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1、【备战2022年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】专 题 25“形影不离”的三角与向量的综合问题考纲要求:1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.基础知识回顾：1.平面向量数量积有关性质的坐标表示：设向量8=(不，%),，=(如 ，贝!生由此得到：(1)若a=(x,y),贝!|3|2=4+7，或=5旺7.(2)设4(小，yi),Bx z,，则48两点间的距离|的=X1X 2一 耳%一刑之.设a=(xi,%),6=(如 ，贝！I 8_1仪=为 入2+%=0.2.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sina B)=sin a cos B cos
2、a sin fi；cos(a=cos a cos B sin a sin f；tana )=tan a tan BlTtan a tan B3.二倍角的正弦、余弦、正切公式：sin 2a=2sin a cos a；cos 2a=cos a sin a=2cos a 12 tan CL=l-2.sin a；tan 2a=-.l+sin2a=(sin a+aosa)2,1-sin2 a=sin a-cos a)2,1-tan a4.辅助角公式：6zsinx+Z?cosx=J c/+sin(x+0),其中 sin(p=p,cos(p b5.正弦定理及变形:兄其中 是三角形外接圆的半径变形：(1)a：
3、6：c=sin A:sin B：sin C x(2)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c2Rsin C.6.余弦定理及变形：a=t)+c 2bccos A9 l/=a+c 2accos B c=a+t？2abcos C.*b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2变形：cos 4=2bc，cos g 寂，cos 密 二应用举例：类型一、向量与同角三角函数基本关系相结合1.(2020.全国高一课时练习)已知向量G=(sin ai),5 =(0,cose),6e,则,+闿 的取值范围是()A.0,V 2 B.0,2C.U D.A/2,2【答案】D【解析】卜+同=“一+）=a2+bt
4、=2os 2 0 do&i-+2c6 0 =-7-+-石，则c o s6 e0,l,J2 +2COS6 e 故选 D.2.（多选题）（2021.广东华侨中学）已知向量Z=（l,sin。），5=（COS0,V2）,则下列命题正确的是（）A.存在。，使得aB B.当tan，=-立 时，a与B垂直2C.对任意。，都 有 口 咽 D.当:）=-6 时，J 在否方向上的投影为-平【答案】BD【分析】A 选项考察向量平行坐标之间的关系；B 选项考察向量垂直时坐标之间的关系；C 选项分别求出可以得到是否存在e，使得卜卜可；D选项中根据数量积求出e 角的三角函数值，可以求出 在万方向上的投影【详解】选项A 中
5、，若/,则V=sin0cos0,sin20=2V，所.以不存在这样的。,所以A 错误选项 B 中，若a_L力，则cosO+0 sin O =O，cos0=-V2sin0，得：tan=-,所以选项 B 正确2选项 C 中，口=x/l+s in*,M=j2 +c o s*,当 e 时，k M，所以 c 错误选项 D 中，a =cos6+/5sine=-G ,两边同时平方得：cos?O +Zsin?e+20sin cos。=3cos?O +Bsin?9化简得：2cos20+sin2 0-25/2sin0cos0=O，同除cos?。得：tan2 0-2/tane+2=0，1anO-后）=0,所以tan
6、6=&，即 竺 9 =2,解得：co s*=；设 与加的夹角为a,所以 在刃方向上的投影cos-0 35/2+cos2 03手-1，D 选项正确3.（2021黑龙江香坊哈尔滨市第六中学校）己知向量2=（2,cosa）,8=（sina,1）,且1 1 万，则sin2a=4【答案】【分析】由向量垂直的坐标表示可得tana=-g，再由万能公式有求sin 2 a即可.s i n2 a+c o s2 a t a n2 a+145 ,2 s i n c o s 6 Z2 x2 t a n a，s i n 2 a =2 s i na c o s a =2【详解】向量M =(2,c o s a),6 =(s
7、i na,i),S.a！b a-=2 s i na+c o s a =0 即c o s e =-2 s i nc z,n,sin a贝t a n a =-c o s。4.已知向量a =(c o s a,s i na),b=(-s i na,c o s a),设玩=石1+5,n=a+j3b.(1)求k+目的值；求玩，为夹角的大小.【答案】(1)0；(2)O【分析】(1)由平面向量模长的坐标运算可直接求解得到结果；(2)利用平面向量坐标运算求得万名，同和W；利用平面向量数量积的运算律可求得沅.河，|同和同，由向量夹角公式可求得结果.【详解】(1)=(c o s a-s i na,s i na+c
8、o s a),二.卜 +5 卜 J(c o s a-s i na y +(s i na +c o s a=J l -2 s i n a c o s a +1 +2 s i n a c o s a 二垃；(2)由题意得：4 石=-s i na c o s a +s i na c o s a =0，同=1，W=1，.,.万 万=(总+5)(万+屏)=岳？+4 万万+百户=2 百，M=(超+盯=a2+l4ia-b+b-=2 ,同=J(G +回=yja2+2y/3a-b+3b2=2 ,:c o s=。,又 而，历 0,4 ,:.=.网 同 2 L 1 65.(2 0 2 1 广东潮州)在平面直角坐标系
9、中，。为坐标原点，已知向量2 =(2,1),A(l,0),R e o s。).(1)若2/福，且|耳 耳=石|函 求 向 量 丽 的 坐标.(2)若江/丽，求)=-l V 5 ,3 1(2)山(1)可知f-，y =c o s-c o s +-=c o s-c o s +一2 4 4 2 4(5 2 6 Q 1 5/3 f 4 0 3.4 1(4 4 J 4 4(5 J 2 0 5 20 5类型二、向量与两角和与差正(余)弦、二倍角公式相结合1.（2 0 2 1 河北天津二中高三月考）已知向量=5兀.5加、Tc o s ,s i n ,b-1 2 1 2)c o s y|,s i nj,那 么
10、等 于（A.1B-TC.1D.0)【答案】A【分析】利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.【详解】。二5兀 .5兀、rc o s ,s i n .b=1 2 12兀c o s 1 2,s m 7711|,a br -c o s 5 7 11 27 1 .5兀.c o s +s i n s m71711 2 1 2 1 2 1 2 3盘 故选：A.2.（2 0 2 1南京航空航天大学附属高级中学）已知向量3=（1,s i n。），b=（c o s 0,及）（0、先万），则下列命题正确 的 是（)A.与坂可能平行C.当=G时，s i n0=3B.存在仇使得|二仍|D.当t a n。二
11、-立时，与坂垂直2【答案】B C D【分析】在题设条件下，对选项A,B,C,D的条件分别分析并判断.【详解】若2与B平 行,则s i n仅os9=0,即s i n2 G 2 0不成立，即与石不可能平行，故A错误;.“，”_ _ _ _ _ _ _ _ jr若|二|办 则 J l +s i n?夕=y/cos?夕+2 得 l+s i n20=c o s20+2,即 c o s20-s i n20=c o s 2 0=-l,此时而 0 W比不，夕=3 5 1 5故 B 正确；若U=G，贝ij c o s O+J 5 s i nO N G l F C O s%7 s i n。)，设 s i ng二
12、f，c o s 二 ，则V 3 yJ3 v3 V 3c o s 9+0 s i n外6 s i n(e+g)=G ,则 s i n(0+3)=l,即9+片2 兀+(又 0&?S r,仁。时，0=-(pf 从而有s i n 9=c o s =,故 C 正确；当 t a n族-时，则 s i n c o s x =yja2+b2 s i n（x +/）,其中9角由，.bs i n (p=/确定，用辅助角公式解ac o s (p=.la2+/?2答三角函数的某些问题，阐明辅助角是如何确定的是关键.3.（2021宁夏兴庆 银川一中）已知万=（1,6），出|=3,|5+2|=4V2,记1与石夹角 为 仇
13、 则cos（+2。）为（）7 4 I-7 4 I-A.B.C.-D.5/29 9 9 9【答案】D【分析】由|a+2治=4夜 平 方 可求得 石=-2,即可求得8s6,sin。，进而可化简求出.【详解】.1=（1,6）.二同=2,.5+25|=4&,.他 +2|2=蓝+4%+昉2=32，即4+475+4x9=32，C a，b-2 1 -九万则/=_2，cose=pppi=m=_ ,则sine=J l-c o s 2 e=则 c o se +2e）=-sin2e=-2sinecose=-2 x x -g）=.故选:D.4.已知。为坐标原点，点勺（:0$。,$抽。）,6（）5?,-5出夕）,吕90
14、$（&+?）,$皿。+夕）,4（1,0）,则（）A.|西|=|福|B.IOPIHAIC.丽 砥=西 西 D.OA O=OP2 O【答案】AC【分析】根据平面向量数量积坐标表示，向量模的坐标公式以及两角差的余弦公式即可判断.【详解】对于 A,|西|=|强|=1,A 正确；对于 B,|丽|=1,|砧|=J（l-cos+y+sin2/7=j2 2cos#,所以 B 不一定正确;对于 C,0A 乌=cos（a+尸）,04。6=cosacos尸一sinasin=cos3+）,所以0A 0=0 0,C 正确；对于 D,OA O=cosa,而。2 .西=cosPcos（a+夕）-sin夕sin（a+夕）=c
15、os（a+2夕），所以D不一定正确，故选：AC.5.已知向量 =（及sin（x+：）,sin（x+E）,役=（sinx,msin（x-（1）若加=0,试研究函数”x）=7 4 x e孑 牛 在区间上的单调性；若tanx=2,且Z/区，试求机的值.【答案】xc 当时、函数x）单调递增，x e燃，手 时，函 数 单 调 递 减；m=2.o o 8 4【分析】(1)运用向量的数量积，再把所得函数解析式化简为y=Asin(ox+e)+B的形式，再结合区间上的单调性分类讨论；(2)由公/拈，通过变形得机与tanx的关系式，而tanx=2已知，则加的值即可求得.【详解】(1)当也=0时，/(%)=&sin
16、(x+：Jsinx=sin x(sin x+cos x)=sin2 x+sin xcosx1 -cos2x sin2x-J2.(一 兀、1 ,n 3兀。n 八 57t=-+-=sin 2x一 一 +-,由 xe,f#2 x-e 0,.2 2 2 I 4)2 18 4 4 1 4当2 x-10,外，即x e ,令 时，函数x)单调递增；当2 V e L,即xe 时，函数/(x)单调递减.由 坂可得 sin(x+T sin(x-?)=sinxsin(x+J ill tan x=2,可得$山卜+今卜0(若sin(x+：)=0,则=也一：(AreZ),此时 tan x=-l,与条件矛盾).从而有=si
17、nx,即 77?(sinx-cosx)=sin x,两边同除以cosx,nJ f#m(tanx-l)=tanx=2,m =2.一 1 一 2 6.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A，3，。三点满足OC=-Q4+OB.3 3AC(1)求=值；CB(2)已知 A(l,cosx),8(1+cosx,cosx),x e 0弓,/(x)=OA39C-f m+耳 若f(x)的最小值为g(a),求gO)的最大值.【答案】(1)2(2)1【详解】(I)由题意知A,B,C三点满 足 反=砺+砺，可得诙 一 次=(万 一 砺)，3 3 3所 以/=,丽=|(恁+画，即:而=|而，即 衣=2无，则|码=2同，所
18、以 裔 卜2.cosx=(cosx-m)2+l-m2(2)由题意，函数/(x)=OAOC-(2m+g)|AB|=l+2 2-cos x+COS3x-2m+-371因为0,y，所以COSX0,1,当相0时，/(X)取得最小值g(附=1,当()m1时，当COSX=?时，/(%)取得最小值g(zn)=l-=2,当加1时,当co sx=l时，/(/取得最小值g(=2-2加,1综 上 所 述,g(ni)=1-m22-2mmQ0 m 1类型三、向量与三角函数性质相结合/1.已知向量M =(2sinx,l),5=2cos,1 函数 J(x)=M5,X/?.I V 6J J(1)若 同=0,X (F,O)，求
19、X；(2)求/(x)在0 g)上的值域；(3)将/(X)的图象向左平移着个单位得到g(x)的图象，设 (x)=g(x l)+x2 2x，判断(x)的图象是否关于直线X=1对称，请说明理由.【答案】=一看或_ K；(2)(-1,2；(3)的图象关于直线X=1对称.【解析】试题分析：(D由 同=&可 得sinx=W，所以=-或=-多。(2)化简得2 6 6 x)=2sin：2 x+9,由 0W x 得 上 2 x+g?,所以：s i n=，解得sinx=L又一乃x 0，；龙=-工 或x=-包.1 1 4 2 6 6(2)=4sirLxcosx+1=4sinx(COsx-gsinx+1=V3sin2
20、x-2sin2x+l=石sin2x-(l-cos2x)+l=2sin+.八,式 7 C /、71 7万 .1 .|乃i)0 x -2x-，sin 2x-1 -1 2sin 2x-：.函数(x)的图象关于直线X=1对称.点睛：(1)解决函数f(x)=A s i n(0 x+e)的有关问题时，常用的方法是将。x+夕看做一个整体去处理。(2)注意函数图象对称性的等价条件，即直线x =a是函数 X)图象的对称轴o.f(a +x)=/(a7)f(2 a-x)=f(x)f(2 a+x)=f(-x)2 .设向量m =(2 c os x,/5 s i n x),n =(sinx,-记f(%)=z n -n.7
21、 T 7 T(1)求函数f(%)的单调递增区间；(2)求函数f(%)在-三日上的值域.3 65 7 r IT【答案】的 r-适 时+/(k e Z).(2)-2,/3,2-.7 7(解析(1)依题意，得/(%)=m 几=2cosxsinx-2y/3sin2x=sin2x+$c os 2%-#=2 s i n(2 x +-)-n n n 5T T n由 2kn-2x+-2kn+k E Z,解 得-x 4-keZ.乙 O 乙 1.乙 !.4故函数/(x)的单调递增区间是伙z r -9汽+(k e Z).(2)由(1)知/(戈)=2sin(2x+$-当一彳i M Ox 泗，得9-g M 2ix +9
22、 ，所 以2 -W sin(20 x+)1,所以 2、行 0),函数/(%)=m -n +t,若/(%)的T T图象上相邻两条对称轴的距离为7 且图象过点(0,0).(1)求/(为表达式和/(X)的单调增区间；(2)将函数/(约的图象向右平移，个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得8【答 案】(1)/(x)=2 s m,+，-l，f(x)的 单 调 增 区 间 为:自2到函数y=g(x)的图象，若函数F(x)=g(x)+%在区间O,上有且只有一个零点，求实数k的取值范围.-兀 +k e Z；(2)k=-l 或l-y/3 k yl3 +l.【解析】【分析】(1)由题意，
23、求得f(x)=2sm(2 3 x+：)+t,进而求得s=2,t=-1,即可得到函数的解析式，求得其单调递增区间；根据三角函数的图象变换，得到函数g(x)=2sm(2 x-；)-l,进而求得函数g(x)在区间。周上的值域为-b-L1,要使得函数尸 =g(x)+k在区间 0月上有且只有一个零点，只需函数g(x)=2sin(2x-；)-1的图象和直线j =-女有且只有一个交点，即可求得结论.【详解】(1)V/(x)=m-n+1=cos2x-sin2，。+273cos3%sin。+t,/./(x)=cos2a)x+yf3sin2a)x+t=2sin2eox+：)+-27r 冗7E函数/(%)的最小正周
24、期为丁=三，.3 =2,/(%)的图象过点(0,0),2siv+=0.23 2 6t 1,f(x)2sir)(4x H 1.由 2k兀 4 4x 4 W 2%兀 d,k Zf 得一 k兀 W 1 4 k兀 4,E Z,6)2 6 2 2 6 2 12.函数/(X)的单调增区间为)无兀+=,ke Z.2 6 2 12(2)将函数f(x)的图象向右平移泞 单 位，可得函数=2sin(4 x-j +)-l=2sm(4 x-；)-1的图象；再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)=2sin(2x-1 的图象.*e 叫,2e卜 那，.1.sin(2 x-)e -Y，1 ,
25、(ir冗_TT2 x-1在区间0,上的值域为-6-1.1，:函数F(x)=g(x)+k在区间O,上有且只有一个零点，函数g（x）=2 s m（2 x-1-l的图象和直线y=-k有且只有一个公共点，根据图象可知，k=-l或1 -&k 4 口 +1.，实数k的取值范围为伙 1 -/k W&+1,或k =-1）.【点睛】本题考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据题意得出函数的解析式，熟记三角函数图象与性质，解题的关键是合理把函数的零点问题转化为函.数图象的交点问题，着重考查转化思想方法的应用，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档题.类型四、向量与解三
26、角形相结合1.1 2 0 2 1浙江省台州中学】已 知 向 量/=（石sin：,“(1)若/(x)=l，求co s7 1x +一3的值;(X 2%)n=co s,co s ，I 4 4；记=加-n（2）在锐角AABC中，角A,民C的对边分别是a,Z?,c,且满足（2 a c）co sB =A o s C ，求“2 A）的取值范围.【答案】（1）（2）3 .2 1 2 2【解析】试题分析：（D由 晟=/（x）=l,利用平面向蚩数量积公式可得利用二倍角的余弦公式可得结果；出由（2。一G8/=灰3。，根据正弦定理得（2 sin.4-sin C）co s5 =sin 5 co sC,再由两角和的正弦公
27、式化简可得cosB=-,从而求得B=y ,求得 /+f(x)恒成立，则实数c,的取值范围为()A.(1,+o o)B.(0,+o o)C.(-1,+o o)D.(2,+o o)【答案】A【分析】由题意可得X)=-s i n 2 x,又C次X)恒成立，所以c M x)n wc,故再求出/(x)=-s i n 2 x的最大值即可【详解】/(工)=。*=一s i n 5 c o s 3-85于由5 =一5抽2%又彩2烂2兀，所以一l g s i n 2烂0,所以/3)付=1.又c,次r)恒成立，所以c M%)m a x,即。1.所以实数C的取值范围为(1,+1 B.H xe(x),0),使得(&+B
28、)/5c.V xe 0,y ),1与5 的夹角小于？D.Hx eR,使得(5-勾【答案】A【分析】由平面向量的模的坐标公式，平行的坐标表示，夹角的坐标表示，及垂直的坐标表示，依次判断各选项即可得出结果.【详解】因为1 =,)=；岑)，5 =(1,x),又2 4-3 5 =2 g岑卜(l,x)=(-2,百一3 4所以悔-3 4=4+(6-3x)2 2 1 .故 A 正确：a+b=+,若仅+5)5，则=2.+x,解得x=6，即当x=G时，伍+5)/区，故5错误:设a与5的夹角为。，则=二，当x=o时，c o s e=，同咽 4r7 7 2夹角为6=g，故 C 错误；因为,(b-ab=-+x x-=
29、x2-x+-=x-坐 +之 0,所312 2-,21 2)2 2 4 J 16以不存在x,使 得 -勾故。错误.故选：A.3.(多 选 题)已知向量 =(立 1),%(cos9,sin9)(噫2外，则下列命题正确的是()A.若 U，则tan9=&B.若B在 上的投影为-g,则向量 与B的夹角为与C.存在。，使得|+行|=|2|+D.的最大值为6【答案】BCD【分析】若。J_)，则tanO=-&，故A 错误；若B在 上的投影为且 由=1,则cos Z,B=胃，故 5正确；若各在上的投影为一；，且1石 1 =1,故当=0,|+/；|=|+1加，故。正确；U=/5cose+sine=75sin(e+
30、),的最大值为石，故 D E确.【详解】若 _ LZ?，则 B =0 co s，+sine=O,则tan6=-V 5,故 4 错误；若在 上的投影为-；，且I方 1 =1,则|B|cos ,=g,cos=0,a+b=a+b t 故 C 正确；a*b-V2cos+sin=Gsin(O+0),因为 0 ，兀，0(p =时，aB 的最大值为 G，故 O正确，4.(2021黑龙江香坊 哈尔滨市第六中学校)己知向量M =(2,cos。)，B=(sina,l),且，贝 Ijsin2a=【答案】V4【分析】由向量垂直的坐标表示可得tana=-g,再由万能公式有求sin%即可.【详解】向量 M =(2,cos
31、a),5=(sina,l),且，万 5=2sina+cosa=0，即 cosa=-2 s i n a,则tana=sin acos asin 2a=2 sin a cos a=2 sin a cos asin2 cr+cos2 a2 tan atan2 a+14525.(2021浙江高三期末)已知向量1=(cosO,sine),5=(1.扬，则K+2的范围为【答案】3,5【分析】由向量模的坐标运算求得模，然后由三角函数知识求得其范围.【详解】+2=(cos+2,sin+26),+20=J (cos 8+2)2+(sin e+2 g)2=Jcos?8+4cos 8+4+sin 2 6+4G si
32、n 6+12=J17+8sin(9+.),因为$皿6+令右-1,1,所以卜+匈 e3,5.故答案为：3,5.6.(2021辽宁高三月考)已知 =(2sinWcosl5。,2cos75。-1).若口+可=2,且2 与 +各夹角为与，贝 ija-b=【答案】-2【分析】利用二倍角公式求出Z 以及向，再由向量的数量积的定义即可求解.(详解】=(2sin 15cos 15,2cos2150-1)=(sin 30,cos30)=f l 国25 2/2/r由 cosa+a-b即+旷 2=一；，解得7B =-2.7.已知向量a=(cosa,sina),b=(-sin a,co sa),设 而=怎 +石，n=
33、a+y/3b.(1)求|&+目的值；(2)求泣为夹角的大小.【答案】(1)&；(2)9【分析】(I)由平面向量模长的坐标运算可直接求解得到结果：(2)利用平面向量坐标运算求得万名，同和同；利用平面向量数量积的运算律可求得和日，|同和同，由向量夹角公式可求得结果.【详解】(1)t:a+b=(cos a-sin a,sin +cos a),/.|tz+=(cos a-sin a)2+(sin a+cos tz)2=Jl-2sinacosa+1 +2sin acosa=6 ；(2)由题意得:0 方=-sinacosa+sinacosa=0，同=1,W=1，.比 万=(GM+6)(万+6 区)=百万2
34、 +4万.6+省2 =2百,阿=万+5=53片+2舟5+后=2,同=J(M +屉二A/万 2+2西石+352=2,/.cos =，=,又玩，万 0,4,.*.=.网阿 2 68.(2021 江西省靖安中学高 三)已知向量6=90$3匕$亩2 万),方=(：0$,1,-$皿,),且工 0,g2 2 2 2 L 2(1)求。)及|+年(2)若函数力=7 石-2 郎+同.当/=g 时求/(x)的最小值和最大值；试求“X)的最小值g(4.【答案】卜+司=2cosx；(2)见解析.【详解】试题分析：(1)直接利用数量积的坐标运算求出 区 利用向量的坐标运算求得2+5，进 而 求 解|+可的值;(2)把4
35、=3 代入/(X)，求出cosx的范围后利用换元法求出 x)的最值；换元，然后求出二次函数的对称轴方程，在对2 分段求出“X)的最小值g(X).试题解析：a b=c o s2 x归 +.=(cos募+c o s+卜 n获一sin=j2 +2cos2x=j2 +2(2cos2 x-l)=2|cosx,V XG 0,/.cosx0,pz+i|=2cosx(2)(l)f (x)=a-b-2Aa+b=cos2x-2/i-2cosx*/I=-,；/(x)=cos2x_2cosx=2cos2x_2cosx-1*./(x)=cos2 x-2 cosx=2cos2x-2cosx-=2cosx-X d5 C O
36、 S X e 0,l,/./(x)m a x =T (x)m in =5；/(x)=a-22|a+&|=cos2x-22-2cosx=2cos2x-4 2 co sx-l=2(cosx-2)2-1-2 22V XG 0,A cosxe0,l(1)当4Vo时，/(X L=-i；(2)当0W2W1 时，f(x).二-1 2；(3)当21 时，/(x)n,n=2(1-A)2-1-2A2=1-4A 1,4 0综上所述：（/1）=-1-22,021【点晴】本题主要考查了三角函数的恒等变换；平面向量的数量积的运算；三角函数的最值等知识的综合应用，本题的解答中把4=；代入/（x），求出cosx的范围后利用换
37、元法 求 出 的 最值；换元，然后求出二次函数的对称轴方程，在对冗分段求出“X）的最小值g（是解答的关键，着重考查了学生推理与运算能力和分析问题和解答问题的能力.9.在平面直角坐标系 xOy 中，设向量乙=(cose，sincr)b (sin/?，cos/?)c-,（1）若 卜+同=同，求sin（a-夕）的值;设a=,，0 P 所 以+即 a2+2a l +分=1,所以l+2sin(a月)+1=1,即sin(a-)=-1.(2)因为&=2，所以a=1 3,J _6 2 2f 1 百、故b+c=-sin4 cos/7+-2 2,因为a/(b+c)_ s in,_ g )=0.化简得(sin夕_c
38、os/?=；，所以sin(夕 一 )=；.因为（）/兀，所以-4 /一工 A-f3cosx=3sinx,若cos/=0 贝 ikimr=。与sin2x+cos2x=1 矛盾，故cos、工 0,于是3nx=兰，又戈 6 0,n,x=芋.36(2)/(x)=a b=(cosxt sinx)(3,-y/3)=3cosx-V3sin.r=2vcos(x+三).6因为司，所以x+：e；曰，从而 lw c o s(x+：)w。o o o o Z于是，当+；=%即X=O 时，/&)取到最大值3;当+：=打，即汇=会寸，/(%)取到最小值一2福.1 1.已知向量Z=(cos2%sE2E),b=(1),函数/(
39、%)=i +m.7T(1)求f(x)的最小正周期；(2)当万 0,习时，f(x)的最小值为5,求m的值.【答案】(1)7=加(2)m=5+6.T C【解析】(1)根据平面向量数量积公式以及两角和的正弦公式化简f(*)=2sin(2x+)+m,利用周期公式n n n n 47r可得f(x)的最小正周期为丁=兀；由(1)知：f(%)=2sE(2%+)+m,当时，+利用正弦函数的单调性，结合正弦函数的图象可得到(%)的最小值为5,.-G +m=5,即m=5+/,所以ji 4T T 0)，若/(力=和 耳，且/(x)的图象相邻的对称轴间的距离不小于三.(1)求。的取值范围.(2)若当取最大值时，/(A
40、)=l，且在AABC中，a,4 c分别是角A,B,C的对边，其面积S.MC=百，求AABC周长的最小值.【答案】(I)0-4,结合基本不等式可得AABC周长的最小值.试题解析：(1)/(X)=而元=(s i n x+c o s s:(c o s x-s i n s;)+2 G c o s 0 r s i n s:=(c o s2(yx-s i n2 yx)+j3sin2a)x=cos2a)x+yfisinlcox=2sin 2CDX+I 6 J又 由 条 件 知 万，所以0 b2+c2-4.,.周长 a+Z?+c =y/b2+c2-4+b+c j2bc-4-+2-Jbc-j 2 x 4-4 +
41、2 4 =6当且仅当。=c =2时取得等号.所以，AABC周长的最小值为6.1 3.己知所=c o s 1I 4n=f /3 s i n,c o s2 j 设函数/(%)=丽 无(1)求函数/(x)的单调增区间;(2)设AABC的内角A，B，。所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，求/(B)的取值范围.【答案】(1)to-,4 Z r +I.Z r e Z;(2)f-1,-1 .L 3 3 J I 2 j【解析】试题分析：(1)根据平面向量的数量积公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式化简可得 x)=根据正弦函数的单调性可得2 k%一24 2一生4 2左万+工
42、,2 2 2 6 2解不等式可得函数/(x)的单调增区间；(2)由a,b，c 成等比数列，可得=a c，再根据余弦定理结合基本不等式可得c o s/?=+C=:=f c j c 1,2ac lac 2从而可得角B的范围，进而可得/(B)的取值范围.试题解析：/(x)=m-令2k兀 一 三三 一 三2k7i+三,2 2 6 2贝|14上 乃 一K x 44ATT+担,k e Z ,3 3所以函数/(x)单调递增区间为4版一与，4%乃+等，k e Z.2 2 2，2(2)由=ac可知cosB=+。=。-+-(当且仅当。=c时，取等号),所以4/产0,综上8)的取值范围为，T1 4.已知向量诩=(s
43、inB,l cosB),且与向量为=(2,0)所成角为q，其中A,6,C是AA6C的内角。(1)求角8的大小；(2)求sinA+sinC的取值范围.【答案】8 =空；3TT【解析】试题分析：(1)由向量而=(siiL8-cosB),向量元=(2,0)且历与万的夹角为二，我们可以构造一个关于角3的三角方程，解方程后:即可求出一个关于3的三角函数，结合5的取值范围，即可求出3的大小；(2)由(1)的结论，我们可得X+C=2,则sinJ+sinC=s加；X+|j,然后结合，4的取值范围，根据正弦型函数的性质:我们即可求出sinJ+sinC的取值范围.wi n I试题解析：由cos =：得2sinfi
44、=V2-2cosBBP2cos25-cosfi-1=0 cosB=或cos8=13网 同，2又5 e(0,乃)故 cosB=-g,即82T sinA+sinC=siM+sirt4f-A=sin A+v 0 A U J I 3)37T.71 2：.A+（），向 量 砺=（1）若尸=0一 ，求 向 量 函 与 砺 的 夹 角；二0 2八X)的最大值为2.)H =1 )/.sin(4-y)=A-6 2 6 2 3c2-be Ibc-be=be，即 be 4 12=-b c S3 3,4A.3 s(尹小陪可,（2）若|通2 2|丽|对任意实数a,都成立，求实数/I的取值范围.【答案】（1）向量函 与
45、诙 的夹角为卫；（2）3【解析】试题分析：（1）由题意结合平面向量的坐标表示，结合平面向量的数量积运算法则可得cosg=sin t.则 向 量 砺6 2与 砺 的夹角为二.3原问题等价于万 2幅.而 3 2 o任意实数a,/?都成立.分离参数可得上 二 sin（a /?）任意宏数a,p都成立.结合三角函数的性质求,解关于实数;I的不等式可得4 2 3.试题解析：(1)由题意，Q4=(Acos a,Asina)(x 0),OB=(-sin/?,cos/?),所 以|词=2,国=1,设向量 风 与 方 的 夹 角为氏所以cos 8OA-OB 2cosa(rin/)+%inacos=sin因为=a
46、三，即=所以cos8=sinE=1.6 6 6 2又因 为 阿0，所以8=:即向量 场 与 砺 的 夹角为（2）因 为 国,2|两 对 任 意实数a,6都成立，而 加|=1,所 以 画.4,即（说 网任意实数都成立一.因为|况 卜；I，所以分 _2丽 丽-3 2 0任意实数名月都成立.）2所以；l2 2/lsin（a-尸）一3 2 0任意实 数%都 成 立.因 为 几0，所以？_sin（a ，）任意实数2Aa,都成立,所以 土 二21，即；I?2/1 3 2 0，又因为4 0,所以4232A17.在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosB=2.134-_（1）若sim4=，
47、求cos。；（2）若匕=4,求最小值AbBC.5【答案】c o sC =-c o s（A+?）=（2）A区 反 的最小值为 5.6 517 19【解析】试题分析：（1）由题意得si n B=匕，可得si n B=上 1 31 33si n A,可判断A为锐角，故c o sA =根据8 S C =3（A+B）求解即可。由余弦定理及基本不等式得16/+/塔可得5a c 4 1 3，所以 A B 8 C =-a c c o sB1 3-5 故最小值为-5。试题解析:12(1)在&C中,由c o s5=二 得,si n B=,13 1312/sinB=SUL4.13二 B A,故/为锐角,二 cR=|,33c o sC =-c o s(J +B I=-c o i-l c o i S +si n J si n B=京（2）由余弦定理定二片+2-2 a xo s3得,6=a2+c2-ac 2ac-ac=a c，当且仅当 a-c 时等号成立。,a c -5 故XABC 的最小值为一5.点睛：解答本题注意两点:（1）在A A 6 C中，由正弦定理可得si n A s78等价于A5。解三角形时要注意这一隐含条件的应用。（2）在与余弦定理有关的最值问题中，常用到基本不等式求最值，应用时要注意基本不等式成立的条件,特别是等号成立的条件。