《4.4 数学归纳法 -(选择性必修第二、三册)(教师版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《4.4 数学归纳法 -(选择性必修第二、三册)(教师版).docx（26页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数学归纳法1 数学归纳法的概念一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n=n0(n0N)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当n=k(kN , kn0)时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”； 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.PS 用数学归纳法证明，两个步骤缺一不可.2 数学归纳法的运用 数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题，比如：与正整数n有关的等式或不等式的证明，求数列的通项公式，与数列有关的不等关系证明，整除问题，函数不等式等. 在运用数学归纳法证明时要注意以下几点
2、 第一步归纳奠基中的n0不一定是1； 当证明从n=k到n=k+1时，所证明的式子不一定只增加一项； 在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在n=k+1时的式子中凑出n=k的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论，明确n=k+1时要证明的目标，在这个过程中常用到比较法、分析法等，不等式证明中还会用到放缩法)； 要注意“观察-归纳猜想-证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想. 【题型一】 对数学归纳法的理解【典题1】用数学归纳法证明“2nn+2对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取 .【解析】根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；结合本题
3、，要验证n=1时，左边=21=2，右边=1+2=3，2nn+2不成立，n=2时，左边=22=4，右边=2+2=4，2nn+2不成立，n=3时，左边=23=8，右边=3+2=5，2nn+2成立，n=4时，左边=24=16，右边=4+2=6，2nn+2成立，因为n2成立，所以2nn+2恒成立故n0=3.【点拨】数学归纳法第一步中的n0不一定是1，一般是满足题意的最小的正整数.【典题2】用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，在第二步时，正确的证法是 ()A假设n=k(kN)，证明n=k+1命题成立B假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+1命题成立C假设n=2k+1(kN)
4、，证明n=k+1命题成立D假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+2命题成立【解析】A、B、C中，k+1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k+2为奇数故答案：D【点拨】注意第二步中不一定是n=k+1，要注意题目对n的要求.【典题3】 用数学归纳法证明：1+12+13+12n1n2时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是 .【解析】用数学归纳法证明1+12+13+12n1n2的过程中，假设n=k时，左侧=1+12+13+12k1，当n=k+1成立时，左侧=1+12+13+12k1+12k+12k+11，从n=k到n=k+1时，左边增加12k+12k+11，共有2k+112k+1
5、=2k 项 【点拨】数学归纳法第二步中从n=k到n=k+1成立时，增加的项数不一定是只有1项，要式子变化的规律去判断，这在证明题中有助于关于“两个凑”的思考.巩固练习 1 () 用数学归纳法证明不等式12+13+14+12n1n21(nN，n1)时，以下说法正确的是()A第一步应该验证当n=1时不等式成立B从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是12kC从“n=k到n=k+1”左边需要增加(2k11)项D从“n=k到n=k+1”左边需要增加2k1项 【答案】D【解析】由于nN,n1，所以第一步应该是验证当n=2时不等式成立，从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是12k1+1+12
6、k1+2+12k，共2k1项故选：D2 ()用数学归纳法证明2nn2(n4)时，第二步应假设()An=k2时，2kk2Bn=k3时，2kk2Cn=k4时，2kk2Dn=k5时，2kk2 【答案】C【解析】根据证明的结论，n4，故第二步的假设应写成：假设n=k,n4,kN时命题正确，即2kk2正确故选：C3() 用数学归纳法证明“1n+1+1n+2+1n+3+13n+11”时，假设n=k时命题成立，则当n=k+1时，左端增加的项为()A13k+4 B13k+41k+1 C13k+2+13k+3+13k+4 D13k+2+13k+423(k+1)【答案】D【解析】n=k时，不等式的左边等于1k+1
7、+1k+2+1k+3+13k+1，且 kN，当n=k+1时，不等式的左边等于1k+2+1k+3+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4，当n=k+1时，不等式的左边比n=k时增加13k+2+13k+3+13k+41k+1=13k+2+13k+423(k+1)故选：D4() 用数学归纳法证明“(3n+1)7n1(nN)能被9整除”，在假设n=k时命题成立之后，需证明n=k+1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项()能被9整除A37k+6B37k+1+6C37k3D37k+13【答案】B【解析】假设n=k时命题成立，即(3k+1)7k1能被9整除，那么，当n=k+1时，3(
8、k+1)+17k+11(3k+1)7k1=3k+47k+13k+17k=3k+1+3 7k+1(3k+1)7k =(3k+1)7k+1+37k+1(3k+1)7k=6(3k+1)7k+37k+1 =6(3k+1)7k1+37k+1+6，(3k+1)7k1能被9整除，要证上式能被9整除，还需证明37k+1+6也能被9整除故选：B 【题型二】 等式的证明【典题1】 用数学归纳法证明：1+2+3+(n+3)=(n+3)(n+4)2(nN).【解析】 (1)当n=1时，左边=1+2+3+4=10，右边=(1+3)(1+4)2=10，左边=右边假设n=k(kN)时等式成立，即1+2+3+(k+3)=(k
9、+3)(k+4)2，那么当n=k+1时，1+2+3+(k+3)+(k+4)=(k+3)(k+4)2+(k+4)=(k+4)(k+5)2，即当n=k+1时，等式成立 综上，1+2+3+(n+3)=(n+3)(n+4)2(nN)【点拨】熟悉数学归纳法的解题步骤.【典题2】 观察下列等式：13=1；13+23=3；13+23+33=6；13+23+33+43=10(1)请写出第5个、第6个等式，猜想出第n(nN)个等式；(2)用数学归纳法证明你的猜想【解析】(1)根据等式可知第5个等式为13+23+33+43+53=15，第6个等式为13+23+33+43+53+63=21，观察6个式子，可以猜测第
10、n个式子为13+23+33+n3=n(n+1)2(通过观察法得到，其实其公式即是13+23+33+n3=n(n+1)22)(2)证明：当n=1时，左边=13=1=1(1+1)2=右边，此时猜想的等式成立；当n=k，k1时，假设13+23+33+k3=k(k+1)2成立，当n=k+1时，13+23+33+k3+(k+1)3=k2(k+1)24+(k+1)3(这步相当于以“13+23+33+k3=k(k+1)2”为已知条件，证明“13+23+33+k3+(k+1)3=(k+1)(k+1)+12成立”，接着证明k2(k+1)24+(k+1)3=(k+1)(k+1)+12，这个过程只需对等式进行化简便
11、可)=k2(k+1)24+4(k+1)34=(k+1)2k2+4(k+1)4 =(k+1)2(k+2)24=(k+1)(k+1)+12，当n=k+1时，猜想的等式也成立，综上，等式13+23+33+n3=n(n+1)2对任意的nN都成立【点拨】等式的证明主要是对式子进行“通分、因式分解”等基本操作，要明确已知什么证明什么，再利用综合法分析法找到解题思路.巩固练习1 () 证明：112+134+12n12n=1n+1+1n+2+1n+n.【证明】(1)当n=1时，左边=112=12，右边=12，赞美式成立(2)假设当n=k时，等式成立，即112+134+12k12k=1k+1+1k+2+12k
12、则当n=k+1时，112+134+12k12k+12k+12k+2 =1k+1+1k+2+12k+12k+12k+2 =1k+2+1k+3+12k+12k+112k+2+1k+1 =1k+2+1k+3+12k+12k+1+12k+2 =1(k+1)+1+1(k+1)+2+1k+1+k+1(k+1)(k+1) 即当n=k+1时，等式成立根据(1)、(2)可知，对一切nN，等式成立2 () 证明(312+1)+(322+2)+(332+3)+(3n2+n)=nn+12【证明】(1)n=1时，左边=312+1=4，右边=11+12=4，左边=右边，命题成立(2)假设n=k1(kN)时，命题成立，即(
13、312+1)+(322+2)+(332+3)+(3k2+k)=kk+12,kNn=k+1时，即证明(312+1)+(322+2)+(332+3)+(3k2+k)+3k+12+(k+1)=k+1k+1+12成立左边312+1+322+2+332+3+3k2+k+3k+12+k+1= kk+12+3k+12+k+1=k+1(k2+4k+4)=k+1k+1+12=右边n=k+1时命题成立综上可得：nN，(312+1)+(322+2)+(332+3)+(3n2+n)=nn+12成立3() 证明：123+234+345+n(n+1)(n+2)=14n(n+1)(n+2)(n+3)【证明】当n=1时，12
14、3=141234=6，等式成立假设当n=k时等式成立，即123+234+345+k(k+1)(k+2)=14k(k+1)(k+2)(k+3)，则当n=k+1时，123+234+345+k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3) =14k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)(k+2)(k+3)(14k+1) =14(k+1)(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+3，所以当n=k+1时等式也成立综上所述，等式成立4 () 给出下列等式：31212=1112，31212+423122=11322，31212+423122+534123=11423
15、，(1)由以上等式推测出一个一般性的结论；(2)证明你的结论【证明】(1)由以上等式推测出一个一般性的结论为：31212+423122+534123+n+2n(n+1)12n=11(n+1)2n(2)下面用数学归纳法证明这一结论当n=1时，左边=34，右边=34，结论成立；假设当n=k时，结论成立，即31212+423122+534123+k+2k(k+1)12k=11(k+1)2k则当n=k+1时，左边=31212+423122+534123+k+2k(k+1)12k+k+3(k+1)(k+2)12k+1=11(k+1)2k+k+3(k+1)(k+2)12k+1=12(k+2)(k+3)(k
16、+1)(k+2)2k+1 =1k+1(k+1)(k+2)2k+1=11(k+2)2k+1=11(k+1)+12k+1当n=k+1时也成立因此，等式对于一切nN都成立5 () 证明tantan2+tan2tan3+tann1tan(n)=tan(n)tan n(n2 , nN)【证明】(1)当n=2时，左边=tan2tan1tan2=2tan21tan2右边=tan2tan2=2tan(1tan2)tan2=2tan21tan2，等式成立(2)假设当n=k时，(k2,kN)等式成立，即tantan2+tan2tan3+tank1tank=tanktank 则当n=k+1时，tantan2+tan
17、2tan3+tank1tank+tanktan(k+1) =tanktank+tanktank+1 () 由tan=tank+1k=tank+1tank1+tank+1tank得tank+1tank=tank+1tanktan1代入()式，得右边=tanktank+tank+1tanktan1=tank+1tank+1 即tantan2+tan2tan3+tank1tank+tanktan(k+1) =tank+1tank+1 这就是说，当n=k+1时等式成立根据(1)、(2)可知，对任意n2,nN，等式成立 【题型三】 不等式的证明【典题1】 已知前三个式子分别为：1+12232，1+122
18、+13253，1+122+132+14274，照此规律，写出第n个不等式，并证明【解析】第n个不等式为1+122+132+.+1(n+1)22n+1n+1，以下用数学归纳法证明：当n=1时，左边=1+122=5432=右边，不等式成立；假设当n=k(kN且k1)时不等式成立，即1+122+132+.+1(k+1)22k+1k+1，那么，当n=k+1时，即要证明1+122+132+.+1(k+1)2+1(k+2)22k+3k+2成立，而1+122+132+.+1(k+1)2+1(k+2)22k+1k+1+1(k+2)2则只需证明2k+1k+1+1(k+2)22k+3k+2 (凑结论)2k+1k+
19、12k+3k+21(k+2)22k+1k+12k2+7k+5(k+2)2(2k+1)(k+2)2(k+1)(2k2+7k+5) 2k3+9k2+12k+42k3+9k2+12k+545 而45显然成立，(这里用“分析法”进行推导，其过程纯为计算，思考难度不高，“磨灭”掉“技巧性”)当n=k+1时不等式成立综上所述，不等式1+122+132+.+1(n+1)22(n+1)1n+1对于任意nN都成立；【点拨】 用数学归纳法证明不等式，使用“分析法”求证，有助于降低“思考难度”； 同时也看些“技巧性”的方法：不等式证明中的“放缩”，1+122+132+1(k+1)2+1(k+2)2 2k+1k+1+
20、1(k+2)22k+1k+1+1(k+1)(k+2)=2k2+5k+3(k+1)(k+2)=(k+1)(2k+3)(k+1)(k+2)=2k+3k+2，这里仅仅用到了1(k+2)2n(n1)，1n21n(n1)，1+122+132+1(n+1)21【解析】(1)当n=2时，左边=11+13+141，不等式成立；(2)假设n=k(k2 , kN)时命题成立，即1k+1k+1+1k+2+1k21，那么当n=k+1时，1k+1+1k+2+1k2+1k2+1+1k2+2k+1(k+1)2=(1k+1k+1+1k+2+1k2)+1k2+1+1k2+2k+1(k+1)21k，(凑假设：注意n=k与n=k+
21、1时不等式左边的关系，看清楚它们的首项与末项)1+1k2+1+1k2+2+1k2+2k+1(k+1)21k，(利用分析法，可知相当于要证明1k2+1+1k2+2+1k2+2k+1(k+1)21k)1+(2k+1)1(k+1)21k，(这里用放缩：1k2+1 , 1k2+2 , , 1k2+2k均大于1(k+1)2)=1+k2k1k2+2k+11.当n=k+1时不等式也成立，综上，由(1)(2)知，原不等式对n2(nN)均成立【点拨】 注意第二步中n=k+1与n=k时相同与不同的项； 多归纳总结下求证不等式的放缩技巧.【典题3】证明：sin(n)nsin (nN)【解析】当n=1时，不等式的左边
22、=|sin|，右边=|sin|，不等式成立；假设n=k(kN)，|sink|k|sin|，当n=k+1时，|sin(k+1)|=|sin(k)cos+cos(k)sin|sin(k)cos+cos(k)sin (这里用到绝对值三角不等式aba+ba+b)sin(k)+sin (运用三角函数的有界性)ksin+sin=(k+1)|sin|，即n=k+1时，不等式也成立综上可得，sinnnsin (nN)【点拨】绝对值三角不等式aba+ba+b，不等式右边“=”成立的条件是ab0，左边“=”成立的条件是ab0，且|a|b|.巩固练习1 () 证明：12+122+12n1(nN)【证明】当n=1时，
23、左边=121成立；假设当n=k时，结论成立，即12+122+12k1(kN)那么n=k+1时，左边=12+122+12k+12k+1=12+12(12+122+12k)12+12=1n=k+1时，结论成立综上，由可知12+122+12nn【证明】(1)当n=2时，左边=1+12=1+22，右边=2，等式成立(2)假设当n=k(k2且kN)不等式成立，即1+12+13+1kk，当n=k+1时，1+12+13+1k+1k+1k+1k+1=k(k+1)+1k+1kk+1k+1=k+1k+1=k+1，当n=k+1时，不等式也成立对n2，nN时，1+12+13+1nn3 () 证明：1+12+13+14
24、+12n1n(n1 , nN)【证明】(1)当n=1时，左边=1，右边=1，命题成立(2)假设当n=k时，1+12+13+14+12k1k成立当n=k+1时，左边=1+12+13+14+12k1+12k+12k+11k+12k+12k+11k+12k+12k=k+1，当n=k+1时命题成立由(1)(2)可得，对于任意n1，nN都成立4 () 设an=12+23+34+n(n+1)，证明对任意的正整数n，都有n(n+1)2an(n+1)22【证明】当n=1时，由a1=2，可得122，不等式成立；假设n=k(kN)，k(k+1)2ak(k+1)22，当n=k+1时，ak+1=ak+(k+1)(k+
25、2)，由ak(k+1)22，可得ak+1(k+1)22+(k+1)(k+2)，由(k+1)22+(k+1)(k+2)(k+2)22(k+1)(k+2)k+32k2+3k+2k2+3k+94294成立，可得ak+1k(k+1)2，可得ak+1k(k+1)2+(k+1)(k+2)，由kk+12+k+1k+2k+1k+22k+1k+2k+1k2+3k+2k2+2k+1k+10成立，可得ak+1(k+1)(k+2)2，则n=k+1时，不等式也成立综上可得，对任意的正整数n，都有n(n+1)2an0，b0，n1，nN证明：an+bn2(a+b2)n【证明】(1)当n=2时，左边右边=a2+b22(a+b
26、2)2=(ab2)20，不等式成立 (2)假设当n=k(kN,k1)时，不等式成立，即ak+bk2(a+b2)k 因为a0，b0，k1，kN，所以(ak+1+bk+1)(akb+abk)=( akbk)(ab)0，于是ak+1+bk+1akb+abk 当n=k+1时，(a+b2)k+1=(a+b2)ka+b2ak+bk2a+b2=ak+1+bk+1+akb+abk4ak+1+bk+1+ak+1+bk+14=ak+1+bk+12即当n=k+1时，不等式也成立 综合(1)，(2)知，对于a0，b0，n1，nN，不等式an+bn2(a+b2)n总成立 【题型四】 数列与数学归纳法【典题1】 已知数列
27、an的前n项和Sn=2nan(1)计算a1 , a2 , a3 , a4，并猜an的通项公式；(2)证明(1)中的猜想【解析】(1)根据题意，Sn=2nan当n=1时，a1=S1=2a1，a1=1；当n=2时，a1+a2=S2=22a2，a2=32；当n=3时，a1+a2+a3=S3=23a3，a3=74；当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=24a4，a4=158由此猜想an=2n12n1；(2)证明：当n=1时，a1=1，猜想成立假设n=k(k1且kN)时，猜想成立，即ak=2k12k1，那么n=k+1时，ak+1=Sk+1Sk=2k+1ak+12k+ak=2+akak+1，ak+1=
28、2+ak2=2+2k12k12=2k+112k当n=k+1时，猜想成立由知猜想an=2n12n1(nN)成立【点拨】 求数列的通项公式也可以用数学归纳法求解； 可尝试用非数学归纳法的方法求通项公式an，比较下它们之间的难易.【典题2】 设正项数列an满足a1=1，an+122an=n2+1，nN，求数列an的通项公式【解析】an+122an=n2+1，nN可得n=1时，a2=2，n=2时，a3=3，n=3时，a4=4，故猜想an=n，下面用数学归纳法证明an=n， (体会下“观察-归纳猜想-证明”思维模式)当n=1时，a1=1，等式成立当n=1时成立；假设当n=k时，猜想成立，即ak=k，那么
29、当n=k+1时，ak+12=2ak+k2+1=k+12，正项数列an，所以ak+1=k+1，当n=k+1时猜想也成立，由可得猜想成立【点拨】 用数学归纳法求解通项公式，一般是先求出前几项，猜想an，再证明； 本题数列递推公式an+122an=n2+1较复杂，但用数学归纳法求解得到一个较为简洁的解法.【典题3】 由正实数组成的数列an满足an2anan+1 , n=1 , 2证明：对任意n2，都有an0，anan20，0an1，下面用数学归纳法证明：当n=2时，a2a1a12=a1(1a1)a1+1a122=1412成立；(基本不等式的运用，用二次函数也行，前面确定0an1范围很重要)当n=k时
30、(k2 , kN)时，假设命题正确，即ak 1k12那么ak+1akak2=ak122+141k122+14 (结合二次函数图象易得)=1k1k2=k1k2k1k21 (这用到放缩k1k2k1k21，用分析法证明k1k21k+1也很容易)=1k+1 当n=k+1时，命题也正确综上所述，对于一切nN，an1n【点拨】在数列中证明不等式，与前面不等式的证明方法差不多，其中有分析法、放缩法等，还需要多注意各变量的取值范围(比如a1 , ak等)，做到步步严谨.【典题4】已知数列an的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=12an4an(nN)证明anan+12 , nN.【解析】 (证明anan
31、+12，相当于证明anan+1且an+12两步)方法一 数学归纳法 (i) 当n=0时，a0=1，a1=12a04a0=32，所以a0a12，命题正确ii 假设n=k1(kN)时命题成立，即ak1ak2. 则当n=k时，akak+1=12ak1 4ak112ak 4ak =12(4ak14ak+ak2ak12) =12(ak1ak)(4ak1ak) (因式分解) 而ak1ak0，所以akak+10.又ak+1=12ak (4ak)=12 4ak222. 所以n=k时命题成立由(1)(2)可知，对一切nN时有anan+12.方法二 数学归纳法(i)当n=0时，a0=1，a1=12a04a0=32
32、，所以a0a12；(ii)假设n=k1(kN)时有ak1ak2成立，(已知ak1ak2要证明akak+12，用到函数思想，递推公式ak+1=12ak (4ak)看成ak为自变量的函数)令f(x)=12x(4x)，f(x)在0 , 2上单调递增，所以由假设有：f(ak1)f(ak)f(2)，即12ak1 (4ak1)12ak (4ak)122(42)akak+12，所以当n=k时，akak+12成立所以对一切nN，有anan+12 .【点拨】方法一与方法二都是数学归纳法，但是方法二更能体现出题目的本质，由递推公式an+1=12an4an，联想到函数fx=12x4x，结合下图能更深入的感受到数列a
33、n中每一项的变化，及其范围. 这属于蛛网模型. 本题也可先求出通项公式an=2(12)2n1，再判断anan+10，6Sn=an2+3an(1)求a1 , a2 , a3；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明【答案】(1) a1=3,a2=6,a3=9 (2) an=3n，证明见解析【解析】(1)6Sn=an2+3an，当n=1时，6S1=6a1=a12+3a1，an0，a1=3，当n=2时，6S2=6(a1+a2)=a22+3a2，an0，a2=6，当n=3时，6S3=6(a1+a2+a3)=a32+3a3，an0，a3=9故a1=3,a2=6,a3=9(2)猜想an=3n，证明：当n
34、=1时，左边a1=3，右边=31=3，符合要求假设当n=k时，ak=3k当n=k+1时，ak+1=Sk+1Sk=16(ak+12+3ak+1ak23ak)即ak+123ak+19k(k+1)=0，an0，即ak+1=3(k+1)，当n=k+1时，也成立根据可知，an=3n，即得证3 () 已知数列an满足a1=25，an+1an+2an+1=2an，(nN)(1)计算a2 , a3 , a4的值；(2)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明【答案】(1) a2=13，a3=27，a4=14 (2) an=2n+4，证明见解析【解析】(1)数列an满足a1=25，an+1an+2an+1=2
35、an，(nN)n=1时，a2=13，n=2时，解得a3=27，n=3时，解得a4=14(2)猜想：an=2n+4证明：当n=1时，a1=25=21+4，猜想成立；假设当n=k(kN)时猜想成立，即ak=2k+4那么，依题可得ak+1=2akak+2=22k+42k+4+2=2k+5=2(k+1)+4所以，当n=k+1时猜想成立根据和 ，可知猜想对任何nN都成立4() 已知数列xn满足x1=12，xn+1=11+xn , nN；(1)猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论；(2)证明：|xn+1xn|16(25)n1【答案】(1) x2n是递减数列，证明见解析 (2) 证明见解析【解析】(1)由
36、x1=12，xn+1=11+xn，x2=23,x3=35,x4=58，x5=813,x6=1321，由x2x4x6猜想：数列x2n是递减数列下面用数学归纳法证明：(1)当n=1时，已证命题成立(2)假设当n=k时命题成立，即x2kx2k+2易知x2k0，那么x2k+2x2k+4=11+x2k+111+x2k+3=x2k+3x2k+1(1+x2k+1)(1+x2k+3)=x2kx2k+2(1+x2k)(1+x2k+1)(1+x2k+2)(1+x2k+3)0 即x2k+1x2k+1+2也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合(1)和(2)知，命题成立(2)当n=1时，|xn+1xn|=|x2x1|
37、=16，结论成立当n2时，易知0xn11，1+xn112 (1+xn)(1+xn1)=(1+11+xn1)(1+xn1)=2+xn152 xn+1xn=11+xn11+xn1=xnxn11+xn1+xn125xnxn1 (25)2|xn1xn2|(25)n1|x2x1| =16(25)n1 5 () 设数列an满足an+1=an2nan+1，nN(1)当a1=2时，求a2 , a3 , a4，并由此猜想出an的一个通项公式；(2)当a13时，证明对所有nN，有：ann+2；11+a1+11+a2+11+an12【答案】(1) a2=3 ,a3=4,a4=5,an=n+1(n1) (2)见解析【
38、解析】(1)由a1=2得a2=a12a1+1=3由a2=3得a3=a22a2+1=4由a3=4，得a4=a32a3+1=5由此猜想an的一个通项公式：an=n+1(n1) (2)证明：当n1时，a131+2，不等式成立6分(2) 用数学归纳法证明：(i)当n=1，a13=1+2，不等式成立(ii)假设当n=k时不等式成立，即akk+2，那么ak+1=akakk+1k+2k+2kk+3也就是说，当n=k+1时，ak+1(k+1)+2根据(i)和(ii)，对于所有n1，有ann+2证明：由知，an+1an(ann)+12an+1，即an+1+12(an+1)，于是于是11+an+11211+an，
39、反复放缩，可得11+an1211+an112211+an212n111+a1=12n+1，11+a1+11+a2+11+an122+123+12n+1=12(12)n+112【题型五】整除问题【典题1】用数学归纳法证明：2n+23n+5n4(nN)能被25整除【解析】(1)当n=1时，21+231+514=25，能被25整除，命题成立(2)假设n=k(kN)时，2k+23k+5k4能被25整除那么n=k+1时，原式=2k+33k+1+5(k+1)4=62k+23k+5(k+1)4 =6(2k+23k+5k4)5k+4+5(k+1)4 =6(2k+23k+5k4)30k+24+5k+54 =6(2k+23k+5k4)25(k1)(整个过程就是在n=k+1时“凑”出假设：2k+23k+5k4(n=k时的式子)，过程有些繁琐)62k+23k+5k4与2