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1、数学必修一复习提纲 第一章 集合及其运算 一集合的概念、分类：二集合的特征：确定性 无序性 互异性 三表示方法：列举法 描述法 图示法 区间法 四两种关系：从属关系：对象、集合；包含关系：集合、集合 五三种运算：交集：|ABx xAxBI且 并集：|ABx xAxBU或 补集：UA|Ux xxA且 六运算性质：AUA，AI 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集 若BA，则AB IA，AB UB UAA I（），UAA U（）U，UUA（）痧A UUAB I（）（）痧UABU（），UUAB U（）（）痧UABI（）集合123,na aaa的所有子集的个数为2n，所有真子集的个数为21n，
2、所有非空真子集的个数为22n，所有二元子集（含有两个元素的子集）的个数为2nC 第二章 函数 指数与对数运算 一分数指数幂与根式：如果nxa，则称x是a的n次方根，0的n次方根为 0，若0a，则当n为奇数时，a的n次方根有 1个，记做na；当n为偶数时，负数没有n次方根，正数a的n次方根有 2 个，其中正的n次方根记做na 负的n次方根记做na 1负数没有偶次方根；2两个关系式：()nnaa；|nnanaan为奇数为偶数 3、正数的正分数指数幂的意义：mnmnaa；正数的负分数指数幂的意义：1mnnmaa 4、分数指数幂的运算性质：mnm naaa；mnm naaa；()mnmnaa；()mm
3、ma bab；01a，其中m、n均为有理数，a，b均为正整数 二对数及其运算 1定义：若baN(0a，且1a，0)N，则logabN 2两个对数：常用对数：10a，10loglgbNN；自然对数：2.71828ae，loglnebNN 3三条性质：1 的对数是 0，即log 10a；底数的对数是 1，即log1aa；负数和零没有对数 4四条运算法则：log()loglogaaaMNMN；logloglogaaaMMNN；loglognaaMnM；1loglognaaMMn 5其他运算性质：对数恒等式：logabab；换底公式：logloglogcacabb；logloglogababcc；lo
4、glog1abba；loglogmnaanbbm 函数的概念 一映射：设 A、B 两个集合，如果按照某中对应法则f，对于集合 A 中的任意一个元素，在集合 B 中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合 A 到集合 B 的映射 二函数：在某种变化过程中的两个变量x、y，对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则称y是x的函数，记做()yf x，其中x称为自变量，x变化的范围叫做函数的定义域，和x对应的y的值叫做函数值，函数值y的变化范围叫做函数的值域 三函数()yf x是由非空数集A到非空数集 B 的映射 四函数的三要素：解析式；定义域；值域
5、 函数的解析式 一根据对应法则的意义求函数的解析式；描述法图示法区间法四两种关系从属关系对象集合包含关系集合五三种运算集合交集并集且或补集且六运算性质空集是任意集合的子集是任意非空集合的真子集若则痧痧痧集合的所有子集的个数为所有真子集的个数为所有非空真子是的次方根的次方根为若则当为奇数时的次方根有个记做当为偶数时负数没有次方根正数的次方根有个其中正的次方根记做负的次方根记做负数没有偶次方根两个关系式为奇数为偶数正数的正分数指数幂的意义正数的负分数指数幂三条性质的对数是即底数的对数是即负数和零没有对数四条运算法则其他运算性质对数恒等式换底公式函数的概念一映射设两个集合如果按照某中对应法则对于集合
6、中的任意一个元素在集合中都有唯一的一个元素与之对应这样的对例如：已知xxxf2)1(，求函数)(xf的解析式 二已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：已知()f x是一次函数，且()43f f xx，函数)(xf的解析式 三由函数)(xf的图像受制约的条件，进而求)(xf的解析式 函数的定义域 一根据给出函数的解析式求定义域：整式：xR 分式：分母不等于 0 偶次根式：被开方数大于或等于 0 含 0 次幂、负指数幂：底数不等于 0 对数：底数大于 0，且不等于 1，真数大于 0 二根据对应法则的意义求函数的定义域：例如：已知()yf x定义域为 5,2，求(32)yfx定义域；已知(
7、32)yfx定义域为 5,2，求()yf x定义域；三实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域 函数的值域 一基本函数的值域问题：名称 解析式 值域 一次函数 ykxb R 二次函数 2yaxbxc 0a 时，24,)4acba 0a 时，24(,4acba 反比例函数 kyx|y yR，且0y 指数函数 xya|0y y 对数函数 logayx R 三角函数 sinyx cosyx|11yy tanyx R 二求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常
8、数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等 反函数 一反函数：设函数()yf x()xA的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到()xy若对于C中的每一y值，通过()xy，都有唯一的一个x与之对应，那么，()xy就描述法图示法区间法四两种关系从属关系对象集合包含关系集合五三种运算集合交集并集且或补集且六运算性质空集是任意集合的子集是任意非空集合的真子集若则痧痧痧集合的所有子集的个数为所有真子集的个数为所有非空真子是的次方根的次方根为若则当为奇数时的次方根有个记做当为偶数时负数没有次方根正数的次方根有个其中正的次方根记做负的次方根记做负数没
9、有偶次方根两个关系式为奇数为偶数正数的正分数指数幂的意义正数的负分数指数幂三条性质的对数是即底数的对数是即负数和零没有对数四条运算法则其他运算性质对数恒等式换底公式函数的概念一映射设两个集合如果按照某中对应法则对于集合中的任意一个元素在集合中都有唯一的一个元素与之对应这样的对表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数()xy()yC叫做函数()yf x()xA的反函数，记作1()xfy,习惯上改写成1()yfx 二函数()f x存在反函数的条件是：x、y一一对应 三求函数()f x的反函数的方法：求原函数的值域，即反函数的定义域 反解，用y表示x，得1()xfy 交换x、y，得1()yfx
10、 结论，表明定义域 四函数()yf x与其反函数1()yfx的关系：函数()yf x与1()yfx的定义域与值域互换 若()yf x图像上存在点(,)a b，则1()yfx的图像上必有点(,)b a，即若()f ab，则1()fba 函数()yf x与1()yfx的图像关于直线yx对称 函数的奇偶性：一定义：对于函数()f x定义域中的任意一个x，如果满足()()fxf x ，则称函数()f x为奇函数；如果满足()()fxf x，则称函数()f x为偶函数 二判断函数()f x奇偶性的步骤：1判断函数()f x的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；2验证()f x与()
11、fx的关系，若满足()()fxf x ，则为奇函数，若满足()()fxf x，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数 二奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称 三已知()f x、()g x分别是定义在区间M、N()MN I上的奇（偶）函数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性()f x()g x()f x 1()f x()()f xg x()()f xg x()()f xg x 奇 奇 奇 奇 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 偶 偶 偶 偶 偶 五若奇函数()f x的定义域包含0，则(0)0f 描述法图示法区间法四两种关系从属关系对象集合包含关系集合五三种运算集合交集并集且
12、或补集且六运算性质空集是任意集合的子集是任意非空集合的真子集若则痧痧痧集合的所有子集的个数为所有真子集的个数为所有非空真子是的次方根的次方根为若则当为奇数时的次方根有个记做当为偶数时负数没有次方根正数的次方根有个其中正的次方根记做负的次方根记做负数没有偶次方根两个关系式为奇数为偶数正数的正分数指数幂的意义正数的负分数指数幂三条性质的对数是即底数的对数是即负数和零没有对数四条运算法则其他运算性质对数恒等式换底公式函数的概念一映射设两个集合如果按照某中对应法则对于集合中的任意一个元素在集合中都有唯一的一个元素与之对应这样的对六一次函数ykxb(0)k 是奇函数的充要条件是0b；二次函数2yaxbx
13、c(0)a 是偶函数的充要条件是0b 函数的周期性：一定义：对于函数)(xf，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有()()f xTf x，则)(xf为周期函数，T为这个函数的一个周期 2如果函数)(xf所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(xf的最小正周期如果函数()f x的最小正周期为T，则函数()f ax的最小正周期为|Ta 函数的单调性 一定义：一般的，对于给定区间上的函数()f x，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值1x，2x，当12xx时满足：12()()f xf x，则称函数()f x在该区间上是增函数；12()()f xf x，则
14、称函数()f x在该区间上是减函数 二判断函数单调性的常用方法：1定义法：取值；作差、变形；判断：定论：*2导数法：求函数 f(x)的导数()fx；解不等式()0fx，所得 x 的范围就是递增区间；解不等式()0fx，所得 x 的范围就是递减区间 3复合函数的单调性：对于复合函数()yf g x，设()ug x，则()yf u，可根据它们的单调性确定复合函数()yf g x，具体判断如下表：()yf u 增 增 减 减()ug x 增 减 增 减 ()yf g x 增 减 减 增 4奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同 函数的图像 一基本函数的图像 二图像变换：()y
15、f x ()yf xk 描述法图示法区间法四两种关系从属关系对象集合包含关系集合五三种运算集合交集并集且或补集且六运算性质空集是任意集合的子集是任意非空集合的真子集若则痧痧痧集合的所有子集的个数为所有真子集的个数为所有非空真子是的次方根的次方根为若则当为奇数时的次方根有个记做当为偶数时负数没有次方根正数的次方根有个其中正的次方根记做负的次方根记做负数没有偶次方根两个关系式为奇数为偶数正数的正分数指数幂的意义正数的负分数指数幂三条性质的对数是即底数的对数是即负数和零没有对数四条运算法则其他运算性质对数恒等式换底公式函数的概念一映射设两个集合如果按照某中对应法则对于集合中的任意一个元素在集合中都有
16、唯一的一个元素与之对应这样的对将()yf x图像上每一点向上(0)k 或向下(0)k 平移|k个单位，可得()yf xk的图像()yf x ()yf xh 将()yf x图像上每一点向左(0)h 或向右(0)h 平移|h个单位，可得()yf xh的图像()yf x ()yaf x 将()yf x图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸(1)a 或压缩(01)a 为原来的a倍，可得()yaf x的图像()yf x ()yf ax 将()yf x图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩(1)a 或拉伸(01)a 为原来的1a，可得()yf ax的图像()yf x ()yfx 关于y轴对称()yf
17、 x ()yf x 关于x轴对称()yf x (|)yfx 将()yf x位于y轴左侧的图像去掉，再将y轴右侧的图像沿y轴对称到左侧，可得(|)yfx的图像()yf x|()|yf x 将()yf x位于x轴下方的部分沿x轴对称到上方，可得y|()|f x的图像 三函数图像自身的对称 关系 图像特征()()f xfx 关于y轴对称()()f xfx 关于原点对称 描述法图示法区间法四两种关系从属关系对象集合包含关系集合五三种运算集合交集并集且或补集且六运算性质空集是任意集合的子集是任意非空集合的真子集若则痧痧痧集合的所有子集的个数为所有真子集的个数为所有非空真子是的次方根的次方根为若则当为奇数
18、时的次方根有个记做当为偶数时负数没有次方根正数的次方根有个其中正的次方根记做负的次方根记做负数没有偶次方根两个关系式为奇数为偶数正数的正分数指数幂的意义正数的负分数指数幂三条性质的对数是即底数的对数是即负数和零没有对数四条运算法则其他运算性质对数恒等式换底公式函数的概念一映射设两个集合如果按照某中对应法则对于集合中的任意一个元素在集合中都有唯一的一个元素与之对应这样的对()()f axf xa 关于y轴对称()()f axf ax 关于直线xa对称()()f xf ax 关于直线2ax 轴对称()()f axf bx 关于直线2abx对称()()f xf xa 周期函数，周期为a 四两个函数图
19、像的对称 关系 图像特征()yf x与()yfx 关于y轴对称()yf x与()yf x 关于x轴对称()yf x与()yfx 关于原点对称()yf x与1()yfx 关于直线yx对称()yf xa与()yf ax 关于直线xa对称()yf ax与()f ax 关于y轴对称 描述法图示法区间法四两种关系从属关系对象集合包含关系集合五三种运算集合交集并集且或补集且六运算性质空集是任意集合的子集是任意非空集合的真子集若则痧痧痧集合的所有子集的个数为所有真子集的个数为所有非空真子是的次方根的次方根为若则当为奇数时的次方根有个记做当为偶数时负数没有次方根正数的次方根有个其中正的次方根记做负的次方根记做负数没有偶次方根两个关系式为奇数为偶数正数的正分数指数幂的意义正数的负分数指数幂三条性质的对数是即底数的对数是即负数和零没有对数四条运算法则其他运算性质对数恒等式换底公式函数的概念一映射设两个集合如果按照某中对应法则对于集合中的任意一个元素在集合中都有唯一的一个元素与之对应这样的对