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1、20XX级高一年级数学备课组集体备课教案 主备人:高 山 时间:20XX 年 11月 22日 课本页码:11页至 17页 课题 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数 课 时 2 课时 学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号。B 能 力 要 求 2.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等。B 3.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角 的正弦、余弦、正切函数值表示出来,即用正弦线、余弦线
2、、正切线表示出来.。B 4.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。A 教学重点 任意角的正弦、余弦、正切的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等 教学难点 用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数;三角函数符号;利用与单位圆有关的有向线段,将任意角 的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示.教学用具 多媒体 教学方法 学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究 教材分析 学生已经学过锐角三角函数,它是用直角三角形边长的比来刻画的.锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系.任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,它与“解三角形”已经没有什么关系了.因此,与学习其他基本初等函
3、数一样,学习任意角的三角函数,关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质,并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律,解决简单的实际问题.本节以锐角三角函数为引子,利用单位圆上点的坐标定义三角函数.由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系,使得我们在讨论三角函数的问题时,对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等,都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发.三角函数的研究中,数形结合思想起着非常重要的作用.利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来.所以,信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本
4、质.激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情境。教学过程 任意角的三角函数【预习自学】1.初中学过的三角函数是怎样定义的?2.三角函数在各个象限例的正负如何?3.如何能求出任意一个角的三角函数值?4.三角函数线是怎样定义的?【创设情境】提问：锐角 O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那 么它的终边在第一象限
5、.在的终边上任取一点(,)P a b,它与原点的距离220rab.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.则sinMPbOPr;cosOMaOPr;tanMPbOMa.思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点P在的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP的长1r 的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sinMPbOP;cosOMaOP;tanMPbOMa.思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本课就研究这个问题
6、任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就 a的终边 P(x,yO x y 二次备课 年月日课本页码页至页任意角的三角函数任意角的三角函数课时课时通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义理解三角函数是以实数为自变量的函数并从任意角的三角函数定义认识正弦余弦正切函数的定义域理解并掌握正确利用与单位圆有关的有向线段将任意角的正弦余弦正切函数值表示出来即用正弦线余弦线正切线表示出来能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题能力要求任意角的正弦余弦正切
7、的定义终边相同的角的同一三弦余弦正切函数值用几何形式表示多媒体学生自主阅读教材采用尝试讨论方式行探究学生已经学过锐角三角函数它是用直角三角形边长的比来刻画的锐角三角函数的引入与解三角形有直接关系任意角的三角函数是刻画周期变化现象可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y,那么:(1)y叫做的正弦(sine),记做sin,即siny；（2）x叫做的余弦(cossine),记做cos,即cosx；（3）
8、yx叫做的正切(tangent),记做tan,即tan(0)yxx.注意:当是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有 关.我 们 只 需 计 算 点 到 原 点 的 距 离22rxy,那 么22sinyxy,22cosxxy,tanyx.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的
9、坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.【例题讲评】例 1.求53的正弦、余弦和正切值.例 2已知角的终边过点0(3,4)P ，求角的正弦、余弦和正切值.【巩固练习】17P第 1,2,3 题【探究新知】请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：三角函数 定义域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 角度制 弧度制 sin cos tan 例 3求证：当且仅当不等式组sin0tan0成立时，角为第三象限角.二次备课 年月日课本页码页至页任意角的
10、三角函数任意角的三角函数课时课时通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义理解三角函数是以实数为自变量的函数并从任意角的三角函数定义认识正弦余弦正切函数的定义域理解并掌握正确利用与单位圆有关的有向线段将任意角的正弦余弦正切函数值表示出来即用正弦线余弦线正切线表示出来能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题能力要求任意角的正弦余弦正切的定义终边相同的角的同一三弦余弦正切函数值用几何形式表示多媒体学生自主阅读教材采用尝试讨论方式行探究学生已经学过锐角三角函数它是用直角三角形边长的比来刻画的锐角三角函数的引入与解三角形有直接关系任意角的三角函数是刻画周期变化现象【探究新知】根据三角函
11、数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?显然:终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sink cos(2)cosk (其中kZ)tan(2)tank 例 4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:(1)cos250;(2)sin()4;(3)tan(672);(4)tan3 例 5.求下列三角函数值:(1)sin1480 10;(2)9cos4;(3)11tan()6 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2(或0到360)角的三角函数值.另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题.【探究新知】1引入：角是一个图形概念，也是一个数量
12、概念（弧度数）.作为角的函数三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2 边描述边画 以坐标原点为圆心，以单位长度 1 为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是 1 厘米或 1 米）.当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y，过点P作PMx轴交x轴于点M，则请你观察:根 据 三 角 函 数 的 定 义：|sin|MPy；|cos|OMx 随着在第一象限内转动，MP、OM是否也跟着变化？3思考：（1）为了去上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP、OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的
13、坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP、OM一样的线段来表示角的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无O x y a 角 的 终P T M A 二次备课 二次备课 年月日课本页码页至页任意角的三角函数任意角的三角函数课时课时通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义理解三角函数是以实数为自变量的函数并从任意角的三角函数定义认识正弦余弦正切函数的定义域理解并掌握正确利用与单位圆
14、有关的有向线段将任意角的正弦余弦正切函数值表示出来即用正弦线余弦线正切线表示出来能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题能力要求任意角的正弦余弦正切的定义终边相同的角的同一三弦余弦正切函数值用几何形式表示多媒体学生自主阅读教材采用尝试讨论方式行探究学生已经学过锐角三角函数它是用直角三角形边长的比来刻画的锐角三角函数的引入与解三角形有直接关系任意角的三角函数是刻画周期变化现象论那种情况都有 cosOMx 同理,当角的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的
15、横坐标.这样,无论那种情况都有 sinMPy 4.像MPOM、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）.5.如何用有向线段来表示角的正切呢?如上图,过点(1,0)A作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OAAT、,我们有 tanyATx 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MPOMAT、,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6（1）当角的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（2）当的终边与x轴或y轴重合时，又是怎样的情形呢？【拓
16、展迁移】例 6已知42，试比较,tan,sin,cos的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质。【巩固练习】1.若4cosx 成立的 x 的取值范围是_.3.若 02,则使 sin21同时成立的 的取值范围是_ 4.求函数 y=1cos2x+lg(25-x2)的定义域.课时小结 以提问的方式与学生一起回顾本节所学内容并简要总结:(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?(3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?(5)了解有向线段的概念.(6)了解如何
17、利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(7)体会三角函数线的简单应用.作业：习题 1.2 A 组第 1,2 题 测课内容 1.巩固练习15P第 4,5,6,7题 2比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.3.练习19P第 1,2,3,4题 4.比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15、tan15 （2）cos150 18、cos121 （3）5、tan5 5练习三角函数线的作图.教学感想 对于三角函数线,开始时学生可
18、能不是很理解,教师应该充分发挥好图象的直观作用,让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义.在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后,教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.以便为以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础.教师要让学生对三角函数线了解即可,要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势,不要再向深处挖掘,因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决.教师在教学中要搞好师生互动,让学生自己动脑、动手,多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力,让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力.反思 年月
19、日课本页码页至页任意角的三角函数任意角的三角函数课时课时通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义理解三角函数是以实数为自变量的函数并从任意角的三角函数定义认识正弦余弦正切函数的定义域理解并掌握正确利用与单位圆有关的有向线段将任意角的正弦余弦正切函数值表示出来即用正弦线余弦线正切线表示出来能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题能力要求任意角的正弦余弦正切的定义终边相同的角的同一三弦余弦正切函数值用几何形式表示多媒体学生自主阅读教材采用尝试讨论方式行探究学生已经学过锐角三角函数它是用直角三角形边长的比来刻画的锐角三角函数的引入与解三角形有直接关系任意角的三角函数是刻画周期变化现象