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1、（浙江省2021届高考模拟试题汇编（三模）圆锥曲线解答题一、解答题1.（浙江省金华市2021届高三下学期5 月高考仿真模拟试题）已知抛物线C 的方程为y2=2px（p 0）,它的焦点尸到点M（；，）的距离为%【分析】（1）求抛物线C 的方程；（2）4、3、。是抛物线（7上不同三点，且A 4 3 0 是以3为直角顶点的等腰直角三角形，求 的 最 小.【答案】（1）y2=4 x；（2）1 6.（1）根据距离公式，直接带入求值即可得解;（2）根据抛物线方程设A（4/,4 a）,B（4%初,。（4&2,4 4,由=|AB|2=8 （a2-b2）2+（a-b）2 ,山 4 8。为直角顶点的等腰直角三角形
2、，所以（a2-b2）2=（b-d Y，由 福，而 可 得 S+a）（d +0+l =O,带入整理即可得解.【详解】（1）由焦点 ,0）,距离公式可得必=旧42_2=12解得P =2 或者=-1（舍）,所以抛物线方程为V=4 x,N(2)设4(4片,4 4),8(4%4),。(4八4 4),兀皿/阴2 =8(。2一 次 +(j)2,由4 A B D是以B为直角顶点的等腰直角三角形，如图，A B分别作垂直和平行于x轴的直线相交于M,过反。分别作垂宜和平行于龙轴的直线相交于N则4 A B M m a D B N,所以 B M =BN,所以(/_ b2)2=(匕一或2,所以久AQ =；I =8 S -
3、4)2 +3 6)2 =8 ,2 +2从+屋-2b(a+d)(*),山 丽 J_ 丽，可得(4/一4。2)(4 2-4 6)+(4/7-4 4)(4-4 4)=0，整理可得 Sa)(d -b)(b+a)(d+6)+1 =0,由a,6,d互不相等,所以(b+a)(d+匕)+1 =0,即从+d +l=-b(a+d),带 入(*)式可得：S，ABD=8(/+2b2+d2+2h2+2ad+2)=8(4 32+(a+d)+2 ,当6 =0,a=-d时，4 8。的面积最小，此时入9=1 6.【点睛】本题考查了抛物线方程，考查了抛物线上的点的相关性质，考查计算这一核心能力，属于中档题.本题的关键点有：(1)
4、首先利用设点，根据条件得到各个量之间的关系；(2)计算能力和计算技巧是本题的关键能力.2.(浙江省金华市东阳市2021届高三下学期5 月模拟考试数学试题)如图，已知抛物线 产=4 x ,过 x 轴正半轴上一点P的两条直线分别交抛物线于4.t7和 氏 0 两点,且4,。在第一象限，直线A 5 与 x 轴的交点E 在原点。和 P 点之间.(1)若尸为抛物线的焦点，且M P|=3,求点A的坐标；(2)若尸为动点，且AC D P的面积是人钻2 面积的3 倍，求 您 的 值.0E【答案】(1)(2,2 0)；(2)7 3.【分析】(1)根据抛物线的定义，得到|AP x +l=3,进而求得点A的坐标;(2
5、)由于SA SLB SWH，得 到%”=3 y%,设直线/：x =f y+”，联立方程组得到yM+yN=丫”即=-4”,得到必为=3%必，求得?=儡，即可求解.【详解】(1)设A(x,y),根据抛物线的定义，可得|AP|=x+l=3,所以x =2,可得丁=8,因为点A在第一象限，所以y=2 j l,所以点A的坐标为(2,2播).(2)设A(%，X),8(孙 ),。(七,必)，。(七,)，E(%0),尸(?,0),鼠*四 SM P D_APPB SACTO I PCr IL A C：，|PQ|3AP 乂 .所以言7 =一;”所以y 3y 4=3)1%.I I I U I J2 X假设有过点(,0
6、)的直线/：X =)+”交抛物线y 2=4 x于M,N两点,联立消去X的丁-4）-4 =0,则 有 加+以=而，加 即=-4，（*）由(*)式可知 y%=Y，y2y4=-4 m,yty2=-4e.f 4 m)(6m2 4m2所 以%为=-H-=-=-=-1 20 =3乂%，I X 八%J 4 e e所以m=&,所以*=竺=退.IOE|e【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略:对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程,应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算
7、求解能力.3.（浙江省温州市普通高中2021届高三下学期5 月高考适应性测试数学试题）如图，4 ,8 是椭圆C:+V =l 的左、右顶点，点尸是椭圆上异于A,8 的一点，直线叱,旅4分别交直线/:x=?于 M,N两点直线AP,B P的斜率分别记为k、h.（1）求占&的值;（2）若线段户8 的中点。恰 好 在 以 为 直 径 的 圆 上，求机的取值范围.【答案】（1）-%）,：）.【分析】（1）设点P 的坐标为P（毛,%），代入椭圆方程有芯 +/=1，化简占与求出答案：（2）设直线4尸的方程，与椭圆方程联立求出P 的坐标，进一步求出尸8 的中点。，根据M劣=-1和4.&=_；得到&2”=%,化简
8、求出加的范围.【详解】2（1）设点P 的坐标为P 5,%），有 今+=1（-2%。0）上 的动点，过 点P作 圆G:（x-2尸+/=1的切线P A,尸8（A 3是切点）分 别与 抛 物 线C1交 于 点C,。.当小是坐标原点。时，CD=4 G(1)求抛物线G的方程；(2)若C D/A B,求点/，的坐标.【答案】(I)y2=2 x；(2)(6,2 港)或(6,-2 右)或(0,0).【分析】(1)当尸是坐标原点。时，设切线的方程为丫=去，即h-y=O,切线与圆相切即圆心到切线的距离为1,根据点到直线的距离公式可求得直线的斜率，再由已知求得点C的坐标，代入可求得抛物线的方程.(2)根据圆的切线的
9、性质得R 4 =P 3,P C=P D,点尸为原点时，由对称性可得APCD为等边三角形，由此可得P点坐标.【详解】(1)当尸是坐标原点。时，设切线的方程为丫=去，即丘-y=0,切线与圆相切即圆心到切线的距离为1，所以1 =毕 二=1,解得=土 且，即切线方程为y =3 x,当P是坐标原点0 E1寸，轴，又|C|=4有，%=2有%=-2由，将%=2有 代入 y-x 得%=6 ,即抛物线C,:y2=2 P x(p 0)过点C(6,2有)，代入解得P=l,所以抛物线的方程为y2=2 x；（2）以 与 P 8 是 尸 与 圆 的 两 条 切 线，4，8为切点，所以R 4 =P8,而 C D A B,则
10、 P C =P。耍成立，而点尸为原点时，切 线 以 与 P3关于x 轴对称，即 PC与 PO关于x 轴对称，而抛物线与圆都是关于x轴对称，故此时必定满足C /A B ,而用交抛物线于点/）知，APCD关于P J对称，难以满足C D都在抛物线上，故 点坐标为（6,2 档）或（6,-2 退）或（0,0）.【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的性质和圆的性质，关键在于根据抛物线和圆的对称性得出PC D为等边三角形，问题得以解决.6.（浙江省绍兴市柯桥区高三下学期5月高考及选考科目适应性考试数学试题）如图,已知椭圆C ：E+丁=1,过点P（0,m）（?1）的直线/与椭圆C相切于第一象限的点M ,4。是坐标
11、原点，于 N.（1）求点M 的 坐 标（用加表示）:（2）求|。叫+2|。叫的取值范围.【答 案】（1）（也口一 ；（2）2衣3）.m m L/【分 析】（1）由直线与椭圆相切，联立方程整理，利 用A =0求 点M的坐标：（2）法一：用 参 数m表示各量，先 求 点P到 直 线0 M的距离，再由勾股定理求出|C W|,再 将|0 M|+2 1 0 M整理化简，最 后 求 关 于m的函数值域.法 二：利用向量投影的几何意义，将化 为 丽.西 运 算，得 到 积 为 定 值1,再利用等式消元整理，最后求函数值域.【详 解】（1）设 直 线/：y=kx+m,（%1得：令.=,则:（1,2）,故则|0
12、叫+2|0叫=，+：2应,3)法二：;P N L O M ,uni u m r f id nr-1 1 OM|O/V|=O P O M =(0,ni)-=1,m m /设f =则=氏=卜*l,2)则|O M|+2|O N|=f +：2V I,3).即：|O M|+2|O N|的取值范围是2应,3).【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、距离、三角形的面积等问题.7.(浙江省绍兴市诸暨市2021届高三下学期5 月适应性考试数学试题)已
13、知椭圆。：余%=13 0)的 离 心 率 为 争 且 过 点(丹).(1)求椭圆C 的方程;(2)过椭圆C外一点P(x,%)作椭圆的两条切线，切点分别为A,B,记 P 4 P B 的斜率分别为给的，且 求 P 点轨迹方程；求证：的面积为定值.2 2(参考公式：过椭圆+点=1 上一点(不乂)的切线方程为芋+*=1)2【答案】(1)土+丁=1；(2)+4 y2=8(xw 2)；证明见解析.4 【分析】(D根据椭圆上的点及离心率求出”,6 即可得到椭圆方程；(2)根据匕 =-!，由轨迹方程的求法计算即可：联立方程，求出由点4到直线距离求d,利用面积公式即可求解.【详解】2,b2 *432，椭圆C的方
14、程 为 +y 2=i4(2)设尸 5,),过点尸直线方程设为丫一%=(工一天)y=f c r-(5-)b)由 V 2 ,I 4消元得：(7+k2)x2-2k(.kxn-y)x+(A x0-y0)2-1 =0山直线与椭圆相切n =4 公(5 _ _(1 +4 标)(区。_-l =0-=1一/丁 M=4(1)0 4 =,3 1 ,b2=1化简得：（4-*+2 与 小+1-巾=0*秘 2=：_）；=_；=片+4诉=8，4%4，点轨迹方程为炉+4）2=8（xw2）.设4 a,乂）,巩,%），则 PA：等+y y =l,P 3:竽+y2y=1因为尸A 加 过 点 P（知%）,.：；：A 8方程为y+4皿
15、=4由I 匚呼:=入守+23=。，X+4y=4 =片-8+8火=4第：.AB=，在-8+8渭管瓯小妖磊L 店品二 S|4BH/=1,2PA8的面积为定值.【点睛】关键点点睛：根据弦长公式及点到直线的距离，由面积公式化简即可求解，属于中档题.8.(浙江省舟山市定海区2021届高三下学期5 月适应性考试数学试题)在平面直角坐标 系x O y中，已知椭圆C：5+=1 3 0)的离心率为乎，且过点(6,；),点尸在第四象限，A 为左顶点，8 为上顶点，尸 4 交 y 轴于点C,PB交 x 轴于点D(1)求椭圆C 的标准方程;(2)求A PCQ面积的最大值.【答案】-72-1.【分析】(1)根据离心率和
16、点(g)在椭圆上，列方程组解得不和即可得到结果;(2)IAP：y=k(x+2)t通过联立方程求得P C。的坐标，再根据CAD=|x4Ox|yp以求出面积，然后求;11最值即可得解.【详解】(1)山题意得：3 1 /十 犷=1 得2=4,廿=1,a 2a=b+C故椭圆C 的标准方程为：口).(2)由题意知 A(-2,0),5(0,1),设/.：y=A(x+2),因为点P 在第四象限，所以v%0)由题意可知，抛物线的焦点为(1,0)/.p=2二抛物线。的方程为丁=4 二(2)证明：设5(%,%)由。为尸。的中点，得点。的坐标为(Y,0)当I垂直于X轴时，山抛物线的对称性知NAQP=NBQP:当/不
17、垂直于x 轴时，设/：y=A(x 4)由:一：4)=左 与 2-4(2/+1)+16 标=0,4(2廿+1).-Kxtx2=16一 X _仙-4)_%)世 一/一 公+4 B QX2+4 w+4，.卜.二 .(2芭%32)-2 x 1 6 -3 2)二一。一(再+4)仁+4)-&+4 汽+4)一ZAQP=NBQP.(3)设存在直 线 机。满足题意由(2)知圆心过M 作直线x=a 的垂线，垂足为E,则E(a，5设直线m 与圆的一个交点为G,连接M G,则|EG|2=|MGFT MB|J I EG|2=|MG|2-|ME|2_(x?+y；(3;4 j=如 +0-4)：&+4):伞+4)“=%-4%
18、+(玉+4)6f2=(-3)芭 +4一/.当a=3时，|EG|2=3,此时直线?被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值2 6，因此存在直线m =3 满足题意.【点睛】本题主要考查了求抛物线的标准方程，直线与抛物线位置关系的应用，其中将/4。尸=/8。尸转化为3+即2=。是解决问题(2)的关键，属于中档题.1 0.(浙江省金丽衢十二校20 21届高三下学期第三次联考数学试题)已知抛物线C：V=2 p x焦点为尸(2,0),且尸(机,0),。(-“)，过尸作斜率为灯左力。)的直线/交抛物线C于A、B两点.(1)希 m =k=2,Q A-Q B-0 ,求“；(2)若。为坐标原点，加为定值，当人变化时，
19、始 终 有 西.诙=0,求定值加的大小；(3)若左=1,=0,m 1）,设直线P M的斜率为k.（I ）试用，火表示弦长I M N I;0为 +x2=1 -a2 0l-(a2-l U 1 0(2-I)24a2 1l 04+3*0因 为a l,所 以q S.【点睛】本题主要考查椭圆的概念廿性质、直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力,属于中档题.1 3.(浙 江 省 绍 兴 一 中2021届高三下学期第三次联考数学试题)在平面直角坐标系xOy中，椭 圆C:2 +%=1(6 0)的 右 焦 点 为F(l,o),过 点F且垂直于 1 轴 的 弦 长 为3,直 线/与 圆(x-l)2+V=l相
20、切，且 与 椭 圆C交 于A,3两 点，。为椭圆的右顶点.(I )求 椭 圆C的方程;(I I)用5，S2分 别 表 示“Wb和的面积，求s邑的最大值.【答 案】(I )+=1 :(H )64 3【分 析】(I)利用条件，求 得“，h,c的值，从而得到椭圆的标准方程;（I I）先分斜率存在和不存在两种情况讨论直线方程，当斜率不存在时，求出的值，当斜率存在时，设出直线方程y =（件0）,利用直线与圆相切，得到宜线中火,，”的等量关系，然后将直线方程与椭圆方程进行联立，通过消元化简，得到根与系数的关系，求得直线与椭圆相交所得弦的长度及点到直线的距离，然后利用面积公式并通过换元，结合对勾函数的性质求
21、得最小值.【详解】解：（I ）由已知得c=l,=3 ,结合a 2=2+c 2,得=2,b=yi所以椭圆的方程为+=1.4 3（II）当/斜率不存在时，AB=2。得5$2=6.当/斜率存在时，设直线/的方程为丫 =丘+双%*0）,A（&y）,8（,%）由/与圆（x-l）2 +y 2 =l相切，得堆=1,整理得加+2加=1 （*）J 1+公将/的方程与椭圆的方程联立得（3 +4公产 +4苏-1 2 =0所以玉+%=-Skm4m2-1 23+4 4 2 二七-3+4.2则|AB|=+&2 卜-工 21 =4市 J1+丹：；以.1 2&+机|设d为。到直线/的距离，则）=J 1+J所以=J A B|x
22、 l x；|A 8|x =1 2 jl +4 2 3-m2+4k22 k +ni(3+4公)2将（*）式代入得8 =6tn2+1、2机 4 +机？+1 ,令1 =+1 (1,+CO)/y所以 SS2=6 6.t+-lI t 7综上，S小邑的最大值为6.【点睛】本题主要考查了求椭圆的标准方程，直线与圆、椭圆的位置关系的应用，在（II）中关键是将三角形面积转化为求AB的弦长和求。到直线/的距离，属于中档题.14.（浙江省宁波市正海中学2021届高三下学期5 月模拟考试数学试题）已知椭圆C 的方程为+=1（。匕 0）,.，4 在椭圆上,离心率e=也，左、右焦点分别为K,a-b-I 2）2（I）求椭圆
23、C 的方程；（I I）直线y =依伏 0）与椭圆C交于A,B两点，连接A,8 并延长交椭圆C于。，E两点，连接O E,求 心 与左之间的函数关系式.【答案】（I）y+/=l（II）噎=3%【分析】（I ）根据点尸在椭圆上及离心率与4，b,，之间的关系建立方程组求解即可；（H）设出点A的坐标，然后用点A的坐标分别表示出直线A。，BE的方程，并分别代入椭圆的方程，从而利用韦达定理得到点。，E的坐标与点A的坐标间的关系，进而即可得到心 与之间的函数关系式.【详解】（I ）由1 1,孝）在椭圆上，可得5+.=1,又e=立，且/=从+2,a 2可得 a =y/2（h=,c =1,所 以 椭 圆C的方程
24、为 +/=1.（II）设 则 3（-%,-%），V+直 线 的 方 程 为 犬=-y-i,%代 入 椭 圆C的方程上+9=1,2得（X。+1）2 +2*V -2（X 0 +1）-3=。，因 为 苧+，代入化简得（2%+3）/一 2（x 0 +1）-尤=0,设。a，yj,打毛,），则%=2：1 3,-yn xn+1 .所以 x=y,-,2/+3%r,1直 线8石的方程 为 工二一y-i,%同 理 可 得%=%2XQ+3=包 工2-1%k J一为 二所以 D x,-x2y -产0+1 y 马 T y力 了2%为1跖 1 y +%y 一%1%（6 ）=3瓦=3人%【点 睛】本题主要考查了椭圆的标准方
25、程，椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系，直线的方程、斜 率，属于中档题.15.（浙江省台州中学2021届高三模拟考试数学试题）已知曲线U、+y 2 =l,点 P（0,l）在曲线C上，直线了=自+。与曲线C相交于AB两点，若满足|/训=伊分（1）求线段AB中点的轨迹方程；（2）当A B 两点在y 轴的同一侧时，求线段A8长度的取值范围.【答案】（l）x =0（-l y D 或 y =-；（-半 x 华）；（2）（0,孚）.【解析】分析：（1）分直线的斜率为0 和不为0 两种情况说明，将直线的方程与椭圆的方程联立，应用韦达定理，结合题的条件，求得结果；（2）应用弦长公式，结合变量的范围，应用
26、函数的单调性，最后求得结果.详解：（1）当 直 线 的 斜 率 为 0时，中点的轨迹为x =0（-l y（4）l2+l）x2+8 t o x+4/?2-4 =0彳+-，=1 =16（4 二+1-/）一 8kb=x.+x,=-1-4k2+1 中 L 许4b2-4x +x,-4kb,-4kb.b-4_1由|可A B 1 M P,得务 工,=-:得4 A，+1 +3 6 =。,4k2+所以加=1=T贝阱点的轨迹方程为尸一/殍、综上，中点的轨迹方程为x =O(-l y l)或y =-g(-孚 x 04 fe2-4-4 k 2 +1 0以及4/+l +3 b =0消匕可得一：小 2AB=yJl+k2吗手
27、昔尸b=_ l(4 +l)e(-3,-l)(A解得 MMe o,-点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，在解题的过程中，注意直线方程与椭圆方程联立，应用韦达定理，得到根的关系，需要对直线的斜率为0和不为0来讨论，再者就是应用弦长公式，从函数的角度来处理，注意对应的变量的范围.1 6.(浙江省杭州市学军中学2 02 1届5月高三模拟考试数学试题)厂是抛物线C:V=2py(p 0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,尸,。三点的圆的圆心为。，点。到抛物线c的准线的距离为:.4（1）求抛物线C的方程;（2）若点M的横坐标为正，直线/：y =，n r+；与抛物线C有两个不同的交点
28、A B,/与圆。有两个不同的交点RE,求当9机4 2时，|阴。口目?的最小值.13【答案】（1）f =2y；y.【分析】由 已 知 得 尸（身，设圜（%0）,0,有圆心纵坐标值为OF的一半，求。的值，进而求参数P，写出抛物线方程；（2）由直线/与抛物线有两个不同交点：联立方程，结合韦达定理及弦长公式得|A 8/=（1 +疗）（4+2）,由已知有M（拒 ），根 据（1）求Q坐标及圆Q的半径，写出圆的方程，与直线方程联立，同 理 可 得=8（1：?）+；，应用函数与方程的思想，结合导数研究单调性，求|A 3+|O叶 的 最值.【详解】（1）/抛物线。：/=2 4 5 0）的焦点尸（0身，设%管）0
29、。）,。（哈由题意知：圆心纵坐标值为。尸的一半，即 =4,则点。到抛物线C的准线的距离为4/?+2=4+2=1/?=1，解得P抛物线C的方程为f =2 户2（2）由1 1 ,得：2/-4的-1 =0，设 义不凶卜研达,口）,y =nvc+I 4V A =16/n2+8 0,%+x2=2m,xxx2=_ g,贝i J|A砰=（1 +m）（4m 2+2）,由题意知：皿 )，可得0 印,y。眸 手,273 2，得(l+m2)x2 一也x L=0，设。(孙为)，Eg,%)，而 上+式 。,8 4 Y，x_ 5+%诉垃万 口x x 固|。同 =/25+4 欣 W 人1 80+/)4,.卜 8+|。目2=(1+/乂 4/+2)+|+；,令1=1 +加 2,；4 旌2,则让?5贝 i|4B+|阿=4/-2 f+!|+；,令g(f)=4/一 2f+|+；,f 1,5,贝 iJg(f)=8 r-2-/2 g(?)=60.g(f)在 止,5上为增函数，故/=:时，|A回R 时 的 最 小值为泉【点睛】关键点点睛：(1)利用二角形外心与边长的关系可知。的纵坐标与0、M 坐标的关系，结合距离求参数P，写出抛物线方程；(2)根据直线与抛物线、圆的位置关系，应用韦达定理及弦长公式，得到关于参数m的函数，利用导数研究其区间单调性求最值.