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1、小学奥数专题高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：123499100？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于 5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：110029939849525051。1100 正好可以分成这样的 50 对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）10025050。小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都
2、相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：（1）1，2，3，4，5，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）8，15，22，29，36，71。其中（1）是首项为 1，末项为 100，公差为 1 的等差数列；（2）是首项为 1，末项为99，公差为 2 的等差数列；（3）是首项为 8，末项为 71，公差为 7 的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。在这一章要用到两个非
3、常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。通项公式：第 n 项=首项+（项数1）公差 项数公式：项数=（末项首项）公差1 和=（首项+末项）项数2。例 1、1231999？分析与解：这串加数 1，2，3，1999 是等差数列，首项是 1，末项是 1999，共有 1999个数。由等差数列求和公式可得 原式=（11999）199921999000。注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例 2、11121331？分析与解：这串加数 11，12，13，31 是等差数列，首项是 11，末项是 31，共有 31-11121（项）。原式=（11+31）212=441。在
4、利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）公差+1，末项=首项+公差（项数-1）。例 3、371199？分析与解：3，7，11，99 是公差为 4 的等差数列，项数=（993）4125，原式=（399）2521275。例 4、求首项是 25，公差是 3 的等差数列的前 40 项的和。解：末项=253（40-1）142，和=（25142）4023340。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。例 5、求等差数列 2，4，6，48，50 的和。【思路导航】这个数列是等差数
5、列，我们可以用公式计算。要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项首项）公差+1=（502）2+1=25 首项=2.末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）252=650.例 6、计算（2+4+6+100）（1+3+5+99）【思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把 1 100 这 100 个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有 50 个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到 50 个差，再求出所有差的和。（2+4+6+100）（1+3+5+99）
6、=（21）+（43）+（65）+（10099）=1+1+1+1 完题后全班同学都在埋头计算小高斯却很快算出答案等于高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现正好可以分成这样的对数每对数的和都相等于是小高斯把这道题巧算为小高斯使用的这种求和方法真是聪明极了简单为首项最后一项称为末项后项与前项之差都相等的数列称为等差数列后项与前项之差称为公差如其中是首项为末项为公差为的等差数列是首项为末项为公差为的等差数列是首项为末项为公差为的等差数列由高斯的巧算方法得到等差列中项的个数称为项数从第二项开始后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列后项与前项的差称为公差在这一章要用到两个非常重要的公式
7、通项公式和项数公式通项公式第项首项项数公差项数公式项数末项首项公差和首=50 小学奥数专题高斯求和专题练习 1、有这样一个数列：1.2.3.4，99，100。请求出这个数列所有项的和。2、求等差数列 2，4，6，48，50 的和。3、计算（2+4+6+100）（1+3+5+99）4、求首项是 25，公差是 3 的等差数列的前 40 项的和。5、100+99+98+61+60 完题后全班同学都在埋头计算小高斯却很快算出答案等于高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现正好可以分成这样的对数每对数的和都相等于是小高斯把这道题巧算为小高斯使用的这种求和方法真是聪明极了简单为首项最后一项称为末
8、项后项与前项之差都相等的数列称为等差数列后项与前项之差称为公差如其中是首项为末项为公差为的等差数列是首项为末项为公差为的等差数列是首项为末项为公差为的等差数列由高斯的巧算方法得到等差列中项的个数称为项数从第二项开始后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列后项与前项的差称为公差在这一章要用到两个非常重要的公式通项公式和项数公式通项公式第项首项项数公差项数公式项数末项首项公差和首 四年级奥数专题高斯求和练习题答案 1、有这样一个数列：1.2.3.4，99，100。请求出这个数列所有项的和。【思路导航】如果我们把 1.2.3.4，99，100 与列 100，99，相加，则得到（1+100）+（
9、2+99）+（3+98）+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是 101.一共有 100 个 101 相加，所得的和就是所求数列的和的 2 倍，再除以 2.就是所求数列的和。1+2+3+99+100=（1+100）1002=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）项数2 这个公式也叫做等差数列求和公式。2、求等差数列 2，4，6，48，50 的和。【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项首项）公差+1=（502）2+1=25 首项=2
10、.末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）252=650.3、计算（2+4+6+100）（1+3+5+99）【思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把 1 100 这 100 个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有 50 个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到 50 个差，再求出所有差的和。（2+4+6+100）（1+3+5+99）=（21）+（43）+（65）+（10099）=1+1+1+1=50 4、求首项是 25，公差是 3 的等差数列的前 40 项的
11、和。完题后全班同学都在埋头计算小高斯却很快算出答案等于高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现正好可以分成这样的对数每对数的和都相等于是小高斯把这道题巧算为小高斯使用的这种求和方法真是聪明极了简单为首项最后一项称为末项后项与前项之差都相等的数列称为等差数列后项与前项之差称为公差如其中是首项为末项为公差为的等差数列是首项为末项为公差为的等差数列是首项为末项为公差为的等差数列由高斯的巧算方法得到等差列中项的个数称为项数从第二项开始后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列后项与前项的差称为公差在这一章要用到两个非常重要的公式通项公式和项数公式通项公式第项首项项数公差项数公式项数末项首
12、项公差和首解：末项=253（40-1）142，和=（25142）4023340。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。完题后全班同学都在埋头计算小高斯却很快算出答案等于高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现正好可以分成这样的对数每对数的和都相等于是小高斯把这道题巧算为小高斯使用的这种求和方法真是聪明极了简单为首项最后一项称为末项后项与前项之差都相等的数列称为等差数列后项与前项之差称为公差如其中是首项为末项为公差为的等差数列是首项为末项为公差为的等差数列是首项为末项为公差为的等差数列由高斯的巧算方法得到等差列中项的个数称为项数从第二项开始后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列后项与前项的差称为公差在这一章要用到两个非常重要的公式通项公式和项数公式通项公式第项首项项数公差项数公式项数末项首项公差和首