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1、高中数学知识点基本概念 1/56 高一数学必修 1 知识网络 集合 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作。一般地，如果集合 A中的任意一个元素都是集合 B的元素，那么集合 A叫做集合 B的子集，记作ABBA 或，读作“A包含于 B”，或“B包含于 A”。如果集合 A是集合 B的子集，并且 B中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A叫做集合 B的真子集，记作ABBA 或，读作“A真包含于 B”，或“B真包含 A”。一般地，如果集合 A的每一个
2、元素都是集合 B的元素，反过来，集合 B的每一个元素也都是集合 A的元素，那么我们就说集合 A等于集合 B，记作 A=B。一般地，对于两个给定的集合 A，B，由属于 A又属于 B的所有元素构成的集合，叫做 A，B的交集，记作BA，读作“A交 B”。一般地，对于两个给定的集合 A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做 A与 B的并集，记作BA，读作“A并 B”。如果给定集合 A是全集 U的一个子集，由 U中不属于 A的所有元素构成的集合，叫做 A在 U中补集，记作CuA，读作“A在 U中的补集”。高中数学知识点基本概念 2/56 123412nxAxBABABAnA（）元素与集合的关系：属于
3、（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即 是 的子集。、若集合 中有 个元素，则集合的子集有 个，注关系集合集合与集合00(2-1)23,.4/nAAA B CABBCACABABxBxAABABABABABx xAxBAAA AABBA AB 真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则 是 的真子集。集合相等：且 定义
4、：且交集性质：，运算,/()()()-()/()()()()()()UUUUUUUUA ABBABABAABx xAxBAAA AA ABBA ABA ABBABABBCard ABCard ACard BCard ABC Ax xUxAAC AAC AA UCC AA CABC AC B ，定义：或并集性质：，定义：且补集 性质：，()()()UUUCABC AC B 1 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，与元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合|lg|lg(,)|lgAx yxBy yxCx yyxA BC，、中元素各表示什么？2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的
5、特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合2|230|1Ax xxBx ax，若BA，则实数a的值构成的集合为 答：1103，3注意下列性质：（1）集合12naaa，的所有子集的个数是2n 整体是由这些对象的全体构成的集合或集构成集合的每个对象叫做这个集合的元素或成员一般地我们把不含任何元素的集合叫做空集记作一般地如果集合中的任意一个元素都是集合的元素那么集合叫做集合的子集记作或读作包含于真包含一般地如果集合的每一个元素都是集合的元素反过来集合的每一个元素也都是集合的元素那么我们就说集合等于集合记作一般地对于两个给定的集合由属于又属于的所
6、有元素构成的集合叫做的交集记作读作交一般地对于两个于的所有元素构成的集合叫做在中补集记作读作在中的补集高中数学知识点基本概念集合元素与集合的关系属于和不属于集合中元素的特性确定性互异性无序性集合与元素集合的分类按集合中元素的个数多少分为有限集无限集空集高中数学知识点基本概念 3/56（2）若ABABA ABB，；4你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x的不等式250axxa的解集为M，若3M且5M，求实数a的取值范围。2235305319 25553505aMaaaMa，函数 函数是一种关系，在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果给定了一个 x值，相应地就确定唯一的
7、一个 y 值，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。定义 设 A，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则 f，对 A中的任意一个元素 x，在 B 中有且仅有一个（唯一确定）元素 y 与 x 对应，则称 f 是集合 A到集合 B的映射。这时，称 y 是 x 在映射 f 的作用下的象，记作 f(x)。于是 y=f(x)，x 称作 y 的原象。映射 f 也可记为：f：AB，x f(x).其中 A叫做映射 f 的定义域（函数定义域的推广），由所有象 f(x)构成的集合叫做映射 f 的值域，通常叫作 f(A)。注意：1.“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“
8、y=g(x)”；2.函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示 x 对应的函数值，一个数，而不是 f 乘 x。3.集合 A和 B是有先后顺序的，A到 B的映射与 B到 A的映射是截然不同的，其中 f 表示具体的对应法则，可以用多种形式表示。4.“有且仅有一个（唯一确定）”意思是：一是必有一个，二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。整体是由这些对象的全体构成的集合或集构成集合的每个对象叫做这个集合的元素或成员一般地我们把不含任何元素的集合叫做空集记作一般地如果集合中的任意一个元素都是集合的元素那么集合叫做集合的子集记作或读作包含于真包含一般地如果集合的每一个元素都是集合的元素反过来集合的每一
9、个元素也都是集合的元素那么我们就说集合等于集合记作一般地对于两个给定的集合由属于又属于的所有元素构成的集合叫做的交集记作读作交一般地对于两个于的所有元素构成的集合叫做在中补集记作读作在中的补集高中数学知识点基本概念集合元素与集合的关系属于和不属于集合中元素的特性确定性互异性无序性集合与元素集合的分类按集合中元素的个数多少分为有限集无限集空集高中数学知识点基本概念 4/56 构成函数的三要素是：定义域、对应关系和值域。构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。两个函数相等当且仅当
10、它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。区间的概念 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 无穷区间 区间的数轴表示 如果映射 f 是集合 A到集合 B的映射，并且对于集合 B中的任意一个元素，在集合 A中有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合 A到集合 B的一一映射。在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫作分段函数。函数的单调性 定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2,（1）若当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，则说
11、 f(x)在这个区间上是增函数；（2）若当 x1f(x2)，则说 f(x)在这个区间上是减函数。若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。整体是由这些对象的全体构成的集合或集构成集合的每个对象叫做这个集合的元素或成员一般地我们把不含任何元素的集合叫做空集记作一般地如果集合中的任意一个元素都是集合的元素那么集合叫做集合的子集记作或读作包含于真包含一般地如果集合的每一个元素都是集合的元素反过来集合的每一个元素也都是集合的元素那么我们就说集合等于集合记作一般地对
12、于两个给定的集合由属于又属于的所有元素构成的集合叫做的交集记作读作交一般地对于两个于的所有元素构成的集合叫做在中补集记作读作在中的补集高中数学知识点基本概念集合元素与集合的关系属于和不属于集合中元素的特性确定性互异性无序性集合与元素集合的分类按集合中元素的个数多少分为有限集无限集空集高中数学知识点基本概念 5/56 判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D上的单调性的一般步骤：任取 x1，x2D，且 x11，且nN*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数此时，a的n次方根用符号na表示 式子na叫做根式（radical），这里n叫做根指数（
13、radical exponent），a叫做被开方数（radicand）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示正的n次方根与负的n次方根可以合并成na（a0）由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作00 n 整体是由这些对象的全体构成的集合或集构成集合的每个对象叫做这个集合的元素或成员一般地我们把不含任何元素的集合叫做空集记作一般地如果集合中的任意一个元素都是集合的元素那么集合叫做集合的子集记作或读作包含于真包含一般地如果集合的每一个元素都是集合的元素反过来集合的每一个元素也都是集合的元素那么我
14、们就说集合等于集合记作一般地对于两个给定的集合由属于又属于的所有元素构成的集合叫做的交集记作读作交一般地对于两个于的所有元素构成的集合叫做在中补集记作读作在中的补集高中数学知识点基本概念集合元素与集合的关系属于和不属于集合中元素的特性确定性互异性无序性集合与元素集合的分类按集合中元素的个数多少分为有限集无限集空集高中数学知识点基本概念 11/56 表1 指数函数0,1xyaaa 对数数函数log0,1ayx aa 定义域 xR 0,x 值域 0,y yR 图象 性质 过定点(0,1)过定点(1,0)减函数 增函数 减函数 增函数(,0)(1,)(0,)(0,1)xyxy时，时，(,0)(0,1
15、)(0,)(1,)xyxy时，时，(0,1)(0,)(1,)(,0)xyxy时，时，(0,1)(,0)(1,)(0,)xyxy时，时，ab ab ab ab 底数越小越接近坐标轴 底数越大越接近坐标轴 底数越小越接近坐标轴 底数越大越接近坐标轴 表 2 幂函数()yxR 整体是由这些对象的全体构成的集合或集构成集合的每个对象叫做这个集合的元素或成员一般地我们把不含任何元素的集合叫做空集记作一般地如果集合中的任意一个元素都是集合的元素那么集合叫做集合的子集记作或读作包含于真包含一般地如果集合的每一个元素都是集合的元素反过来集合的每一个元素也都是集合的元素那么我们就说集合等于集合记作一般地对于两个
16、给定的集合由属于又属于的所有元素构成的集合叫做的交集记作读作交一般地对于两个于的所有元素构成的集合叫做在中补集记作读作在中的补集高中数学知识点基本概念集合元素与集合的关系属于和不属于集合中元素的特性确定性互异性无序性集合与元素集合的分类按集合中元素的个数多少分为有限集无限集空集高中数学知识点基本概念 12/56 pq 0 01 1 1 pq为奇数为奇数 奇函数 pq为奇数为偶数 pq为偶数为奇数 偶函数 第一象限性质 减函数 增函数 过定点01（，）,(0,)()(0,)()(0,0,)(01)1lomnananmnaarsrsaaaarsQrsrsaaarsQrrsabababrQxyaaa
17、x根式：为根指数，为被开方数分数指数幂指数的运算指数函数性质定义：一般地把函数且叫做指数函数。指数函数性质：见表对数：基本初等函数对数的运算对数函数g,log()loglog;logloglog;.loglog;(0,1,0,0)loglog(01)1log(,0,1,0)logcacNaNaMNMNaaaMMNaaaNnMnMaaMNaayxaaabbacacba为底数，为真数性质换底公式：定义：一般地把函数且叫做对数函数对数函数性质：见表且yxx幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。性质：见表2以 10 为底的对数叫做常用对数。整体是由这些对象的全体构成的集合或集构成集合的
18、每个对象叫做这个集合的元素或成员一般地我们把不含任何元素的集合叫做空集记作一般地如果集合中的任意一个元素都是集合的元素那么集合叫做集合的子集记作或读作包含于真包含一般地如果集合的每一个元素都是集合的元素反过来集合的每一个元素也都是集合的元素那么我们就说集合等于集合记作一般地对于两个给定的集合由属于又属于的所有元素构成的集合叫做的交集记作读作交一般地对于两个于的所有元素构成的集合叫做在中补集记作读作在中的补集高中数学知识点基本概念集合元素与集合的关系属于和不属于集合中元素的特性确定性互异性无序性集合与元素集合的分类按集合中元素的个数多少分为有限集无限集空集高中数学知识点基本概念 13/56 换底
19、公式：bNNaablogloglog 自然对数：以 e 为底的对数叫做自然对数。积、商、幂的对数运算法则：（1）loga(MN)=logaM+logaN loga(N1 N2 N3Nk)=logaN1+logaN2+logaN3+logaNk 即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和。（2）loga(NM)=logaM-logaN 即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数。（3）logaM=logaM 即正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数。幂函数定义：一般地，函数 y=xa叫做幂函数，x 是自变量，a 是常数。幂函数的性质：1、所有的幂函数在(0，+)都有定
20、义，并且图象都过点（1，1）（原因：1x=1）;整体是由这些对象的全体构成的集合或集构成集合的每个对象叫做这个集合的元素或成员一般地我们把不含任何元素的集合叫做空集记作一般地如果集合中的任意一个元素都是集合的元素那么集合叫做集合的子集记作或读作包含于真包含一般地如果集合的每一个元素都是集合的元素反过来集合的每一个元素也都是集合的元素那么我们就说集合等于集合记作一般地对于两个给定的集合由属于又属于的所有元素构成的集合叫做的交集记作读作交一般地对于两个于的所有元素构成的集合叫做在中补集记作读作在中的补集高中数学知识点基本概念集合元素与集合的关系属于和不属于集合中元素的特性确定性互异性无序性集合与元
21、素集合的分类按集合中元素的个数多少分为有限集无限集空集高中数学知识点基本概念 14/56 2、在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴（简记为指大图低）；在(1，+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴。3、幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，值域是否出现在第二、第三象限内，要看函数的奇偶性，幂函数的图象最多只能同事出现在两个象限内，如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。4、幂函数的定义域的求法可分五种情况，即：（1）为 0；（2）为正整数；（3）为负整数；（4）为正分数；（5）为负分数。5、作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性
22、、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象。6、幂函数)(Rxy的图象主要分为以下几类：(1)当=0 时，图象是过(1，1)点平行于 x 轴但抠去(0，1)点的一条“断”直线；(2)当为正偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、第二象限与原点。(3)当为正奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、第三象限与原点。(4)当为负偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、第二象限，但不过原点。(5)当为负奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、第二象限，但不过原点。7、当0 时，幂函数xy 图象一些性质：(1)图象都通过点(1，1)，(0，0)；(2)在第一象限内，
23、函数值随 x 的增大而增大；(3)在第一象限内，1 时，图象是向下凸的；01 时，图象是向上凸的。8、当B且B推不出A，则A是B的充分非必要条件；若A推不出B且B=A，则A是B的必要非充分条件 若A=B且B=A，则A是B的充要条件 若A推不出B且B推不出A，则A既不是B的充分条件，也不是B的必要条件。注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.4、逻辑联结词：或、且、非；含逻辑联结词的命题真假的判断；5、全称量词与存在量词；全称命题与存在性命题；命题的否定。全称命题p:)(,xPMx,它的否定p:,Mx)(xP 特称命题p:)(,xPMx,它的否定p:,Mx)(xP 圆锥曲线与方程
24、 椭圆 第一定义：平面内与两个定点21FF、的距离和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点的距离叫做椭圆的焦距，即)2(22121FFaaMFMF。第二定义：平面内与一定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比是常数e的点的轨迹叫做椭圆。定点F是椭圆的焦点，定直线l是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。即)10(eedMF（d为M到l得距离）。标准方程与其性质：整体是由这些对象的全体构成的集合或集构成集合的每个对象叫做这个集合的元素或成员一般地我们把不含任何元素的集合叫做空集记作一般地如果集合中的任意一个元素都是集合的元素那么集合叫做集合的子集记作或读作包含于
25、真包含一般地如果集合的每一个元素都是集合的元素反过来集合的每一个元素也都是集合的元素那么我们就说集合等于集合记作一般地对于两个给定的集合由属于又属于的所有元素构成的集合叫做的交集记作读作交一般地对于两个于的所有元素构成的集合叫做在中补集记作读作在中的补集高中数学知识点基本概念集合元素与集合的关系属于和不属于集合中元素的特性确定性互异性无序性集合与元素集合的分类按集合中元素的个数多少分为有限集无限集空集高中数学知识点基本概念 53/56 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay 图形 222bac 222bac 焦点坐标)0,(1cF、)0,(
26、2cF),0(1cF、),0(2cF 顶点坐标),0(,)0,(ba),0(,)0,(ab 范围 byax,aybx,对称轴 x轴，长轴为a2；y轴，短轴为b2。x轴，短轴为b2；y轴，长轴为a2。准线方程 cax2 cay2 离心率 ace，10 e 整体是由这些对象的全体构成的集合或集构成集合的每个对象叫做这个集合的元素或成员一般地我们把不含任何元素的集合叫做空集记作一般地如果集合中的任意一个元素都是集合的元素那么集合叫做集合的子集记作或读作包含于真包含一般地如果集合的每一个元素都是集合的元素反过来集合的每一个元素也都是集合的元素那么我们就说集合等于集合记作一般地对于两个给定的集合由属于又
27、属于的所有元素构成的集合叫做的交集记作读作交一般地对于两个于的所有元素构成的集合叫做在中补集记作读作在中的补集高中数学知识点基本概念集合元素与集合的关系属于和不属于集合中元素的特性确定性互异性无序性集合与元素集合的分类按集合中元素的个数多少分为有限集无限集空集高中数学知识点基本概念 54/56 焦半径 公式：（1）设点),(00yxP为椭圆)0(12222babyax上一点，21FF、分别椭圆的左、右焦点，则01exaPF，02exaPF；（2）设点),(00yxP为椭圆)0(12222babxay上一点，21FF、分别椭圆的下、上焦点，则01eyaPF，02eyaPF；双曲线 第一定义：平面
28、内与两个定点21FF、的距离的差的绝对值是常数（小于21FF）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点的距离叫做椭圆的焦距，即)2(22121FFaaMFMF。第二定义：平面内与一定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比等于常数e（1e）的点的轨迹叫做双曲线。定点F是双曲线的焦点，定直线l是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。即)1(eedMF（d为M到l得距离）。双曲线的标准方程与其几何性质：焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay 图形 焦点坐标)0,(1cF、)0,(2cF),0(1cF、),0(2cF 整体是由这
29、些对象的全体构成的集合或集构成集合的每个对象叫做这个集合的元素或成员一般地我们把不含任何元素的集合叫做空集记作一般地如果集合中的任意一个元素都是集合的元素那么集合叫做集合的子集记作或读作包含于真包含一般地如果集合的每一个元素都是集合的元素反过来集合的每一个元素也都是集合的元素那么我们就说集合等于集合记作一般地对于两个给定的集合由属于又属于的所有元素构成的集合叫做的交集记作读作交一般地对于两个于的所有元素构成的集合叫做在中补集记作读作在中的补集高中数学知识点基本概念集合元素与集合的关系属于和不属于集合中元素的特性确定性互异性无序性集合与元素集合的分类按集合中元素的个数多少分为有限集无限集空集高中
30、数学知识点基本概念 55/56 222bac 222bac 顶点坐标)0,(a),0(a 范围 ax ay 对称轴 x轴，实轴为a2；y轴，虚轴为b2。x轴，虚轴为b2；y轴，实轴为a2。准线方程 cax2 cay2 离心率 ace，1e 渐近线方程 xaby xbay 等轴双曲线 1、实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线；2、等轴双曲线的离心率2e，两条渐近线方程为xy 焦半径公式 设点),(00yxP为双曲线)0,0(12222babyax上一点，21FF、分别为双曲线的左、右焦点，则P在右支上时，aexPF01，aexPF02；P在左支上时，aexPF01，aexPF02；设点),(00
31、yxP为双曲线)0,0(12222babxay上一点，21FF、分别为双曲线的上、下焦点，则P在上支上时，1PF，2PF；P在下支上时，aeyPF01，aeyPF02 抛物线 定义（几何条件）：平面上，到定直线与该定直线外一定点的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。标准方)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx 整体是由这些对象的全体构成的集合或集构成集合的每个对象叫做这个集合的元素或成员一般地我们把不含任何元素的集合叫做空集记作一般地如果集合中的任意一个元素都是集合的元素那么集合叫做集合的子集记作或读作包含于真包含一般地如果集合的每一个元素都是集合的元素反过来集合的
32、每一个元素也都是集合的元素那么我们就说集合等于集合记作一般地对于两个给定的集合由属于又属于的所有元素构成的集合叫做的交集记作读作交一般地对于两个于的所有元素构成的集合叫做在中补集记作读作在中的补集高中数学知识点基本概念集合元素与集合的关系属于和不属于集合中元素的特性确定性互异性无序性集合与元素集合的分类按集合中元素的个数多少分为有限集无限集空集高中数学知识点基本概念 56/56 程 图形 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 顶点坐标)0,0(O)0,0(O)0,0(O)0,0(O 焦点坐标 0,2pF 0,2pF 2,0pF 2,0pF 离心率 1e 1e 1e 1e 准线方程 2px 2px 2
33、py 2py 焦半径公式 20pxPF 20pxPF 20pyPF 20pyPF 范围 0 x 0 x 0y 0y 焦点弦（以抛物线）)0(22ppxy为例 设AB是过焦点F的弦，),(11yxA，),(22yxB，则12122),1(2xxyykkpAB，pAB2min；4221pxx，221pyy；以AB为直径的圆与准线相切；以AF为直径的圆与y轴相切。整体是由这些对象的全体构成的集合或集构成集合的每个对象叫做这个集合的元素或成员一般地我们把不含任何元素的集合叫做空集记作一般地如果集合中的任意一个元素都是集合的元素那么集合叫做集合的子集记作或读作包含于真包含一般地如果集合的每一个元素都是集合的元素反过来集合的每一个元素也都是集合的元素那么我们就说集合等于集合记作一般地对于两个给定的集合由属于又属于的所有元素构成的集合叫做的交集记作读作交一般地对于两个于的所有元素构成的集合叫做在中补集记作读作在中的补集高中数学知识点基本概念集合元素与集合的关系属于和不属于集合中元素的特性确定性互异性无序性集合与元素集合的分类按集合中元素的个数多少分为有限集无限集空集