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1、双曲线1 定义 平面内与两个定点 F1 ，F2 的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2)的点的轨迹称为双曲线这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距如图，P是双曲线上一点，|PF1PF2|=2aF1F2.PS 当PF1PF2=2aF1F2时，轨迹仅表示双曲线的右支；当PF2PF1=2aF1F2时，轨迹不存在. 2 几何性质 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图象标准方程x2a2y2b2=1(a0,b0)y2a2x2b2=1(a0,b0)范围xa或xa,yRya或ya,xR顶点A1a,0、A2a,0A10,a、A20,a轴长虚轴长2b，实轴长2a焦点F1c,0、F2(c,0)F
2、10,c、F2(0,c)焦距F1F2=2ca、b、c的关系c2=b2+a2离心率e=ca=1+b2a2 (e1)渐近线y=baxy=abx实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线3 一些常用结论通径：过焦点且垂直实轴的弦，其长度为2b2a；焦点到渐近线的距离是b；焦点三角形面积S=b2tanP2；与双曲线x2a2y2b2=1共渐近线的双曲线系方程是x2a2y2b2=(0)焦半径PF1=exP+a，PF2=exPa(点P在双曲线右支上)双曲线x2a2y2b2=1的参数方程x=acosy=btan (为参数).【题型一】双曲线的定义【典题1】 平面内有两个定点F1(5,0)和F2(5,0)，动点P满足
3、条件PF1PF2=6，则动点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线 C双曲线的右支 D双曲线的左支【解析】由PF1PF2=60； 若点P在左支，肯定PF1PF2r1),若两圆外切，则O1O2=r2+r1；若两圆外切，则O1O2=r2r1(r2r1)； 双曲线定义中的“常数”为2a，定点为焦点.巩固练习1() 平面内到两定点F13,0、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹()A椭圆B线段C两条射线D双曲线 【答案】 D 【解析】根据双曲线的定义，|MF1|MF2|=4，且|F1F2|=64，点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，且焦距为6故选：D2() 点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为
4、点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A圆 B椭圆 C双曲线的一支 D直线【答案】 D 【解析】排除法：设动点为Q，1当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图2如果是点A在圆C外，由QCR=QA，得QCQA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D【题型二】双曲线方程【典题1】已知方程x217k+y2k8=1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的求值范围是 .【
5、解析】方程x217k+y2k8=1表示焦点在x轴上的双曲线，可得17k0，k80，解得k8.【点拨】 曲线方程C:x2m+y2n=1，当mn0,n0,m0,b0)共渐近线的方程为x2a2y2b2=(0)； 巩固练习1() 若kR，则k3是方程x2k3+y2k+3=1表示双曲线的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】方程x2k3+y2k+3=1表示双曲线，可得(k3)(k+3)0，解得：3k3，反之不成立，所以kR，则k3是方程x2k3+y2k+3=1表示双曲线的必要不充分条件故选：B2() 已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，且经过点(4
6、,43)，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 x24y216=1 【解析】解法1：根据题意知，2443，所以点(4,43)在渐近线方程y2x的右下方，所以该双曲线的焦点在x轴上，设标准方程为x2a2y2b2=1，且a0,b0；又ba=2，所以b2a；又16a248b2=1，即16a2484a2=4a2=1，解得a24，b216，所以双曲线的标准方程是x24y216=1解法2：根据渐近线方程设双曲线的标准方程是x2y24=k(k0)，代入点(4，43)，计算得k16484=4，所以双曲线的标准方程为x2y24=4，即x24y216=1故选：A3() 在下列条件下求双曲线标准方程(1) 经过两点
7、(3,0)，(6,3)； (2) a=25，经过点(2,5)，焦点在y轴上【答案】(1) x29y23=1 (2) y220x216=1 【解析】(1)根据题意，若双曲线经过点(3,0)，则双曲线的焦点在x轴上，且a3，设其标准方程为x29y2b2=1；又由双曲线经过点(6,3)，则有49b2=1，则b23，则双曲线的标准方程为x29y23=1；(2)根据题意，a25，其焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为：y220x2b2=1，又由双曲线经过点(2,5)，则25204b2=1，解可得：b216，则双曲线的标准方程为：y220x216=1 【题型三】 双曲线的图像及其性质【典题1】已知双曲线C的
8、方程为x216y29=1，则下列说法错误的是()A双曲线C的实轴长为8 B双曲线C的渐近线方程为y=34xC双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D双曲线C上的点到焦点距离的最小值为94【解析】双曲线C的方程为x216y29=1，a=4，b=3，c=a2+b2=5，实轴长为2a=24=8，即A正确；渐近线方程为y=bax=34x，即B正确；焦点(5,0)到渐近线y=34x的距离为|345|(34)2+1=3，即C正确；对于选项D，设点P(x,y)为双曲线右支上的一点，点F为双曲线的右焦点，当x=4时，PF取最小值1，即D错误故选：D【点拨】 焦点到渐近线的距离是b； 双曲线上的点到焦点的距离最小值是
9、当点在顶点的位置时取到.【典题2】 设双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)，的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3P是C上一点，且F1PF2=60，若F1PF2的面积为43，则a= .【解析】根据题意，几何关系如图所示设|PF2|=m，|PF1|=n，若F1PF2的面积为43，可得12mnsin60=43，由双曲线定义，可得nm=2a，由余弦定理可得4c2=m2+n22mncos60，4c2=4a2+2mnmn=4a2+mn=4a2+16，离心率为3可得ca=3，代入上式，可得a=2【点拨】 遇到焦点三角形F1PF2时，要注意双曲线的定义与解三角形内容(正弦定理、余弦定理、面积公式等
10、)的运用； 在双曲线中，焦点三角形F1PF2的面积为S=b2tanP2，这属于二级结论，本题用上题目求解就较简洁些，S=b2tanP2=43b2tan30=43b=2,又ca=3，易得a=2.【典题3】 已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作斜率为22的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若|AF2|=|BF2|，则双曲线的离心率为 .【解析】方法一 设Ax1,y1,Bx2,y2,依题意可设直线l方程为y=22(xc),由y=22(xc)x2a2y2b2=1，得2b2a2x22ca2xa2c22a2b2=0,则x1+x2=2ca22b
11、2a2，|AF2|=|BF2|,由两点距离公式可得x1c2+y12=x2c2+y22,又y12=b2x12a21, y22=b2x22a21,化简可得2a2=c(x1+x2),2a2=c2ca22b2a2b2=2a2e=1+b2a2=3方法二 如图，取AB中点M，连结F2M，|AF2|=|BF2|，F2MAB，设|AF2|=|BF2|=x，|AF2|AF1|=2a，|AF1|=x2a，又|BF1|BF2|=2a，|BF1|=x+2a，|AB|=|BF1|AF1|=4a，|AM|=|BM|=2a，|F1M|=|BF1|BM|=x，由勾股定理，知|F2M|=(F1F2)2(MF1)2=(BF2)2
12、(BM)2，即|F2M|=4c2x2=x24a2，解得x2=2a2+2c2，|F2M|=2c22a2=2b2，tanMF1F2=|F2M|F1M|=2b22a2+2c2=22，即c2a2a2+c2=12，化简得c2=3a2，离心率e=ca=3【点拨】 方法一是由条件“过F1作斜率为22的直线l”，想用代数法求解；代数法中|AF2|=|BF2|用两点距离公式处理了； 方法二是通过平几的知识点求解，要多观察图形，多积累一些平几的结论与常见已知条件的处理方法:(1) |AF2|=|BF2|等腰三角形的三线合一；(2)斜率为22，即tanF1=22，则找直角三角形MF1F2，易得|F2M|F1M|=2
13、2； 比较两种方法，在本题中计算量来看，方法二优于方法一；思考难度来看，方法一稍容易想到.【典题4】已知F1,F2分别为双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的左右焦点，且|F1F2|=2b2a，点P为双曲线右支上一点，I为PF1F2的内心，过原点O作PI的平行线交PF1于K，若SIPF1=SIPF2+SIF1F2成立，则下列结论正确的有()A=512 B=5+12 C点I的横坐标为a DPK=a【解析】|F1F2|=2b2a，2c=2b2a=2c22a2a，整理得e2e1=0，e1，e=1+52设PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|PF2|=2a，|F1F2|=2c，SI
14、PF1=12|PF1|r，SIPF2=12|PF2|r，SIF1F2=122cr=cr，SIPF1=SIPF2+SIF1F2，12|PF1|r=12|PF2|r+cr，故 =|PF1|PF2|2c=ac=11+52=512，所以A正确，B错误设内切圆与PF1、PF2、F1F2的切点分别为M，N，T，可得|PM|=|PN|F1M|=|F1T|，|F2N|=|F2T|由|PF1|PF2|=|F1M|F2N|=|F1T|F2T|=2a，|F1F2|=|F1T|+|F2T|=2c，可得|F2T|=ca，可得T的坐标为(a,0)，即I的横坐标为a，故C正确；设PI延长线与F1F2交于H，可得|PF2|P
15、F1|=|F2H|F1H|，由|PF1|PF2|=2a，可得2a|PF1|=2|OH|F1H|，由三角形的相似的性质可得|PK|OH|=|PF1|HF1|，由可得|PK|=a故D正确故选：ACD【点拨】得到a,b,c任意两个量或三量的一条等式， 均可得到关于离心率e的方程从而求出e.注意内心的定义及其性质，内心是三角形的角平分线交点，则内心到三边的距离相等！ 角平分线定理：如图，在ABC中，AD是BAC的角平分线，则ABBD=ACCD.多观察图形，充分利用平几的知识点，得到各角之间或各线段之间的关系.常见的相似三角形的性质(注意A字型、8字型模型)、等腰三角形的三线合一、角平分线、圆的性质、正
16、余弦定理等等.巩固练习1() 若双曲线C：mx2y2=2的实轴长等于虚轴长的一半，则m=()A14B12C4D2 【答案】 C 【解析】双曲线C：mx2y2=2，可知m0，方程化为标准方程是C：x22my22=1，由于实轴长是虚轴长的一半，故2m2=12，解得m=4故选：C2 () 多选题 已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率为233，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则有 ()A渐近线方程为y=3xB渐近线方程为y=33xCMAN=60DMAN=120 【答案】 BC 【解析】由题意可得e=ca=233，可设c=2t，a=3
17、t，t0，则b=c2a2=t，A(3t,0)，圆A的圆心为(3t,0)，半径r为t，双曲线的渐近线方程为y=bax，即y=33x，圆心A到渐近线的距离为d=|333t|1+13=32t，弦长|MN|=2r2d2=2t234t2=t=b，可得三角形MNA为等边三角形，即有MAN=60故选：BC3 () 多选题 已知F1，F2分别是双曲线x2a2y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|=2|PF2|且PF1F2的最小内角为30，则()A双曲线的离心率3 B双曲线的渐近线方程为y=2xCPAF2=45 D直线x+2y2=0与双曲线有两个公共点 【答案】
18、ABD 【解析】F1，F2分别是双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|=2|PF2|且PF1F2的最小内角为30，如图，三角形PF1F2是直角三角形，并且b2a=2ctan30，可得：e=3，所以A正确；ca=3，ba=2可得渐近线方程：y=2x，所以B正确；直线x+2y2=0与双曲线的渐近线不平行，所以直线与双曲线由2个交点，所以D正确；故选：ABD4 () 已知点F1(3,0)，F2(3,0)分别是双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，M是C右支上的一点，MF1与y轴交于点P，MPF2的内切圆在边PF2上的切
19、点为Q，若|PQ|=2，则C的离心率为 .【答案】 32 【解析】设MPF2的内切圆与MF1，MF2的切点分别为A，B，由切线长定理可知MA=MB，PA=PQ，BF2=QF2，又PF1=PF2，MF1MF2=(MA+AP+PF1)(MB+BF2)=PQ+PF2QF2=2PQ，由双曲线的定义可知MF1MF2=2a，故而a=PQ=2，又c=3，双曲线的离心率为e=ca=32故选：C5() 已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的左、右支分别交于P、Q两点，PQ=2F1P，F1QF2Q=0，则C的渐近线方程为 . 【答案】 y=2x 【解析】P
20、Q=2F1P，可得|PQ|=2|PF1|，设|PF1|=x，则|PQ|=2x，|QF1|=3x，由双曲线的定义可得|PF2|=2a+x，|QF2|=3x2a，因为F1QF2Q=0，所以F1QF2Q，在QF1F2中，F1Q2+QF22=F1F22，即3x2+3x2a2=4c2，在PQF2中，PF22=PQ2+QF22，即2a+x2=3x2a2+2x2由可得x=43a，代入可得c2=5a2，所以渐近线的方程为：y=bax=c2a2a2x，即y=2x，故选：D6() 如图所示，已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满足AFB=
21、120，且|BF|=2|AF|，则双曲线C的离心率是 . 【答案】3 【解析】连接AF，BF，由条件可得|BF|AF|=|AF|AF|=|AF|=2a，则|AF|=2a，|BF|=4a，FBF=60，所以FF2=AF2+BF22AFBFcos60，可得4c2=4a2+16a216a212，即4c2=12a2，所以双曲线的离心率为：e=c2a2=3故选：C7() 已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于A，B两点F1AF2的平分线交BF1于D，若AD=12AF1+AF2，则双曲线的离心率为 .【答案】3 【解析】如图，取AF1 的中点E，
22、连接DE，DF2，由AD=12AF1+AF2，可知四边形AF2DE为平行四边形，又AD为F1AF2的平分线，四边形AF2DE为菱形DEAB，D为BF1 的中点，DF2AF1，F2为AB的中点，则AE=EF1=F2A=2a由双曲线的对称性可知，ABx轴，|F1F2|2=|AF1|2|AF2|2，即4c2=4a22a2，解得：e=ca=38() 已知双曲线x24y23=1的左、右焦点分别为F1,F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，PF1F2的内切圆的圆心为I，且圆I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则|OB|OA|= . 【答案】 1【解析】根据题意得F1(7,0)、F
23、2(7,0)，设PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A1、B1，与F1F2切于点A，则|PA1|=|PB1|，|F1A1|=|F1A|，|F2B1|=|F2A|，又点P在双曲线右支上，|PF1|PF2|=4，故|F1A|F2A|=4，而|F1A|+|F2A|=27，设A点坐标为(x,0)，则由|F1A|F2A|=4可得(x+7)(7x)=4，解得x=2，故|OA|=2，则PF1F2的内切圆的圆心在直线x=3上，延长F2B交PF1于C，在三角形PCF2中，由题意得，三角形PCF2是一个等腰三角形，PC=PF2，在三角形F1CF2中，有|OB|=12|CF1|=12(|PF1|PC|)=1
24、2(|PF1|PF2|)=2，|OB|OA|=1【题型四】最值问题情况1 求离心率范围【典题1】 已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)在两条渐近线所构成的角中，设以实轴为角平分线的角为，若的取值范围是2,23，则该双曲线离心率的取值范围是()A(1,2B2,2C233,2D2，+)【解析】根据题意，易得双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b；由双曲线的意义，可得e2=c2a2=1+b2a2，以实轴为角平分线的角为，若的取值范围是2,23，可得1ba3；进而可得：e2=c2a2=1+b2a22,4,所以e2,2故选：B【点拨】求离心率的范围的一般思路：求出a、b、c任意两个量比值的范围得到关
25、于离心率e的不等式，从而求出e的范围,同时也要注意椭圆中0e1.情况2 几何法求范围【典题1】 已知双曲线x2y2=1的右焦点为F，右顶点A，P为渐近线上一点，则|PA|+|PF|的最小值为()A23B3C2D5【解析】如图：双曲线x2y2=1的右焦点为F(2,0)，右顶点A(1,0)，P为渐近线y=x上一点，则|PA|+|PF|的最小值就是A关于y=x的对称点A到F的距离，所以A(0,1)，则|PA|+|PF|的最小值为：(2)2+12=3故选：B【点拨】这属于“将军饮马问题”！【典题2】 点F2是双曲线C：x29y23=1的右焦点，动点A在双曲线左支上，直线l1：txy+t2=0与直线l2
26、：x+ty+2t1=0的交点为B，则|AB|+|AF2|的最小值为()A8B53C9D63【解析】联立直线l1，l2的方程txy+t2=0x+ty+2t1=0，可得x=t21t2+1y+2=2tt2+1，消参数t可得x2+y+22=1，所以可得交点B的轨迹为圆心在(0,2)，半径为1的圆，由双曲线的方程可得a=3，b=3，焦点F(23,0)，可得|AF2|=|AF1|+2a=|AF1|+6，|AB|+|AF2|=|AB|+|AF1|+6，当A，F1，B三点共线时，|AB|+|AF2|最小，|AB|+|AF2|=|AB|+|AF1|+6|BF1|1+6=(23)2+22+5=9，当过F1与圆心的
27、直线与圆的交点B且在F1和圆心之间时最小|AB|+|AF2|的最小值为9，故选：C【点拨】这属于“三点共线取最值”模型,在圆锥曲线求最值问题用几何法需要明确动点的运动规律，平时掌握常见模型，多观察图象.情况3 函数法求范围【典题1】 已知P为双曲线C：x23y2=1上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A,B，记线段PA，PB的长分别为m，n，则()A若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2=3Bmn=12C4m+n的最小值为3 D|AB|的最小值为32【解析】如图所示，设P(x0,y0)，则x023y02=1由题设条件知，双曲线C的两渐近线：l1：y=33 x,l2：y=33 x设
28、直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1=3，k2=3，所以k1k2=3，故A选项正确；由点线距离公式知：PA=m=3x03y023,|PB|=n=|3x0+3y0|23，mn=|3x029y02|12=912|x023y02|=34,故B选项错误；4m+n4nm=432=23，所以C不正确；由渐近线的斜率可知AOx=30，AOB=60四边形AOBP中易得APB=120，|AB|=PA2+PB22PAPBcosAPB=m2+n2+mn3mn=32，(当m=n，即点P在双曲线的顶点位置时)所以D正确，故选：AD【点拨】 PA，PB两条线段长度由点P确定，根据题意用点到直线的距离公式表示出来；
29、 求4m+n与AB=m2+n2+mn时，用基本不等式a+b2ab(a0,b0)求最值. 思考:如何处理含一个变量与两个变量的式子最值问题呢？(1) 含一个变量的，比如求1m44+mm1的最小值，想到构造fm=1m44+mm1，再用函数最值方法求解；(2) 含两个变量，比如本题中AB=m2+n2+mn，在高中阶段常用基本不等式处理，那m2+n2+mn转化为只含一个变量？思路有两条，一是用n表示m消掉一个变量，但本题m,n没明显的关系；二是用另外一个变量表示m,n,这是可以的，用双曲线的参数方程设点P(3cos,tan)，就可以用表示m,n，从而m2+n2+mn变成一个变量表示，但计算量较大.【典
30、题2】 已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=32x，P为双曲线上一个动点，F1、F2为其左，右焦点，PF1PF2的最小值为3，则此双曲线的焦距为()A2B4C25D27【解析】双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=32x，ba=32，不妨设a=2k，b=3k，k0，c=a2+b2=7k，F1(7k,0),F2(7k,0)，设P(x0,y0)，且x02k或x02k，即x024k2，x02a2y02b2=1，y02=34x023k2，PF1PF2=7kx0,y07kx0,y0=x027k2+y02=74x0210k27k210k2=3k2=3，
31、解得k=1，k=1(舍去)，c=7，2c=27，故选：D【点拨】 本题处理数量积的方法是坐标法，设点P(x0,y0)，得PF1PF2=x027k2+y02； 作到PF1PF2=x027k2+y02，其中k为参数，x0,y0为变量，而点P在双曲线上，满足x02a2y02b2=1，故可消元得到PF1PF2=74x0210k2，此时用函数方法求最小值，要注意自变量x0的取值范围； 利用函数法求最值，一定要谨记“优先考虑定义域”！【典题3】 如图，在ABC中，已知BAC=120，其内切圆与AC边相切于点D，延长BA到E，使BE=BC，连接CE，设以E,C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为e1，以E,C为
32、焦点且经过点A的双曲线的离心率为e2，则当2e1+1e2取最大值时，ADDC的值为 【解析】如图，设M，G分别是BC，BE与圆的切点由圆的切线性质，可设AG=AD=1，CD=CM=GE=m，(m1)，AC=1+m，AE=GEAG=m1，在ACE中，CE2=CA2+AE22CAEAcos60=m2+3CE=m2+3，以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为e1=m2+32m，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为e2=m2+32，则2e1+1e2=4m+2m2+3=16m2+16m+4m2+3；令fm=16m2+16m+4m2+3=16+44m11m2+3,设t=4m11，则m=t+114,
33、4m11m2+3=tt+11216+3=16tt2+22t+169=16t+169t+221626+22=13,当t=13,即m=61时取到等号，fm=16+44m11m2+3523，当m=6时，2e1+1e2取最大值523，此时ADDC=16,故答案为：16【点拨】 本题中没给出任一线段长度，设AG=1，可减少计算量； 本题求最值采取函数法，这是a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2型的函数最值问题,此类题目常考.巩固练习1 () 已知F1、F2是双曲线x2a2y2b2=1(ab0)的左右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若|AB|F1F2|2，则双曲
34、线的离心率的取值范围是 【答案】 (1,2105) 【解析】 F1，F2是双曲线x2a2y2b2=1(ab0)的左右焦点，以F2 (c,0)圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线axby=0交于A，B两点，则焦点到渐近线的距离：d=|bc|a2+b2=b，所以|AB|=2a2b2，|AB|F1F2|2，2a2b22c2，可得4a24b2c2=a2+b2，即：3a25b2=5c25a2，可得5c28a2，所以c2a285，所以e1，所以双曲线的离心率的取值范围是：(1,2105)2() 设双曲线x216y212=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|
35、+|BF2|的最小值为 【答案】 22 【解析】 根据双曲线x216y212=1，得a=4，b=23，由双曲线的定义可得：|AF2|AF1|=2a=8，|BF2|BF1|=2a=8，+可得：|AF2|+|BF2|(|AF1|+|BF1|)=16，由于过双曲线的左焦点F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，可得|AF1|+|BF1|=|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小即有|AF2|+|BF2|(|AF1|+|BF1|)=|AF2|+|BF2|AB|=16即有|BF2|+|AF2|=|AB|+162b2a+16=2124+16=223() 已知F1，F2分别是双曲线C：x24y23=1
36、的左，右焦点，动点A在双曲线的左支上，点B为圆E：x2+y+32=1上一动点，则|AB|+|AF2|的最小值为 【答案】 7 【解析】 双曲线x24y23=1中a=2，b=3，c=4+3=7，F1(7,0)，F2(7,0)，圆E半径为r=1，E(0,3)，|AF2|=|AF1|+2a=|AF1|+4，|AB|AE|BE|=|AE|1 (当且仅当A,E,B共线且B在A,E之间时取等号)，AB+AF2AE1+AF1+4=AF1+AE+3 |EF1|+3=(7)2+32+3=7，当且仅当A是线段EF1与双曲线的交点时取等号|AB|+|AF2|的最小值是74() 设双曲线C：x2a2y2b2=1(a0
37、,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线，与双曲线在一第象限的交点为A，点Q坐标为(c,3a2)且满足|F2Q|F2A|，若在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|+|PQ|F2A|，可得3a2b2a，即为3a22b2=2(c2a2)，即有e=ca102，又|PF1|+|PQ|76|F1F2|恒成立，由双曲线的定义，可得2a+|PF2|+|PQ|2a+32a，即有e=ca32，由e1，结合可得，e的范围是(32，102)5() 双曲线C：x24y2=1的左，右顶点分别是A1，A2，P是C上任意一点，直线PA1，PA2分别与直线l：x=1交于M，N，则|MN|
38、的最小值是 【答案】 3 【解析】 由双曲线的对称性可知，P在右支上时，|MN|取最小值由上可得A1(2,0)，A2(2,0)，根据双曲线方程x24y2=1可得yx2yx+2=14，所以设直线PA1、PA2的斜率分别为k1、k2(k1、k20)，则k1k2=14PA1的方程为y=k1(x+2)，令x=1，解得M(1,3k1)，PA2的方程为y=k2(x2)，令x=1，解得N(1,k2)，所以|MN|=|3k1(k2)|=3k1+k223k1k2=3(当且仅当3k1=k2，即k1=36，k2=32时等号成立)6() 已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的左右焦点为F1(2,0),F2(2,0)，点P是双曲线上任意一点，若PF1PF2的最小值是2，则双曲线C的离心率为 【答案】 2 【解析】 设P(x0,y0)，则x02a2y02b2=1x02=a2+a2b2y02F1(2,0),F