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1、2021-2022学年江西省赣州市寻乌第一中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5 分，共 50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.平 面 向 量 占 共 线 的 充 要 条 件 是A.占方向相同 B.a,否两向量中至少有一个为零向量C.曲 k，使 得 占=疝 D.存在不全为零的实数4,4,4 a +4 8 =0参考答案：D对 于 选 项D.若 占 为 零 向 量，则满足40+石1=6。若1为非零向量，对任意的向量公有=4兀 即-蕊=晨 符 合 条 件,所 以选D.2.给出下列命题：(1)已知事件力、是互斥事件，若尸(工)=02 5,尸(功=0.
2、3 5,则产Q 4 U 6)=0 6 0；(2)已知事件A 8是互相独立事件，若尸3 =05,尸(8)=0.6 0,则户(M)=0.51(N表示事件力的对立事件)；西+4=尸(3)J x 的二项展开式中，共有4个有理项.则其中真命题的序号是().A.、(2).B.、(3).C.、(3).D.、(3).参考答案：D3T3 是虚数单位，复 数 匚？=()A.2+i B.1 -2 i c.l+2 i D.2T参考答案：A略4.已知用、花为两条不同的直线，)、尸为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A.若/_!冽，/!然,且犯力U，则？J _ aB.若平面&内有不共线的三点到平面0的距离相等，则无
3、产C,若附，码附%则 万 aD.若俄/加内上戊,则冽_ L a参考答案：Dx0y 05.已知不等式组1 x+y 2表示的平面区域为M.当a 从.变 化 到 1 时，动直线X-y+a=O扫过区域M 中的那部分区域为M其中q 表示z=x y,(x,y)GM)的最小值,若从M区域内随机取一点，则该点取自区域N的概率为()113 7A.8 B.4 C.4 D.8参考答案：DS 1 x 2 x 2=2如图所示不等式组表示的区域M为AAOB及其内部，其 面 积 一 5-；，=-2,y =2_ l =Z直线工一扫过M 中的那部分区域N为图中阴影部分，其面积为 4 4P=Z所以所求概率 S&故 选D.6.已知
4、双曲线C的中点在原点0,焦点F(-2、/亏，),点A为左支上一点，满足|0 A|=|0 F|且A F|=4,则双曲线C的方程为()2 2 2 2x _y x _y _A.1 6 丁 一%.3 6万？一，C.4 1 6 I).1 6 3 6参考答案：C【考点】K C：双曲线的简单性质.9 2【分析】设A (m,n),(m 0),双曲线的方程为a -b =l(a,b 0),运用双曲线的a,b,c的关系和等腰三角形的面积公式，由等积法可得m,n,代入双曲线的方程，解方程可得a,b,进而得到所求双曲线的方程.【解答】解：设A (m,n),(m 0),x i o 2双曲线的方程为a -b =1(a,b
5、0),由题意可得c=2泥，a2+b2=20,在等腰三角形O A F中，SAOAF=万 I O F?n=心，又A F边上的高为hX(2V 5)2-22=4,1可得 SAOAF=5 h?AF|=2h=8,8解得n=V5,由勾股定理可得m2+n2=20,6解得m=-V5,6 8即 P（-遍，遍），36 649-5代入双曲线的方程可得5 a-5 b =1由解得a=2,b=4,则双曲线的方程为4-16=1.故选：C.7.已知数列 斯 是等差数列，且。|+出+为=2兀，则 cos“3=()A.B.C.D.一参考答案：D略c=3,C=8.在AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 3,且a+3=4
6、,则ABC的面积为72 逆 1_ 述A.IT B.丁 C 1 2 D.1T参考答案：A_ a2+S2 c2 _(a+&)2-2a&-c2 _ l-2 a b _在A/4BC中，由余弦定理得 一嬴 2ab-2ab,_7 _ _ 1,1 7 招 7招sb _ -SjLjgfi ubsi/tC x x=-3,)2 3 2 12,故选 A.x+2y3 0 x 49.若变量x,y满足约束条件1 V 3 ,则z =2x+了的最大值等于()A.7B.8.10 D.11参考答案：,解得CC10.函数f (x)的部分图象如图所示，则 f (x)的解析式可以是()A.f (x)=x+s i n xB.C.f (x
7、)=x c o s xD.x)=x(x 一守(x 一 写)f(x)=N参考答案：C考点：由丫=人5徐(3 X+)的部分图象确定其解析式.专题：计算题.分析：通过函数的图象的奇偶性、定义域、验证函数的表达式，排除部分选项，利用图象K过（三，0）,排除选项，得到结果.n解答：解：依题意函数是奇函数，排 除 D,函数图象过原点，排 除 B,图 象 过（下，0）显然A不正确，C 正确；故选C点评：本题是基础题，考查函数的图象特征，函数的性质，考查学生的视图能力，常考题型.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共2 8分2 311.已知第一象限的点（。，力在 直 线 2 x+3 y l=O上，则代数式
8、 十%的最小值为参考答案：25略12.把二进制数110 011化为十进制数为；参考答案：512_1_|_入0,则工+-八日,士、13.右 x的最小值为,参考答案：略14,设向量G=（切，1=（T2）,/瓦则卜一明=.参考答案：5【分析】由已知利用向量垂直的坐标表示得到关于x的方程解之，代入计算所求即可.【详解】由已知a=（x,1）,c=（-1,2）,a?G=O,得至1卜+2=0,解得x=2：A -2 b=（4,.3）,.*现=即 +（一 以=5故答案为：5.【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算及向量模的运算，属于基础题.1 5.已知点F为的外心，且|正|=4 ,则A P*A C等于.参考答案：
9、8略16.已知A A BC的外接圆圆心为。，I，卜6.|/Cf=g ,肛若sin1 A-（ta+5-）2。为实数）有最小值，则参数 的 取 值 范 围 是.参考答案:3-4COSJ由己知得：/O Z C =32=48cosda#64席,8sii2d f li 34cos 4 3cosdsin3A(ta+-)=-+-L O o Z=J COS2d-偿 +3)cosd+22 I 3 8)2m=cosX,wre(11)加)e(U)3 3 1 5=t 2)三、解 答 题：本 大 题 共5小 题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本 小 题 满 分 10分)已知函数=求函数_/(x
10、),/(2 x +l)的解析式。参考答案：/W=x2-2 x-3 /(2X+1)=4X2-4,3AR S19.已知AABC的面积为S,角 A,B,C的对边分别为a,b,c,2(1)求 cosA的值；(2)若 a,b,c 成等差数列，求 sinC的值.参考答案：【考点】正弦定理；等差数列的通项公式.【专题】计算题；解三角形.【分析】(1)根据数量积的定义和正弦定理关于面积的公式，化简题中等式可得3,结合同角三角函数的基本关系可解出cosA的值;(2)根据等差数列的性质，结合正弦定理化简得2sinB=sinA+sinC,用三角内角和定理进行三角恒等变换得到2sinAcosC+2cosAsinC=s
11、inA+sinC.将(1)中算出的cosA、sinA 的值代入，并结合同角三角函数的基本关系，即可求出s i.m-1 3.9 3【解答】解：(1).A BA C qS,3 1 4.bccosA=X-rbcsinA,sinA=-zcosA 乙 乙 ,仪|J o ,代 入 sinA+cos2A=1化简整理，得 8 s2 Ah苑.sinA4=z4cosAA _3,可得 cosA0,.角A是锐角，可得csA=豆(2)Va,b,c 成等差数列，2b=a+c,结合正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,即 2sin(A+C)=sinA+sinC,因此，可得 2sinAcosC+2cosAsinC=si
12、nA+sinC.由 得s s A 3及sin A q co sA,所以sinA44-sinC代入，整理得“SC二 一 8一.结合 sin2C+cos2C=l 进行整理，得 65sin2C-8sinC-48=0,12 4解之得sinC=正 或sinC二一0VCG(0,X ),可得 sinC0.产成二刀（负值舍去）.A R A C*Q【点评】本题在三角形ABC中给出Q 2 ,求角A的余弦，并在已知a,b,c成等差数列情况下求角C的正弦，着重考查了利用正、余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于基础题.o 920.已知椭圆C：a+b=1（a b 0）,直 线1为圆0：x+yJF的一条切线并且过
13、椭圆的右焦点，记椭圆的离心率为e.（1）求椭圆的离心率e的取值范围；（1）若直线1的倾斜角为飞，求e的大小；（2）是否存在这样的e,使得原点0关于直线1对称的点恰好在椭圆C上，若存在，请求出e的大小；若不存在，请说明理由.参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；圆锥曲线的实际背景及作用.【分析】（1）由题意可知，右焦点在圆上或在圆的外部，因此c 2 b.即犬旨=1-乙解出即可得出.Vs.Ir-l=T=b（2）依题意，设直线1：片3,由1与 圆x+yb?相切得V，3，化简即可得出.（3）设原点关于直线1对称的点为M（X,y）,则M到原点的距离为2b,M到焦点Fx2+y2=（2b）2（c,0）的距
14、离为c.由l（x-C）2+y 2=c 2,解出代入椭圆方程解出离心率，比较即可判断出结论.【解答】解：（1）由题意可知，右焦点在圆上或在圆的外部，因此cb.c2 b2=a2-c2,也即a 2 2,解之可得工椭圆的离心率e的取值范围是 I 依 题 意，设直线1：k T C,由1与圆x 2+y 2=b?相切得c2=4 b2,2V5：.C2=4(a2-c2),解得 b 5 .(3)设原点关于直线1对称的点为M (x,y),则M到原点的距离为2 b,M到焦点F(c,0)的距离为c.x2+y2=(2 b)2(x -c)2+y2=c22 bX=-2 4 b 2 c 2 -4 b 4y =-o-解得 C”,
15、代入椭圆方程可得4 b 2=3 a 2,易得e-2&e 0),令g (x)=l nx+7+l,(x 0),根据函数的单调性求出a的范围即可；(2)问题转化为(x-1)(x+1)Inx-a 恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可.【解答】解：(1)f (x)=(x+1)Inx-a x+a,f (x)=l nx+x+1-a,若f (x)在(0,+8)上单调递增，1则 a W l nx+x+1 在(0,+)恒成立，(a 0),令 g (x)=l nx+x+l,(x0),x-1g(x)=x2,令 g (x)0,解得：x l,令 父(x)0,解得：0 xl,故g (x)在(0,1)递
16、减，在(1,+8)递增，故 g (x)mi n=g(1)=2,故 0 V a W 2；(2)若 不 等 式(x-1)f (x)NO恒成立，即(x-1)(x+1)Inx-a 20 恒成立，x 2 1时，只需a W (x+1)Inx恒成立，令 m(x)=(x+1)Inx,(x21),1则 m (x)=l nx+x+1,由(1)得：m (x)22,故 m(x)在 1,+8)递增，m(x)N m(1)=0,故a W O,而a为正实数，故a W O不合题意；O V xV l 时，只需 a 2(x+1)Inx,令 n(x)=(x+1)Inx,(0 xn(1)=2,故 n(x)在(0,1)递增，故 n(x)
17、0.2 2 6G：0 +A=l(a R O)当22.(本小题满分14分)已知椭圆 a2 b2 的离心率为3 ,直线J:y =X+2与以原点为圆心、椭圆g 的短半轴长为半径的圆0相切。(I)求椭圆G的方程；(II)设椭圆I的左焦点为巴，右焦点为居，直线4过点瓦，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于?】，垂足为点F,线段尸匀的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹2的方程；(IH)过椭圆好的左顶点工做直线冽，与圆。相交于两点H、S,若A 0心是钝角三角形，求直线活的斜率左的取值范围。参考答案：也用/1 2e =丁，俗 F =1-e -(I )由 3 a 3.2 分I x-y+2=。与圆/+1y 2=3湘 切
18、，得=|6 1所以,6 =42,a=楞由直线J2所以椭圆的方程是x 2 y 2,+=1.(II)由条件，知M F J=|M P。即动点M到定点邑的距离等于它到直线4：%=-1的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹G的方程是V?=4 x。.&分(III)由(1),得圆0的方程是/+/=2,R(-布,0),直线物的方程是y =瓶x+g),x2+y?=2,五当),2仍)，由 广设 卜=上。+第)得(1+先2)，+2、像 勺+2-2=02 忌2 3k2-2则 2 1 +k2 1+k2.9分由A=（2每2尸一4（1+/）（3炉-2）6得 一 逝 化 隹.I。分因为AO超 是 钝 角 三 角 形，所 以 荻 酝 0,即 砺 砺=勺町+y/2=XJXJ+/（X +用）（x2+招）=（1+/）为电+j3k2（x1+叼）+3 1 =_黄 01 I花所以、伤,7 2-k .2 21 2分由A、R、S三点不共线，知上。0。、历卜0日 一 k v ,ELAT H 0由、，得直线m的斜率k的取值范围是 2 2 1 4分（注：其它解法相应给分）