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1、学习必备 欢迎下载 九年级下数学相似三角形经典习题 例 1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形 例 2 已知：如图，ABCD 中，2:1:EBAE，求AEF与CDF的周长的比，如果2cm6 AEFS，求CDFS 例 3 如图，已知ABDACE，求证：ABCADE 例 4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似（2）所有的等腰三角形都相似（3）所有的等腰直角三角形都相似（4）所有的等边三角形都相似 例 5 如图，D 点是ABC的边 AC 上的一点，过 D 点画线段 DE，使点 E 在ABC的边上，并且点 D、点 E 和ABC的一个顶点组成的小三角形与ABC相似尽可能
2、多地画出满足条件的图形，并说明线段 DE 的画法 例 6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约 30 米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约 12 个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约 60 厘米，求电线杆的高 例 7 如图，小明为了测量一高楼 MN 的高，在离 N 点 20m 的 A处放了一个平面镜，小明沿 NA后退到 C 点，正好从镜中看到楼顶 M 点，若5.1ACm，小明的眼睛离地面的高度为 1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到学习必备 欢迎下载 0.1m）例 8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由 例 9 根据下列各组条件，判定ABC和CB
3、A是否相似，并说明理由：（1）,cm4,cm5.2,cm5.3CABCAB cm28,cm5.17,cm5.24ACCBBA（2）35,44,104,35ACBA（3）48,3.1,5.1,48,6.2,3BCBBABBCAB 例 10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据 例 11 已知：如图，在ABC中，BDAACAB,36,是角平分线，试利用三角形相似的关系说明ACDCAD2 例 12 已知ABC的三边长分别为 5、12、13，与其相似的CBA的最大边长为 26，求CBA的面积 S 的周长的比如果求例如图已知求证例下列命题中哪些
4、是正确的哪些是错误的所有的直角三角形都相似所有的等腰三角形都相似所有的等腰直角三角形都相似所有的等边三角形都相似例如图点是的边上的一点过点画线段使点在的边上一支刻有厘米分画的小尺站在距电线杆约米的地方把手臂向前伸直小尺竖直看到尺上约个分画恰好遮住电线杆已知手臂长约厘米求电线杆的高例如图小明为了测量一高楼的高在离点的处放了一个平面镜小明沿退到点正好从镜中看到个三角形是否是相似三角形说明理由例根据下列各组条件判定和是否相似并说明理由例如图下列每个图形中存不存在相似的三角形如果存在把它们用字母表示出来并简要说明识别的根据例已知如图在中是角平分线试利用三角形相似学习必备 欢迎下载 例 13 在一次数学
5、活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法小芳的测量方法是：拿一根高 3.5 米的竹竿直立在离旗杆 27 米的 C 处（如图），然后沿 BC 方向走到 D 处，这时目测旗杆顶部 A 与竹竿顶部 E 恰好在同一直线上，又测得 C、D 两点的距离为 3 米，小芳的目高为 1.5 米，这样便可知道旗杆的高你认为这种测量方法是否可行？请说明理由 例 14 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使BCAB，然后再选点 E，使BCEC，确定 BC 与 AE 的交点为 D，测得120BD米，60DC米，50EC米，你能求
6、出两岸之间 AB的大致距离吗？例 15如图，为了求出海岛上的山峰 AB 的高度，在 D 和 F 处树立标杆 DC 和 FE，标杆的高都是 3 丈，相隔 1000 步（1 步等于 5 尺），并且 AB、CD 和 EF 在同一平面内，从标杆 DC 退后 123 步的 G 处，可看到山峰 A和标杆顶端 C 在一直线上，从标杆 FE 退后 127 步的 H 处，可看到山峰 A和标杆顶端 E 在一直线上求山峰的高度 AB及它和标杆 CD的水平距离 BD 各是多少？（古代问题）例 16 如图，已知ABC 的边 AB32，AC2，BC 边上的高 AD3（1）求 BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在 AB
7、上，另外两个顶点分别在 AC，BC 上，求这个正方形的面积 相似三角形经典习题答案 例1 解 、相似，、相似，、相似 例2 解 ABCD是平行四边形，CDABCDAB,/，AEFCDF，又2:1:EBAE，3:1:CDAE，AEF与CDF的周长的比是 1：3 的周长的比如果求例如图已知求证例下列命题中哪些是正确的哪些是错误的所有的直角三角形都相似所有的等腰三角形都相似所有的等腰直角三角形都相似所有的等边三角形都相似例如图点是的边上的一点过点画线段使点在的边上一支刻有厘米分画的小尺站在距电线杆约米的地方把手臂向前伸直小尺竖直看到尺上约个分画恰好遮住电线杆已知手臂长约厘米求电线杆的高例如图小明为了
8、测量一高楼的高在离点的处放了一个平面镜小明沿退到点正好从镜中看到个三角形是否是相似三角形说明理由例根据下列各组条件判定和是否相似并说明理由例如图下列每个图形中存不存在相似的三角形如果存在把它们用字母表示出来并简要说明识别的根据例已知如图在中是角平分线试利用三角形相似学习必备 欢迎下载 又)cm(6,)31(22AEFCDFAEFSSS，)cm(542 CDFS 例 3 分析 由于ABDACE，则CAEBAD，因此DAEBAC，如果再进一步证明AECAADBA，则问题得证 证明 ABDACE，CAEBAD 又DACBADBAC，CAEDACDAE，DAEBAC ABDACE，AEACADAB 在
9、ABC和ADE中，AEACADABADEBAC,，ABCADE 例 4分析（1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同（3）正确设有等腰直角三角形 ABC 和CBA，其中90CC，则45,45BBAA，设ABC的三边为 a、b、c，CBA的边为cba、，则acbaacba2,2,，aaccbbaa,，ABCCBA（4）也正确，如ABC与CBA都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABCCBA 答：（1）、（2）不正确（3）、（4）正确 例 5解：画法略 例 6分析 本题所叙述的内
10、容可以画出如下图那样的几何图形，即60DF厘米6.0米，12GF厘米12.0米，30CE米，求 BC由于ADFACAFECDFAEC,，又ACFABC，BCGFECDF，从而可以求出 BC 的长 解 ECDFECAE/,，EACDAFAECADF,，ADFAECACAFECDF 又ECBCECGF,，ABCAGFACBAFGBCGF,/，AGFABC，BCGFACAF，BCGFECDF 又60DF厘米6.0米，12GF厘米12.0米，30EC米，6BC米即电线杆的高为 6 米 例 7分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA与MNA的相似关系就明确了 解 因为MANBACANM
11、NCABC,，所以BCAMNA 所以ACANBCMN:，即5.1:206.1:MN所以3.215.1206.1MN（m）说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦 例 8分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的实际上格点无形中给图形增添了条件长度和角度 的周长的比如果求例如图已知求证例下列命题中哪些是正确的哪些是错误的所有的直角三角形都相似所有的等腰三角形都相似所有的等腰直角三角形都相似所有的等边三角形都相似例如图点是的边上的一点过点画线段使点在的边上一支刻有厘米分画的小尺站在距电线杆约米的地方把手臂向前伸直小尺竖直看到尺上约个分画恰好遮住电线杆已知
12、手臂长约厘米求电线杆的高例如图小明为了测量一高楼的高在离点的处放了一个平面镜小明沿退到点正好从镜中看到个三角形是否是相似三角形说明理由例根据下列各组条件判定和是否相似并说明理由例如图下列每个图形中存不存在相似的三角形如果存在把它们用字母表示出来并简要说明识别的根据例已知如图在中是角平分线试利用三角形相似学习必备 欢迎下载 解 在格点中BCABEFDE,，所以90BE，又4,2,2,1ABBCDEEF所以21BCEFABDE所以DEFABC 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏 例 9解 （1）因为7128cm4cm,7117.5cm2.5cm,7124.5cm3.5cmA
13、CCACBBCBAAB，所以ABCCBA；（2）因为41180BAC，两个三角形中只有AA，另外两个角都不相等，所以ABC与CBA不相似；（3）因为12,CBBCBAABBB，所以ABC相似于CBA 例 10解（1）ADEABC 两角相等；（2）ADEACB 两角相等；（3）CDECAB 两角相等；（4）EABECD 两边成比例夹角相等；（5）ABDACB两边成比例夹角相等；（6）ABDACB 两边成比例夹角相等 例 11分析 有一个角是 65的等腰三角形，它的底角是 72，而 BD 是底角的平分线，36CBD，则可推出ABCBCD，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系 证明 A
14、CABA,36，72CABC 又BD平分ABC，36CBDABD BCBDAD，且ABCBCD，BCCDABBC:，CDABBC2，CDACAD2 说明（1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边（2）要说明线段的乘积式cdab，或平方式bca 2，一般都是证明比例式，bdca，或caab，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式 例 12分析 由ABC的三边长可以判断出ABC为直角三角形，又因为ABCCBA，所以CBA也是直角三角形，那么由CBA的最大边长为 26，可以求出相似比，从而求出CBA的两条直角边长，
15、再求得CBA的面积 解 设ABC的三边依次为，13,12,5ABACBC，则222ACBCAB，90C 又ABCCBA，90CC 212613BAABCAACCBBC，又12,5 ACBC，24,10CACB 12010242121CBCAS 例 13分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高按这种测量方法，过 F作ABFG 于 G，交 CE 于 H，可知AGFEHF，且 GF、HF、EH 可求，这样可求得 AG，故旗杆 AB 可求 解 这种测量方法可行理由如下：设旗杆高xAB过 F 作ABFG 于 G，交 CE 于 H（如图）所以AGFEHF 因为3,303
16、27,5.1HFGFFD，所以5.1,25.15.3xAGEH 由AGFEHF，得HFGFEHAG，即33025.1x，所以205.1x，解得5.21x（米）所以旗杆的高为 21.5 米 说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行 例 14.解：90,ECDABCEDCADB，的周长的比如果求例如图已知求证例下列命题中哪些是正确的哪些是错误的所有的直角三角形都相似所有的等腰三角形都相似所有的等腰直角三角形都相似所有的等边三角形都相似例如图点是的边上的一点过点画线段使点在的边上一支刻有厘米分画的小尺站在距电线杆约米的地方把手臂向前伸直小尺竖直看到尺上约个分画恰好遮住电线杆已知手臂长约厘米求电线杆的
17、高例如图小明为了测量一高楼的高在离点的处放了一个平面镜小明沿退到点正好从镜中看到个三角形是否是相似三角形说明理由例根据下列各组条件判定和是否相似并说明理由例如图下列每个图形中存不存在相似的三角形如果存在把它们用字母表示出来并简要说明识别的根据例已知如图在中是角平分线试利用三角形相似学习必备 欢迎下载 ABDECD，1006050120,CDECBDABCDBDECAB（米），答：两岸间 AB 大致相距 100 米 例 15.答案：1506AB米，30750BD步，（注意：AKFEFHKEAKCDDGKC,）例 16.分析：要求 BC 的长，需画图来解，因 AB、AC 都大于高 AD，那么有两种
18、情况存在，即点 D 在 BC 上或点 D 在BC 的延长线上，所以求 BC 的长时要分两种情况讨论求正方形的面积，关键是求正方形的边长 解：（1）如上图，由 ADBC，由勾股定理得 BD3，DC1，所以 BCBDDC314 如下图，同理可求 BD3，DC1，所以 BCBDCD312 （2）如下图，由题目中的图知 BC4，且162)32(2222ACAB，162BC，222BCACAB 所以ABC 是直角三角形 由 AEGF 是正方形，设 GFx，则 FC2x，GFAB，ACFCABGF，即2232xx 33x，3612)33(2AEGFS正方形 如下图，当 BC2，AC2，ABC 是等腰三角形
19、，作 CPAB 于 P，AP321AB，在 RtAPC 中，由勾股定理得 CP1，GHAB，CGHCBA，xxx132，32132x121348156)32132(2GFEHS正方形 因此，正方形的面积为3612 或121348156 的周长的比如果求例如图已知求证例下列命题中哪些是正确的哪些是错误的所有的直角三角形都相似所有的等腰三角形都相似所有的等腰直角三角形都相似所有的等边三角形都相似例如图点是的边上的一点过点画线段使点在的边上一支刻有厘米分画的小尺站在距电线杆约米的地方把手臂向前伸直小尺竖直看到尺上约个分画恰好遮住电线杆已知手臂长约厘米求电线杆的高例如图小明为了测量一高楼的高在离点的处放了一个平面镜小明沿退到点正好从镜中看到个三角形是否是相似三角形说明理由例根据下列各组条件判定和是否相似并说明理由例如图下列每个图形中存不存在相似的三角形如果存在把它们用字母表示出来并简要说明识别的根据例已知如图在中是角平分线试利用三角形相似