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1、双曲线1 定义 平面内与两个定点 F1 ，F2 的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2)的点的轨迹称为双曲线这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距如图，P是双曲线上一点，|PF1PF2|=2aF1F2.PS 当PF1PF2=2aF1F2时，轨迹仅表示双曲线的右支；当PF2PF1=2aF1F2时，轨迹不存在. 2 几何性质 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图象标准方程x2a2y2b2=1(a0,b0)y2a2x2b2=1(a0,b0)范围xa或xa,yRya或ya,xR顶点A1a,0、A2a,0A10,a、A20,a轴长虚轴长2b，实轴长2a焦点F1c,0、F2(c,0)F
2、10,c、F2(0,c)焦距F1F2=2ca、b、c的关系c2=b2+a2离心率e=ca=1+b2a2 (e1)渐近线y=baxy=abx实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线3 一些常用结论通径：过焦点且垂直实轴的弦，其长度为2b2a；焦点到渐近线的距离是b；焦点三角形面积S=b2tanP2；与双曲线x2a2y2b2=1共渐近线的双曲线系方程是x2a2y2b2=(0)焦半径PF1=exP+a，PF2=exPa(点P在双曲线右支上)双曲线x2a2y2b2=1的参数方程x=acosy=btan (为参数).【题型一】双曲线的定义【典题1】 平面内有两个定点F1(5,0)和F2(5,0)，动点P满足
3、条件PF1PF2=6，则动点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线 C双曲线的右支 D双曲线的左支【典题2】 一动圆P过定点M(4,0)，且与已知圆N：x42+y2=16相切，求动圆圆心P的轨迹方程. 巩固练习1() 平面内到两定点F13,0、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹()A椭圆B线段C两条射线D双曲线 2() 点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A圆 B椭圆 C双曲线的一支 D直线【题型二】双曲线方程【典题1】已知方程x217k+y2k8=1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的求值范围是 .
4、【典题2】双曲线过点(4,3)、(3,52)，则双曲线的标准方程为 【典题3】 与双曲线C：x22y2=1共渐近线，且经过(3,102)点的双曲线标准方程是 . 巩固练习1() 若kR，则k3是方程x2k3+y2k+3=1表示双曲线的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 2() 已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，且经过点(4,43)，则该双曲线的标准方程为 . 3() 在下列条件下求双曲线标准方程(1) 经过两点(3,0)，(6,3)； (2) a=25，经过点(2,5)，焦点在y轴上【题型三】 双曲线的图像及其性质【典题1】已知双曲线C的方程为x216y2
5、9=1，则下列说法错误的是()A双曲线C的实轴长为8 B双曲线C的渐近线方程为y=34xC双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D双曲线C上的点到焦点距离的最小值为94【典题2】 设双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)，的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3P是C上一点，且F1PF2=60，若F1PF2的面积为43，则a= .【典题3】 已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作斜率为22的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若|AF2|=|BF2|，则双曲线的离心率为 .【典题4】已知F1,F2分别为双曲线x2a2y2b2=1(a0
6、,b0)的左右焦点，且|F1F2|=2b2a，点P为双曲线右支上一点，I为PF1F2的内心，过原点O作PI的平行线交PF1于K，若SIPF1=SIPF2+SIF1F2成立，则下列结论正确的有()A=512 B=5+12 C点I的横坐标为a DPK=a巩固练习1() 若双曲线C：mx2y2=2的实轴长等于虚轴长的一半，则m=()A14B12C4D2 2 () 多选题 已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率为233，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则有 ()A渐近线方程为y=3xB渐近线方程为y=33xCMAN=60DMAN=12
7、0 3 () 多选题 已知F1，F2分别是双曲线x2a2y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|=2|PF2|且PF1F2的最小内角为30，则()A双曲线的离心率3 B双曲线的渐近线方程为y=2xCPAF2=45 D直线x+2y2=0与双曲线有两个公共点 4 () 已知点F1(3,0)，F2(3,0)分别是双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，M是C右支上的一点，MF1与y轴交于点P，MPF2的内切圆在边PF2上的切点为Q，若|PQ|=2，则C的离心率为 .5() 已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别
8、为F1，F2，过F1的直线与C的左、右支分别交于P、Q两点，PQ=2F1P，F1QF2Q=0，则C的渐近线方程为 . 6() 如图所示，已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满足AFB=120，且|BF|=2|AF|，则双曲线C的离心率是 . 7() 已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于A，B两点F1AF2的平分线交BF1于D，若AD=12AF1+AF2，则双曲线的离心率为 .8() 已知双曲线x24y23=1的左、右焦点分别为F1,F2，O为双曲线的中心，P
9、是双曲线右支上的点，PF1F2的内切圆的圆心为I，且圆I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则|OB|OA|= . 【题型四】最值问题情况1 求离心率范围【典题1】 已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)在两条渐近线所构成的角中，设以实轴为角平分线的角为，若的取值范围是2,23，则该双曲线离心率的取值范围是()A(1,2B2,2C233,2D2，+)情况2 几何法求范围【典题1】 已知双曲线x2y2=1的右焦点为F，右顶点A，P为渐近线上一点，则|PA|+|PF|的最小值为()A23B3C2D5【典题2】 点F2是双曲线C：x29y23=1的右焦点，动点A在双曲线左支上，
10、直线l1：txy+t2=0与直线l2：x+ty+2t1=0的交点为B，则|AB|+|AF2|的最小值为()A8B53C9D63情况3 函数法求范围【典题1】 已知P为双曲线C：x23y2=1上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A,B，记线段PA，PB的长分别为m，n，则()A若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2=3Bmn=12C4m+n的最小值为3 D|AB|的最小值为32【典题2】 已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=32x，P为双曲线上一个动点，F1、F2为其左，右焦点，PF1PF2的最小值为3，则此双曲线的焦距为()A2B4C25D27【典题
11、3】 如图，在ABC中，已知BAC=120，其内切圆与AC边相切于点D，延长BA到E，使BE=BC，连接CE，设以E,C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为e1，以E,C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为e2，则当2e1+1e2取最大值时，ADDC的值为 巩固练习1 () 已知F1、F2是双曲线x2a2y2b2=1(ab0)的左右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若|AB|F1F2|2，则双曲线的离心率的取值范围是 2() 设双曲线x216y212=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|+|BF2|的最小值为 3()
12、已知F1，F2分别是双曲线C：x24y23=1的左，右焦点，动点A在双曲线的左支上，点B为圆E：x2+y+32=1上一动点，则|AB|+|AF2|的最小值为 4() 设双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线，与双曲线在一第象限的交点为A，点Q坐标为(c,3a2)且满足|F2Q|F2A|，若在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|+|PQ|0,b0)的左右焦点为F1(2,0),F2(2,0)，点P是双曲线上任意一点，若PF1PF2的最小值是2，则双曲线C的离心率为 7() 已知双曲线C：x24y2=1，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，P(x0,y0)为双曲线C上一点，且位于第一象限，若PF1F2为锐角三角形，则y0的取值范围为 8() 设双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F，双曲线C的一条渐近线为l，以F为圆心的圆与l交于点M，N两点，MFNF，O为坐标原点，OM=ON(37)，则双曲线C的离心率的取值范围是