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1、二次根式知识点总结及应用一、基本知识点1.二次根式的有关概念：形如 的式子叫做二次根式.二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零2.二次根式的性质：非 负 性：0(a 0)(2)(y=(a 0)(3)而=(4)疝=(a 0,Z 0)(5)J y =(0 b0)V 一 为 炮 才 的 法 笛.二次根式乘法法则(0,Z?0)二次根式除法法则y/ay/b(a 0,b 0)二次根式的加减：(一化，二找，三 合 并)(1)将每个二次根式化为最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)合并同类二次根式。Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。二次根式的混合运算：原来学习的运算律(结合律、
2、交换律、分配律)、运算顺序仍然适用二、二次根式的应用1、二次根式有意义(1)使式子有意义的条件是使式子j2x +5有意义的条件是。使式子V-3x +7有意义的条件是 o使式子J g x-|有意义的条件是。(2)当 时，J x +2+J l 2尤有意义。(3)若+1有意义，则相的取值范围是_。m+1(4)当1 B寸，是二次根式。(5)使J元+4 有意义的X的取值范围_,y/x-l(6)计算：(屈3后)+6 =。(7)使 式 子 无 意 义 的X的取值范围是(8)已知J(X 2)2=2 X,则x的取值范围是。(9)在后,J T i而 中，与J5是同类二次根式的是(10)下列式子中正确的是()A.A
3、/S+yfj B.J a?-b=a hC.ay/x-byfx=(a-b)4x D.近 =6 +=V J +22、二次根式的计算.后 x 3 后 g.5 x 3 G(3).5 yah-O,b 0)+V (a A 0,b A 0)(7)27 12+311-51-|V4 8(8)/一南+2+(36)1+(9 ()7+47 3)(7-47 3)-(37 5-1)(10)47 5 +7 45 -V 8 +47 2(11)6 2 R _ 3 g-2_+VTi_4J!N 2 V 2(V 2-1 V 2一元二次方程知识点归纳与复习知识点1:一元二次方程的概念及一般形式一元二次方程：只含有一个未知数，并且求知数
4、的最高次数是2的整式方程。一元二次方程的一般形式：衣2 +O x +c=0(w 0)二次项：,一次项：,常数项：二次项系数：,一次项系数：。1、方 程(1)3x-l=0;(2)3x 2-1 =0;3 x2+l =0;(4)3x2+y =2x;X(5)(5 x +2)(3%-7)=15 x2;(6)2x2-1 =(x -l)(x -2).其中一元二次方程的个数为()A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出方程的二次项系数、次项系数和常数项。(1)-2 x(x-5)-3-x(2)(2x-l)(x +5)=6 x知识点2：用直接开平方法解一元二次
5、方程若1 之),则工叫做a的平方根，表示为工=士 而，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。形如5 +b Y-k =0(k )的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。3、用直接看平方法解一元二次方程：f=1 6 9 45 -2=0 9三 一 1 6=(4)4(2x-1)2-36 =0(5)(X+1)2-4 =0(6)G+5)*-1 6 =0知 识 点3：用配发法解一 元 二 次 方 程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：(1)在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；(2)把原方程变为(无土=”的形式。(3)若 N 0,用直接开平方法求出工的值，若n =9
6、5、用配方法解一元二次方程：x,2 2LX 2(1)%-4 x +3=0(2)2X2-4X+1 =0(3)2(4)2X?+1=3X(5)-X2-4 x+3 =0(6)3 x2-9 x+2=0知 识 点4：用 公 式 法 解 一 元 二 次 方 程一元二次方程的求根公式是：用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把 方 程 化 为=+展+。=0（�）的形式，确定的值八人（注意符 劈；（2）釉62_4oc的值；（3）若 非_4ocN 0,则 把 及y一4&：的值代人求根公式，求 出 巧。6、用 公 式 法 解 一 元 二 次 方 程：（1）/+4%-1 =0 2 1 -3兀-1=0（3）x2
7、+x+25=0(4)4X2+4X+10=1-8X(5)+7 1)+1 =0知 识 点5：用分解因式法 解 一 元 二 次 方 程一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积；（3）令每个因式分别为0,得两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。关键点：（1）要将方程右边化为0;（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公因式法，公 式 法（平方差公式，完全平方公式）等。7、用 分 解 因 式 法 解 一 元 二 次方程/+3%=0 J。（2 1 -3）-25=(4)1 -6无 +9=(5-2寸(5)(x 3+4x(x 3)=0
8、知 识 点6：用十字相乘法解一元二次方程8、用 十 字 相 乘 法 解 一 元 二 次方程 “2-5+6=0（2）x2-x-1 2 =0（3）2+4）,_45 =0知 识 点7：一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系（ax2+fcv +c=0（a w 0）b c%+%=-%Z=a a9、设为、%是方程3/-5 x +2=0的两个根，则玉+马二2二-知 识 点8：一 元 二 次方程的应用列一元二次方程解应用题的步骤（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）作答关键点：找出题中的等量关系。用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题增长率问题与降低率问题的数量
9、关系及表示法:、（1）若基数为a,增长率K为，则 一 次 增 长 后 的 值 为,两次增长后的值为；（2）若基数为a,降低率无为，则 一 次 降 低 后 的 值 为,两次降低后的值为用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价一进货价）+进 货 价X1 0 0%；（3）销售额=售价X销售量1 0、列方程（1）某农场粮食产量在两年内由3 0 0 0吨增加到3 6 3 0吨，设这两年的年平均增长率为工，列出关于”的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
10、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _（2）一 种 药 品 经 过 两 次 降 价，由每盒1 4 4元 调 至1 0 0元，平均每次降价的百分率是x,列出关于x的方程为1 1、如 图 所 示，在 宽 为2 0 m,长 为3 2 m的 矩 形 耕 地 上，修筑同样宽的 三 条 道 路，（互 相 垂 直），把 耕 地 分 成 大 小 不 等 的 六 块 试 验 田，要使试验田的面积为5 7 0 m 2,道路应为多宽？1 2、某商店经销一种销售成本为每千克4 0 元的水产品，据市场分析，若按每千克5 0 元销售，一个月能售出5 0 0 千克，销售单价每涨
11、1 元，月销售量就减少1 0 千克，针对此回答：(1)当销售价定为每千克5 5 元时，计算月销售量和月销售利润。(2)商店想在月销售成本不超过1 0 0 0 0 元的情况下，使得月销售利润达到8 0 0 0 元，销售单价应定为多少？附加题：1.开平方法解下列方程：(1)5 x2 1 2 5 =0 (x,=5,x2=5)(2)y2+3 6 1 =0 (原方程无实根)(3)1 6 9(x 3)2 =2 8 9 (x,=,x2=),1 3 1 3(4)(1 -V 3)/?i2-0 (-m2=0 )(5)空位=8532.配方法解方程:(1)x2+2 x-5=0(2)y2+5 y +l =0(x =-1
12、 V 6 )22 y2-4 y =-3(y =i土平)3.公式法解下列方程:(1)3 x2=6 x-2 (x X)3(2)p2 4-3 =2A/3/7(P =P 2 =百).1 1(3)7 y =liy(必=亍,为 二0)(4)9n2=5 n-2(原方程无实数根)3 J 1 5(5)x +2 =(x-2)(2%-1)-3 (x =-)4.因式分解法解卜列方程：(1)1 X92 -9 =0 (x =,6)4(2)y2+4 y-4 5 =0 (y=-9,为=5)91 3(3)8 x +1 O x -3 =0 (x.=)1 4 2 2(4)x2 yf?A x=0 C x=0,x2=V 3 )(5)6
13、 x2-3A/3X=2A/2X-V 6 (X=心,%2 =立)2 3(6)(x 5)2=2(x-5)-1 (xl=x2=6 )(7)(九2 +3 x)2 _ 2(x +3)8 =0 (2二 2,二一1,xy=4,x4=1)5.解法的灵活运用(用适当方法解下列方程):(1)V 2(2 x-7)2=V 1 2 8 (x =-V 2 )(2)2 m-m2+1 =2(/?72-2 m)2(m =2 R2)(3)6 x(x-2)=(x-2)(x +3)V+3 y(3 2 y)y(3 y-l)(4)-=-1-3 2 3(5)8 1(2 x 5=1 4 4(x 3)2(x=2,X9=)(3 、(/=，乃=2
14、)()1 1 0 2旋转作图题练习题1、(2 0 1 0 莆田)如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，AOB的三个顶点均在格点上，点 A、B的坐标分别为A (-2,3)、B (-3,1).(1)画出坐标轴，画出AAOB绕 点 O顺时针旋转9 0。后的 A Q B i；(2)点 A i 的坐标为；(3)四边形A O A i B i 的面积为.2、(2 0 1 0 盘锦)如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，已知4 A B C三个顶点的坐标分别为A (-7,0)、B (-4,4)、C (-1,0).(1)做出点B关于x 轴的对称点D；(2)将以点A、B、C、D为顶点的四边形绕点C顺时针旋转9
15、 0。作出旋转后的图形A i B i Q D i，并直接写出点B、D的对应点B|,D i 的坐标.3、(2 0 1 0 昆明)在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：(1)分别写出A、B两点的坐标；(2)将aABC绕点A顺时针旋转9 0。，画出旋转后的A B iC i；(3)求出线段B iA 所在直线1 的函数解析式，并写出在直线1 上从B i到 A的自变量x的取值范围.4、（2 0 1 0 锦州）AABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1 个单位长度.（1）将4ABC向右移平2个单位长度，作出平移后的4 A|B iC|,并写出AIBICI各顶点的坐标；（2）若将4A
16、BC绕 点（-1,0）顺时针旋转1 8 0。后得到4 A 2 B 2 c2,并写出4 A 2 B 2 c2 各顶点的坐标；（3）观察 A B C i和4 A 2 B 2 c2，它们是否关于某点成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，说明理由.5、(2 0 1 0 鸡西)4ABC在如图所示的平面直角坐标系中.(1)画出4ABC关于原点对称的A iB iC i(2)画出 A iB iJ 关于y 轴对称的4 A 2 B 2 c2(3)请直接写出A A B 2 A l 的形状.6、(2 0 1 0 海南)如图，在正方形网格中，4ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
17、(1)将aABC向右平移5 个单位长度，画出平移后的4 A|B iC i；(2)画出aABC关于x 轴对称的4 A 2 B 2 c2；(3)将AABC绕原点O旋 转 1 8 0,画出旋转后的4 A 3 B 3 c3；(4 )在 A iB iC i、A A 2B2C2 A A 3 B 3 C 3 中，_ 与4成轴对称；_与1_ 成中心对称.7、(2 0 1 0 贵港)如图所示，把4ABC置于平面直角坐标系中，请你按下列要求分别画图：(1)画出Z A B C 向下平移5个单位长度得到的A A 1 B 1 C 1；(2)画出4ABC绕着原点O逆时针旋转9 0。得到的4 A z B 2 c2；(3)画
18、出AABC关于原点O对称的A A s B 3 c3.8、（2 0 1 0稠）（1）如图 点 B、E、C、F 在一条直线上，B C=E F,A B D E,Z A=Z D.求证：A B C g D E F.（2）如图，在矩形O A B C中，点B的坐标为（-2,3）.画出矩形O A B C绕点O顺时针旋转9 0。后的矩形OAIBICI，并直接写出的坐标A i、B|、C i的坐标.9、（2 0 1 0楚雄州）A B C在平面直角坐标系中的位置如图所示.（1）作出A A B C关于x轴对称的A iB iC”并写出点A i的坐标;（2）作出将4 A B C绕点O顺时针方向旋转1 8 0。后的4 A 2
19、 B 2 c2.1 0、（2 0 1 0 郴州）4ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将4 A B C沿 y 轴翻折得到A A iB iC i.M-AA山i J 绕点O旋转1 8 0。得到A A z B 2 c2.请依次画出|B iC i和A A z B 2 c2.I I、（2 0 1 0 安徽）在小正方形组成的1 5 x 1 5 的网络中，四边形ABCD和四边 形 的 位 置 如 图 所 示.（1）现把四边形ABCD绕 D 点按顺时针方向旋转9 0,画出相应的图形A）B j C iD ,（2）若四边形A BCD平移后，与四边形A，B，CD，成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移
20、后的图形A 2 B 2 c2 D 2.1 2、（2 0 0 8 清远）如图，Z i A O B 中，顶点A,B,O均在格点上，画出A A O B绕点O旋 转 1 8 0。后的三角形.（不要求写做法，证明，但要注明结果）1 3、(2 0 0 9营口)如图，在所给网格中完成下列各题:(1)画出图1 关于直线MN对称的图2；(2)从平移的角度看，图 2是由图1 向 平移 个单位得到的；(3)画出图1 绕点P逆时针方向旋转9 0。后的图3.1 4、(2 0 0 9 武汉)如图,B I I A A B C 的三个顶点的坐标分别为A (-2,3)、B (-6,0)、C (-1,0).(1)请直接写出点A关
21、于y 轴对称的点的坐标；(2)将AABC绕坐标原点O逆时针旋转9 0 度.画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；(3)请直接写出：以 A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.圆知识点归纳与复习一、知识点1、与圆有关的角圆心角、圆周角(1)图中的圆心角;圆周角;(2)如图，已知NAO8=50度，则N A CB =度；(3)在上图中，若AB是 圆。的直径，则=度;(4)圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：Z4O8=N O O E;AB=DE;弧&4=弧8
22、。(5)圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：乙4。8和NAC8是弧A 6所对的圆心角和圆周角ZAOB=2ZACB(6)圆周角定理的推论：推 论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O。中，N C、NO都是所对的圆周角ZC=ND推 论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在。中，:A B是直径 或,.,NC=90ZC=90 是直径推 论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，,.0C =0A=06AABC是直角三角形或NC=90注：此推论实
23、是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。2、圆的对称性：(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 的直线；qAcB圆是中心对称图形，对称中心为.(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，re。是 圆。的直径，C_LA8于 E3、点和圆的位置关系有三种：点在圆,点在圆，点在圆;例 1:已知圆的半径r 等 于 5 厘米，点到圆心的距离为乩(1 )当1=2 厘米时，有 d r,点在圆(2)当d=7 厘米时，有d r,点在圆(3)当4=5 厘米时，有 d r,点在圆_4、直线和圆的位置关系有三种：相、相、相.例 2:已知圆的半径r 等 于
24、 12厘米，圆心到直线/的距离为d,(1 )当=10厘米时，有 _r,直线/与圆(2)当d=12厘米时，有 4_r,直线/与圆(3)当d=15厘米时，有 d r,直线/与圆5、圆与圆的位置关系：例 3:已知。01的半径为6 厘米，。2的半径为8厘米，圆心距为d,则:R+,R _ L；内 含(II)相交(II)夕 第仆 R-r TT R+r n内切 外切(1)当 d=l4 厘米时，因为d R+r,则。01和。2位置关系是：(2)当 d=2 厘米时，因为“_R-r,则O O i和。2位置关系是:(3)当 d=15厘米时，因为,则。0|和。2位置关系是:(4)当 d=7 厘米时，因为，则0 0|和。
25、2位置关系是:(5)当 d=1厘米时,因为则。O i和。2位置关系是:6、切线性质:(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：M N，0 A 且M N过半径0 A外端M N 是。的切线(2 )性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推 论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点.推 论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.(3)切线长定理:从圆夕|点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PB
26、是的两条切线PA=PB ,P 0 平分 N B P A例 4:(1)如图，雨 是。0 的切线，点 4 是切点，则/以 0=度(2)如图，用、PB是。的切线，点 4、B 是切点，则=,Z=Z;7、圆中的有关计算(1)弧长的计算公式:例 5:若扇形的圆心角为60。，半径为3,则这个扇形的弧长是多少？解：因为扇形的弧长=-180所以/=-=(答案保留7 C)180(2)扇形的面积：例 6:若扇形的圆心角为60。,半径为3,则这个扇形的面积为多少？解：因为扇形的面积5=-360所以$=1-1=(答案保留7 T )360若扇形的弧长为127tcm,半径为6cm,则这个扇形的面积是多少？解：因为扇形的面积
27、5_所以S=(3)圆锥：(1)S 钊曰 S 州+S =7rRr+7ir(2)SK=7crR例7:圆锥的母线长为5c m,半径为4 c m,则圆锥的侧面积是多少？解：.圆锥的侧面展开图是 形，展开图的弧长等于圆锥的侧面积=_8、三角形的外接圆的圆心三角形的外心三角形的交点；三角形的内切圆的圆心三角形的内心三角形的交点；9、圆内正多边形的计算(1)正三角形/在。中 A B C是正三角形，有关计算在R f A B。f/o 中进行：OD：BD：OB=I：6：2；yio M(2 )正四边形 、c同 理，四 边 形 的 有 关 计 算 在R t k O A E中 进 行，/|K0 E:A E:0 A =1
28、:1:&：)(3)正六边形同 理，六 边 形 的 有 关 计 算 在R t OAB中 进 行，A B:O B:O A =：y/3:2.ATE(-)填空题1、如图，弦4 B分圆为1：3两段，则48的度数=_ 度，ACB的度数等于_ 度；Z AOB=_度，Z A C B=_度,第 1小题2、如图，已知A、B、C为。上三点，若 AB、CA 8 C的度数之比为1：2 ：3,则N A O B=B O匕第2小题ZAOC=,ZACB=,/3、如图 1 32,在。中，弦A B=L8c m,圆周角N A C B =30 ,则。的半径等于=c m.4、。的半径为5,圆心。到弦4 8的距离。=3则A O=_,A B
29、的长为_；Z 5、如图，已知。的半径0 A =1 3c m,弦A B=2 4 c m,(9贝ij ()D=_c m.n A6、如图，已知。的直径A B=1 0 c m,弦4 c=8c m,於 与1%则弦心距0D等于 c m.,7、已知：。0 1的半径为3,。2的半径为4,若O O|与。2外切，则0|。2 =.8、已知：。0 1的半径为3,0。2的半径为4,若。0|与。2内切，则0。29、已知：的半径为3,。2的半径为4,若。|与。2相切，则0。21 0、已知：的半径为3,。2的半径为4,若。0|与。2相交，则两圆的圆心距d的取值范围是_1 1、已知。0|和。2外切，且圆心距为1 0 c m,若
30、。0 1的半径为3c m,则。2的半径为c m.1 2、已知。|和。2内切，且圆心距为1 0 c m,若。O i的半径为3c m,则。2的半径为c m.1 3、已知和。2相切，且圆心距为1 0 c m,若G)O i的半径为3c m,则。2的半径为c m.1 4、如 图1 一3 35是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为_c n?(不考虑接缝等因素，计算结果用”表示).论上H 30cm-1 5、如图，两个同心圆的半径分别为2和1,乙4。8=1 2 0,图 二 M则阴影部分的面积是1 6、一个圆锥的母线与高的夹角为30 ,那么这个圆锥的侧面第8即图展开图中扇形的弧长
31、与半径的比是（-）选择题1、如图 1-3-7,4、B、C 是。上的三点，/B 4 C=30 则/BO C 的大小是（B.4 5 C.30 图 1-3-72、如图，48 为。的直径，C、。是。上的两点，N A4 c=20。，A D =C O,则/D 4c的度数是（）(A)30(B)35 (C)4 5 (D)7 0 3、如 图 1一316,用 为。的切线，A为切点，P O交。于点 B,以=4,04=3,贝 I j c o s/4 P。的 值 为（）H 1-3-164、PA 切。于 A,以=JL Z A P O=30,则 PO 的 为（）A 2A/3 B 2（弋C 1 D 4 5/3 75、圆柱的母
32、线长5 c m,为底面半径为1c m,则这个圆拄的侧面积是（）A.10 c mB.l Oj u c mC.5c mD.57 u c m6、如图，一个圆柱形笔筒，量得笔筒的高是20 c m,底面圆的半径为5c m,那么笔筒的侧面积为（A .20 0 c m2 B.l OOTtc m2 C.20 0 n c m2 D.5 0 0 7 tc m2 T口7、制作一个底面直径为30 c m,高 4 0 c m 的圆柱形无盖铁桶，所需铁皮至少为（），A.14 25 n c m?氏 16 50 n c n?C.210 0 n c m2 D.26 25 n c n?8、已知圆锥的底面半径为3,高为4,则圆锥的
33、侧面积为（）（A）10 兀 （B）12兀 （C）15兀 （D）20 兀9、如图，圆锥的母线长为5c m,高线长为4 c m,则圆锥的底面积是（A.3 J t c mz B.9 n c m，C.16 n c m/D.25 n c /10、如图，若四边形4S C O 是半径为1c m 的。的内接正方形，&三则图中四个弓形（即四个阴影部分）的面积和为（）.佟(A)(2r-2)cm2(C)(万 一2上m?(B)(2-l)cm2(D)(-l)cm2(=)解答题1、如图，PA,PB是。的切线，点4、B为切点,B A C=2 0 ,求/P的度数.2、如图，4 8是。的直径，P 8与。相切与点B,A C是。的直径，Z的延长线于点。，求证：P。是。的切线。3、已知：如图，AB是。的直径，点 户 在8A的延长线上，PC切。于 点C,BD LP D,垂足为D,连接BC.求证：8 c平分/P 8 O；弦 4c1。尸，PC 交 B A4、如图，C B、CQ是。的切线，切点分别为8、D,C。的延长线与。的直径BE的延长线交于A点，连OC,E D.探索O C与E。的位置关系,并加以证明;