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1、2021-2022学年甘肃省庆阳市宁县高二（下）期末数学试卷（理科）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1 .下列命题的证明最适合用分析法的是（）A.若a 4,8,证明：Ina+Inb 5ln2B.证明：V7+2V2 V5+V1 0C.证明：V 2,后 U不可能成等比数列D.证明：sin2 a+cos2a s i n 2a y/22.下列各式正确的是（）A.（s i n，=co s：B.（C O ST）=s沅 C.（Z n x）/=D.（x+5）=53.已知函数f（%）的导函数f（%）=炉,a=f（log2）y b=/（2-4）c=/（一23,则（）A.b a c B.b c a
2、C.a b c D.a c 总5 N 2,n e N）的过程中，由7 i =k递推到n =k +l时，不等式左边增加了（）A -R I 2（k+1）2k+l 2k+2C -D -2k+l k+1 2fc+l 2k+26.已知复数z满足（i -l）z=1 +i,其中i是虚数单位，则W的虚部为（）A.-1 B.1 C.0 D.27.随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（）A.240 B.48 0 C.1 440 D.28 8 08.（；-2y）（2x-
3、y）s的展开式中/y4的系数为（）A.8 0B.24C.-1 2D.489.已知函数f(x)的导数(x)存在，且/(1)=2,则A.t。侬 少)-胆=()-2 AxA.-B.-C.1 D.12 21 0.已知随机变量f服从正态分布N(0,o 2),若P(f 2)=0.023,则P(-2 4 f W2)=()A.0.977 B.0.954 C.0.5 D.0.0231 1 .某机构对儿童的记忆能力指标 和识图能力指标y进行统计分析，得到1 =7,y=5.5,且求得线性回归方程为;=b x-0.1，若某儿童的记忆能力指标为I。，则估计他的识图能力指标为()A.7.8 B.7.9 C.8 D.8.1
4、1 2.已知函数f(x)=5 2-(1 四以一蜡有两个零点，则实数a 的取值范围为()A.(0,B.(0,e)C.(土+8)D.(e,+8)二、填空题(本大题共4 小题，共 20.0分)13 .已知函数f(x)=x2+2%ex-1,则函数f(x)在点(0)(0)处的切线方程为14.如图，点4(1,0),点C(3,9),函数/(x)=x 2,若在矩形4 B C D 内随机取一点，则 此 点 取 自 阴 影 部 分 的 概 率 等 于.15.运动会上甲、乙、丙、丁四人参加10 0 米比赛，A,B,C,。四位旁观者预测比赛结果，4 说：甲第三，乙第四；B 说：甲第二，丙第一；C 说：乙第二，丙第三；
5、。说：乙第三，丁第一.比赛结束后发现，四位旁观者每人预测的两句话中，有且只有一句是正确的，比赛结果没有并列名次，则甲是第 名.16.已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为三、解答题(本大题共6 小题，共 70.()分)第 2 页，共 14页17.已知i是虚数单位，复数z满足Zi2=a+i.(1)若|z|=2,求实数a的值；(2)若复数z?对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.18.如今大家对运动越来越重视，讨论也越来越多，时常听到有人说“有氧运动”和“无氧运动”，有氧运动主要的作用是健
6、身，而无氧运动主要的作用是塑形，一般的健身计划都是有氧运动配合无氧运动以达到强身健体的目的.某健身机构对其60位会员的健身运动进行了一次调查，统计发现有氧运动为主的有42人，30岁以下无氧运动为主的有12人，占30岁以下调查人数的|.(1)根据以上数据完成如下2 x 2列联表;有氧运动为主无氧运动为主总计30岁以下1230岁及以上总计4260(2)能否有99%的把握认为运动方式与年龄有关？o1附：P gfc)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：d-(a+A s+d),其中 a+b+c
7、+d19.已知数列 须 中，其前几项和为无,当nN 2时，an=Sn-2.3(I)计算S i，S2,S3,S4；(II)依据(I)的计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明.20.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 io棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：HI?)和材积量(单位：m3),得到如下数据：并计算得2 理 疗=0.038,鹉*=1.6158,2 昌项=0.2474.样本号i12345678910 总和根部横截面积判0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.060
8、.6材积量为0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.403.9(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.0 1)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为1 8 6 n l 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附：相 关 系 数 声 春 嬴 短 帚 际=1 3 7 7-2 1 .甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1
9、0 分，负方得0 分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.己知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X 表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.2 2 .已知函数/(%)=%(2 a)x2 ax2lnx(e=2.7 1 8 2 8)(1)当。=一机寸，证明函数/(%)有两个极值点；(2)当0 V Q41 时，函数g(x)=/(%)-b x2-b x 在(0,+8)上单调递减，证明：b 1+4-e3第4页，共14页答案和解析1.【答案】B【解析】解：选项A和。的证明最适合用综合法，选 项C的证明
10、最适合用反证法，选项B的证明最适合用分析法.故选：B.根据推理论证的特点即可判断.本题考查了推理论证的方法，属于基础题.2.【答案】C【解析】解：对于4 6也 今 =0,A错误：对于B,(c o sx)=si n x,8 错误；对于C,(，n x)=%C正确；对于D,(x +5)=l,。错误.故选：C.根据导数的公式即可得到结论.本题主要考查导数的基本运算，比较基础.3.【答案】A【解析】解：f(%)=则=/+以故/X x)为偶函数，又，(x)=%3 0在(0,+8)恒成立，故/(%)在(0,+8)恒增,iog2 3=一1。9并 E(一2,一i),2 6 (2-1,2。)，W2-4 e-2 5
11、 e (-3,-2)，/(2 5)f(log23)/(2-力，*c a b,故选：A.首先根据导函数得到f(x)解析式可知f(x)为偶函数，再利用导函数判断单调性比较大小即可.本题主要考查利用导函数研究函数单调性及函数奇偶性，属于中档题.4.【答案】C(V=x【解析】解：根据题意，匕一”3,解可得=1或。，则f(%)与9(%)的交点为(-1,一1)，(0,0),(1,1),则图像所围成的图形的面积S =/(%3 一 x)dx +-x3)dx =(-y)|-i +(y 9虚=3故选：C.根据题意，联立函数的解析式，求出交点的坐标，由定积分的计算公式计算可得答案.本题考查定积分的性质以及应用，注意
12、定积分的计算公式，属于基础题.5.【答案】D【解析】解：当n=k时，左 端=+2+-,+士,KrL K+N K TK那么当 n=k +1 时左端=.+-7 7 7 +,KvZ.K v 3 K K,Kr L Z K+Z故由k到k+1时不等式左端的变化是增加了力，三;两项，同时减少了白这一项,即 念+康 一3 1 =/一康故选：D.当n=k时，写出左端，并当n=k+l时，写出左端，两者比较，可得答案.本题考查数学归纳法，考查学生的推理能力，属于中档题.6.【答案】B【解析】解：由(i-l)z=l +i,得z=黑号=言言=雷=7，.，.z=i,贝i jz的虚部为1.故选：B.把已知等式变形，利用复数
13、代数形式的乘除运算化简，再由共朝复数的概念得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.7.【答案】B第 6 页，共 14页【解析】解：因为3个“冰墩墩”完全相同，将其中2个“冰墩墩”捆绑，记为元素a,另外1个“冰墩墩”记为元素b,先将甲、乙、丙、丁4位运动员全排列，然后将a、b元素插入这4位运动员所形成的空中且a、b元素不相邻，则不同的排法种数为北展=48 0.故选：B.将其中2个“冰墩墩”捆绑，记为元素a,另外1个“冰墩墩”记为元素b,将a、b元素插入这4位运动员所形成的空中，结合插空法可求得结果.本题考查排列组合及简单计数原理，属于基础题，插空法是关键.8.【答案
14、】A【解析】解：(-2 y)(2 x -y)5=i(2 x -y)5-2 y(2 x-y)5,二项式(2 x -y)5的通项为7；+i =CJ(2 x)5-r(_ y)r =Cr.2S-r .(一1)。5-，乙令r =3得，T4=C-22-(-l)3x2y3,.1.(|-2 y)(2 x -的展开式中 2丫4的系数为-x-22 (-1)3=8 0,故选：A.把已知多项式展开得-2 y)(2 x -y)5 =i(2 x-y)5-2 y(2 x-y)5,再利用二项式(2 x-y)5的通项求解即可.本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题.9.【答案】D【解析】解：因为(1)=2,所以o，S M
15、i)=一 三 咚0“1+-2AX 2 Ax故选：D.根据导数的定义及极限的运算即可求出答案.本题考查了导数的定义，极限的运算，考查了计算能力，属于基础题.1 0 .【答案】B【解析】解：随机变量f服从正态分布N(0,小),P(f 2)=P(f -2)=0.0 2 3,P(-2 2)-2)=1 -0.0 2 3-0.0 2 3=0.9 5 4.故选：B.根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.1 I.【答案】B【解析】解：由1 =7,y=5.5,且线性回归方程为;=bx_ 01，解得：b=史 罗=0.8-所以回归直线为：y =0.8 x-O.所以当
16、x=1 0 时，y =0,8 x 1 0 -0.1 =7.9-故 选:B.先求出回归方程，把x=1 0 代入即可求得.本题考查了线性回归方程的应用，属于基础题.1 2.【答案】D【解析】解：由f(%)=a x2 axlnx e”有两个零点，得a 7 axlnx ex=0 有两个根，BP a x(x /nx)=e”有两个根，令g(x)=x Inx,g(x)=1 ：=？1,当x e (0,1)时，/(%)0,:.g(x)g(l)=1 0,可得(%-Inx)0 在(0,+8)上恒成立，a=e 一有两根，x-xlnx令八(X)=则 h，(x)=叽：;)(丁产,x2-xlnx(x2-xlnx)2(x2-
17、xlnx)2由上可知无Inx 1,A%1 Inx 0,，当X 6 (0,1)时，九 (%)0,九(%)单调递增，h(x)的极小值为九(1)=：=e,又当 -0+时，九(%)T +8,当 T+8时，九(%)T +8,.函数/(%)=ax2-axlnx-e”有两个零点，则实数a 的取值范围为(e,+8).故选：D.问题转化为a =一 有两根，令八(%)=三 一，利用导数求其极小值，即可求得实数xz-xlnx、/x2-xlnxa 的取值范围.本题考查函数零点的判定及应用，考查化归与转化思想，训练了利用导数求极值，考查第 8 页，共 14页运算求解能力，属难题.1 3.【答案】2 x-y-l =0【解
18、析】解：由/（x）=/+2 xe，-1,得/（久）=2 x+2 e*+2 xe”,/（0）=2,又/（0）=-1,函数f（乃在点（0,f（0）处的切线方程为y =2x-l,即2%-y -1 =0.故答案为：2 x-y-l =0.求出原函数的导函数，得到函数在x=0时的导数值，再求出/（0）,利用直线方程的斜截式得答案.本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数,是基础题.1 4.【答案】葛【解析】解：阴影部分面积为J：（9 -）d x=（9%_ /流=（9x 3-i x 33）-（9 x1 1 4 281一h 1）=寸矩形ABCD的面积为（3-1）x9 =1
19、8,28所以在矩形4 BCD内随机取一点，此点取自阴影部分的概率等于工=1 1.18 27故答案为：号.用定积分计算阴影部分面积除以矩形ABCD的面积即得答案.本题考查定积分应用及导数运算，考查数学运算能力，属于基础题.1 5.【答案】二【解析】解：四位旁观者每人预测的两句话中，有且只有一句是正确的，所以假设4说：甲第三正确，乙第四错误；则B说：甲第二错误，丙第一正确；则C说：乙第二（正确），丙第三（错误）；则。说：乙第三（错误），丁第一（正确），与丙第一矛盾.所以假设4说：甲第三错误，乙第四正确；则C说：乙第二（错误），丙第三（正确）；则B说：甲第二正确，丙第一错误；则。说：乙第三（错误），
20、丁第一（正确），符合题意.故答案为：二.根据条件作假设分析可得结论.本题考查简单的合情推理，属中档题.16.【答案 噎【解析】解：由分步计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有45种不同的取法.恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为3,1,1或者2,2,1.三种号码分别出现3,1,1且6次时停止的取法由题第 萼 X I=240种，三种号码分别出现2,2,1且6次时停止的取法由用哭x l x l =360种，由分步加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有240+360=600种取法，所以恰好取6次卡片时停止的概率为P=笔
21、=$，4,512故答案为弟.恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且前6次出现第四种号码.分两类，三种号码出现的次数分别为3,1,1或者2,2,1.每类中可以分步完成，先确定三种号码卡片出现顺序为&种，再分别确定这三种号码卡片出现的位置(注意平均分组问题),最后让第四种号码卡片出现有一种方法，相乘可得，最后根据古典概型求概率即可.本题主要考查了概率的求法，计数原理等基础知识，考查了排列组合的应用，难点在于平均分组问题，属于难题.17.【答案】解：(1)由zi2=a+i,得 z=a+i,所以z=a i,因为a是实数，所以|z|=J(a)2+(1)2=Va2+1=2,所以a?3,解得a=V
22、5或a=y/3-(2)由(1)知2=-a -i,所以z?=a?-1+2ai,因为复数z2对应的点在第四象限，且a是实数，所以行工解得a T故实数a的取值范围是(一 8,-1).【解析】(1)由已知结合复数的四则运算及复数的模长公式可求;(2)由己知结合复数的四则运算及复数的几何意义可求.第 10页，共 14页本题主要考查了复数的四则运算，复数的模长公式及复数几何意义的应用，属于基础题.1 8.【答案】解：(1)2 x 2 列联表如下表所示:有氧运动为主无氧运动为主总计3 0 岁以下1 81 23 03 0 岁及以上2 463 0总计4 21 86 0(2)由题意，依=喋然建以 2.8 5 7
23、6.6 3 5,所以没有9 9%的把握认为运动方式与年龄有关.【解析】(1)根据已知条件，结合列联表之间的数据关系，即可求解.(2)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解.本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于基础题.1 9.【答案】解:(/)当n =l 时，S i =a 1=|,当7 1 2 2 时，an=n S n-i =Sn+2,二 S n =N-3S 2 2),n-1.c _ _ 3 s 1 _ 4 _ 1 _ 5,S 2 一 二;一 R S 3 一9一9 S 4 -()由(/)可猜想 S n=(n N*),证明：当n=l时，$1=|=言，猜想成立，假设n =f c(f c
24、 e N*)时猜想成立，即除=震 成立，11 k+2(f c+l)+l那么当n =k+1 时，S a 1=口 =3 =(女+1)+2,k+2即几=k+1.时,猜想成立，由可知，对任意正整数九，猜想结论均成立.【解析】(/)结合首项的值，以及a =Sn+*-2,即可依次求解.()猜想%=登|(n e N*),再结合数学归纳法，即可求解.本题主要考查数列的应用，考查数学归纳法的应用，属于中档题.20.【答案】解：（1）设这棵树木平均一棵的根部横截面积为x，平均一棵的材积量为y,则根据题中数据得：x=0.0 6,y=0.3 9；（2）由题可知-JZiOi（z.J）2 EiOi（y._-）2-J硝X”
25、马明*_.）-V0.002X0.09480.0134=吧134=0 970.01XV1.896 0.01377*（3）设从根部面积总和X,总材积量为匕 则9 故丫 =粤*186=1209（63）.Y y 0.06【解析】根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数，并估计该林区这种树木的总材积量的值即可.本题考查线性回归方程，属于中档题.21.【答案】解：（1）中学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：第一场比赛第二场比赛第三场比赛甲学校获胜概率0.50.40.8乙学校获胜概率0.50.60.2甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获
26、胜2场，甲学校3场全胜，概率为：?!=0.5 x 0.4 x 0.8=0.16,甲学校3场获胜2场败1场，概率为：P2=0.5 x 0,4 x 0.2+0.5 x 0,6 x 0.8+0.5 x0.4 x 0.8=0.44,所以甲学校获得冠军的概率为：P=P i+22=0.6；(2)乙学校的总得分X的可能取值为：0,10,20,3 0,其概率分别为：p(x =0)=0.5 x 0.4 x 0.8=0.16,P(X=10)=0 .5 x 0.4 x 0.2+0.5 x 0.6 x 0.8+0.5 x 0.4 x 0.8=0.44,P(X=20)=0.5 x 0.6 x 0.8+0.5 x 0.4
27、 x 0.2+0.5 x 0.6 x 0.2=0.34,P(X=30)=0.5 x 0.6 x 0.2=0.06,则x的分布列为：X0102030P0.160.440.340.06X的期望EX=0 x 0.16+10 x 0.44+20 x 0.34+30 x 0.06=13.【解析】根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出中学校获胜2场或者3场的概率,可以得到甲学校获得冠军的概率；乙学校的总得分X的值可取0,10,20,3 0,分别求第12页，共14页出X取上述值时的概率，可得分布列与数学期望.本题考查随机变量的分布列与数学期望的计算，难度不大.22.【答案】证明：f(x)的定义域为(0,+
28、8),当a=-T时，/(x)=x|%2+x2lnx,f(x)=1|x +1xlnx+=1 x+xlnx,令 F(x)=1 x+1 xlnx,尸(x)=|(/n x 1),V x e(0,e)时，F(x)0,F(x)单调递增，尸 *=尸 =l-ie O,F(i)=l-0,F(e2)=1 0.所以e(0,e),3X2 e +8)使F(%I)=F(x2)=0,此时工(0,%i)时，F(x)0,/(%)单调递增，%W(%1，%2)时，F(%)V 0,/(%)单调递减;x e(工 2，+8)时，F(x)0,/(%)单调递增，%2是函数/(%)的两个极值点.(2)证明：g(%)=x 一1(2-a)%2-a
29、 x2lnx-|/?x2-bx在(0,+8)上单调递减,g(%)=1%-axlnx bx b l-x-axlnxx+1恒成立.K 1.时，令G(x)=1 x axlnx,v 0 a 1,G(x)=-1 alnx a 0,l-x-axlnxx+1 0；0%V l时，Inx 0,v 0 a 1,/.ax xlnx,axlnx xlnx,1 x axlnx 0,l-x-axlnx v 1-x-xlnxx+1-x+1令 无(乃=三 守,e(0，l)，(x)-x-3-lnx(x+1)2令(p(x)=%3 Inx,(p(x)=-1 0,9(%)单调递减，)=1-=一*。，3x0 W (点，妥)使3(%o)-%。-3-lnx0=0,BP/n%0=-x0 3.%E(0,&)时，0,/i(x)0,九。)单调递增;x 6 Qo,1)时，0(x)0,(%)三 鬻 恒 成 立，构造函数,利用放缩法和分类讨论即可求解.本题考查导数的综合应用，极值点，不等式的证明，参数的取值范围，利用导数判断函数的单调性是基本操作，导函数符号对函数单调性的影响，以及零点存在性定理，适当的放缩，把双变量问题通过放缩变成单变量问题，属难题.第 14页，共 14页