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1、学习必备 欢迎下载 二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题 二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题 解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设 探究一 二次函数与三角形的结合 例 1 2013 重庆如图 411，对称轴为直线 x1 的抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴的交点为 A、B 两点，其中点 A的坐标为
2、(3，0)(1)求点 B 的坐标；(2)已知 a1，C 为抛物线与 y 轴的交点 若点 P 在抛物线上，且 SPOC4SBOC，求点 P 的坐标；设点 Q 是线段 AC 上的动点，作 QDx 轴交抛物线于点 D，求线段 QD 长度的最大值 (1)抛物线的解析式未知，不能通过解方程的方法确定点 B 的坐标，根据二次函数的对称性，能求出 B 点的坐标吗？(2)要求抛物线解析式应具备哪些条件？由 a1，A(3，0)，B(1，0)三个条件试一试；(3)根据 SPOC4SBOC 列出关于 x 的方程，解方程求出 x的值；(4)如何用待定系数法求出直线 AC 的解析式？(5)D 点的坐标怎么用 x 来表示
3、？(6)QD 怎样用含 x 的代数式来表示？(7)QD 与 x 的函数关系如何？是二次函数吗？如何求出最大值？以二次函数、三角形为背景的有关点存在性问题是以二次函数的图象和解析式为背景，判断三角形满足某些关于点的条件时，是否存在的问题，这类问题有关于点的对称点、线段、三角形等类型之分这类试题集代数、几何知识于一体，数形结合，灵活多变 解：(1)由题意知：点 A 与点 B 关于直线 x1 对称，A(3，0)，B(1，0)(2)当 a1 时，则 b2，把 A(3，0)(3)代入 yx22xc 中得 c3，学习必备 欢迎下载 该抛物线解析式为 yx22x3.SBOC12OBOC121332，SPOC
4、4SBOC4326.又 SPOC12OC|xp6，|xp4，xp 4.当 xp4 时，yp4224321；当 xp4 时，yp(4)22(4)35.点 P 的坐标为(4，21)或(4，5)A(3，0)，C(0，3)，则直线 AC 的解析式为 yx3.设点 Q 为(a，a3)，点 D 为(a，a22a3)，QDyQyDa3(a22a3)a23a.当 a32（1）32时，QD 有最大值，其最大值为：32233294.探究二 二次函数与四边形的结合 例 2 2013 枣庄 如图 412，在平面直角坐标系中，二次函数 yx2bxc 的图象与 x轴交于 A、B 两点，B 点的坐标为(3，0)，与 y 轴
5、交于 C(0，3)，点 P 是直线 BC 下方抛物线上的动点 (1)求这个二次函数的解析式；(2)连接 PO、PC，并将POC 沿 y 轴对折，得到四边形 POPC，那么是否存在点 P，使得四边形 POPC 为菱形？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积 圆和相似三角形常常综合在一起运用解决这类问题需要用到数形结合思想把数与形结合起来互相渗透存在探索型问题是指在给定条件下判断某种数学现象是否存在某个结论是否出现的问题解决这类问题的一般思路是先假设结论的某数与三角形
6、的结合例重庆如图对称轴为直线的抛物线与轴的交点为两点其中点的坐标为求点的坐标已知为抛物线与轴的交点若点在抛物线上求点的坐标设点是线段上的动点作轴交抛物线于点求线段长度的最大值抛物线的解析式未知由三个条件试一试根据列出关于的方程解方程求出的值如何用待定系数法求出直线的解析式点的坐标怎么用来表示怎样用含的代数式来表示与的函数关系如何是二次函数吗如何求出最大值以二次函数三角形为背景的有关点存在性问学习必备 欢迎下载(1)图中已知抛物线上几个点？将 B、C的坐标代入求抛物线的解析式；(2)画出四边形 POPC，若四边形 POPC为菱形，那么 P点必在 OC的垂直平分线上，由此能求出 P点坐标吗？(3)
7、由于ABC的面积为定值，求四边形 ABPC的最大面积，即求BPC的最大面积 求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四边形面积转化为三角形面积的和或差 解：(1)将 B、C两点的坐标代入 yx2bxc，得93bc0，c3，解得b2，c3.这个二次函数的解析式为 yx22x3.(2)假设抛物线上存在点 P(x，x22x3)，使得四边形 POP C为菱形连接 PP 交 CO于点 E.四边形 POP C为菱形，PCPO，PECO，OEEC32，P 点的纵坐标为32，即 x22x332，解得 x12 102，x22 102(不合题意，舍去)存在点 P(2 102，32)，使得四边形 POP C为菱
8、形(3)过点 P作 y轴的平行线交 BC于点 Q，交 OB于点 F，设P(x，x22x3)由 x22x30得点 A 的坐标为(1，0)B点的坐标为(3，0)，C点的坐标为(0，3)，直线 BC的解析式为：yx3，Q点的坐标为(x，x3)，AB4，CO3，BO3，PQx2+3x.圆和相似三角形常常综合在一起运用解决这类问题需要用到数形结合思想把数与形结合起来互相渗透存在探索型问题是指在给定条件下判断某种数学现象是否存在某个结论是否出现的问题解决这类问题的一般思路是先假设结论的某数与三角形的结合例重庆如图对称轴为直线的抛物线与轴的交点为两点其中点的坐标为求点的坐标已知为抛物线与轴的交点若点在抛物线
9、上求点的坐标设点是线段上的动点作轴交抛物线于点求线段长度的最大值抛物线的解析式未知由三个条件试一试根据列出关于的方程解方程求出的值如何用待定系数法求出直线的解析式点的坐标怎么用来表示怎样用含的代数式来表示与的函数关系如何是二次函数吗如何求出最大值以二次函数三角形为背景的有关点存在性问学习必备 欢迎下载 探究三 二次函数与相似三角形的结合 例 3 2013 凉山如图 413，抛物线 yax22axc(a0)交 x 轴于 A、B 两点，A点坐标为(3，0)，与 y 轴交于点 C(0，4)，以 OC、OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴 l 在边
10、 OA(不包括 O、A 两点)上平行移动，分别交 x 轴于点 E，交CD 于点 F，交 AC 于点 M，交抛物线于点 P，若点 M 的横坐标为 m，请用含 m 的代数式表示 PM 的长；(3)在(2)的条件下，连接 PC，则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点 P，使得以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似？若存在，求出此时 m 的值，并直接判断PCM 的形状；若不存在，请说明理由 S四边形ABPCSABCSBPQSCPQ12AB CO12PQBF12PQFO12ABCO12PQ(BFFO)12ABCO12PQBO124312(x23x)332x292x632x322758.当 x
11、32时，四边形 ABPC的面积最大此时 P 点的坐标为32，154，四边形 ABPC的最大面积为758.圆和相似三角形常常综合在一起运用解决这类问题需要用到数形结合思想把数与形结合起来互相渗透存在探索型问题是指在给定条件下判断某种数学现象是否存在某个结论是否出现的问题解决这类问题的一般思路是先假设结论的某数与三角形的结合例重庆如图对称轴为直线的抛物线与轴的交点为两点其中点的坐标为求点的坐标已知为抛物线与轴的交点若点在抛物线上求点的坐标设点是线段上的动点作轴交抛物线于点求线段长度的最大值抛物线的解析式未知由三个条件试一试根据列出关于的方程解方程求出的值如何用待定系数法求出直线的解析式点的坐标怎么
12、用来表示怎样用含的代数式来表示与的函数关系如何是二次函数吗如何求出最大值以二次函数三角形为背景的有关点存在性问学习必备 欢迎下载 (1)将_ 代入 yax22axc，求出抛物线的解析式；(2)根据_ 的坐标，用待定系数法求出直线 AC的解析式；(3)根据抛物线和直线 AC的解析式如何表示出点 P、点 M 的坐标和 PM 的长？(4)由于PFC 和AEM 都是直角，F 和 E 对应，则若以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似时，分两种情况进行讨论：PFC_，PFC_ 此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定要
13、注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解 解：(1)C(0，4)，A(3，0)在抛物线 yax22axc()a0 上，c4，9a6ac0，解得a43，c4.所求抛物线的解析式为 y43x283x4.(2)设直线 AC的解析式为 ykxb()k0，A(3，0)，C(0，4)在直线 AC上，3kb0，b4，解得k43，b4.直线 AC的解析式为 y43x4，Mm，43m4，Pm，43m283m4.点 P在 M 的上方，PM43m283m443m4 43m283m443m4 43m24m.(3)若PFCAEM，此时PCM 是直角三角形且PCM90.则PFAECFME，即PF
14、CFAEME.圆和相似三角形常常综合在一起运用解决这类问题需要用到数形结合思想把数与形结合起来互相渗透存在探索型问题是指在给定条件下判断某种数学现象是否存在某个结论是否出现的问题解决这类问题的一般思路是先假设结论的某数与三角形的结合例重庆如图对称轴为直线的抛物线与轴的交点为两点其中点的坐标为求点的坐标已知为抛物线与轴的交点若点在抛物线上求点的坐标设点是线段上的动点作轴交抛物线于点求线段长度的最大值抛物线的解析式未知由三个条件试一试根据列出关于的方程解方程求出的值如何用待定系数法求出直线的解析式点的坐标怎么用来表示怎样用含的代数式来表示与的函数关系如何是二次函数吗如何求出最大值以二次函数三角形为
15、背景的有关点存在性问学习必备 欢迎下载 又AEMAOC，AEAOMECO，即AEMEAOCO，PFCFAOCO34.PFPEEF43m283m4443m283m，CFOEm，43m283mm34.m0，m2316.若PFCMEA，此时PCM是等腰三角形且 PCCM.则PFMEFCEA，即PFFCMEEA.由得AOCOAEME34，OCOA43，PFFCOCOA43.同理，PF43m283m，CFOEm，43m283mm43.m0，m1.综上可得，存在这样的点 P使以 P、C、F 为顶点的三角形与AEM 相似，此时 m的值为2316或 1，PCM为直角三角形或等腰三角形 探究四 二次函数与圆的结
16、合 例 4 2013 巴中如图 414，在平面直角坐标系中，坐标原点为 O，A点坐标为(4，0)，B点坐标为(1，0)，以 AB的中点 P 为圆心，AB为直径作P 与 y 轴的正半轴交于点 C.(1)求经过 A、B、C 三点的抛物线所对应的函数解析式；(2)设 M 为(1)中抛物线的顶点，求直线 MC 对应的函数解析式；(3)试说明直线 MC 与P 的位置关系，并证明你的结论(1)已知抛物线上的哪两个点？设经过 A、B、C 三点的抛物线解析式是 ya(x4)(x1)，如何求出 C 点坐标？(2)怎么求出顶点 M 的坐标？(3)若直线 MC 与P 相切，如何去求证？用待定系数法求一次函数、二次函
17、数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键 解：(1)A(4，0)，B(1，0)，AB5，半径是 PCPBPA52，OP52132，在CPO中，由勾股定理得：OC CP2OP22，圆和相似三角形常常综合在一起运用解决这类问题需要用到数形结合思想把数与形结合起来互相渗透存在探索型问题是指在给定条件下判断某种数学现象是否存在某个结论是否出现的问题解决这类问题的一般思路是先假设结论的某数与三角形的结合例重庆如图对称轴为直线的抛物线与轴的交点为两点其中点的坐标为求点的坐标已知为抛物线与轴的交点
18、若点在抛物线上求点的坐标设点是线段上的动点作轴交抛物线于点求线段长度的最大值抛物线的解析式未知由三个条件试一试根据列出关于的方程解方程求出的值如何用待定系数法求出直线的解析式点的坐标怎么用来表示怎样用含的代数式来表示与的函数关系如何是二次函数吗如何求出最大值以二次函数三角形为背景的有关点存在性问学习必备 欢迎下载 C(0，2)设经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式是 ya(x4)(x1)，把 C(0，2)代入得：2a(04)(01)，a12，y12(x4)(x1)12x232x2，故经过 A、B、C 三点的抛物线所对应的函数解析式是 y12x232x2.(2)y12x232x212x3222
19、58，M32，258.设直线 MC 对应的函数解析式是 ykxb，把 C(0，2)，M32，258代入，得25832kb，b2，解得 k34，b2，y34x2.(3)MC 与P的位置关系是相切 证明：设直线 MC 交 x 轴于 D，当 y0时，034x2，x83，OD83，D83，0.在COD中，由勾股定理得 CD222832100940036.又 PC252225422536，PD252831262536，CD2PC2PD2，PCD90，PCDC.PC为半径，MC 与P的位置关系是相切.圆和相似三角形常常综合在一起运用解决这类问题需要用到数形结合思想把数与形结合起来互相渗透存在探索型问题是指在给定条件下判断某种数学现象是否存在某个结论是否出现的问题解决这类问题的一般思路是先假设结论的某数与三角形的结合例重庆如图对称轴为直线的抛物线与轴的交点为两点其中点的坐标为求点的坐标已知为抛物线与轴的交点若点在抛物线上求点的坐标设点是线段上的动点作轴交抛物线于点求线段长度的最大值抛物线的解析式未知由三个条件试一试根据列出关于的方程解方程求出的值如何用待定系数法求出直线的解析式点的坐标怎么用来表示怎样用含的代数式来表示与的函数关系如何是二次函数吗如何求出最大值以二次函数三角形为背景的有关点存在性问