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1、学习必备 欢迎下载 矩形典型例题选讲 本讲通过以下例题的分析与解答，介绍如何综合运用所学知识解决问题。例 1.：如图，矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于 O 点，AE 平分BAD，交 BC 于 E 点，若CAE=15，求BOE 分析：由已知不难得出OBE=30，欲求BOE 的度数，需解决 BO 与 BE 之间的大小关系。解：如图所示，在矩形 ABCD 中，AE 平分BAD，EAD=EAB=45 在ABE 中，BAE=45，ABE=90 AEB=45，AB=BE EAD=45，EAC=15 CAD=30 BAC=90-30=60 矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，AO
2、=BO ABO 是等边三角形，即 AB=BO 在BEO 中，BE=BO 而EBO=30 例 2.已知：如图，矩形 ABCD 中，延长 BC 至 E 点，使 BE=BD，连结 DE，若 F 是 DE 的中点，试确定线段 AF 与 CF 的位置关系。分析：如果连结 BF，由已知，设法推出AFB+BFC=90，若连结 AC，设与 BD 交于 O 点，并连结 OF，还可利用矩形的对角线互相平分且相等，以及三角形中位线的性质，得出，相比之下，后者方法较好 解：AFCF，证明如下，如图，连结 AC，设它与 BD 交于 O 点，连结 OF 四边形 ABCD 是矩形，在DBE 中，DO=OB，DF=FE 学习
3、必备 欢迎下载 又BE=BD，BD=AC 在ACF 中，AO=OC，AFC=90 AFCF。例 3.已知：如图，矩形 ABCD 中，CMBD，AE 平分BAD 和 MC 的延长线交于 E 点。求证：AC=CE 分析：欲证 AC=CE，只要E=CAE，为了证明这两个角相等，不妨设DAO=，这样可确定此图形的形状。只要求出E 也等于 45-即可 解：如图，在矩形 ABCD 中，设DAO=EA 平分BAD，EAD=45 CAE=45-AO=OD，DOC 是AOD 的外角 DOC=2 又CMBD，MCO=90-2 而OCM 是ACE 的一个外角 E=OCM-CAE =(90-2)-(45-)=45-在
4、ECA 中，E=EAC AC=CE 想一想：如果作 ANBD 于 N 点，由已知 EMBD，可得 ANME，则E=EAN，这样，欲证E=CAE，只要证EAN=CAE。这又转化为证明BAN=DAC。试一下，这样作辅助线进行证明如何？矩形中相交于点平分交于点若求分析由已知不难得出欲求的度数需解决与之间的大小关系解如图所示在矩形中平分在中矩形的对角线与相交于点是等边三角形即在中而例已知如图矩形中延长至点使连结若是的中点试确定线段与的位中位线的性质得出相比之下后者方法较好解证明如下如图连结设它与交于点连结四边形是矩形在中学习必备欢迎下载又在中例已知如图矩形中平分和的延长线交于点求证分析欲证只要为了证明
5、这两个角相等不妨设这样可确定此图形则这样欲证只要证这又转化为证明试一下这样作辅助线进行证明如何学习必备欢迎下载例已知如图中于点是的外角平分线交于试确定四边形是什么图形解四边形是矩形证明如下对于是其外角的一部分线四边形是平行四边形例从而四学习必备 欢迎下载 例 4.已知：如图，ABC 中，AB=AC，ADBC 于 D 点，AE 是BAC 的外角平分线，DEAB，交 AE 于 E，试确定四边形是什么图形？解：四边形 ADCE 是矩形 证明如下：对于ABC，AB=AC，ADBC B=ACB，BD=DC 又AE 是其外角CAF 的一部分线 AEBC 又ABDE，四边形 ABDE 是平行四边形 例 4
6、AE=BD，AB=DE，从而 AC=DE AE DC四边形 ADCE 是平行四边形。又AC=DE，四边形 ADCE 是矩形。例 5.取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN，如图(1)：第二步：再把 B 点叠在折痕线 MN 上，折痕为 AE，点 B 在 MN 上的对应点为 B，得 RtABE，如图(2)第三步：沿 EB线折叠得折痕 EF，如图(3)利用展开图(4)探究：(1)AEF 是什么三角形？证明你的结论。(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。解 (1)证明：如图 7-72AEF 是等边三角形，证法一：由平行线分
7、线段定理知 PE=PA，BP 是 RtABE 斜边上的中线，矩形中相交于点平分交于点若求分析由已知不难得出欲求的度数需解决与之间的大小关系解如图所示在矩形中平分在中矩形的对角线与相交于点是等边三角形即在中而例已知如图矩形中延长至点使连结若是的中点试确定线段与的位中位线的性质得出相比之下后者方法较好解证明如下如图连结设它与交于点连结四边形是矩形在中学习必备欢迎下载又在中例已知如图矩形中平分和的延长线交于点求证分析欲证只要为了证明这两个角相等不妨设这样可确定此图形则这样欲证只要证这又转化为证明试一下这样作辅助线进行证明如何学习必备欢迎下载例已知如图中于点是的外角平分线交于试确定四边形是什么图形解四
8、边形是矩形证明如下对于是其外角的一部分线四边形是平行四边形例从而四学习必备 欢迎下载 PA=PB，1=3 又PNAD，2=3 而 21+2=90 1=2=30，在 RtABE 中，1+AEF=90 AEF=60，EAF=1+2=60 AEF 是等边三角形。证法二：ABE 与ABE 完全重合，ABEABE，BAE=1 由平行线等分线段定理知 EB=BF 又ABE=90，ABEABF，AE=AF AEF 是等边三角形。(2)不一定。由 上 推 证 可 知 当 矩 形 的 长 恰 好 等 于 等 边 AEF的 边AF时，即 矩 形 的 时正好能折出。如果设矩形的长为 a，宽为 b，可知 当 时，按此
9、法一定能折出等边三角形；当 时，按此法无法折出完整的等边三角形 矩形中相交于点平分交于点若求分析由已知不难得出欲求的度数需解决与之间的大小关系解如图所示在矩形中平分在中矩形的对角线与相交于点是等边三角形即在中而例已知如图矩形中延长至点使连结若是的中点试确定线段与的位中位线的性质得出相比之下后者方法较好解证明如下如图连结设它与交于点连结四边形是矩形在中学习必备欢迎下载又在中例已知如图矩形中平分和的延长线交于点求证分析欲证只要为了证明这两个角相等不妨设这样可确定此图形则这样欲证只要证这又转化为证明试一下这样作辅助线进行证明如何学习必备欢迎下载例已知如图中于点是的外角平分线交于试确定四边形是什么图形解四边形是矩形证明如下对于是其外角的一部分线四边形是平行四边形例从而四