2021-2022学年甘肃省张掖市高二（上）期末数学试卷（理科）（附答案详解）.pdf-淘文阁

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1、2021-2022学年甘肃省张掖市高二（）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共20小题，共100.0分）1.已知集合4=（x x2-2x-8 0,A.（1,4）B.（1,2）2.复数2=警的实部与虚部之和为（131A.1 B.13.a b 0”是“4加匕 1 ,则A U B=()C.(4,+8)D.(2,+oo)C.3 D.3)B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.若P（0,l）为圆/+2%+）/2-15=0的弦/7的中点，则直线MN的方程为（）A.y=X+1 B.y=x+1 C.y=2x+1 D.5.青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一.已知某青花瓷花瓶

2、的外形上下对称，可看成是焦点在工轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该y=7.x+1花瓶的瓶口直径是8,瓶身最小的直径是4,瓶高是6,则该双曲线的标准方程是（）6.已知a=&,b=log36,c=0.92,则()A.b a c B.c b a C.a b c D.b c a7.若函数/（x）=sin（2x与函数gQ）=2cos（2x-$都在区间口句上单调递增，则b-a的最大值是（）A R-C 巴 D 24D-2 4 4 U-488.我国古代数学名著仇章算术少中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.已知堑堵中，AB 1AC,AAr=2BC

3、,若堑堵48C-4再传1外接球的表面积是40兀，则堑堵力BC-AiBiG体积的最大值是（）A.4V2 B.8V2 C.16V2 D.32四9.已知实数a,b,c,若a b,则下列不等式成立的是（）A.-a b B.a2 b2 C.c2+l c2+lD.ac2 be21 0 .在等差数列 a j中，a2=1,3 a4 3”是“/一 2一 3 0”的必要不充分条件D.“x3是 2-2万一3 0”的充要条件1 2.在A BC中，角力，B,C所对的边分别为a,b,c,若b s i n B+2c s i n C =a s i n A,则 A BC的形状为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

4、 D.不确定1 3 .不等式，;：；，）。+、）2表示的平面区域是一个（）A.三角形 B.直角三角形 C.梯形 D.矩形1 4 .um 0,r i 0 是方程m/+风产=1”表示椭圆的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件1 5 .方程m x +ny2=0与7 n x?+ny2=l（|m|n|0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）1 6 .在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做”等和数列”，这个数叫做数列的公和.已知等和数列 an中，臼=2,公和为5,则。18 =（）A.2 B.-2 C.3 D.-317 .若用，

5、尸2是双曲线条一，=l（a b 0）的左、右焦点，。是坐标原点.过尸2作。的一条渐近线的垂线，垂足为P,若1PF/=小|0。|,则该双曲线的离心率为（）A.5 B.2 C.V3 D.0）的焦点尸的直线/交抛物线于点4、B,交其准2 0.则实数m的取值范围是（）)y2=V3 x_ 3A.m -C.-；V T H V 33 _B.m 3D.-3 m l,则2a+W的取值可以是（）A.5 B.6 C.7 D.82 2 .随着互联网的飞速发展，网上购物已成为了流行的消费方式.某网店第三季度的服装产品的销售总额和其中某款服装的销售额占当月服装产品销售总额的百分比如图所示：下列结论错误的是（）A.该款服装

6、这3个月的销售额逐月递减B.该款服装这3个月的销售总额为2 3.6 9万元C.该款服装8月份和9月份的销售额相同D.该款服装8月份和9月份的销售总额大于7月份的销售额2 3.已知函数/(x)=|/+3 x +1|-a|x|,则下列结论正确的是()A.若f(x)没有零点,则a G (8,0)B.若f(x)恰有2 个零点，则a e (1,5)C.若/(x)恰有3 个零点，则a =1或a =5D.若/(乃)恰有4 个零点，则a 6 (5,+8)2 4 .已知函数/(x)=4lnx-kx-k+8,若关于的不等式/(x)0)的焦点为F,过点F 的直线I：x -m y m =0与抛物线C 交于4(点4 在

7、第一象限)，B 两点,且|喘|=2,则4 8 0(0为坐标原点)的面Dr积是.2 9 .在不等边 A B C 中，三个内角N 4乙 B,4 c 所对的边分别为a,b,c,只有胃=2,c osB a则角c 的大小为.3 0.已知P 为椭圆1上的一点，M,N 分别为圆(x +3)2+y 2 =1和圆0-3)2 +y2=1上的点，则PN+P M 的最小值为.3 1.我国古代，9 是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示)，最高一 )-/一|层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每

8、一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的x Qj v y7石板总数是.3 2 .已知点P 为椭圆9 +y 2 =1上的任意一点，点6，尸 2 分别为该椭圆的左、右焦点,则si n/P&F?+si n/PB R的最大值为.第4页，共35页四、解答题(本大题共12小题，共 140.0分)3 3.等差数列 a j 的前n项和为%,a3=6,S9=90.(1)求治的通项公式；(2)若%=，求数列匕的前般项和3 4.某部门为了解某企业在生产过程中的用电情况，对其每天的用电量做了记录，得到了大量该企业的日17889用电量(单位：度)的统计数据，从这些数据中随机18256 9抽取15天的

9、数据作为样本，得到如图所示的茎叶19578图.若日用电量不低于200度，则称这一天的用电20135 6 7量超标.(1)从这15天中随机抽取4天，求抽取的4天中至少有3天的日用电量超标的概率；(2)从这15天的样本数据中随机抽取4天的日用电量数据，记这4天中日用电量超标的天数为X,求X 的分布列和数学期望.3 5.在四棱锥P中，2 4，平面4BC。，底面4BCO是直角梯形，BC4 0,4 0 1 AB,E,F分别是棱ZB,PC的中点.(1)证明：EF平面PAD.(2)若PA=4B=BC,AD=2 B C,求平面4EF与平面CDF夹角的余弦值.36.如图，某水域的两条直线型岸边，1，%的夹角为6

10、0。，某渔民准备安装一直线型隔离网BC(B,C分别在，1，2上)，围出养殖区ABC.(1)若BC=6 k m,求养殖区 ABC面积(单位：km?)的最大值;(2)若ABC是锐角三角形，且4B=4 k m,求养殖区力BC面积(单位：km?)的取值范围.37.已知函数/(x)=a(x-1)一(x+1)x.(1)当a=2时，求曲线y=/(%)在x=e处的切线方程；(2)若关于x的不等式空 0在(1,+8)上恒成立，求a的取值范围.第6页，共35页38.在平面直角坐标系xOy中，已知点4(e,0),8(遥,0),动点E(x,y)满足直线4E与BE的斜率之积为-5记E 的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，

11、并说明C是什么曲线；(2)过点。(2,0)的直线I交C于P,Q两点，过点P作直线x=3的垂线，垂足为G,过点。作0 M l Q G,垂足为M.证明：存在定点N,使得|MN|为定值.39.(1)已知p：4-2x2 0,q：0,若p A%为真命题，求的取值范围；(2)设p：2/3X+1 S 0,q：(x-a)(x-a-1)1的等比数列 5 和等差数列%满足%=2,瓦=1,其中。2=9,且是与和坛的等比中项.第8页，共35页(1)求数列斯与%的通项公式；(2)记数列斯%的前n 项和为7；,若当n G N*时，等式(一1)-Tnb0)的离心率是e,定义直线y=g 为椭圆的“类准线”，

12、已知椭圆C 的“类准线”方程为y=46,长轴长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)0 为坐标原点，4 为椭圆C 的右顶点，直线/交椭圆C 于E,F 两不同点(点E,产与点4 不重合)，且满足4E 14F,若点P 满足2 丽=曲+讨，求直线”的斜率的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合4=xx2-2%-8 0=%|-2%1,则A uB =%|%-2.故选：D.求出集合4利用并集定义能求出4 UB.本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.【答案】A【解析】解:V Z5+=51-l-3 i5(14-0(14-30 2+4i2-1+

13、2i,复数z的实部和虚部之和为-1+2=1.故选：A.根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数实部和虚部的定义，即可求解.本题主要考查复数的运算法则，以及复数实部和虚部的定义，属于基础题.3.【答案】A【解析】解：由a b 0,可得a-b 0,能够推出是 i,故a b 0M是“4。1”的充分条件，由4。-0 1,可得a-b 0,即a b,但不能够推出a b 0,故a b 0”是“4-8 1 的不必要条件，综上，ua b 0”是u4a-b 0tb 0).花瓶的最小直径AtA2=2a=4 c m,则Q=2,由已知可得M(4,3),故中一9=1，解得b =百，4 bz该双曲线的方程为：式

14、一 =1.4 3故选：B.设双曲线方程为：-4=l(a 0,b 0),由已知可得a,并求得双曲线上一点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程，求解b,即可得到双曲线的标准方程.本题考查双曲线的性质在实际问题中的应用，考查运算能力和方程思想在解题中的体现,属于中档题.6 .【答案】A【解析】解：因为1 或 1.5,0.9 2 c,因为，0 9 2 log3y/3=0.5,所以log 3 6 =log32 +1 1.5,所以 b a,故 b a c.故选：A.可看出1 鱼 1.5,0.9 2 0.5,从而可得出a,b,c 的大小关系.本题考查了对数函数和指数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，

15、属于中档题.7 .【答案】A【解析】解：由2 人兀一三三 W 2 卜兀+孑，k G Z,得卜兀一白W x S/ot+吟k E Z,4 J 4 IN IN即/(%)的增区间为即一已+汾 f c ez,由2 nu r 一兀4 2%一f W 2 nu r,m G Z,得nu r 网 W x W nu r+H m G Z,即g(x)的增4 8 8区间为 m兀一若,小兀+勺，m e Z,o o若/(X)和g(x)在区间也切上单调递增，不妨设攵=0,m=0,则/。)的增区间为一卷，部g(X)的增区间为一笫 J则同时为增函数的区间为一看,祟n 一表白=一卷*,则b a 最大值为g -

16、(3)=察o 1 Z N 4故选：A.分别求出f(x)和g(x)的单调递增区间，然后求出公共部分，进行求解即可.本题主要考查三角函数的单调性的应用，根据三角函数的单调性求出单调区间是解决本第12页，共35页题的关键，是中档题.8.【答案】B【解析】解：分别取B C,a C 1 的中点E,F,连接E F,如图所示，1 AB L AC,A1B1 1 A1C1,点 E,F分别为 4 8。和4a/C i 外接圆的圆心，设EF的中点为点0,则点0 为堑堵A B C 外接球的球心,设堑堵4 B C-&B 1 C 1 外接球的半径为R,连接0A,AE,设B C=a,贝!|4 A i=2a,1 1在R tZ

17、kO A E中：0A =R,0E =a,AE =B C=-a,产=Q2+(2Q)2=1 2,、2 J 4又堑堵A B C-&B iCi外接球的表面积是4 0TT,4TTR2=4 0兀,*/?2=1 0,.a 2 2，设A B =%,AC=y,则2 +y2 =2 =8,堑堵A B C-4 寸1(:1 的体积U =AC-AB-AAr=-4/2 =V 2 -2xy b,但2 b,但Q2 b,-7 0cz+l-2a 2 故 C 正确，c2+l cz+l对于 ,当c=0时，ac?=b e2,故 )错误.故选：C.根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.本题主要考查了不等式的性质，掌握特

18、殊值法是解本题的关键，属于基础题.10.【答案】A【解析】解：设公差为d,因为。2=1，3 a4 所以3 l+2d 5,所以1 d 0 等价于尤 3”，二“x 3”是“一一 2x-3 0”的充分不必要条件，错误；对于D,X 3”是一 2%-3 0”的充要条件，正确.故选：C.利用逆否命题、命题的否定、充分必要性的概念逐一判断即可.本题考查命题的真假的判断，充要条件的应用，命题的否定的判断四种命题的逆否关系第 14页，共 35页的应用，是基础题.12.【答案】C【解析】解:因为bsinB+2c sinC=asinA,利用正弦定理可得：b2+2c2=a2,所以 cos4=2bc=90,所以

19、4BC的形状为钝角三角形.故选：C.利用正弦定理化简已知等式可得匕2+2c2=a2,进而根据余弦定理可求cosa 9 0 ,即可判断三角形的形状.本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理，余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题.13.【答案】C“cr,、八 fx-y+5 0(%-y+5 0【解析】解：不等式+=x+y?0 或x+yWO,U-X-3 (0 x 3 lo x 0,n 0,m =n时，方程m/+71y2=,表示圆，不是充分条件，方程mx?+ny2=J表示椭圆，则巾 0,n 0,是必要条件，故选：B.根据椭圆的标准方程形式确定n的关系，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断.

20、本题主要考查充分条件和必要条件的应用，要求掌握椭圆的标准方程.15.【答案】A【解析】解：方程优+政 2=0即y2=一9 ,表示抛物线，方程+政 2=1（|m|n|0）表示椭圆或双曲线.当zn和n同号时，抛物线开口向左，方程+ny2=i（1n li 网 0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项.当?n和n异号时，抛物线丫？=一；%开口向右，方程nix?+改 2=（制同 0）表示双曲线，故选：A.当m和n同号时，抛物线开口向左，方程m/+ny2=i（1n l|n|0）表示焦点在y轴上的椭圆，当zn和n异号时，抛物线y2=一开口向右，方程m/+兀产=1（|机|小 0）表示双曲线.本题考查根据

21、曲线的方程判断曲线的形状，体现了分类头论的数学思想，分类讨论是解题的关键.16.【答案】C第 16页，共 35页【解析】解:根据题意，等和数列S n 中，=2,公和为5,贝据1 +&2 =5,即可得。2 =3,又由 d n-1 +%,=5,2,n 为奇数3 n 为偶数则册=则的8 =3；故选：C.根据题意，分析可得a n +%+1 =5,进而可得a n2,n 为奇数3,n 为偶数据此可得答案.本题是新定义题，关键是由新定义得到数列的通项公式，是基础题.17.【答案】D【解析】解：双曲线C：捻一=l(a b 0)的一条渐近线方程为b x-a y =0,点尸 2 到渐近线的距离d =b，即I P

23、2 F1F2COS.PF2O,代值化简整理，由离心率公式可得所求值.本题考查双曲线的简单性质、点到直线的距离公式，以及三角形的余弦定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题.18.【答案】C【解析】解：在力BC中，a=痘,b =3,A=o,则b s i n A=3 x|=I，可得b s i r M a b,可得此三角形有两解.故选：C.由已知可求b s讥4 a-+第18页，共35页当且仅当祟=”，即x=2,y=|时，等号成立，此时去+：取得最小值(原不等式有解，可转化为1 0,所以?n|.故选：A.先拼凑，利用乘1法”求得京+：的最小值，从而将问题转化为?0,2a+a-1 =2、

24、+2(/a-al-)1+2 +2 2(a-a-11)=6,当且仅当Q=2时，等号成立，故2a 的最小值为6,故2a+三的取值可以是6,也可以是7或8,a-i故选：BCD.利用基本不等式的性质即可求得答案.本题主要考查了基本不等式的性质，属于基础题.22.【答案】ABD【解析】解：由题意7月份、8月份、9月份的销售额分别是50万元，40万元，48万元,故A 错误；由50 x 24%=12,40 x 15%=6,48 x 12.5%=6,二该款服务7月份、8月份、9月份的销售额分别是12万元，6万元，6万元，该款服装这3个月的销售总额为12+6+6=24万元，故 3 错误；该款服装8月份和9月份的

25、销售额相同，都是6万元，故 C 正确；该款服装8月份和9月份的销售总额等于7月份的销售额，故D错误.故选：ABD.根据服装产品的销售总额和其中某款服装的销售额占当月服装产品销售总额的百分比的条形图和折线图，能求出结果.本题考查命题真假的判断，考查条形统计图、折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.23.【答案】AC【解析】解：当x =0时，/(0)=1。0,所以x =0不是f(x)的零点；当工 K 0时，由f(x)=0,B P|x2+3 x +1|a|x|=0.得a=|x +：+3|,则/(x)的零点个数等价于直线y =a与函数y =|x +?+3|图象的交点个数，作出函数y =

27、U(5,+8),故O错误.故选：AC.原命题等价于直线y =a与函数y =|x +：+3|图象有4个交点，作出函数y =|x +：+3|的大致图象，结合图象即可作答.本题考查了等价转化思想和数形合思想，难点在于将原命题转化y =a与函数y =|x +1+3|图象有4个交点和作出函数y=|x +：+3|的大致图象，属于中档题.24.【答案】CD第20页，共35页解析解：1 4lnx-kx-k+8 0恒成立,令 g(X)4Znx+8q，(x)_ x 4lnx 4f i 4/nx-4=0.可得=1,八(x+l)2%当在(1,+8)时,gf(x)0,g(%)递增;故g(x)的最大值为g(l)=4,

28、fc 4,故选：CD.把恒成立问题转化为求函数最值问题，根据导函数求出函数。0)=嘤券的最大值，得出答案.本题考查了恒成立问题的转化和利用导函数判断函数的最值.属于常规题型，应熟练掌握.25.【答案】vO【解析】解：根据题意，向量五=(2,3),1=(一1,2)，则方+k 石=(2 k,-3 +2k).因为 0 +k E)J.Z，所以 0 +k3)五=2(2-k)-3(-3 +2k)=0，即 1 3-8 k =0,解得k=O故答案为：9O根据题意，由向量的坐标计算公式可得3+(2-k,-3 +2k)，又由数量积的计算公式可得(2+上加)五=0,解可得k的值，即可得答案.本题考查向量数量积的性质

29、以及应用，涉及向量的坐标计算，属于基础题.26.【答案】-448【解析】解：因为(2 4 7的展开式的通项为7升1=0(2 )7-(,=(1)27-rCx 则7 2 =-26C)x2=-6 4 x 7 x2=-4 4 8/,所以x 2 的系数为-4 4 8,故答案为：-4 4 8.求出展开式的通项公式，然后令x 的指数为2,进而可以求解.本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.27.【答案【解析】解：以4 为原点，在平面A B C 内作垂直于4 C 的射线为x 轴，以射线4 c 为y 轴,射线A P 为z 轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示：则P(O,O,1),B

30、(l,2 V 2,0).C(0,4 V 2,0),所以丽=(1,2 7 2,-1).由x 轴1 平面/M C 得平面P4 C 的一个法向量为元=(1,0,0),设直线PB 与平面P4 C 所成的角为a,则si n a =|c o s|=|二：J|=i：十 =,11 1 nxPB 1 l x V l+8+1 1 0a 6(0,c o s a=Jl-噜)2=誓,所以P B 与平面P 4 c 所成角的正切值为ta n a =滞 y =i o故答案为：以4 为原点，在平面4 B C 内作垂直于4 c 的射线为x 轴，以射线4 c 为y 轴，射线4 P 为z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，计算

31、求解即可.本题考查了利用空间向量法求线面角的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.第22页，共35页28.【答案】哈【解析】解：抛物线C：V =2px(p 0)的焦点为尸，Fg,O),过点F的直线，：x m y-m=0与抛物线C交于4(点4在第一象限)，B两点,=解得m=,.,.直线I的方程为x=J +1,联立r x =PV,P2 2,得 y2 p2y p2=0,ly2=2px设4 Q1，%)(x2,y2),则比+y2=p2,y iy2=-p2,11=2)yj=1 2y2,；y2=P2,-2yf=2p4=p2 解得p-Y,3y1-y2=29.480(0为坐标原点)的面积是：r1 in

32、r.1 I 1 2 3 3y/2S=-OF-y i-y2=-x-x-=.故答案为：运.16(P P得 y2_p2y_p2=o,利y2=2px用韦达定理，结合题设条件能求出 AB。(。为坐标原点)的面积.本题考查三角形面积的求法，考查抛物线性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系、韦达定理等等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.2 9.【答案】90【解析】【分析】本题考查正弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于简单题.已知等式右边利用正弦定理化简，整理后再利用二倍角的正弦函数公式化简，得到24与2B相等或互补，进而求出C的度数.【解答】解：由正弦定理号=目，得

33、到2=咨，sinA sinB a sinA代入已知等式得：,cosB sinA即 sizh4cos4=sinBcosB,整理得：sin2A=|s in 2 B,即sin22=sin2B,2A=2B(此三角形为不等边三角形，舍去)或24+2B=180,：.A +B=9 0 ,则C=90.故答案为：90.30.【答案】8【解析】解：由题意知，椭圆日+廿=1的两个焦点分别为两个圆的圆心，25 16所以 PF1+P F 2 =10,从而PN+PM的最小值为：PFt+PF2-1-1 =8.故答案为：8.由题意可得:椭圆二+匕=1的焦点分别是两圆(x+3)2+y2=1和(x 3 y+y2=1的25 16圆

34、心，再结合椭圆的定义与圆的有关性质可得答案.本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用，是中档题.31.【答案】405【解析】解：最高一层的中心是一块天心石，围绕它第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则每圈的石板数构成一个以9为首项，以9为公差的等差数列，故 a”=9n,当n=9时，第9圈共有81块石板，.前9圈的石板总数S9=1(9+81)=405.故答案为：405.根据已知可得每圈的石板数构成一个以9为首项，以9为公差的等差数列，求出数列的通项公式，利用等差数列前n项和公式能求出结果.第24页，共35页本题考查的知识

35、点是等差数列的通项公式和前n项和公式，难度不大，属于基础题.3 2.【答案】23【解析】解：在A P F i F?中，由正弦定理可得不喘彳=/5?=若a=，所以si n4 P F】F2 =卓，si n/P F?&=sinAF1P F2=9=p所以 si n/P F/2 +si n/P F2&=?+皇=当N&P F 2最大时，P为短轴的顶点，此时a =2,6 =1,c =K此时4&P F2 =1 2 0,所以si n/KP F2的最大值为1,即右1，所以蜂：嘉，所以票=三袤=竽故答案为：逗.3由正弦定理可得感5=忐氏=3求出si n F】F2 +s i k

36、 P F?的表达式，当N F J F 2最大时，P为短轴的顶点，此时a =2,b =1,c =遍此时N F1 P F2 =1 2 0,求出4 F J F 2的正弦值的最大值为1,可得t的最小值，进而求出si n/P Fi F?+si nN P2&的最大值.本题考查椭圆的性质的应用及三角形的正弦定理的应用，当椭圆上的点在短轴时N F 2 P a的角最大，不一定此时的角正弦值的最大，这一点要注意，属于中档题.3 3.【答案】解：(1)设数列的的公差为d,因为。3 =6,5 9 =9 0,所以翁+?26 解得的=2,d=2,(9%+3 6 a =9 0 1故S n=nar+丁)-d =n2 4-

37、n.(2泡=；/，所以 7n=(1 _ +_ +弓 _ 去)=1_=3.【解析】(1)根据等差数列的通项公式、前n项和公式求得首项的和公差d,从而得解；(2)采用裂项求和法，即可得解.本题考查数列的求和，熟练掌握等差数列的通项公式、前n项和公式，以及裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.3 4.【答案】解：(1)从这1 5 天中随机抽取4 天的情况有C%种,其中符合条件的情况有田。仁+已种，故所求概率P =警彩空=去C15 1 3(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,P(X =0)=单=,)/13P(X =1)=等=?2 印=2)=警=+P(X=3

38、)=1 =空，J c i5 273P(X =4)=/=嘉故X 的分布列为:X01234P24 03 02 011 39 19 12 7 32 7 3故 E(X)=0XV+1 +2X +3X枭+4X/T【解析】Q)从这1 5 天中随机抽取4 天的情况有*5 种，其中符合条件的情况有盘o或+Cl种，再结合古典概型的概率公式，即可求解.(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解.本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题.3 5.【答案】(1)证明：取的中点 G,连接EG,FG.因为

39、凡 G 分别是棱P C,C D 的中点，所以FG/PD,又F GC平面P A D,POu 平面P 4 D,所以FG 平面P A D.因为BC 4。，且E,G 分别是棱4 B,C O 的中点，所以EG/1。，又EG C 平面P A D,力 Du 平面P A D,所以EG 平面P A D.因为EG,F Gu 平面E F G,且EG f l FG =G,所以平面EFG 平面P A D.因为E F u 平面E F G,所以EF平面P 4 D.第26页，共35页(2)解：以4为原点，分别以荏，同，而的方向为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设4 B =2,则4(0,0,0),C(2,2,0),D

40、(0,4,0),E(l,0,0),P(0,0,2).因为尸是棱P C的中点，所以所以同=(1,0,0)，AF =(1,1,1)CD=(-2,2,0).CF =设平面4 E F的法向量为元=Q i，y i，zi),则俨.亚=x】=0 ,(n -AF=/+y】+Z i =0令力=1,得记=(0,1,-1).设平面C D F的法向量为沅=(%2，丫2*2)，则1沆,%=-2“2 +2丫2 =0 ,rn-CF=-%2-丫2 +Z 2 =0令 2 =1，得沆=(Ll,2).设平1BU E F与平面C D F的夹角为6,则c o s。=|c o s(m/n)|=1|m|n|V6xV2 6所以平面A

41、E F与平面C D F夹角的余弦值为更.6【解析】(1)利用线面平行，面面平行的判定定理证得平面E FG平面P4 D,再利用面面平行证线面平行即可；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.本题主要考查线面平行的证明，空间向量及其应用，面面角的计算等知识，属于中等题.36.【答案】解：(1)由题意可知。4c =60。,8 6=6,在 A 4 B C中，由余弦定理可得BC?=A B2+A C2-2AB-ACc osBAC,S P X B2+AC2-A B AC=36,因为A B2 4-A C2 2AB-A C(当且仅当A B=AC=6时等号成立)，所以朋 +AC2-AB-AC AB-AC

42、,BP 4B-AC 36.故4 A BC 的面积 S =-AB-ACsin/.BAC i x 3 6 x =9 V 3,2 2 2即养殖区 A BC面积的最大值为9 g k/.(2)因为A B=4,BAC=60%所以 4 B C 的面积S =2 A B A Cs i n/BA C=g A C,在力B C 中，由正弦定理可得一 =,S i n 乙 4c B sn/-ABC则A C AB sin乙48c _ 4sin(120-乙4CB)_ 26+?、sinACB sinACB tanz.ACB因为 A BC是锐角三角形，而z f 0 12 0 -4ACB 9 0/rWl 0 Z,AC

43、B 9 0 所以30。Z.ACB 立，3所以0 二百，t a n 乙 4c B则2 一2g+2 8,即2 A C 8,t a n 乙 4c B故S =V 3/1C e (2 V 3,8 V 3)，即 A BC面积的取值范围是(2 次,8 次).【解析】(1)由题意以余弦定理，均值定理去求 A BC面积的最大值即可解决；(2)由题意利用三角形的面积公式可得 A B C 的面积S =V 5A C，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得2。=*一+2,可求范围30。N 4CB 9 0。，利用正切函数的t a n 乙 4 c B性质即可求解.本题主要考查了余弦定理，均值定理，三角形的面积公式，正弦定

44、理，三角函数恒等变换以及正切函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.37.【答案】解：(l)a =2 时,/(x)=2(x-1)-(%+l)lnx,f(x)=2 (-+Z n x)=1-：-Inx,而/(e)=e-3,/(e)=-%第28页，共35页故切线方程是：y (e 3)=，(x e),即 y=：x+e 2；(2)若关于的不等式等。在(1,+8)上恒成立，则/(*)0在(1,+8)恒成立，即a 0,则九(%)在(1,+8)上单调递增，故似为九(1)=0,g(x)0,g(%)在(1,+8)单调递增,而 Utm (x+1lnx=%U-m IQ +2i+/n

45、 x)=2，x-1 K X 7故g(%)2,故Q的取值范围是(8,2.【解析】(1)代入Q的值，求出函数的导数，计算/(e),/(e)的值，求出切线方程即可;(2)问题转化为a 0,所以7n=:/+?因为G(3,yJ,Q(myy2-y1 y 2 y 1 o2+2,y2),所以直线QG的斜率为菽三=好五=2y，所以直线Q G 的方程为丁-%=2y i(x-3),所以直线Q G 过定点H(|,0).因为。M1QG,所以 OHM为直角三角形，取O H 的中点N 6,0),则|M N|=；|。*=：,即|M N|为定值.4 2 4综上，存在定点N,0)，使得|M N|为定值.【解析】(1)由题得

46、以 3 =一化简即可;X+V6 X V6 3(2)可设A x=m y+2,P ,y ,Q(x2,y2)联立方程可得力+丫 2=-刖？y，2=-诉，y-yi=2y i(x-3),可得直线Q G 过定点O M 1 QG,OH M为直角三角形，可得结论.本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.3 9.【答案】解：(l)p：4 2x 0,即 W 2；q：V 0，即 1 当p A q 为真命题时，有所以X 的取值范围是-1,2；(2)p：2x2-3%4-1 0,B P|%1；q：(%a)(x a 1)0,即aWxWa+l,因为 q 是 p 的充分不必

47、要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，则有弓,1 是 a,a+1 ,所以或。l l a +l l 2即实数a 的取值范围是 0、.【解析】(1)由己知求出命题p,q,然后根据命题的真假建立不等关系，即可求解；(2)先求出命题p,q,然后根据充分不必要条件对应的集合间的关系建立不等关系即可求解.本题考查了命题的真假，涉及到四个条件的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.4 0.【答案】(1)证明：依题意，由即+1 =3 厮+1，两边同时加上;，可得c i n+i +：=3 an+1 +：=3(an+),第30页，共35页二数列a+是首项为1，公比为3 的等比数列，(2)由(1),可知an

48、+=3nT,a7n1-3n-i -n&N *,2 bn+1-bn=an+=3n-1-1 +|=3f(n 1)则瓦=1,b 2 b =1,尻一瓦=3、.，bn bn_i=3n-2,(n 2)各项相加，可得%=1 +1 +3 1+3n-2=1 +上空=汇*1,n 1-3 2又.当九=1时，4=1 也满足上式，.b n3=n-14i-1(n N)【解析】(1)先对题干中的递推公式进行转化，两边同时加上也进一步计算即可发现数列斯+是首项为1，公比为3 的等比数列，从而证明结论成立；(2)先根据第(1)题的结果计算出数列包+的通项公式，以及数列斯的通项公式，然后计算出砥+i -砥=3 T,再根

49、据该递推公式运用累加法即可计算出数列,的通项公式.本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，考查了整体思想，转化与化归思想，累加法，等比数列的求和公式，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.4 1.【答案】解：(1)设动点P(x,y),则(2 y)J/+(y +i)2 =L化简可得：x2=4y,轨迹C 的方程为/=-4y.(2)当直线/斜率不存在时，其方程为=0,此时，I 与C 只有一个交点，不符合题意.当直线1 斜率存在时，设其方程为y =k%-2,由y kx 2 得/+8 =0,U=-4y令4 Q1，%)、8(%2，丫 2)，则%1 +%2 =-4 攵，x1x2=-8,=1 6 k2

50、4-3 2 0,:S&AO B=SM O M+SBO M，1 1:SAOB=|OM|X|%1|+-|OM|x x21=2 x 0 M x x j.x2=1 x 2 x 7(X1+x2)2-4%IX2=V16fc2+32-由已知，有6k2+32=4了,解之得k=l 或一 1,直线，的方程为：y=x-2或y=-x -2.【解析】(1)设动点P(x,y),理由已知条件列出方程求解即可.(2)当直线/斜率不存在时，其方程为 =0,验证即可.当直线I斜率存在时，设其方程为y=k x-2,由2=二：4 y2得产+4生(:-8=0,令4。1，%)、8(%2，丫 2)，结合韦达定理,以及S&AO B=S&AO

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