E、F分别在 BC、AB、AC边上，且 BECD，BDCF (1)试说明
31、 DEDF(2)若A40，求EDF的度数 理解全等三角形形状与大小完全相等与位置无关一个三角形经过平移翻折旋转后得到的三角形与原三角形仍然全等三角形全等不因位置发生变化而改变全等三角形的性质全等三角形的对应边相等对应角相等理解长边对长边短边对短全等三角形的对应边上的对应中线角平分线高线分别相等全等三角形的判定边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论有两角和其中一角的对边对应相的两个直角三角形全等证明两个三角形全等的基本思路已知两边找第三边找夹角找是否有直角已知一边一角找一角或找夹边已知两角找夹边找其它边例题评析例已知如图点在上
32、且求证例已知如图在同一直线上求证例已知求证例如图14如图，ABC中，AB=AC，BAC=54，BAC的平分线与 AB的垂直平分线交于点 O，将C沿 EF（E在 BC上，F在 AC上）折叠，点 C与点 O 恰好重合，则OEC为 _ 15如图，在ABC中，ABAC5，BC6，点 M 为 BC的中点，MNAC于点 N，则 MN等于 16如图，P 为AOB的平分线 OC上任意一点，PMOA于 M，PNOB于 N，连接 MN 交OP 于点 D则PMPN；MONO；OPMN；MDND其中正确的有 17如图所示，等边三角形 ABC的边长是 6，点 P 在边 AB上，点 Q 在 BC的延长线上，且APCQ，设
33、 PQ 与 AC相交于点 D(1)当DQC30时，求 AP的长(2)作 PEAC于 E，求证：DEAE CD 18如图，在ABC中，已知 BABC，B120，AB的垂直平分线 DE交 AC于点 D (1)求A的度数；(2)若 AC6cm，求 AD的长度 19.若直角三角形斜边上的高和中线分别为 10 cm、12 cm，则它的面积为_cm2 20.如图，某市把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，ACB=90o AC=80 mBC=60 m(1)若入口 E在边 AB上，且与 A、B距离相等，求从人口 E到出口 C的最短路线的长；(2)若线段 CD是一条水渠，且点 D在 AB边上，已知水渠造价约
34、为 10 元m，则点 D在距点 A多远处，此水渠的造价最低?最低造价是多少?理解全等三角形形状与大小完全相等与位置无关一个三角形经过平移翻折旋转后得到的三角形与原三角形仍然全等三角形全等不因位置发生变化而改变全等三角形的性质全等三角形的对应边相等对应角相等理解长边对长边短边对短全等三角形的对应边上的对应中线角平分线高线分别相等全等三角形的判定边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论有两角和其中一角的对边对应相的两个直角三角形全等证明两个三角形全等的基本思路已知两边找第三边找夹角找是否有直角已知一边一角找一角或找夹边已知两角找夹
35、边找其它边例题评析例已知如图点在上且求证例已知如图在同一直线上求证例已知求证例如图 第三章勾股定理 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 1、勾股定理：直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即a2b2c2。2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有关系a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股数：满足a2b2c2的三个正整数，称为勾股数。常见勾股数：3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13。4、简单运用：勾股定理常用于求边长、周长、面积；理解：已知直角三角形的两边求第三边，并能求出周长、面积。用于证明线段平方
36、关系的问题。利用勾股定理，作出长为n的线段 勾股定理的逆定理常用于判断三角形的形状；理解：确定最大边（不妨设为 c）；若c2a2b2，则ABC是以C为直角的三角形；若a2b2c2，则此三角形为钝角三角形（其中 c 为最大边）；若a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中 c 为最大边）难点：运用勾股定理立方程解决问题。理解全等三角形形状与大小完全相等与位置无关一个三角形经过平移翻折旋转后得到的三角形与原三角形仍然全等三角形全等不因位置发生变化而改变全等三角形的性质全等三角形的对应边相等对应角相等理解长边对长边短边对短全等三角形的对应边上的对应中线角平分线高线分别相等全等三角形的判定边角边公理有
37、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论有两角和其中一角的对边对应相的两个直角三角形全等证明两个三角形全等的基本思路已知两边找第三边找夹角找是否有直角已知一边一角找一角或找夹边已知两角找夹边找其它边例题评析例已知如图点在上且求证例已知如图在同一直线上求证例已知求证例如图例题评析 1、勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 例 1：（1）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7 cm，正方形 A、B、C的面积分别是 8 cm2、10 cm2、14 cm2，则正方形 D的面积是
38、_cm2（2）如图，已知 1 号、4 号两个正方形的面积为为 7，2 号、3 号两个正方形的面积和为4，则 a，b，c 三个方形的面积和为（3）如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两个小半圆的面积和为 100 则大的半圆面积是_ 例 2：(1)在 RtABC中，A90，B45，AB3，则 AC_BC_ (2)在 RtABC中，B90，C30，AB3，则 AC_BC_.(3)在 RtABC中，C90，AC:AB=3:4，AB25，则 AC_BC_.(4).在 RtABC中,AB6，AC8，则 BC=.例 3：（1）如图，已知 AB13，BC14，AC15，ADBC于 D，求 AD长（
39、2）已知ABC中，AB13，AC15，ADBC，且 AD=12，求 BC的长.例 4：（1）在 RtABC中，A90，B45，BC6,求 AC和 BC（2）在 RtABC中，B90，C30，BC3，求 AB和 AC（3）若直角三角形中，一斜边比一直角边大 2，且另一直角边长为 6，求斜边的长（4）等腰三角形 ABC的面积为 12，底上的高 AD为 4，求它的腰长（5）等腰三角形的周长是 20 cm，底边上的高是 6 cm，求它的面积.例 5：（1）在ABC中，C90，AB6，BC8，DE垂直平分 AB，求 BE的长.（2）在ABC中，C90，AB6，BC8，AE平分CAE，EDAB,求 BE的
40、长.（3）如图，折叠长方形纸片 ABCD，是点 D落在边 BC上的点 F处，折痕为 AE，AB=CD=6，AD=BC=10，试求 EC的长度.ABCEDACBDEACB理解全等三角形形状与大小完全相等与位置无关一个三角形经过平移翻折旋转后得到的三角形与原三角形仍然全等三角形全等不因位置发生变化而改变全等三角形的性质全等三角形的对应边相等对应角相等理解长边对长边短边对短全等三角形的对应边上的对应中线角平分线高线分别相等全等三角形的判定边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论有两角和其中一角的对边对应相的两个直角三角形全等证明两个
41、三角形全等的基本思路已知两边找第三边找夹角找是否有直角已知一边一角找一角或找夹边已知两角找夹边找其它边例题评析例已知如图点在上且求证例已知如图在同一直线上求证例已知求证例如图2、勾股定理的逆定理：一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 例 1：每个小正方形的边长为 1.(1)求 ABC的面积(2)判断 ABC的形状 例 2：如图，在四边形 ABCD中，AB3 cm，AD4 cm，BC13 cm，CD12 cm，A90，求四边形 ABCD的面积 例 3：如图，在ABC中，CD是 AB边上的高，AD9，BD1，CD3 试问：ABC是直角三角形吗？为什么？例
42、4：如图，在ABC中，AB=17 cm，BC=16 cm，BC边上的中线 AD=15 cm，求 AC 3、勾股数：常见勾股数有：3、；5、；6、；9、；例：下列命题中，是假命题的是()A在ABC中，若BCA，则ABC是直角三角形 B在ABC中，若 a2(bc)(bc)，则ABC是直角三角形 C在ABC中，若A：B：C3：4：5，则ABC是直角三角形 D在ABC中，若 a：b：c5：4：3，则ABC是直角三角形 ABC理解全等三角形形状与大小完全相等与位置无关一个三角形经过平移翻折旋转后得到的三角形与原三角形仍然全等三角形全等不因位置发生变化而改变全等三角形的性质全等三角形的对应边相等对应角相等
43、理解长边对长边短边对短全等三角形的对应边上的对应中线角平分线高线分别相等全等三角形的判定边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论有两角和其中一角的对边对应相的两个直角三角形全等证明两个三角形全等的基本思路已知两边找第三边找夹角找是否有直角已知一边一角找一角或找夹边已知两角找夹边找其它边例题评析例已知如图点在上且求证例已知如图在同一直线上求证例已知求证例如图4、补充：长方体盒子内最长的线段d；长方体盒子外小虫爬行的最短路线d；圆柱体盒子内最长的线段d 圆柱体盒子外小虫爬行的最短路线d 例 2：底面周长为 12，高为 8 的圆柱体
44、上有一只小蚂蚁要从点 A爬到点 B，则蚂蚁爬行的最短距离是()A10 B8 C5 D4 例 3：某开发区有一空地 ABCD，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，B90，AB3m，BC4 m，AD12 m，CD13 m，若每种植 1 平方米草皮需要 100 元，问总共需要投入多少元？5、勾股定理的应用 例 1：（1）一轮船以 16 n mi1eh 的速度从港口 A出发向东北方向航行，另一轮船以 12 n mi1eh 的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口 A2h后，两船相距（2）一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端 5 m，消防车的云梯最大升长为 13
45、 m，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（3）一棵树在离地面 9m 处断裂，树的顶部落在离底部 12 m 处，树折断之前有_m 例 2：如图，梯子 AB靠在墙上，梯子的底端 A到墙根 O 的距离为 7m，梯子的顶端 B到地面的距离为 24 m，现将梯子的底端 A向外移动到 A，使梯子的底端 A到墙根 O 的距离等于 15 m同时梯子的顶端 B下降至 B，那 BB等于 ()A3m B4 m C5 m D6 m BAABACBBCA理解全等三角形形状与大小完全相等与位置无关一个三角形经过平移翻折旋转后得到的三角形与原三角形仍然全等三角形全等不因位置发生变化而改变全等三角形的性质全等三角形的对应边相
46、等对应角相等理解长边对长边短边对短全等三角形的对应边上的对应中线角平分线高线分别相等全等三角形的判定边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论有两角和其中一角的对边对应相的两个直角三角形全等证明两个三角形全等的基本思路已知两边找第三边找夹角找是否有直角已知一边一角找一角或找夹边已知两角找夹边找其它边例题评析例已知如图点在上且求证例已知如图在同一直线上求证例已知求证例如图 课后练习 1：如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形(涂上阴影)。(1)在图中，画一个三角形，
47、使它的三边长都是有理数；(2)在图、图中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数 2：中华人民共和国道路交通管理条例规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70 千米时一辆“小汽车”在一条城市街道上直道行驶，如图某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪 A”正前方 50 米 C处，过了 6 秒后，测得“小汽车”位置 B与“车速检测仪 A”之间的距离为 130 米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由 3：如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30，点 A处有一所中学，AP160 米，假设拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN
48、上沿 PN方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由如果受影响，已知拖拉机的速度为 18 千米时，那么学校受影响的时间为多少秒？4：如图，A、B两个村子在河 CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为 AC1 km，BD3 km，CD3 km 现在河边 CD上建一水厂向 A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为 20 000 元千米，请你在河 CD边上选择水厂位置 O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用？理解全等三角形形状与大小完全相等与位置无关一个三角形经过平移翻折旋转后得到的三角形与原三角形仍然全等三角形全等不因位置发生变化而改变全等三角形的性质全等三角形的对应边相等对应角相等理解
49、长边对长边短边对短全等三角形的对应边上的对应中线角平分线高线分别相等全等三角形的判定边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论有两角和其中一角的对边对应相的两个直角三角形全等证明两个三角形全等的基本思路已知两边找第三边找夹角找是否有直角已知一边一角找一角或找夹边已知两角找夹边找其它边例题评析例已知如图点在上且求证例已知如图在同一直线上求证例已知求证例如图第四章实数 1、平方根：定义：一般地，如果x2=a(a 0)，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根）。表示方法：正数 a 的平方根记做“a”，读作“正、负根号 a”。
50、性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。2、开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。3、算术平方根：定义：一般地，如果x2=a(a 0)，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根。特别地，0 的算术平方根是 0。表示方法：记作“a”，读作“根号 a”。性质：一个正数只有一个算术平方根；零的算术平方根是零；负数没有算术平方根。注意a的双重非负性：.0,0aa 0,0,0222aaaaaaaaa 4、立方根：定义：一般地，如果x3=a那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（或三次方根）。表示方法：记作“3a”，读作“三次根号 a”。性质：一个正数有一个