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1、 第4章指数函数与对数函数【章头语】良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚镇,1936年首次发现.这里的巨型城址,面积近300万平方米,包括古城、水坝和多处高等级建筑.考古学家利用遗址中遗存物碳14的残留量测定,古城存在时期为公元前3300年前2500年.你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗?实际上,考古学家所用的数学知识就是本章即将学习的指数函数.指数函数在解决实际问题中有着广泛的应用.例如,在自然条件下,细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题,都可以利用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律.通过幂函数的学习,我们已经体验了研究一类函数的过程和方法.在本章,我们将类比幂函
2、数的研究方法,学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质,并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较.在此基础上,通过解决简单实际问题,体会如何根据变化差异,选择合适的函数类型构建数学模型,刻画现实问题的变化规律.4.1指数【节引言】为了研究指数函数,我们需要把指数的范围拓展到全体实数.初中已经学过整数指数幂.在学习幂函数时,我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数c=S记作c=S12.像S12这样以分数为指数的幂,其意义是什么呢?下面从已知的平方根、立方根的意义人手展开研究.4.1.1n次方根与分数指数幂我们知道:如果x2=a,那么x叫做a的平方根.例如,2就是4的平方根.如果x3=a,那么x叫
3、做a的立方根.例如,2就是8的立方根.类似地,由于(2)4=16,我们把2叫做16的4次方根;由于25=32,2叫做32的5次方根.一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n1,且nN.当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.这时,a的n次方根用符号na表示.例如,532=2,532=2,3a6=a2.当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a的正的n次方根用符号na表示,负的n次方根用符号一na表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成na(a0).例如,416=2,416=2,416=2负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0,
4、记作n0=0.式子na叫做根式(radical),这里n叫做根指数,a叫做被开方数.为什么负数没有偶次方根?根据n次方根的意义,可得(na)n=a.例如,(5)2=5,(53)5=3.【探究】nan表示an的n次方根,nan=a一定成立吗?如果不一定成立,那么nan等于什么?可以得到:当n为奇数时,nan=a；当n为偶数时,nan=|a|=a,a0,a,a0.例1求下列各式的值:(1)3(8)3;(2)(10)2;(3)4(3)4(4)(ab)2.解：(1)3(8)3=8;(2)(10)2=|10|=10;(3)4(3)4=|3|=3;(4)(ab)2=|ab|=ab,ab,ba,a0),4a
5、12=4a34=a3=a124(a0).这就是说,当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.【思考】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式是否也可以表示为分数指数幂的形式?把根式表示为分数指数幂的形式时,例如,把3a2,b,4c5等写成下列形式:3a2=a23(a0),b=b12(b0),4c5=c54(c0),我们希望整数指数幂的运算性质,如akn=akn,对分数指数幂仍然适用.由此,我们规定,正数的正分数指数幂的意义是amn=nama0,m,nN,n1.于是,在条件a0,m,nN,n1下,根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数
6、幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,我们规定,amn=1amn=1nama0,m,nN,n1.例如,543=1543=1354,a23=1a23=13a2.与0的整数指数幂的意义相仿,我们规定,0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.规定了分数指数幂的意义以后,幂ax中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用,即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.(1)aras=ar+s(a0,r,sQ)(2)ars=ars(a0,r,sQ);(3)(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).例2求值:(1)823;(2)168134.解：(1)823
7、=2323=2323=22=4;(2)168134=811634=342434=32434=323=278.例3用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a0)：(1)a23a2(2)a3a.解：(1)a23a2=a2a23=a2+23=a83;(2)a3a=aa1312=a4312=a23.例4计算下列各式(式中字母均是正数)：(1)2a23b126a12b133a16b56;(2)m14n388(3)3a2a34a2.解:(1)2a23b126a12b133a16b56=2(6)(3)a23+1216b12+1356=4ab0=4a;(2)m14n388=m148n388=m2n3=m2n3(3
8、)3a2a34a2=a23a32a12=a23a12a32a12=a2312a3212=a16a=6aa【练习】1.用根式的形式表示下列各式(a0):(1)a12;(2)a34;(3)a35;(4)a23.2.用分数指数幂的形式表示下列各式:(1)3x2(x0);(2)5(mn)4(mn);(3)p6p5(p0);(4)a3a(a0).3.计算下列各式:(1)364932;(2)23331.5612;(3)a12a14a18;(4)2x1312x132x23.4.1.2无理数指数幂及其运算性质上面我们将ax(a0)中指数x的取值范围从整数拓展到了有理数.那么,当指数x是无理数时,ax的意义是什
9、么?它是一个确定的数吗?如果是,那么它有什么运算性质?在初中的学习中,我们通过有理数认识了一些无理数.类似地,也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.【探究】根据2的不足近似值x和过剩近似值y(表4.1-1),利用计算工具计算相应的5x,5y的近似值并填入表中,观察它们的变化趋势,你有什么发现?表4.1-12的不足近似值x5x的近似值2的过剩近似值y5y的近似值1.41.51.411.421.4141.4151.41421.41431.414211.414221.4142131.4142141.41421351.41421361.414213561.414213571.4142135621.
10、414213563可以发现,当2的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近2时,5x和5y都趋向于同一个数,这个数就是52.也就是说,52是一串逐渐增大的有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.4142,和另一串逐渐减小的有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,逐步逼近的结果,它是一个确定的实数.这个过程可以用图4.1-1表示.图4.1-1【思考】参照以上过程,你能再给出一个无理数指数帛,如23,说明它也是一个确定的实数吗?一般地,无理数指数幂a(a0,为无理数)是一个确定的实数.这样,我们就将指数幂ax(a0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数.实数指数
11、幂是一个确定的实数.整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂,即对于任意实数r,s,均有下面的运算性质.(1)aras=ar+s(a0,r,sR);(2)ars=ars(a0,r,sR);(3)(ab)r=arbr(a0,b0,rR).1.计算下列各式:(1)23m323;(2)a3a23a.2.利用计算工具,探究下列实数指数幂的变化规律:(1)x取负实数,使得|x|的值逐渐增大并趋向于无穷大,计算相应的2x(xR)的值,观察变化趋势;(2)x取正实数,使得x的值逐渐增大并趋向于无穷大,计算相应的12x(xR)的值,观察变化趋势.习题4.1【复习巩固】1.求下列各式的值:(1)41004;(2)
12、5(0.1)5;(3)(4)2;(4)6(xy)6.2.选择题(1)设a0,则下列运算中正确的是().(A)a43a34=a(B)aa23=a32(C)a23a23=0(D)a144=a(2)设a0,m,n是正整数,且n1,则下列各式amn=nam,a0=1,amn=1nam,正确的个数是().(A)3(B)2(C)1(D)03.填空题(1)在121,212,121,21中,最大的数是(2)按从小到大的顺序,可将23,32,5,2重新排列为(可用计算工具).4.用分数指数幂表示下列各式(式中字母均为正数)：(1)b3aa2b6;(3)m3m4m(6m)5m14.5.计算下列各式(式中字母均为正
13、数):(1)a13a34a712;(2)a23a34a56;(3)x13y3412;(4)4a23b1323a13b13.【综合运用】6.如果在某种细菌培养过程中,细菌每10min分裂1次(1个分裂成2个),那么经过1h,1个这种细菌可以分裂成个.7.(1)已知10m=2,10n=3,求103m2n2的值;(2)已知a2x=3,求a3x+a3xax+ax的值.8.已知a12+a12=3,求下列各式的值:(1)a+a1;(2)a2+a2.【拓广探索】9.从盛有1L纯酒精的容器中倒出13L,然后用水填满;再倒出13L,又用水填满(1)连续进行5次,容器中的纯酒精还剩下多少?(2)连续进行n次,容器
14、中的纯酒精还剩下多少?10.(1)当n=1,2,3,10,100,1000,10000,100000,时,用计算工具计算1+1nnnN的值;(2)当n越来越大时,1+1nn的底数越来越小,而指数越来越大,那么1+1nn是否也会越来越大?有没有最大值?4.2指数函数【节引言】对于幂ax(a0),我们已经把指数x的范围拓展到了实数.上一章学习了函数的概念和基本性质,通过对幂函数的研究,进一步了解了研究一类函数的过程和方法.下面继续研究其他类型的基本初等函数.4.2.1指数函数的概念问题1随着中国经济高速增长,人民生活水平不断提高,旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加,A,B两地
15、景区自2001年起采取了不同的应对措施,A地提高了景区门票价格,而B地则取消了景区门票.表4.2-1给出了A,B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量.表4.2-1比较两地景区游客人次的变化情况,你发现了怎样的变化规律?为了有利于观察规律,根据表4.2-1,分别画出A,B两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象(图4.2-1为了便于观察,可以先根据表格中的数据描点,然后用光滑的曲线将离散的点连起来.和图4.2-2).图4.2-2图4.2-1观察图象和表格,可以发现,A地景区的游客人次近似于直线上升(线性增长),年增加量大致相等(约为10万次);B地景区的游客人次则是非线性增
16、长,年增加量越来越大,但从图象和年增加量都难以看出变化规律.【探究】我们知道,年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢?请你试一试.从2002年起,将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次,可以得到2002年游客人次2001年游客人次=3092781.11,2003年游客人次2002年游客人次=3443091.11,2015年游客人次2014年游客人次=124411181.11.结果表明,B地景区的游客人次的年增长率都约为1.111=0.11,是一个常数.像这样,增长率为常数的变化方式,我们称为指数增长.因此,B地景区的
17、游客人次近似于指数增长.显然,从2001年开始,B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为:做减法可以得到游客人次的年增加量,做除法可以得到游客人次的年增长率.增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量.1年后,游客人次是2001年的1.111倍;2年后,游客人次是2001年的1.112倍;3年后,游客人次是2001年的1.113倍;x年后,游客人次是2001年的1.11x倍.如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍,那么y=1.11x(x0,+).这是一个函数,其中指数x是自变量.问题2当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率),大约每经过5730年衰减为
18、原来的一半,这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律,生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系?设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p,如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位,那么死亡1年后,生物体内碳14含量为(1p)1;死亡2年后,生物体内碳14含量为(1p)2;死亡3年后,生物体内碳14含量为(1p)3;死亡5730年后,生物体内碳14含量为(1p)5730.根据已知条件,(1p)5730=12,从而1p=121530,所以p=11218730.设生物死亡年数为x,死亡生物体内碳14含量为y,那么y=(1p)x,即y=1215700x(x0,+).这也是一个函数,指数x是自变量
19、.死亡生物体内碳14含量每年都以11213730的衰减率衰减.像这样,衰减率为常数的变化方式,我们称为指数衰减.因此,死亡生物体内碳14含量呈指数衰减.如果用字母a代替上述(1)(2)两式中的底数1.11和1215230,那么函数y=1.11x和y=1213330x就可以表示为y=ax的形式,其中指数x是自变量,底数a是一个大于0且不等于1的常量.一般地,函数y=ax(a0,且a1)叫做指数函数(exponentialfunction),其中指数x是自变量,定义域是R.例1已知指数函数f(x)=ax(a0,且a1),且f(3)=,求f(0),f(1),f(3)的值.分析:要求f(0),f(1)
20、,f(3)的值,应先求出f(x)=ax的解析式,即先求a的值.解:因为f(x)=ax,且f(3)=,则a3=,解得a=13,于是f(x)=x3.所以,f(0)=0=1,f(1)=13=3,f(3)=1=1.例2(1)在问题1中,如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入,A地景区的门票价格为150元,比较这15年间A,B两地旅游收入变化情况.(2)在问题2中,某生物死亡10000年后,它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几?解：(1)设经过x年,游客给A,B两地带来的收入分别为f(x)和g(x),则f(x)=1150(10x+600),g(x)=10002781.11x.利用
21、计算工具可得,当x=0时,f(0)g(0)=412000.当x10.22时,f(10.22)g(10.22).结合图4.2-3可知:当xg(x),当x10.22时,f(x)g(x),但g(x)的增长速度大于f(x);根据上述数据,并考虑到实际情况,在2011年2月某个时刻就有f(x)=g(x),这时游客给A地带来的收入和B地差不多;此后,f(x)0,且a1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.1.下列图象中,有可能表示指数函数的是().(A)(B)(C)(D)2.已知函数y=f(x),xR,且f(0)=3,f(0.5)f(0)=2,f(1)f(0.5)=2,f(0.5n
22、)f(0.5(n1)=2,nN,求函数y=f(x)的一个解析式.3.在某个时期,某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长,那么经过30天,该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍?(可以使用计算工具)【阅读与思考】放射性物质的衰减本节问题2中的碳14是一种著名的放射性物质,像铀235、锶90、碘131、铯137、镭226等也都是放射性物质.放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量,发出射线的物质.在一个给定的单位时间内,放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况,这个时间被称做半衰期.那么连续两个半衰期是否就是一个“全衰期”(放射性物质质量衰减为0
23、所用的时间)?实际上,在连续两个半衰期里,放射性物质将衰减为原有质量的122=14.所以,连续两个半衰期并非是一个全衰期.在问题2中,我们知道碳14的半衰期为5730年,如果C0是碳14的初始质量,那么经过t年后,碳14所剩的质量C(t)=C012t5730.一般地,如果某物质的半衰期为,那么经过时间t后,该物质所剩的质量Q(t)=Q012t,其中Q0是该物质的初始质量.你能说明理由吗?如果某函数呈指数增长,那么称函数值增长为原来两倍所用的时间为“倍增期”.你能通过上网查询,给出一个倍增的指数函数模型实例吗?4.2.2指数函数的图象和性质下面我们类比研究幂函数性质的过程和方法,进一步研究指数函
24、数.首先画出指数函数的图象,然后借助图象研究指数函数的性质.先从简单的函数y=2x开始.请同学们完成x,y的对应值表4.2-2,并用描点法画出函数y=2x的图象(图4.2-4).表4.2-2xy21.50.3510.50.7100.51.4111.52.832图4.2-4为了得到指数函数y=ax(a0,且a1)的性质,我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察.【探究】画出函数y=12x的图象,并与函数y=2x的图象进行比较,它们有什么关系?能否利用函数y=2x的图象,画出函数y=12x的图象?因为y=12x=2x,点(x,y)与点(x,y)关于y轴对称,所以函数y=2x图象上任意一点P(
25、x,y)关于y轴的对称点P1(x,y)都在函数y=12x的图象上,反之亦然.由此可知,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.根据这种对称性,就可以利用一个函数的图象,画出另一个函数的图象,比如利用函数y=2x的图象,画出图4.2-5y=12x的图象(图4.2-5).【探究】选取底数a(a0,且a1)的若千个不同的值,在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象.观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性?由此你能概括出指数函数y=ax(a0,且a1)的值域和性质吗?如图4.2-6,选取底数a的若干值,用信息技术画图,发现指数函数y=ax的图象按底数a的取值,可分为0a1两种类型
26、.因此,指数函数的性质也可以分0a1两种情况进行研究.一般地,指数函数的图象和性质如表4.23所示.表4.2-3例3比较下列各题中两个值的大小:(1)1.72.5,1.73;(2)0.82,0.83;(3)1.70.3,0.93.1.分析：对于(1(2),要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值,因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较;对于(3),1.70.3和0.93.1不能看作某一个指数函数的两个函数值.可以利用函数y=1.7x和y=0.9x的单调性,以及“x=0时,y=1”这条性质把它们联系起来.解：(1)1.72.5和1.73可看作函数y=1.7x当x分别取2.5和3时所对应的
27、两个函数值.因为底数1.71,所以指数函数y=1.7x是增函数.因为2.53,所以1.72.51.73.(2)同(1)理,因为00.83,所以0.821.70=1,0.93.10.93.1.由例3可以看到,利用指数函数的单调性,通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系.例4如图4.2-7,某城市人口呈指数增长.(1)根据图象,估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期);(2)该城市人口从80万人开始,经过20年会增长到多少万人?分析：(1)因为该城市人口呈指数增长,而同一指数函数的倍增期是相同的,所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.(2) 要计算20年后的人口数,关键是要找到20年
28、与倍增期的数量关系.解：(1)观察图4.2-7,发现该城市人口经过20年约为10万人,经过40年约为20万人,即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年,所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.(2)因为倍增期为20年,所以每经过20年,人口将翻一番.因此,从80万人开始,经过20年,该城市人口大约会增长到160万人.图4.2-7【练习】1.在同一直角坐标系中画出函数y=3x和y=13x的图象,并说明它们的关系.2.比较下列各题中两个值的大小:(1)62,72;(2)0.33.5,0.32.3;(3)1.20.5,0.51.2.3.体内癌细胞初期增加得很缓慢,但到了晩期就急剧增加,
29、画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.习题4.2【复习巩固】1.求下列函数的定义域:(1)y=23x;(2)y=32x+1;(3)y=125x;(4)y=0.71x.2.一种产品原来的年产量是a件,今后m年内,计划使产量平均每年比上一年增加p%,写出年产量y(单位:件)关于经过的年数x的函数解析式.3.比较满足下列条件的m,n的大小:(1)2m2n;(2)0.2m0.2n;(3)aman(0aan(a1).4.设函数f(x)=Q0(1+r)x,且f(10)=20.23,f(11)=23.26.(1)求函数f(x)的增长率r;(2)求f(12)的值.【综合运用】5.求下列函数可能的一个解
30、析式:(1)函数f(x)的数据如下表:x012f(x)3.504.205.04(2)函数g(x)的图象如下:(第5题)6.比较下列各题中两个值的大小:(1)30.8,30.7;(2)0.750.1,0.750.1;(3)1.012.7,1.013.5;(4)0.993.3,0.994.5.7.当死亡生物组织内碳14的含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后,那么用一般的放射性探测器能测到碳14吗?8.按复利计算利息的一种储蓄,本金为a(单位:元),每期利率为r,本利和为y(单位:元),存期数为x.(1)写出本利和y关于存期
31、数x的函数解析式;(2)如果存人本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息.我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄.【拓广探索】9.已知函数y=a12|x|+b的图象过原点,且无限接近直线y=2但又不与该直线相交.(1)求该函数的解析式,并画出图象;(2)判断该函数的奇偶性和单调性.10.已知f(x)=ax,g(x)=1ax(a0,且a1),(1)讨论函数f(x)和g(x)的单调性.(2)如果f(x)0,且a1)的图象.由于底数a可取大于0且不等于1的所有实数,所以不妨用一端固
32、定于y轴的水平线段PA的长度来表示底数a的值,即点A的横坐标xA显示的就是a的取值.2.如图1,从左向右拖动点A0xA1,如图2,图象发生了变化,图1图2随着xA的值逐渐增大,在第一象限内,图象越来越接近于y轴,在第二象限内,图象越来越接近于x轴.3.根据图1和图2,可以容易地发现指数函数的下列性质:(1)所有函数的图象都过点(0,1).(2)所有函数的定义域都是(,+),值域都是(0,+).(3)在图1中,当0a1时,函数图象均呈上升趋势,即函数为增函数.接下来,请你思考和探究下列问题:1.继续观察图1和图2,当自变量x取同一个数时,对应的函数值y的大小关系是什么,你从中发现了什么规律?2.
33、类似地,你可以利用信息技术绘制幕函数y=x的图象,通过改变的大小,认识幕函数的变化规律.4.3对数【节引言】在4.2.1的问题1中,通过指数幂运算,我们能从y=1.11x中求出经过x年后B地景区的游客人次为2001年的倍数y.反之,如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍,3倍,4倍,那么该如何解决?4.3.1对数的概念上述问题实际上就是从2=1.11x,3=1.11x,4=1.11x,中分别求出x,即已知底数和幂的值,求指数.这是本节要学习的对数.一般地,如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作x=logaN,“log”是拉丁文logarit
34、hm(对数)的缩写.其中a叫做对数的底数,N叫做真数.例如,由于2=1.11x,所以x就是以1.11为底2的对数,记作x=log1.112;再如,由于42=16,所以以4为底16的对数是2,记作log416=2.通常,我们将以10为底的对数叫做常用对数(commonlogaritm),并把log10N记为lgN.另外,在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e=2.71828为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数(naturallogarithm),并把logeN记为lnN.通过查询互联网,进一步了解无理数e、常用对数和自然对数.根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a0,a1时,
35、ax=Nx=logaN.由指数与对数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论:负数和0没有对数;loga1=0,logaa=1.请你利用对数与指数间的关系证明这两个结论.例1把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:(1)54=625;(2)26=164;(3)13m=5.73;(4)log1216=4;(5)lg0.01=2;(6)ln10=2.303.解：(1)log5625=4;(2)log2164=6;(3)log135.73=m;(4)124=16;(5)102=0.01;(6)e2.303=10.例2求下列各式中x的值:(1)log64x=23;(2)logx8=6;(3)lg100
36、=x;(4)lne2=x.解：(1)因为log64x=23,所以x=6423=4323=42=116.(2)因为logx8=6,所以x6=8.又x0,所以x=816=2316=212=2.(3)因为lg100=x,所以于是10x=100,10x=102,x=2.(4)因为lne2=x,所以于是lne2=x,e2=ex,x=2.【练习】1.把下列指数式写成对数式,对数式写成指数式:(1)23=8;(2)e3=m;(3)2713=13;(4)log39=2;(5)lgn=2.3;(6)log3181=4.2.求下列各式的值:(1)log525;(2)log0.41;(3)ln1e;(4)lg0.0
37、01.3.求下列各式中x的值:(1)log13x=3;(2)logx49=4;(3)lg0.00001=x;(4)lne=x.4.3.2对数的运算在引人对数之后,自然应研究对数的运算性质.你认为可以怎样研究?【探究】我们知道了对数与指数间的关系,能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢?设因为所以M=am,N=an,aman=am+n,MN=am+n.根据对数与指数间的关系可得logaM=m,logaN=n,loga(MN)=m+n.这样,就得到了对数的一个运算性质:loga(MN)=logaM+logaN.同样地,同学们可以仿照上述过程,由aman=amn和amn=amn,自己推出对数
38、运算的其他性质.于是,我们得到如下的对数运算性质.(1)loga(MN)=logaM+logaN;(2)logaMN=logaMlogaN;(3)logaMn=nlogaM(nR).如果a0,且a1,M0,N0,那么例3求下列各式的值:(1)lg5100;(2)log24725.解:(1)lg5100=lg10015=15lg100=25;(2)log24725=log247+log225=7log24+5log22=72+51=19.例4用lnx,lny,lnz表示lnx2y3z.解:lnx2y3z=lnx2yln3z=lnx2+lnyln3z=2lnx+12lny13lnz数学史上,人们经
39、过大量的努力,制作了常用对数表和自然对数表,只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数.现在,利用计算工具,也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数.这样,如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数,就能方便地求出这些对数.【探究】(1)利用计算工具求ln2,ln3的近似值;(2)根据对数的定义,你能利用ln2,ln3的值求log23的值吗?(3)根据对数的定义,你能用logca,logcb表示logab(a0,且a1；b0;c,且c1)吗?设logab=x,则ax=b,于是logcax=logcb.根据性质(3)得xlogca=logcb,即logab=logcblogca(a0
40、,且a1;b0;c0,且c1).我们把上式叫做对数换底公式.在4.2.1的问题1中,求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍,就是计算x=log1.112的值.由换底公式,可得x=log1.112=lg2lg1.11.利用计算工具,可得x=lg2lg1.116.647.由此可得,大约经过7年,B地景区的游客人次就达到2001年的2倍.类似地,可以求出游客人次是2001年的3倍,4倍,所需要的年数.例5尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.2011年3月11日,日
41、本东北部海域发生里氏9.0级地震,它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)?解:设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2.由lgE=4.8+1.5M,可得lgE1=4.8+1.59.0,lgE2=4.8+1.58.0.于是,lgE1E2=lgE1lgE2=(4.8+1.59.0)(4.8+1.58.0)=1.5.利用计算工具可得,E1E2=101.532.想一想,为什么两次地震的里氏震级仅差1级,而释放的能量却相差那么多呢?虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级,但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.【练习】1.求下列各式的值:(1)log32792;(2)lg5+lg2;(3)ln3+ln13;(4)log35log315.2.用lgx,lgy,lgz表示下列各式:(1)lg(xyz);(2)lgxy2z;(3)lgxy3z;(4)lgxy2z.3.化简下列各式:(1)log23log34log45log52;(2)2log43+log83log32+log92.习题4.3【复习巩固】1.把下列指数式写成对数式,对数式写成指数式:(1)3x=1;(2)4x=16;(3)10x=6;(4)e