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1、 3.2.1 单调性与最大（小）值（第二课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章) 一、教学目标1.理解函数的最大（小）值以及几何意义2.会用图像和函数的单调性求解函数的最值3.体会用数学的语言描述现象4.经历将实际问题转化为数学模型二、教学重难点1.最大（小）值的定义及几何意义2.求函数的最值三、教学过程1.对数概念的形成1.1观察下列函数的图象，找出函数图象上的最高点或者最低点的坐标。思考如何使用数学语言刻画函数图象的最低点和最高点？即如何用“数”刻画“形”？【预设的答案】函数图象最高点的“数”的刻画：我们用函数值刻画一个函数图象的最高点。如果一个点是最高点，那么该函数值是函数在
2、整个定义域上的最大的函数值.简称为最大值.就函数 f(x)=-x 而言，对函数定义域中任意的x，都有f(x)f(0)，即函数值 f(0) 是函数的最大值.【设计意图】带领学生探究函数定义的形成过程。1.2最大（小）的定义总结最大值的定义，学生独立思考最小值的定义。最值条件（I是函数f(x)的定义域）几何意义最大值存在x0I，使得f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M函数yf(x)图象上最高点的纵坐标最小值存在x0I，使得f(x0)m对于任意xI，都有f(x)m函数yf(x)图象上最低点的纵坐标【设计意图】形成概念，加深理解2.初步应用，理解概念微判断2.1.因为不等式x21总成立，所以1是f
3、(x)x2的最小值.( )2.2.如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )【预设的答案】1错，2对微练习2.3函数yf(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(C)A.1 , 0B.0 , 2C.1 , 2 D.1/2 ，22.4设函数f(x)2x1(x0)，则f(x)(A)A有最大值B有最小值C既有最大值又有最小值 D既无最大值又无最小值【设计意图】加深学生对概念易错点的理解 3.例题讲解，深入应用例4.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：m) 与时间t(单位：s)之间的关系为 h(t)=-4
4、.9t2+14.7t+18 ,那么烟花冲出后什么时刻爆裂是最佳时刻？这时离地面的高度是多少(精确到1 m)？【预设的答案】解：画出这个函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18 显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,顶点的纵坐标就是距地面的高度.根据二次函数的知识,对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18我们有： 当 时，函数有最大值(或者h(t)=-4.9(1.5)2+14.71.5+1829)于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，此时距底面的高度约为29m.变式：求下列函数的最值(1)f(x)=x2-2x (2)f(x)=x2-2x(
5、x-1,2 ) (3)f(x)=x2-2x(x0,3 ) (4)f(x)=x2-2x(x-2,0 )规律总结：定轴定区间的二次函数的最值问题（1）解决这类问题，要画出函数的图象，根据给定的区间截取符合要求的部分，根据图象写出最大值和最小值（2）常用结论：当二次函数图象开口向上时，自变量距离对称轴越远，对应的函数值越大；当图象开口向下时，则相反例5.已知函数 ，求这个函数的最大值和最小值。【分析】方法一：这个函数在区间2,6上，显然解析式的分母是正值且随着自变量的增大而增大，因此函数值随着自变量的增大而减少，也就是说这个函数在区间2,6上单调递减，因此这个函数在定义的左端点上取得最大值，右端点取
6、最小值.方法二：结合图像找到最大，最小值。【预设的答案】解：设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x11时，f(x)在t，t1上是增函数，所以当xt时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(t)t22t+3.当t1t1，即0t1时，f(x)在t，t1上先递减后递增，故当x1时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(1)2.当t11，即t，即a1时，f(x)的最大值为f(0)1.4.3已知定义在区间1,+的函数 f(x)=x+1x ,求f(x)的最值.【预设的答案】解： 由上一节课例3可知，函数 f(x)=x+1x 在区间1,+上单调递增。但是 f(x) 定义域取不到左端点，无右端点，所以函数
7、 f(x) 无最大值，也无最小值。规律小结：函数的最值与单调性(1)若函数yf(x)在区间a，b上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).(2)若函数yf(x)在区间a，b上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b).(3)若函数yf(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值.(4)如果函数定义域为区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.【设计意图】促进学生深入思考5.归纳小结5.1最大、最小值的定义5.2常用的求函数最值的方法(1)利用函数图像判断最值.(2)利用函数的单调性判断最值.四、课外作业