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1、新人教A版高二4.4* 数学归纳法1.一个与正整数n有关的命题，当n=2时命题成立，且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立，则（）A.该命题对于n2的自然数n都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k的取值无关D.以上答案都不对2.在用数学归纳法证明“2nn2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0的值为（）A.1B.3C.5D.73.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步归纳假设应该写成（）A.假设当n=k(kN*)时，xk+yk能被x+y整除B.假设当n=2k(kN*)时，xk+yk能被x+y整除C.假设当n=2k+1
2、(kN*)时，xk+yk能被x+y整除D.假设当n=2k-1(kN*)时，x2k-1+y2k-1能被x+y整除4.利用数学归纳法证明不等式1+12+13+12n-11324(n2)的过程中，设f(k)=1k+1+1k+2+12k，从n=k递推到n=k+1时，不等式左边为（）A.f(k)+12k+1B.f(k)+12k+1+12k+1C.f(k)+12k+1+12k+1-1k+1D.f(k)+12k+1-1k+17.用数学归纳法证明“1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+n)=n(n+1)(n+2)6”的过程中，由n=k到n=k+1时，等式左边需要添加的项是（）A.k(k+1)2B.k(
3、k+1)2+1C.k(k+1)2+1+(k+1)(k+2)2D.(k+1)(k+2)28.用数学归纳法证明1n+1n+1+1n+2+1n21的过程中，从n=k到n=k+1时，左边应增加的项是（）A.1k2+1+1k2+2+1(k+1)2-1kB.1(k+1)2-1kC.1k2+1+1k2+2+1(k+1)2D.1k2+1+1(k+1)2-1k9.在用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+12n12(n1,nN*)的过程中，从n=k到n=k+1时，左边需要增加的代数式是.10.用数学归纳法证明某个命题时，左边为1234+2345+n(n+1)(n+2)(n+3)，从n=k到n=k+1时，左边需
4、增加的代数式为.11.用数学归纳法证明“1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n(nN*)”的过程中，第一步应验证的等式是，从n=k到n=k+1时，左边需增加的代数式是.12.用数学归纳法证明1+2+22+2n-1=2n-1(nN*)的过程如下：当n=1时，左边=1，右边=21-1=1，等式成立；假设当n=k时，等式成立，即1+2+22+2k-1=2k-1，则当n=k+1时，1+2+22+2k-1+2k=1-2k+11-2=2k+1-1，所以当n=k+1时，等式也成立.由此可知，对任意nN*，等式都成立.上述证明过程中的错误是.13.设nN*，求证：112+122+
5、1n22-1n.14.已知数列an的前n项和为Sn,a1=-23，Sn+1Sn+2=an(n2).(1)求S1，S2，S3并猜想Sn表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中猜想.15.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需展开（）A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)316.空间内n(nN*)个平面最多可将空间分成f(n)=an3+bn2+cn+1个部分.(1)求a，b，c的值；(2)用数学归纳法证明此结论.参考答案1.【答案】:B【解析】:由n=k时命题成立可以推出n=k+2时命题
6、也成立，且n=2时命题成立，故该命题对于所有的正偶数都成立.2.【答案】:C【解析】:当n=1时，2nn2；当n=2时，2n=n2；当n=3时，2nn2，所以第一步验证的n0的值为5.故选C.3.【答案】:D【解析】:n为正奇数，n=2k-1，kN*，故选D.4.【答案】:D【解析】:由题意知，当n=k时，最后一项为12k-1，当n=k+1时，最后一项为12k+1-1，由n=k到n=k+1时，左边增加了2k+1-1-(2k-1)=2k(项)，故选D.5.【答案】:C【解析】:增加一个顶点，就增加(n+1-3)条经过该点的对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n+1)=f(n)+1+n+1
7、-3=f(n)+n-1.故选C.6.【答案】:C【解析】:当n=k时，左端=1k+1+1k+2+12k， 那么当n=k+1时，左端=1k+2+1k+3+12k+12k+1+12k+1， 故从n=k递推到n=k+1时不等式左边为f(k)+12k+1+12k+1-1k+1.故选C.7.【答案】:D【解析】:当n=k时，左边最后一项为1+2+3+k=k(k+1)2， 当n=k+1时，左边最后一项为1+2+3+(k+1)=(k+1)(k+2)2， 从n=k到n=k+1，等式左边需要添加的项为(k+1)(k+2)2，故选D.8.【答案】:A【解析】:用数学归纳法证明1n+1n+1+1n+2+1n21时，
8、 假设n=k时不等式成立，左边=1k+1k+1+1k+2+1k2， 则当n=k+1时，左边=1k+1+1k+2+1k+3+1(k+1)2， 由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了1k2+1+1k2+2+1(k+1)2-1k，故选A.9.【答案】:12k+1-12k+2【解析】:当n=k时，左边的代数式为1k+1+1k+2+12k， 当n=k+1时，左边的代数式为1k+2+1k+3+1k+1+k+1，故从n=k到n=k+1时，左边需要增加的代数式为12k+1+12k+2-1k+1=12k+1-12k+2.10.【答案】:(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)【解析】:从n=k到n=k+1时
9、， 左边需增加的代数式是(k+1)(k+2)(k+3)(k+4).11.【答案】:1-12=12；12(k+1)-1-12(k+1)【解析】:用数学归纳法证明“1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n(nN*)”的过程中， 第一步应验证的等式为1-12=12. 从n=k到n=k+1时， 左边需增加的代数式为1-12+13-14+12(k+1)-1-12(k+1)-1-12+13-14+12k-1-12k =12(k+1)-1-12(k+1).12.【答案】:没有用到归纳假设【解析】:正确的过程是在中，当n=k+1时，1+2+22+2k-1+2k=2k-1+2k=2k
10、+1-1,即用到了归纳假设.13.【答案】:(1)当n=1时，12-1=1，不等式成立；(2)假设当n=k(kN*)时，不等式成立，即112+122+1k22-1k，则当n=k+1时，112+122+1k2+1(k+1)22-1k+1(k+1)22-1k+1k(k+1)=2-1k+1k-1k+1=2-1k+1.由(1)(2)可知，对任意nN*，都有112+122+1n22-1n成立.14(1)【答案】S1=a1=-23.当n2时，由Sn+1Sn+2=an=Sn-Sn-1，得Sn=-12+Sn-1，则S2=-12-23=-34， S3=-12-34=-45. 猜想Sn=-n+1n+2.(2)【答
11、案】(i)当n=1时，由题意知等式成立.(ii)假设当n=k时，等式成立，即Sk=-k+1k+2, 则当n=k+1时，Sk+1=-12+Sk=-12-k+1k+2= -k+2k+3=-k+1+1k+1+2，等式也成立. 由(i)(ii)可知，对任意nN*,Sn=-n+1n+2都成立.15.【答案】:A【解析】:因为从n=k到n=k+1增加了(k+3)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k+3)3展开，证明余下的项9k2+27k+27能被9整除.16(1)【答案】由f(1)=2，f(2)=4，f(3)=8，得a+b+c=1,8a+4b+2c=3,27a+9b+3c=7, 解得a=16,b=0
12、,c=56.(2)【答案】以下用数学归纳法证明f(n)=16n3+56n+1,nN*.当n=1时，由(1)知等式成立.假设当n=k(kN*)时等式成立，即f(k)=16k3+56k+1， 那么当n=k+1时，在k个平面的基础上再添加第k+1个平面， 因为它和前k个平面都相交，所以可以得到k条互不平行的交线，且其中任 何3条交线都不共点，这k条交线可以把第k+1个平面划分成12k2+12k+1个部分， 每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了12k2+12k+1个， 所以f(k+1)=f(k)+12k2+12k+1=16k3+56k+1+12k2+12k+1=16(k+1)3+56(k+1)+1，即当n=k+1时，等式也成立.由可知，f(n)=16n3+56n+1,nN*.第 7 页,共7 页