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1、数学归纳法1 数学归纳法的概念一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n=n0(n0N)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当n=k(kN , kn0)时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”； 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.PS 用数学归纳法证明，两个步骤缺一不可.2 数学归纳法的运用 数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题，比如：与正整数n有关的等式或不等式的证明，求数列的通项公式，与数列有关的不等关系证明，整除问题，函数不等式等. 在运用数学归纳法证明时要注意以下几点
2、 第一步归纳奠基中的n0不一定是1； 当证明从n=k到n=k+1时，所证明的式子不一定只增加一项； 在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在n=k+1时的式子中凑出n=k的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论，明确n=k+1时要证明的目标，在这个过程中常用到比较法、分析法等，不等式证明中还会用到放缩法)； 要注意“观察-归纳猜想-证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想. 【题型一】 对数学归纳法的理解【典题1】用数学归纳法证明“2nn+2对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取 .【典题2】用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn+yn能被x+y整除”
3、，在第二步时，正确的证法是 ()A假设n=k(kN)，证明n=k+1命题成立B假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+1命题成立C假设n=2k+1(kN)，证明n=k+1命题成立D假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+2命题成立【典题3】 用数学归纳法证明：1+12+13+12n1n2时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是 .巩固练习 1 () 用数学归纳法证明不等式12+13+14+12n1n21(nN，n1)时，以下说法正确的是()A第一步应该验证当n=1时不等式成立B从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是12kC从“n=k到n=k+1”左边需要增加(2k11)
4、项D从“n=k到n=k+1”左边需要增加2k1项 2 ()用数学归纳法证明2nn2(n4)时，第二步应假设()An=k2时，2kk2Bn=k3时，2kk2Cn=k4时，2kk2Dn=k5时，2kk2 3() 用数学归纳法证明“1n+1+1n+2+1n+3+13n+11”时，假设n=k时命题成立，则当n=k+1时，左端增加的项为()A13k+4 B13k+41k+1 C13k+2+13k+3+13k+4 D13k+2+13k+423(k+1)4() 用数学归纳法证明“(3n+1)7n1(nN)能被9整除”，在假设n=k时命题成立之后，需证明n=k+1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的
5、是余项()能被9整除A37k+6B37k+1+6C37k3D37k+13【题型二】 等式的证明【典题1】 用数学归纳法证明：1+2+3+(n+3)=(n+3)(n+4)2(nN).【典题2】 观察下列等式：13=1；13+23=3；13+23+33=6；13+23+33+43=10(1)请写出第5个、第6个等式，猜想出第n(nN)个等式；(2)用数学归纳法证明你的猜想巩固练习1 () 证明：112+134+12n12n=1n+1+1n+2+1n+n.2 () 证明(312+1)+(322+2)+(332+3)+(3n2+n)=nn+123() 证明：123+234+345+n(n+1)(n+2
6、)=14n(n+1)(n+2)(n+3)4 () 给出下列等式：31212=1112，31212+423122=11322，31212+423122+534123=11423，(1)由以上等式推测出一个一般性的结论；(2)证明你的结论5 () 证明tantan2+tan2tan3+tann1tan(n)=tan(n)tan n(n2 , nN)【题型三】 不等式的证明【典题1】 已知前三个式子分别为：1+12232，1+122+13253，1+122+132+1421【典题3】证明：sin(n)nsin (nN)巩固练习1 () 证明：12+122+12nn3 () 证明：1+12+13+14
7、+12n1n(n1 , nN)4 () 设an=12+23+34+n(n+1)，证明对任意的正整数n，都有n(n+1)2an0，b0，n1，nN证明：an+bn2(a+b2)n【题型四】 数列与数学归纳法【典题1】 已知数列an的前n项和Sn=2nan(1)计算a1 , a2 , a3 , a4，并猜an的通项公式；(2)证明(1)中的猜想【典题2】 设正项数列an满足a1=1，an+122an=n2+1，nN，求数列an的通项公式【典题3】 由正实数组成的数列an满足an2anan+1 , n=1 , 2证明：对任意n2，都有an1n【典题4】已知数列an的各项都是正数，且满足：a0=1，a
8、n+1=12an4an(nN)证明anan+10，6Sn=an2+3an(1)求a1 , a2 , a3；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明3 () 已知数列an满足a1=25，an+1an+2an+1=2an，(nN)(1)计算a2 , a3 , a4的值；(2)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明4() 已知数列xn满足x1=12，xn+1=11+xn , nN；(1)猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论；(2)证明：|xn+1xn|16(25)n15 () 设数列an满足an+1=an2nan+1，nN(1)当a1=2时，求a2 , a3 , a4，并由此猜想出an的一个
9、通项公式；(2)当a13时，证明对所有nN，有：ann+2；11+a1+11+a2+11+an12【题型五】整除问题【典题1】用数学归纳法证明：2n+23n+5n4(nN)能被25整除巩固练习1 () 用数学归纳法证明：n3+5n(nN)能被6整除2() 用数学归纳法证明：1+2+22+23n1可以被7整除3 () 证明：对一切正整数n，5n+23n1+1能被8整除【题型六】 其他应用【典题1】 平面内n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线，猜想f(n)的表达式并给出证明；(2)求证：这n条直线把平面分成sn=n(n+1)2+1个区域【典题
10、2】 若已知ln(1x+1)1x+1(x0)，求证：lnn12+13+1n(nN且n2) 巩固练习1 () 平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n个圆把平面分成了n2n+2个区域2 () 如图，曲线C：xy=1(x0)与直线l：y=x相交于A1，作A1B1l交x轴于B1，作B1A2l交曲线C于A2，以此类推(1)写出点A1、A2、A3和B1、B2、B3的坐标；(2)猜想An(nN)的坐标，并用数学归纳法加以证明3() 设i为虚数单位，n为正整数，0 , 2)(1)用数学归纳法证明：cos+isinn=cosn+isin(n)；(2)已知z=3i，试利用(1)的结论计算z104() 如图，平面上已有一个边长为1的正方形，现按如图规律作正方形：第一步向右作一个边长也为1的正方形；第二步向下以上面两个正方形的边长之和为边作正方形；第三步向右以左面两个正方形的边长之和为边长作正方形，记第n步所作正方形的边长为f(n)，nN(1)求f(1)f(3)f2(2)和f(2)f(4)f2(3)的值；(2)试猜想f(n)f(n+2)f2(n+1)的结果，并用数学归纳法证明