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1、课后课时作业 A 组 基础达标练 1.如图，两座灯塔 A和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A在观察站南偏西 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B的()A北偏东 10 B北偏西 10 C南偏东 80 D南偏西 80 答案 D 解析 由条件及题图可知，A B40，又 BCD60，所以 CBD30，所以 DBA10，因此灯塔 A在灯塔 B 南偏西 80.2.2016 广州调研如图所示，长为3.5 m 的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端 A在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上，另一端 B 在离堤足 C 处2.8 m 的石堤上，石堤的倾斜角为 ，则坡度值 tan 等于
2、()A.2315 B.516 C.23116 D.115 答案 A 解析 由题意，可得在 ABC 中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m，且 ACB.由余弦定理，可得 AB2AC2BC22ACBCcos ACB，即 3.521.422.8221.42.8cos()，解得 cos 516，所以 sin 23116，所以 tan sincos2315.故选 A.3一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C
3、 两点间的距离是()灯塔在灯塔的北偏东北偏西南偏东南偏西答案解析由条件及题图可知又所以所以因此灯塔在灯塔南偏西广州调研如图所示长为的木棒斜靠在石堤旁木棒的一端在离堤足处的地面上另一端在离堤足处的石堤上石堤的倾斜角为则坡度值偏东的方向直线航行分钟后到达处在处有一座灯塔海轮在处观察灯塔其方向是南偏东在处观察灯塔其方向是北偏东那么两点间的距离是海里海里海里海里答案解析如图所示易知在中海里根据正弦定理得解得海里一个大型喷水池的中北偏东前进到达点在点测得水柱顶端的仰角为则水柱的高度是答案解析设水柱高度是水柱底端为则在中根据余弦定理得即即即故水柱的高度是泰安期中如图所示设两点在河的两岸一测量者在所在的同侧
4、河岸边选定一点测出的距离为A10 2海里 B10 3海里 C20 3海里 D20 2海里 答案 A 解析 如图所示，易知，在 ABC 中，AB20 海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得BCsin30ABsin45，解得 BC10 2(海里)4 一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A测得水柱顶端的仰角为 45，沿点 A向北偏东 30 前进 100 m 到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是()A50 m B100 m C120 m D150 m 答案 A 解析 设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在
5、 ABC 中，A60，ACh，AB100，BC 3h，根据余弦定理得，(3h)2h210022 h 100 cos60，即 h250h50000，即(h50)(h100)0，即 h50，故水柱的高度是 50 m.52015 泰安期中 灯塔在灯塔的北偏东北偏西南偏东南偏西答案解析由条件及题图可知又所以所以因此灯塔在灯塔南偏西广州调研如图所示长为的木棒斜靠在石堤旁木棒的一端在离堤足处的地面上另一端在离堤足处的石堤上石堤的倾斜角为则坡度值偏东的方向直线航行分钟后到达处在处有一座灯塔海轮在处观察灯塔其方向是南偏东在处观察灯塔其方向是北偏东那么两点间的距离是海里海里海里海里答案解析如图所示易知在中海里根
6、据正弦定理得解得海里一个大型喷水池的中北偏东前进到达点在点测得水柱顶端的仰角为则水柱的高度是答案解析设水柱高度是水柱底端为则在中根据余弦定理得即即即故水柱的高度是泰安期中如图所示设两点在河的两岸一测量者在所在的同侧河岸边选定一点测出的距离为如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 A，C 的距离为 50 m，ACB45，CAB105，则 A，B 两点的距离为()A50 3 m B50 2 m C25 2 m D.25 22 m 答案 B 解析 由正弦定理得ABsin ACBACsinB，又 B30，ABAC sin ACBsinB50221250
7、 2(m)6.如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为()灯塔在灯塔的北偏东北偏西南偏东南偏西答案解析由条件及题图可知又所以所以因此灯塔在灯塔南偏西广州调研如图所示长为的木棒斜靠在石堤旁木棒的一端在离堤足处的地面上另一端在离堤足处的石堤上石堤的倾斜角为则坡度值偏东的方向直线航行分钟后到达处在处有一座灯塔海轮在处观察灯塔其方向是南偏东在处观察灯塔其方向是北偏东那么两点间的距离是海里海里海里海里答案解析如图所示易
8、知在中海里根据正弦定理得解得海里一个大型喷水池的中北偏东前进到达点在点测得水柱顶端的仰角为则水柱的高度是答案解析设水柱高度是水柱底端为则在中根据余弦定理得即即即故水柱的高度是泰安期中如图所示设两点在河的两岸一测量者在所在的同侧河岸边选定一点测出的距离为 A8 km/h B6 2 km/h C2 34 km/h D10 km/h 答案 B 解析 设 AB 与河岸线所成的角为 ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知，sin 0.6135，从而 cos 45，所以由余弦定理得110v2110221221102145，解得 v6 2.选 B.72016 湖南师大附中月考如图所示，测量河对岸的塔
9、高 AB时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点 C 测得塔顶 A的仰角为 60，则塔高 AB()灯塔在灯塔的北偏东北偏西南偏东南偏西答案解析由条件及题图可知又所以所以因此灯塔在灯塔南偏西广州调研如图所示长为的木棒斜靠在石堤旁木棒的一端在离堤足处的地面上另一端在离堤足处的石堤上石堤的倾斜角为则坡度值偏东的方向直线航行分钟后到达处在处有一座灯塔海轮在处观察灯塔其方向是南偏东在处观察灯塔其方向是北偏东那么两点间的距离是海里海里海里海里答案解析如图所示易知在中海里根据正弦定理得解得海里一个大型喷水池的中北偏东前进到达点在点测得水柱顶端的仰
10、角为则水柱的高度是答案解析设水柱高度是水柱底端为则在中根据余弦定理得即即即故水柱的高度是泰安期中如图所示设两点在河的两岸一测量者在所在的同侧河岸边选定一点测出的距离为 A5 6 B15 3 C5 2 D15 6 答案 D 解析 在 BCD 中，CBD180 15 30 135.由正弦定理得BCsin3030sin135，所以 BC15 2.在 Rt ABC 中，ABBCtan ACB15 2 315 6.故选 D.8 2014 四川高考如图，从气球 A上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC等于()灯塔在灯塔的北偏东北偏西南偏东南
11、偏西答案解析由条件及题图可知又所以所以因此灯塔在灯塔南偏西广州调研如图所示长为的木棒斜靠在石堤旁木棒的一端在离堤足处的地面上另一端在离堤足处的石堤上石堤的倾斜角为则坡度值偏东的方向直线航行分钟后到达处在处有一座灯塔海轮在处观察灯塔其方向是南偏东在处观察灯塔其方向是北偏东那么两点间的距离是海里海里海里海里答案解析如图所示易知在中海里根据正弦定理得解得海里一个大型喷水池的中北偏东前进到达点在点测得水柱顶端的仰角为则水柱的高度是答案解析设水柱高度是水柱底端为则在中根据余弦定理得即即即故水柱的高度是泰安期中如图所示设两点在河的两岸一测量者在所在的同侧河岸边选定一点测出的距离为A240(31)m B18
12、0(21)m C120(31)m D30(31)m 答案 C 解析 tan15 tan(60 45)tan60 tan451tan60 tan452 3，BC60tan60 60tan15 120(31)(m)，故选 C.92016 大连联考 如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，测得点 A的仰角为 60，再由点 C 沿北偏东 15方向走 10 米到位置 D，测得BDC45，则塔 AB的高是_ 答案 10 6 解析 在 BCD 中，CD10，BDC45，BCD15 90 105，DBC30，BCsin45CDsin30，BCCDsin45si
13、n3010 2.在 Rt ABC 中 tan60 ABBC，ABBCtan60 10 6.10.如图所示，一艘海轮从 A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15 方向，与海轮相距 20 海里的 B 处，海轮按北偏西 60 的方向航行了 30 分钟后到达 C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东 75 的方向，则海灯塔在灯塔的北偏东北偏西南偏东南偏西答案解析由条件及题图可知又所以所以因此灯塔在灯塔南偏西广州调研如图所示长为的木棒斜靠在石堤旁木棒的一端在离堤足处的地面上另一端在离堤足处的石堤上石堤的倾斜角为则坡度值偏东的方向直线航行分钟后到达处在处有一座灯塔海轮在处观察灯塔其方向是南偏东在处观察灯塔其方向是北
14、偏东那么两点间的距离是海里海里海里海里答案解析如图所示易知在中海里根据正弦定理得解得海里一个大型喷水池的中北偏东前进到达点在点测得水柱顶端的仰角为则水柱的高度是答案解析设水柱高度是水柱底端为则在中根据余弦定理得即即即故水柱的高度是泰安期中如图所示设两点在河的两岸一测量者在所在的同侧河岸边选定一点测出的距离为轮的速度为_海里/分钟 答案 63 解析 由已知得 ACB45，B60，由正弦定理得ACsinBABsin ACB，所以 ACAB sinBsin ACB20sin60sin4510 6，所以海轮航行的速度为10 63063(海里/分钟)11.已知岛 A 南偏西 38 方向，距岛 A 3 海
15、里的 B 处有一艘缉私艇岛 A 处的一艘走私船正以 10 海里/时的速度向岛北偏西 22 方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用 0.5 小时能截住该走私船？参考数据：sin38 5 314，sin22 3 314 灯塔在灯塔的北偏东北偏西南偏东南偏西答案解析由条件及题图可知又所以所以因此灯塔在灯塔南偏西广州调研如图所示长为的木棒斜靠在石堤旁木棒的一端在离堤足处的地面上另一端在离堤足处的石堤上石堤的倾斜角为则坡度值偏东的方向直线航行分钟后到达处在处有一座灯塔海轮在处观察灯塔其方向是南偏东在处观察灯塔其方向是北偏东那么两点间的距离是海里海里海里海里答案解析如图所示易知在中海里根据正弦定
16、理得解得海里一个大型喷水池的中北偏东前进到达点在点测得水柱顶端的仰角为则水柱的高度是答案解析设水柱高度是水柱底端为则在中根据余弦定理得即即即故水柱的高度是泰安期中如图所示设两点在河的两岸一测量者在所在的同侧河岸边选定一点测出的距离为 解 如图，设缉私艇在 C 处截住走私船，D 为岛 A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时 x 海里，则 BC0.5x，AC5 海里，依题意，BAC180 38 22 120，由余弦定理可得 BC2AB2AC22AB ACcos120，所以 BC249，BC0.5x7，解得 x14.又由正弦定理得 sin ABCAC sin BACBC53275 314，所以 AB
17、C38，又 BAD38，所以 BC AD，故缉私艇以每灯塔在灯塔的北偏东北偏西南偏东南偏西答案解析由条件及题图可知又所以所以因此灯塔在灯塔南偏西广州调研如图所示长为的木棒斜靠在石堤旁木棒的一端在离堤足处的地面上另一端在离堤足处的石堤上石堤的倾斜角为则坡度值偏东的方向直线航行分钟后到达处在处有一座灯塔海轮在处观察灯塔其方向是南偏东在处观察灯塔其方向是北偏东那么两点间的距离是海里海里海里海里答案解析如图所示易知在中海里根据正弦定理得解得海里一个大型喷水池的中北偏东前进到达点在点测得水柱顶端的仰角为则水柱的高度是答案解析设水柱高度是水柱底端为则在中根据余弦定理得即即即故水柱的高度是泰安期中如图所示设
18、两点在河的两岸一测量者在所在的同侧河岸边选定一点测出的距离为小时 14 海里的速度向正北方向行驶，恰好用 0.5 小时截住该走私船 12某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45，距离为 10 n mile 的 C 处，并测得渔轮正沿方位角为 105 的方向，以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间 解 如图所示，根据题意可知 AC10，ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h，并在 B 处与渔轮相遇，则 AB21t，BC9t，在 ABC
19、中，根据余弦定理得 AB2AC2BC22AC BC cos120，所以 212t210281t22109t12，即 360t290t1000，解得 t23或 t512(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h.此时 AB14，BC6.在 ABC 中，根据正弦定理，灯塔在灯塔的北偏东北偏西南偏东南偏西答案解析由条件及题图可知又所以所以因此灯塔在灯塔南偏西广州调研如图所示长为的木棒斜靠在石堤旁木棒的一端在离堤足处的地面上另一端在离堤足处的石堤上石堤的倾斜角为则坡度值偏东的方向直线航行分钟后到达处在处有一座灯塔海轮在处观察灯塔其方向是南偏东在处观察灯塔其方向是北偏东那么两点间的距离是海里海里海里海
20、里答案解析如图所示易知在中海里根据正弦定理得解得海里一个大型喷水池的中北偏东前进到达点在点测得水柱顶端的仰角为则水柱的高度是答案解析设水柱高度是水柱底端为则在中根据余弦定理得即即即故水柱的高度是泰安期中如图所示设两点在河的两岸一测量者在所在的同侧河岸边选定一点测出的距离为得BCsin CABABsin120，所以 sin CAB632143 314.即 CAB21.8 或 CAB158.2(舍去)，即舰艇航行的方位角为 45 21.8 66.8.所以舰艇以 66.8 的方位角航行，需23 h 才能靠近渔轮 B 组 能力提升练 12016 陕西五校联考已知ABC 外接圆 O 的半径为 1，且OA
21、 OB12.从圆 O 内随机取一点 M，若点 M 取自ABC 内的概率恰为3 34，则ABC 的形状为()A直角三角形 B等边三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 答案 B 解析 由题意得OA OB11cos AOB12，则 cos AOB12，AOB23，C3.则12CA CB sin3 123 34.所以 CA CB3.在 AOB 中，由于 OAOB1，AOB120，所以 AB 3.由余弦定理得 AB2CA2CB22CA CBcos3，灯塔在灯塔的北偏东北偏西南偏东南偏西答案解析由条件及题图可知又所以所以因此灯塔在灯塔南偏西广州调研如图所示长为的木棒斜靠在石堤旁木棒的一端在离堤足处的地面
22、上另一端在离堤足处的石堤上石堤的倾斜角为则坡度值偏东的方向直线航行分钟后到达处在处有一座灯塔海轮在处观察灯塔其方向是南偏东在处观察灯塔其方向是北偏东那么两点间的距离是海里海里海里海里答案解析如图所示易知在中海里根据正弦定理得解得海里一个大型喷水池的中北偏东前进到达点在点测得水柱顶端的仰角为则水柱的高度是答案解析设水柱高度是水柱底端为则在中根据余弦定理得即即即故水柱的高度是泰安期中如图所示设两点在河的两岸一测量者在所在的同侧河岸边选定一点测出的距离为即 CA2CB26，所以 CACB 3，ABC 的形状为等边三角形故选 B.2.要测量对岸 A，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的 C，D两
23、点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，则 A，B 之间的距离为_ km.答案 5 解析 如题图所示，在 ACD 中，ACD120，CAD ADC30，ACCD 3(km)在 BCD 中，BCD45，BDC75，CBD60.BC3sin75sin606 22.在 ABC 中，由余弦定理，得 AB2(3)26 2222 36 22cos75 32 3 35，AB 5(km)，A，B 之间的距离为 5 km.灯塔在灯塔的北偏东北偏西南偏东南偏西答案解析由条件及题图可知又所以所以因此灯塔在灯塔南偏西广州调研如图所示长为的木棒斜靠在石堤旁木棒的一端在离堤足处的地面上另一端在离堤足处的
24、石堤上石堤的倾斜角为则坡度值偏东的方向直线航行分钟后到达处在处有一座灯塔海轮在处观察灯塔其方向是南偏东在处观察灯塔其方向是北偏东那么两点间的距离是海里海里海里海里答案解析如图所示易知在中海里根据正弦定理得解得海里一个大型喷水池的中北偏东前进到达点在点测得水柱顶端的仰角为则水柱的高度是答案解析设水柱高度是水柱底端为则在中根据余弦定理得即即即故水柱的高度是泰安期中如图所示设两点在河的两岸一测量者在所在的同侧河岸边选定一点测出的距离为32014 浙江高考如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A处进行射击训练 已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面上的射线 CM移动，此人为
25、了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角 的大小若 AB15 m，AC25 m，BCM30，则 tan 的最大值是_(仰角 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)答案 5 39 解析 如图，过点 P 作 PDBC，垂足为 D.平面MCB平面 ABC，且平面 MCB平面 ABCBC，灯塔在灯塔的北偏东北偏西南偏东南偏西答案解析由条件及题图可知又所以所以因此灯塔在灯塔南偏西广州调研如图所示长为的木棒斜靠在石堤旁木棒的一端在离堤足处的地面上另一端在离堤足处的石堤上石堤的倾斜角为则坡度值偏东的方向直线航行分钟后到达处在处有一座灯塔海轮在处观察灯塔其方向是南偏东在处观察灯塔其方向是北偏东
26、那么两点间的距离是海里海里海里海里答案解析如图所示易知在中海里根据正弦定理得解得海里一个大型喷水池的中北偏东前进到达点在点测得水柱顶端的仰角为则水柱的高度是答案解析设水柱高度是水柱底端为则在中根据余弦定理得即即即故水柱的高度是泰安期中如图所示设两点在河的两岸一测量者在所在的同侧河岸边选定一点测出的距离为 PD平面 ABC.连接 AD，PAD 为由点 A观察点 P 的仰角 .设 CDx，BCM30，PD33x.在 Rt ABC 中，AB15，AC25，sin ACB152535，cos ACB45.由余弦定理得 ADx22522x 25cos ACB x240 x625.tan 33xx240
27、x62533140 x625x2 3325x452925，当25x450，即 x1254时，tan 最大，最大值为5 39.4.如图，在海岸 A处，发现北偏东 45 方向距 A为(31)海里的B 处有一艘走私船，在 A处北偏西 75 方向，距 A为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私船 此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30 方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：62.449)灯塔在灯塔的北偏东北偏西南偏东南偏西答案解析由条件及题图可知又所以所以因此灯塔在灯塔南偏西广州调研如图所示长为的木棒斜靠在石堤旁木棒的一
28、端在离堤足处的地面上另一端在离堤足处的石堤上石堤的倾斜角为则坡度值偏东的方向直线航行分钟后到达处在处有一座灯塔海轮在处观察灯塔其方向是南偏东在处观察灯塔其方向是北偏东那么两点间的距离是海里海里海里海里答案解析如图所示易知在中海里根据正弦定理得解得海里一个大型喷水池的中北偏东前进到达点在点测得水柱顶端的仰角为则水柱的高度是答案解析设水柱高度是水柱底端为则在中根据余弦定理得即即即故水柱的高度是泰安期中如图所示设两点在河的两岸一测量者在所在的同侧河岸边选定一点测出的距离为 解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船，则有 CD10 3t(海里)，BD10t(海里)在
29、 ABC 中，AB(31)海里，AC2 海里，BAC45 75120，根据余弦定理，可得 BC312222231 cos120 6(海里)根据正弦定理，可得 sin ABCACsin120BC232622.ABC45，易知 CB 方向与正北方向垂直，从而 CBD90 30 120.在 BCD 中，根据正弦定理，可得 sin BCDBDsin CBDCD10t sin12010 3t12，BCD30，BDC30，BDBC 6(海里)，灯塔在灯塔的北偏东北偏西南偏东南偏西答案解析由条件及题图可知又所以所以因此灯塔在灯塔南偏西广州调研如图所示长为的木棒斜靠在石堤旁木棒的一端在离堤足处的地面上另一端在
30、离堤足处的石堤上石堤的倾斜角为则坡度值偏东的方向直线航行分钟后到达处在处有一座灯塔海轮在处观察灯塔其方向是南偏东在处观察灯塔其方向是北偏东那么两点间的距离是海里海里海里海里答案解析如图所示易知在中海里根据正弦定理得解得海里一个大型喷水池的中北偏东前进到达点在点测得水柱顶端的仰角为则水柱的高度是答案解析设水柱高度是水柱底端为则在中根据余弦定理得即即即故水柱的高度是泰安期中如图所示设两点在河的两岸一测量者在所在的同侧河岸边选定一点测出的距离为则有 10t 6，t6100.245 小时14.7 分钟 故缉私船沿北偏东 60 方向，需 14.7 分钟才能追上走私船 灯塔在灯塔的北偏东北偏西南偏东南偏西答案解析由条件及题图可知又所以所以因此灯塔在灯塔南偏西广州调研如图所示长为的木棒斜靠在石堤旁木棒的一端在离堤足处的地面上另一端在离堤足处的石堤上石堤的倾斜角为则坡度值偏东的方向直线航行分钟后到达处在处有一座灯塔海轮在处观察灯塔其方向是南偏东在处观察灯塔其方向是北偏东那么两点间的距离是海里海里海里海里答案解析如图所示易知在中海里根据正弦定理得解得海里一个大型喷水池的中北偏东前进到达点在点测得水柱顶端的仰角为则水柱的高度是答案解析设水柱高度是水柱底端为则在中根据余弦定理得即即即故水柱的高度是泰安期中如图所示设两点在河的两岸一测量者在所在的同侧河岸边选定一点测出的距离为