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1、专题16导数与函数的综合问题最新考纲1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).重点难点突破【题型一】导数与不等式命题点1证明不等式【典型例题】当x y e-l 时，证明不等式：(l+y)e7w(1+x).【解答】证明：不等式eV”(1+)，)eln(1+x)即为eln(1+y)eln(1+x),ex
2、+i/+，由 x+1 j+l e,即有-.Zn(x+1)Zn(y+1)构造函数(力=熹可知函数在(e,+8)h(f)0,即 函 数(x)在(e,+8)上单调递增，/+，N+工由于x y e-l,可得x+l y+l e,即有-，Zn(x+1)ln(y+1)即为(1+y)eyin(1+x).【再练一题】(1)证明不等式-ln(1+JC)01+x(2)在数列“八 中.己 知 a i=J,且 且 工=1 +丁=,求 数 列 a”的通项公式M/an-an n*n 1【解答】解：(1)设e(x)=历。+1)金，X 6 0,+00)对 0(X)求导，得：。(X)=-r-J =2x+1(1+x)2(1+x)2
3、当 x 0 时，-(x)0,二巾(X)在(0,+O O)内是增函数.当 x 0 时，0(x)(b (0)=0,即仇(x+1)-出 0,X*-ln(x+1)1+x同理可证方(x+1)X:.-ln(x+1)即 工=+-1+-=2+-1 +工=+1 +=2+计1,an at n n n n即舄田当=1时，“1=、不 满 足 2:+1rl故an=2 九i M+n+ln=1n 2命题点2不等式恒成立或有解问题【典型例题】已知函数/(x)=lnx-x2-ax.(I )当a=时，求曲线y=f (x)则4=1处的切线方程；(I I)若f(x)+2=-2 (x-I)即：y=-2x；(2)由条件可得/nx-/or
4、 W O (x 0)则当 0时，生卓一工恒成立，令(x)=竽-x(x 0)则 (x)=令左(x)=1-x1-I nx(x 0),则当x 0时，k(x)=-2 x-0；在(1,+8)上，h(x)0.所以(x)在(0,1)上为增函数；在(1,+8)上为减函数.所以(X)maxh(1 )=7,所以”2-1.【再练一题】已知函数/(x)=1 +alnx(0).(I )若函数y=/(x)图象上各点切线斜率的最大值为2,求函数/(外的极值点；(I I)若不等式/(x)0).1 C L a?a?二 当一=一时，f(x)取最大值一，/.一 =2,X 4 8 8：.a=4.此时，(x)=一$+：=2,在(0,1
5、)上，f(x)0,f(x)单调递增，.V (x)的极小值点为户表 无极大值点.(I I )-：f(x)=三 U，其中 x 0 且 a 0,.在(0,-)上，f2(x)0,/(x)单调递增,2:f(x)2/(-)=a+ai.aa2,关于x的不等式/(x)0,+-0,g(x)单调递增，在(1,+8)上，g1(x)0,g(x)单调递减，g (x)g (1)=0,.：.ln-+l-0且三h 1.a a a a的取值范围是“0且ar 2.思维升华(1)利用导数证明不等式的方法证明(x)g(x),b),可以构造函数F(x)=y(x)g(x),利用F(x)的单调性证明.(2)利用导数解决不等式的恒成立问题的
6、策略首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围.也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.【题型二】利用导数研究函数的零点问题【典型例题】函数/(X)=以3+3/-1存在唯一的零点刈，且 刈 0,则实数。的范 围 为()A.(-8,-2)B.(-8,2)C.(2,+8)D.(-2,+8)【解答】解：(i)当a=0时，f(x)=-3/+1,令/(x)=0,解得x=J,函数/(x)有两个零点，舍3去.(H)当 a#0 时，(x)=3 cu?+6x=3t ix (x+1)，令/(x)=0 解得 x=0 或 当a 0，当 一|或x 0,f(x)0,此时函数f(x)单调递减；当0
7、 0,此时函数/(x)单调递增.故x=-|是函数/(%)的极大值点，0 是函数/(x)的极小值点.函数/(x)OJC+3 7 1 存在唯一 一 的零点 x o,且 xoO,则 f (1)=-2+1=1 4 得。2(舍)或 a 0 时、-|0 时，f (x)0,此时函数/(x)单调递增；当一 0 时-，f G)0,此时函数/(x)单调递减.后一(是函数/(1 的极大值点，0 是函数/(X)的极小值点.,./(0)=-1 x；(2)讨论函数/(x)在 R 上的零点个数，并求出相对应的。的取值范围.【解答】(1)证明：当=0 时,/(x)=以-1.令 g(x)=f(x)-x=ex-x-x=er-2x
8、.则 g(x)=ex-2.令 g，(x)=0.得人=加2当 x /2 时，g(x)/”2 时，g (x)0所以g (x)在(-8,in 2)内是减函数.在(/2,+8)内是增函数，所以x=/2是g (x)的极小值点，也是最小值，即 g(x)min=g(I ni)=e12-2 ln2 =2 ln-A).2故当a=0时，f(x)x成立(2)解：/(x)=/-1,由/(x)=0.得x=0.当 x VO 时，f(x)0 时，f(x)0所以f(JC)在(-8,o)上是减函数，在(0.+8)内是增函数，所以x=0是函数/(x)的极小值同时也是最小值点，即 f(x)加 =/(0)=1 -a,当1-Q0,即“
9、/时，/(x)在R上没有零点，当1 -a=0,即”=1时，/(x)在R上只有1个零点，当/-a/时，因为/(-a)=e。-(-a)-aea0.所以/(x)在(-8,o)内只有一个零点，由(1)得 ”，令K=a,则得e 2a.所以/(a)=e-a-aea-2a 0.于是/(x)在(0,+8)内有一个零点：因 此.当”1时，/(x)在R上有两个零点.综上当“)-m+E F-3 m =(4 -4J 3 m =(4 +噌一 管8涧,sm0 cos 夕 sinOcosO sinOcosu)其中e e 泵f_(s iF 8-cos e)s i?1 6cos 6+(3-s i?i8 cos 8)(co$P+
10、s i?ie)z,)y=771.sin2 0COS26由于GE 哈，y ,所以 s inOcos。，又0 0.由 y =0 得，s in0=cos 0,故S =/.当亨）时,/o,y关于e在 泵 多单调递增.因而，当6=押，ym i n=（1 0-2 V2）m.此时，BE=BF=V2.答：E,尸与8均 相 距 时，修建道路的最小费用是（1 0-2、C）ni万元.【再练一题】如图，矩形A B C。是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路例N （宽度不计）经过该矩形区域，其 中 都 在 矩 形A B C。的边界上，已知A B=8,A Q=6（单位：百米），小路MN将矩形A 8C
11、。分成面积为S i,S 2 （单位：平方百米）的两部分，其中S 1 W S 2,且点A在面积为S i的区域内，记小路MN的长为/百米.（1）若1=4,求S i的最大值；（2）若 S2=2SI,求/的取值范围.【解答】解：由题意，折痕有下列三种情形:折痕的端点M,N分别在边A B,A D上；折痕的端点例，N分别在边4 8,CD；折痕的端点M,N分别在边4),B C匕(1)在情形中，MN2 6.故当/=4 时，折痕必定是情形.设A N y c m.则j?+y 2=1 62 xy,可得x y W 8,当且仅当x=y=20时取等号.5=,町W4,此时最大值为4.(2)由长方形的面积5=6X 8=4 8
12、.i$2=2 S I,*S 2 3 2 SI=1 6.(z)当 折 痕 是 情 形 时.设A N=y c m,可得名孙=1 6,即)，=卫.2x0 9 1 6由 0 W xW 8,0 0,此时函数/(幻在区间(0,+o o)上单调递增，不可能有两个零点;当a0时，函数/(x)在区间(0,a)匕单调递减，在区间(小 心)上单调递增，因为/(0)=1 0,若函数f(x)在区间(0,+8)内有两个零点，有/(。)=2/-3/+1 =1一。3 0),若有且只有两个整数%,%，使得/(玉)0,且/(%)0,则。的取值范围是()A.(l n 3,2)B.2-l n 3,2)C.(0,2-I n 3 D.(
13、0,2-l n 3)【答案】C【解析】由题意可知，/(x)0，即l n x+(a-2)x 2a +4(),(a ().；.a x-2 a 2 x-l n x-4,设g(x)=2x-l n x-4,(x)=i z x-2a.由 g(x)=2 =_ .可 知8(%)=2彳-111%-4在(0,I上为减函数，在 上 为 增 函 数,(x)=a x-2a的图象恒过点(2,0),在同一坐标系中作出g(x),&x)的图象如下，若有且只有两个整数为,，使得且则a 0 a0,/?(l)g(l),即-a2，解得0 a V 2 l n 3,故选C.“3)/3)a (),2 0,所以g(x)0所以g(x)在(1,小
14、功上为增函数，则 g(x)g(l)=1-2。,当1-2心 0 时，g(x)0,所以r(x)，所以/(x)在(L+o o)上为增函数，则f(x)f(V)=0,所以/(x)在(1,-HX)上没有零点.当12 ag,因为g(x)在(L+o。)上为增函数，则存在唯一的毛(1,+8),使得g(%)=0,且当x e(l,X o)时，g(x)()；所以当x e(l,x()时，f x)0,/(x)为增函数，当无=%时，&)=./X X o)，因为/(入0)0 成立的x 的最小整数为()A.-3 B.-2 C.-1 D.0【答案】D【解析】%3%5/9 I!13根据题意，函数/(x)=l +x-2+士-二+工-
15、三+二,其导数3 5 7 9 1 1 1 3f(x)=1 -x2+x4-x6+x8-x1 0+x1 2,时，r(x)可以看成是1 为首项，一 九 2 为公比的等比数列,1 ,1 4则有 fx)=1 _x2+/_/+_x1 0+%1 21 +X函数/(X)在 R上为增函数，又由/(一1)=1 +(-1)+(g-)+(；-1)+()0,2 八23/(-2)=1 +(-2)+一5 乂7,771 3O=x-l r =x r+l,又由一 2 1 1,贝 i J-l r+l 0成立的x 的最小整数为0；故选：D.5.【安徽省江淮十校2 0 1 9届高三年级5 月考前最后一卷】已知函数/(x)=|l n x
16、 o r 有三个零点，则实数a的取值范围是()A.B.(0,e)C.D.(e,+8)【答案】A【解析】由函数7(x)=|l n x|-a r有三个零点，可转化为=|1 1 1 才与直线丁 =值 有三个不同的交点，显 然 时 不满足条件.当。0时，若%1,设切点坐标为(七,l n X o),由y=l n x得 y =2，所以切线斜率为X X。因此，切线方程为：y-I n x0=一(x-xa),由切线过原点，得为)=6,此时切线的斜率为1.e故当0 a,直线y=公 与 y=|l n x|有两个交点；当O X 1时，直线y=与 y=|l n H 有e一个交点，结合图像可得，0。1,或 尤=0,当1尤
17、 ()，2 2a 2a1 G/色 x ，f(x)0；故在(0，+8)单调递增，乂/()=0,故图象不经过第四象限，符合题意 G 1 O当2 a 1 0;0 X ，/()4(x)成立，且 2)=e 2,则不等式；(力 加 的解集是()A.-c o,e)B.(e,-Ko)C.S，2)D.(2,+0 0)【答案】D【解析】原不等式等价于 电 单 2,令g(x)=S3,则 g (x)=/(x)+V 1 x)-V(x)0恒成立，g(x)在R上是增函数,又 2)=/，；.g(2)=2,.原不等式为g(x)g ,解得x 2,故选.8.【江西省新八校2 0 1 9届高三第二次联考】已知函数/(%)=g+=一+
18、2 1 n x,要使函数x)0恒X成立，则正实数相应满足()m-2D号步】【答 案】A【解 析】由 一（X）m-2 ,口=tnx+-+2 1 n x,得:xf(x)=mm 2 2nvc+2x+2-m _(如+2 根)(尤+1)_ X29Xm-2x-m9JCx +l)若 竺 心m 0,即0?W 2时，则/（力0恒 成 立，即 x）在（0,+8）上单调递增又x-0+时，/（x）-o o,与/（x）0恒成立矛盾;/77 2若-0 ,即 加 2时m当x/o,竺I m时，尸（力。，当 工2,+o o 时,/(x)0m)/XLm-2、m)=(m-2)+m +2 1 nm-2、m,2(m-l)+2 1 nm
19、-2、m)若 x）0恒 成 立,需/（x%0，即：1-根 l nm-2mmn 亡m-2本题正确选项:A19.【辽宁 省 沈 阳 市2 0 1 9届 高 三 教 学 质 量 监 测（三）】已知函数/（%）=/-2 1+1 +#一 工其 中 是自然对 数 的 底 数.若/（。-1）+/（2。2）4 2,则 实 数a的 取 值 范 围 是（）.A.-15 1B.C.D.-?1【答 案】C【解 析】令g(x)=/(x)-1 =x3-2 x+v-4-,X GR.则 g(-x)=-g(x)，,g(x)在R上为奇函数.,1g(x)=3x 2 _ 2 +e +.()+2-2 =0,ex 函数g(X)在 R 上
20、单调递增./(1)+/(2/),2,化为：/(1)1+/(2/)1,0,即 g(a l)+g(2/),0 ,化为：g(2a2,-g(a-)=g(-a),2a2,1 a,t P 2a+CI L,。，解得-啜*7.2 实 数a的取值范围是 1,J.故选：C.1 0.【湖南省长沙市第一中学2 0 1 9届高三下学期高考模拟卷(一)】若不等式l n x +-m4 加+e 对 x e -,1 Xe成立，则实数m的取值范围是()A.C.D.l,4-oo)【答案】A【解析】1 1设/=l n x +,由X E 一x|_ e则 t =!-=在 -,1 k t,=e-i-m -；2当机 一 时，+e恒成立;综上
21、知:当 一!，+8)时，不等式1 1 1无+,一加工机+6对X E -,1 成立.2x e故选A.1 1.1 0 1 9年甘肃省兰州市高考数学一诊】已知函数f (x)=a l n x-1 X92 +-1 ,当a (-1-,0)时，函数的2 4 2零点个数为【答案】1【解析】函数 f (x)=a l n x-x2+,可得 F (x)=-_x,2 4 x1 11 1 (-1-1a e (,0 )时，f (x)0,函数是减函数，/(I)=+=(),2 2 4 4 2 41 .1 1所以函数函数f (x)=a l n x一一?+-,当a e (一一,0)时，函数的零点个数为1.2 4 2故答案为：1.
22、1 2.【江苏省南通市通州区2 0 1 9届高三第二学期四月质量调研检测】已知函数/(%)=x l n x,g(x)=-x2+(a +1 2)x +2 a,若不等式/(乃(乃的解集中恰有两个整数，则实数。的取值范围是.7 n 2-1 0 4Z n 2-1 6 答案 2，3【解析】由x l n x 胆 止 上,x+2xlnx+x2-1 2 x,7、x2+2 lnx+5 x -2 2h(x)=-h(x)=-：-设 x +2 ,则(X+2)2.令(x)=x2+2 1 n x +5 x-2 2 (x 0),则，(x)=2翼+：+5 0,所以(p(x)在(0,+8)上单调递增.由于(p(2)0,0,所以
23、三丸 C (2,3),p(x0)=0,所以h(x)在(0,与)单调递减：在(x 0,+s)单调递增.要使不等式f(x)g(x)的解集中恰有两个整数，即。瑚(丫)的解集中恰有两个整数，必须解集中的两个整数为2 和 3.所以a h(2),a h(3),a 1 6 a g 恒 成立，即：e*恒成立.当a0时，若ef(),a /+?x -+o o,不满足e、a V+恒成立.当a =0时，e*O x(x 2+g x =o 恒成立.当a 0 时，不等式e*卜亘成立等价于：一+力7 min记/l(x)=2 3X X2ex则 (%)=a 2解得：-a 0.2综上所述：-9 0时，e -1 0；当 x 0时，e
24、x-1 0时，g(x)0,/(x)0；当x 0时，g(x)0所以/(X)图像经过第一、二两个象限，不符合题意当a0时，令g (x)=(),得x=a当*-0 0,-4)和(/,+0 0)时,g (x)0,g(x)单调递增；当xe(-a,a)时,g (x)(e、-l)的图像经过四个象限所以 g(a)=2a 3 +2a 0,g(a)=-23+2a l当a o,g(x)单调递增：当x a,-a)时,g (x)0,g(x)单调递减因为函数/(x)=g(x”/一1)的图像经过四个象限所以 g(-a)-2a 3 +2a 0解得。1或。一1故答案为：a F，T)u(l，”)1 5.【江苏省海安高级中学20 1
25、 9届高三上学期第二次月考】若关于x的不等式-3/+a x +b 0对任意的实数 饕呈1,3/及任意的实数b饕呈2.4/恒成立，则实数a的 取 值 范 围 是.【答案(-？力 辛,-2)【解析】关于x的不等式-3 x2+ax+b。对任意的实数x e 1,3 及任意的实数b e 2,4 恒成立，先看成b的一次函数，可得婷一3万2+。不 b?即为1 3公+_ 4,a 3 x-可得 无恒成立，设f(x)=3 x 一/一：，x e 1,3 ，,4 (2-x)(2x2+x+2)/W=3-2x+=-xL xL,可得l x 0,f(x)递增;2%3 时,尸(行 0,f(x)递减，又f =-2,/3)=V，可
26、得/(X)在口,3 的最小值为-2,可得a 1 恒成立,即 有(2 k-1)x-2A x+1 0,可得 2 5-1 0,且=4 -4 (2 k-1)W 0,解 得k-1 1即有直线方程为y=-1,下面证明x-在 恒 成 立，由 y=xlnx-x+1 的导数为 yf=1+7/?-=lnx,由 可 得 力7x20,即有函数y=xlnx-x+1在x 2 1递增，可得xlnxx-1在 恒 成 立，则f (),g(x)的“分界直线”为y=x-1.故答案为：-1.1 7.【河南省八市重点高中联盟“领军考试”20 1 9届高三第五次测评】已知函数/(x)=x(l n x+a)+b,曲线y=/(x)在点(1，
27、/(1)处 的 切 线 为 一 广1 =0.(1)求。，匕的值；若 对 任 意 的X G(l,+8)，1)恒成立，求正整数加的最大值.【答案】(1)a=,b=Q-(2)3【解析】(1)由/(x)=x(l n x+a)+Z?得：/(x)=l n x+a+l由切线方程可知：/(1)=2-1 =1/(1)=。+1 =2,f a+b-1,解得：a-,b=0(2)由(1)知 x)=x(l n x+l)则xw(l,+o o)时，/(X)NMX-I)恒成立等价于xw(l,+o o)时，：0nx+l)恒成立X-1,/、x(l n x+l),o(Y-xinx2令 g (x)=-j X 1，则 g (x)-(%_
28、)2.1 r _ 1令(x)=x _ l n*_ 2,则=-x x当x l,3)时,”(尤)0,则 力 单调递增v/?(3)=l-l n 3 0 ,现 e(3,q,使得妆/)=()当时,g(x)0，g(%=g(x )=当铝1(不)=%)l n x()2 =0 /.I n x0=x0-2g(x).=g(尤。)=：1)=X。e(3,4)xo-1.,.m x2+4 x、i+i)L xx2+4 x-(*+2)(犷+2 x-2)令 g(x)=K,x-0,则 g )=-；-e(x+1)5(x+l)2ex由g(x)=0及xi()，得x=g-L当x e(0,6-1)时，g(x)0,g(x)单调递增;当x e(
29、6-1,+8)时，g(x)0,g(x)单调递减.所以当x=G l时，g(x)1 ra x=g(6 l)=2 e Y-所以加2 2丈 瓦 即实数m的取值范围为 2 e N,+8).1 9.【安徽省定远中学2 0 1 9届高三全国高考猜题预测卷】已知函数 X)=(x2-2 x+2)ex-ax a e R).(1)当&=e时，求函数/(x)的单调区间；(2)证明：当aW 2时，/(x)2.【答案】(1)增区间为(，,()，(1，内)，减区间为(0,1).(2)见证明【解析】解：(1)当 a =e 时，/(x)=(X?2 x+2)e*g c x?,所以/(x)=x1ex ex=x(xe*e),讨论：当
30、x 0时，xex-e 0；当0cx 1时，由函数y=xe”为增函数，有xe*-e 0，有/(x)l时，由函数y=xe*为增函数，有x e*-e 0,有.f(x)0.综上，函数“X)的增区间为(H。,。)，(1,+功，减区间为(0,1).I 1 ,7证明：(2)当a x,2 2所以/(x)2(X?2 x+2)e，+厂.令 g(x)=(x2-2 x+2)e*+x2,则 g (x)=x2ex+2 x=xxex+2).令/z(x)=xe +2,有(x)=(x+l)e”.令(x)=0,得x=-l.分析知，函数(%)的增区间为(一 L+8),减区间为所以力(力而”=刈-1)=2-！0.所以分析知，函数g(
31、x)的增区间为(。,+8),减区间为(T ,0),所以 g(X L=g()=(2 2 x0 +2)xe+()2=2,故当a W 2时，/(x)2.2 0.【晋冀鲁豫中原名校2 0 1 9届高三第三次联考】已知函数/(x)=x-l-l n x-a(x-l)2(a e R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对V xe(),+8),f(x)0,求实数。的取值范围.【答案】(1)见 解 析(2)(-o o,0【解析】解:由题意知，/(x)的定义域为(0,田),由 /(x)=%-l-l n x-(x2-2 x+l)=-加 +(2 a +l)x-(a +l)-l n x,得/(x)=-2 ax+(
32、2 a +l)-=-2 二(2 型八上 1 =_(2 :1)(1)X X当时，令/(x)(),可得X1,/(龙)(),得0 x l,故函数“X)的增区间为(1,+8),减区间为(0,1)；当0。1,令/(力 0 ,可得1 尤-,f x)Q,得0cx-,故/(X)的2 2 a 2 a 2 a增区间为1 1,()，减区间为(。/)、当a =1时，/(幻=_ 包 二1匚“0，故函数f(x)的减区间为(0,+8)；2 x当a，时，o _ L i,令/力 乂)，可得-x l,f(x)0,得 0 c x l,故/(x)2 2 a 2 a 2 a的增区间为(看,1;减区间为1 0,1)，(1,+8).综上所
33、述：当时，f(x)在(0,1)上为减函数，在a+。)上为增函数；当0 a g时，f(x)在(0,1),上为减函数，在(1,()上为增函数；当。=；时在(1,”)上为减函数，在 2，1)上为增函数.(2)由(1)可知：当“V 0时,/(x)m in=/(1)=0,此时/(九)2 0；,/(X)在(0,+8)为减函数；当。一时，/(X)2当0 q 0，a +l,可得/(x)xl a(xI)?=(xl)(a +l-以)(),不符合题意；当时，/(1)=0,由函数f(x)的单调性可知，当xe(l,+c o)时/(x)!时，/(1)=0,由函数A x)的单调性可知，当时/(幻 0 ”、，/(%)=X ，
34、若关于X的方程/(x)=l有且只有5个解，则实数。的取值范围为()e (x+l),x 0上，方程f(x)=l的解.0,1,2,3,4,时，在x e e-(+D,e-)上,x en,-(n +1)In%-n,所以由取整意义有 l n x =-(n+1),乂2 l n2x (n +l)2,：.n2+n f(x)n2+3n+l,即在上，恒有+/(x)V 2+3 +l,n2+n-l/(x)-l n2+3 n,取 n=0,1 f(x)l 当nl时,恒 有f(x)-l L此时在x e e+D,e T)上无根.在x e e,e+i)上,e x nlnxn+l,l nx=n,乂2 l n2x (n+l)2,：
35、.n2-n-l.f(x)(n +1)2-n-1,所以在x e e,e)上，恒有一一1 4 f(x)n2+n,n 一 2 W f(x)-1.n=I 时，在 e,e?)上，有2 W/(x)-L l,n=2 时，在/,/)上，有 0/。)一1 -0 0,.在Goo,0)上，f(x)是先增后减，f (x)=ex(ax+l),f(x)=0 得。+1 八 i-x=-a 0.a又 在(-00,-),/(x)单调递增，.八龙)()aa+l即 e 白(-。)0,=。0又。-1,C l 。)存 在 唯一的零点，则实数。的取值范围为()A-(。月 B.(0,；)C.(0,2 D.(0,2)【答案】A【解析】函数f。
36、)=e*-，-e-*+：+a sim rx w R,e是自然对数的底数，Q。)存在唯一的零点等价于函数(p(x)=asin?rx与函数9()=3】只有唯-个交点，0，.g 0)是最小正周期为2,最大值为Q的正弦函数，工可得函数3(x)=a s in n与函数9(丫)=e i-J/T的大致图像如图：二要使函数(p(x)=a si n n-x与函数9(丫)=e i r-e*T只有唯-个交点，则,(1)之。，,(pr(l)=7r a c o s7r =-na g(l)=-e1-1-e1-1=-2,，Ng(l)即一加之一2 ,解得a =三,J T又 ,a 0(2 10 所以实数。的范围为I蟾L故答案选
37、A3.【吉林省长春市2 0 1 9届高三质量监测(四)】若函数f(x)=l n(e*T +展一)2与g(x)=si n?图像的交点为则 匕 X,=()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】A【解析】解：设函数M x)=f(x+l)=，n(e*+e 7)-2,y =/i(x)的定义域为凡因为M-x)=上1+-)-2 =/1(/,所以y =M x)为偶函数，因 为丁=(+0-*)=/_ 0-*是增函数，故当x 。时，y e 0 -e =0,所以当x 2 0时，y =ha)为增函数,由奇偶性可知，当x 1 时，y=/(%)为增函数,当x i 时，y =f(x)为减函数，函数y =9(乃是关于x =1
38、 对称的，作出两个函数的图像，如图所示，两个函数的交点有两个，设它们的横坐标分别为叼，,+%2由对称性可得-2-=-1-,即+.=2n,故选A4.【山西省太原市2 0 1 9 届高三模拟试题(一)】已知定义在R上的函数/0)满足2/(x),f(x)0的解集是()A.(0,2)B.(0,V 2)C.(0,e)【答案】A令l n x =f,f e R,构造函数D.(0,G)，(拒演)一/(x)g Q)=*n g)=-9 2 e由已知可知：2/(r)-/(r)0,所以g)0n g 是 R 上的减函数,、八-、/(I n 2)2 1 f(t)r-当 f g(ln2)=-r =1,g(0 =f(t)母缁
39、,显2 百(0)2 国所 以I lnx y/2e 2=J57=/(ln 九)一 J 0 成 ，_ Inx也就是当 x V 2 e 2=叵=fQ n x)-岳0成 立,故本题选A。5.【河北省衡水市全国普通高中2 0 1 9 届高三四月大联考】若不等式瓶/+23 一 0 有且仅有两个正整数解，则实数加的取值范围为()Zn2 ln3A.五 正)ln3 ln2C.【答案】Aln2 ln2B.哈 丁)ln3 InZD.【解析】Inx7mx+2 m 0,.不等式根/+2 根 工-*0,g(x)单调递增;当为饕?6+饕?时,g(x)0,g(x)单调递减,如图所示,m x 4-2 m 要使 Y 有且仅有两个
40、正整数解，数形结合可知，只需满足(2)g(2)3)。(3)(7(4)Ng(4)|4 m J r-ln3 5m。时，%)=I nx+1 吟 则函数以无)=f(x)si nx(e 为自然对数的底数)的零点个数是()A.1B.2 c.3 D.5【答案】C【解析】当X o 时，r（x）=；-5 故函数在（0,3上递减，（1+8）上递增，在“一下处有最小值为住）=1,此时g（；）=，（；）-si n；=l-1=0,根据/的单调性和|si nx|0 时，x=；是g（x）的唯一零点.由干/（x）是定义在R 上的奇函数，则/（。）=0,故9（0）=f（0）-si M =0,所以=0 是函数以乃的零点.由于f（
41、x）和 si nx都是奇函数，故/（冶）=-l,si n（-；）=-1,且根据奇函数图像的对称性可知,（蛆 Q 蛾“X）在（一 8,-；）上递增，在I 2 上递减，2 时，f（x）取得在（r o,0）上的最大值，故 =一 是g（x）在区间（8,0）上的唯一零点.综上所述，9（尤）零点个数有3个，故选c.e 2 x H-ke*V 07.【湖南省永州市2 0 1 9 届高三第三次模拟考试】若存在x c -L 2 ,使得 +3，成立，则实数岫勺取值范围是（）A.（一饕?一1 B.（e,+s）C.(-e+士，+8)D.(-l,+o o)【答案】D【解析】ke x 4-原不等式等价于：第+3/=k 曰+
42、F=W+士户*+2户 户 +3X 1t=k t+_令 则存在x c -1,2 ,使得 t +3成立.当x e L i）时，t0,则t 单调递增;当x c（L 2 时，t 0:t+.=(t+3)+4-3 2 2-3=-1V T 口 C r l (t+二;)=-1,即2 e(-1,+8)c+3/min本题正确选项：D8.【四川省广元市2019届高三第二次高考适应性统考】已知函数f(x)=2lnx-1(1 x e2),g(x)=mx,若f。)与。(灯的图象上存在关于直线y=对称的点，则实数m 的取值范围是()2 3A.ee)B.(-e-2,3e C.-2e 2,3e)D.(-3 e-2,3e【答案】
43、C【解析】解：设=九(对的图象与y=gO)的图象关于宜线y=o对称，则y=h(*)=-m x,由f(x)与g(x)的图象上存在关于直线y=。对称的点,设过原点的直线与y=f(x)相切于点P&a%),、2J(x)=_由 X,2则切线方程为：y-yo=与 (x-xo，)又此直线过点(0,0),32所以“o=e ,3即r(xo)=2 e 2,由图可知:-y-m 2e,即实数m的取值范围是：-2 e m 3 e,故选：C.9.【天津市耀华中学2 0 1 9届高三第二次月考】已知函数“力=1 1 1%0(%1)心(%)=，.(I )(i )求证：g(x)2 x+l；(i i)设(x)=/(x+l)+g(
44、x),当xNO,/i(x)Nl时,求实数。的取值范围；(II)当a r O时，过原点分别作曲线丁=/(力 与y=8(6的切线4，/2,已知两切线的斜率互为倒数，证【答案】(I )(i )详见解析；(i i)(一,2 ；(H )详见解析.【解析】(J )(i )证 明:令(x)=e (x+1),则“(x)=e*-1,所以x 0时，M(x)0时M(x)0,所以(x)之()=(),即g(x)Nx+l.(i i)(x)=/(x+l)+g(x)=l n(x+l)-a c+e*,a.当a 4 2时，由(I)知e Nx+l，所以(x)=e*+-+1 H x+l-x+l所以/z(x)在0,+8)上递增，则 妆
45、 工)之 0)=1恒成立,符合题意.b.当a2时,令t(x)=(x),则t(x)=ex-*)0,所以(力在0,+。)上 递 增,且(0)=2-a。,则存在(x+1)(x+1)X()e(0,+oo),使得(七)=0.所以(X)在(0,7)上递减，在 优,+8)上递增；又(7)0 ,m(l)=-0 ,所以X 1而。=-，在X e (工,1 上单调递减，rre-e 所以-a-e e若 l,+oo),因为m(x)在(L+o。)上单调递增,e 1/1综上所述：一1 时，证明：g(x)X X X当a.O时，r(x)0,则/(X)在(O,T8)上单调递减；当a 0时，令/(x)0,可得0 x a；令 a ；
46、则/(x)在(0,-a)上单调递增，在(-a,+0。)上单调递减。当a =2时 要 证 明g(x)：；：)成立,即证:X (x+1)l n(x+1)0,0 x e2e2-1所以，(x)在(o d-i)单调递增；在卜-2-1,+8)递减又由已知无1,可知0(x)在1,+oc上为减函数e e故。(%),。1 =2 2 +/,即 1 x(x+1)v 2+e-令/z(x)=x+l-(l +l n(x+l),h(x)=1.-x+l当1一1%0,4(幻 0,C1 -x (x+1)l n(x+1)a j.|2 +a 2 +e -敛!J-x+1 尤 +l l +l n(x+l)Xx+1(J _ _ _ _ _ _ _ _x+1 l +l n(x+l).故原不等式成立.