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1、 教 案教学基本信息课题10.2事件的相互独立性学科数学学段：高中年级高一教材书名：普通高中教科书数学必修第二册（A版） 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年 年 6 月教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者王志霞北京市第十中学实施者王志霞北京市第十中学指导者康舒真王翯北京市教育学院丰台分院北京市第十中学课件制作者王志霞北京市第十中学其他参与者教学目标及教学重点、难点教学目标：1.结合有限样本空间,了解两个随机事件相互独立的含义；结合古典概型,利用事件的独立性计算概率；2.经历事件的相互独立性从具体到抽象、从特殊到一般的探究过程,提高数学抽象能力、推理论证能力,提升数学抽象素养和逻辑
2、推理素养.3.在知识的探究过程中,体会概率思想,提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心.教学重点：两个事件相互独立的定义.教学难点：两个事件相互独立的定义.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入复习回顾：前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质,还研究过和事件的概率计算方法.我们先来回顾下面四个问题：1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球（标号为1和2），1个绿色球（标号为3），1个黄色球（标号为4），从袋中随机摸出1个球.设事件=“摸到红球”，=“摸到绿球”，=“摸到绿球或黄球”，事件与事件，事件与事件之间各有什么关系？师：试验的样本空间为，因为,所以事件与
3、事件互斥；因为,所以事件与事件对立.2.如果事件与事件互斥,和事件的概率与事件,的概率之间具有怎样的关系？3.设,是一个随机试验中的两个事件,和事件的概率与事件,的概率之间具有怎样的关系？4.设事件与事件互为对立事件,它们的概率有什么关系？,我们知道,积事件就是事件与事件同时发生.因此,积事件发生的概率一定与事件,发生的概率有关.本节课,我们来讨论与积事件的概率计算有关的问题.复习互斥事件、对立事件概率性质、和事件概率计算的方法,为后面计算复杂事件的概率做铺垫,引出本节课课题.新课（一）事件与事件相互独立的定义试验1：甲、乙两个袋子中各装有大小和质地相同的4个球，甲袋中有2个红色球（标号1和2
4、），2个绿色球（标号3和4），乙袋中有1个红色球（标号1），3个绿色球（标号2、3和4）.从甲乙两袋中各随机摸出一个球.设=“甲袋摸到红色球”,=“乙袋摸到红色球”.问题1：你觉得事件发生会影响事件发生的概率吗？如果事件不发生,会影响事件发生的概率吗？师：显然,对于试验1,因为从两个袋子分别摸球,甲袋摸球的结果与乙袋摸球的结果互相不受影响,所以事件发生与否都不会影响事件发生的概率.对于试验2:因为是有放回摸球,第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响,所以事件发生与否都不会影响事件发生的概率.问题2：计算试验1中的,你有什么发现？师：因为,样本空间,所以,于是有积事件的概率等于,的乘积.
5、 试验2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设=“第一次摸到球的标号小于3”,=“第二次摸到球的标号小于3”.问题1：你觉得事件发生会影响事件发生的概率吗？如果事件不发生,会影响事件发生的概率吗？师：因为是有放回摸球,第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响,所以事件发生与否都不会影响事件发生的概率.问题2：计算试验2中的,你有什么发现？师：因为样本空间,所以,于是也有积事件的概率也等于,的乘积.小结：这两个随机试验都满足：事件和同时发生的概率是它们各自发生概率的乘积.对上述两个试验的共同属性进一步抽象概括,我们引
6、入这种事件关系的一般定义：对任意两个事件和,如果成立,则称事件和事件相互独立,简称为独立.思考：必然事件与任意一个随机事件是否相互独立？不可能事件与任意一个随机事件是否相互独立？师：因为必然事件总会发生,不会受任何事件是否发生的影响；不可能事件总不会发生,也不受任何事件是否发生的影响,并且它们也不影响其他事件是否发生,所以必然事件与任意一个随机事件独立,不可能事件与任意一个随机事件独立.例题：一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件=“第一次摸到球的标号小于3”,事件=“第二次摸到球的标号小于3”,那么事件与事件是否相互独立？解
7、：因为,所以,此时,因此事件与事件不独立.小结：判断两个事件是否独立要依据事件相互独立的定义.例题：天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3,假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,计算在这段时间内：甲、乙两地都降雨的概率.解：设“元旦假期甲地降雨”，“元旦假期乙地降雨”，则“元旦假期甲、乙两地都降雨”，由题意知，与相互独立，所以即在这段时间内甲、乙两地都降雨的概率为0.06.小结：根据事件的相互独立性，可以计算积事件发生的概率（二）探究事件与事件相互独立的性质问题3：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件与事件相互独立,那么它们的对立事件是否也相互独
8、立？以问题1的有放回摸球试验为例,分别验证与,与,与是否独立,你有什么发现？师：对于事件与因为,而且与互斥,所以 所以由事件的独立性定义,与相互独立. 类似地,可以证明事件与,与,也都相互独立.结论：如果事件与事件相互独立，则与相互独立,与,与,也都相互独立.这是事件的独立性的一个性质.例题：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.分析：设“甲中靶”,“乙中靶”,则=“甲脱靶”,=“乙脱靶”。从要求的概率可知,需要先分别求,的对立事件,的概率,并利用,构建相应
9、的事件,我们可以借助树状图来完成这个任务.由此得到,“两人都中靶”,“恰好有一人中靶”,“两人都脱靶”,“至少有一人中靶”,显然与互为对立事件.解：设“甲中靶”,“乙中靶”,则=“甲脱靶”,=“乙脱靶”.由于两个人射击的结果互不影响,所以与相互独立,与,与,与都相互独立.由已知可得,（1）“两人都中靶”,由事件独立性定义,得（2）“恰好有一人中靶”,且与互斥,根据概率的加法公式和事件独立性定义,得（3）事件“两人都脱靶”,所以（4）方法1：事件“至少有一人中靶”,且,与两两互斥,所以方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”,根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率
10、为小结：求复杂事件的概率时我们首先要分析清楚随机试验的基本事件，分析基本事件时可以借助树状图，使得分析更有条理，然后用基本事件表示复杂事件,再根据事件独立的性质,计算较复杂事件的概率.选择两个符合独立性直观意义的试验,促进学生感悟事件的独立性.让学生探索两个试验中事件,之间关系的共同数学本质属性在此基础上,给出两个事件相互独立的数学定义.根据定义判断事件的相互独立性,进一步讨论特殊事件与任意一个随机事件之间的相互独立性,以使知识完整化、系统化.会判断给定的两个事件是否独立,体会用定义判断事件的相互独立性.会利用事件的相互独立性计算概率；类比事件和事件相互独立的问题,得出与事件,相互独立彼此等价
11、的三条性质.这里提出新的问题,既是知识的自认延伸,又体现了一种提出问题、发现问题的思考方式.利用事件独立的性质,计算较复杂事件的概率.例题例题：甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.分析：两轮活动猜对3个成语,相当于事件“甲猜对1个,乙猜对2个”、事件“甲猜对2个,乙猜对1个”的和事件发生.设表示事件“甲在两轮中猜对个成语”；表示事件“乙在两轮中猜对个成语”；与独立；解题的关键是分别求出和,我们可以借助表格来表示这个随机试
12、验.第一轮第二轮猜对个数概率猜对猜对2猜错1猜错猜对1猜错0,同理可得,解：设,分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立性假定,得,设“两轮活动星队猜对3个成语”,则,且与互斥,与,与分别相互独立,所以因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.小结：遇到比较复杂的概率问题，我们首先要分析清楚随机试验的基本事件，并且基本事件的分析要做到不重不漏，然后用基本事件表示复杂事件，分析清楚事件之间的关系，再利用事件的互斥关系或独立关系的性质计算概率.让学生综合利用事件的互斥关系的性质与事件的独立性计算两个事件积的概率,同时培养学生良好的思考习惯.总结
13、知识总结：事件的相互独立性1.定义：对任意两个事件和,如果成立,则称事件和事件相互独立,简称为独立2.性质：如果事件与事件相互独立，则与相互独立,事件与,与,也都相互独立.这是事件的独立性的一个性质.总结本课知识内容作业1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件“第1枚正面朝上”,事件“第2枚正面朝上”,事件“2枚硬币朝上的面相同”,中哪两个相互独立？2.设样本空间含有等可能的样本点,且请验证,三个事件两两独立,但.3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3,假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都不降雨的概率；（2）至少一个地方降雨的概率.4.证明必然事件和不可能事件与任意事件相互独立巩固本课所学知识