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1、第第4141课时二次函数与几何综合类课时二次函数与几何综合类存在性问题存在性问题 回回 归归 教教 材材回回 归归 教教 材材考考 点点 聚聚 焦焦考考 向向 聚聚 焦焦归归 类类 探探 究究归归 类类 探探 究究二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数数”与与“形形”结合起来，互相渗透存在探索型问题是结合起来，互相渗透存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出
2、现的问题解决这类问题的一般思路是先假设结论是否出现的问题解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设设第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 考向互动探究考向互动探究考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究探究一二次函数与三角形的结合探究一二次函数与三角形的结合 回归教材回归教材例例12013重庆重庆如图如图411，对称轴为直线，对称轴为直线x1的抛物线的抛物线yax2bxc(
3、a0)与与x轴的交点为轴的交点为A、B两点，其中点两点，其中点A的坐的坐标为标为(3，0)(1)求点求点B的坐标；的坐标；(2)已知已知a1，C为抛物线与为抛物线与y轴的交点轴的交点若点若点P在抛物线上，且在抛物线上，且SPOC4SBOC，求点，求点P的坐标；的坐标；设点设点Q是线段是线段AC上的动点，作上的动点，作QDx轴交抛物线于点轴交抛物线于点D，求线段求线段QD长度的最大值长度的最大值考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材图图411第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 例题分层分析例题分层分析(1)抛物线的解析式未知，不能通过解抛物线
4、的解析式未知，不能通过解方程的方法确定点方程的方法确定点B的坐标，根据二次函数的坐标，根据二次函数的对称性，能求出的对称性，能求出B点的坐标吗？点的坐标吗？(2)要求抛物线解析式应具备哪些条件？要求抛物线解析式应具备哪些条件？由由a1，A(3，0)，B(1，0)三个条件试三个条件试一试；一试；考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材(3)根据根据SPOC4SBOC列出关于列出关于x的方程，解方程求的方程，解方程求出出x的值；的值；(4)如何用待定系数法求出直线如何用待定系数法求出直线AC的解析式？的解析式？(5)D点的坐标怎么用点的坐标怎么用x来表示？来表示？(6)QD怎样用含怎样用含
5、x的代数式来表示？的代数式来表示？(7)QD与与x的函数关系如何？是二次函数吗？如何求的函数关系如何？是二次函数吗？如何求出最大值？出最大值？第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材解题方法点析解题方法点析以二次函数、三角形为背景的有关点存在性问题是以以二次函数、三角形为背景的有关点存在性问题是以二次函数的图象和解析式为背景，判断三角形满足某些关二次函数的图象和解析式为背景，判断三角形满足某些关于点的条件时，是否存在的问题，这类问题有关于点的对于点的条件时，是否存在的问题，这类问题有关于点的对称点、线段、三
6、角形等类型之分这类试题集代数、几何称点、线段、三角形等类型之分这类试题集代数、几何知识于一体，数形结合，灵活多变知识于一体，数形结合，灵活多变 第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 解：(1)由题意知：点 A 与点 B 关于直线 x1 对称，A(3，0)，B(1，0)(2)当 a1 时，则 b2，把 A(3，0)(3)代入 yx22xc 中得 c3，该抛物线解析式为 yx22x3.SBOC12OBOC121332，SPOC4S
7、BOC4326.又 SPOC12OC|xp|6，|xp|4，xp4.考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 当 xp4 时，yp4224321；当 xp4 时，yp(4)22(4)35.点 P 的坐标为(4，21)或(4，5)A(3，0)，C(0，3)，则直线 AC 的解析式为 yx3.设点 Q 为(a，a3)，点 D 为(a，a22a3)，QDyQyDa3(a22a3)a23a.当 a32（1）32时，QD 有最大值，其最大值为：322332 94.探究二二次函数与四边形的结合探究二二次函数与四边形的结合
8、 例例22013枣庄枣庄 如图如图412，在平面直角坐标系中，二，在平面直角坐标系中，二次函数次函数yx2bxc的图象与的图象与x轴交于轴交于A、B两点，两点，B点的坐点的坐标为标为(3，0)，与，与y轴交于轴交于C(0，3)，点，点P是直线是直线BC下方抛物下方抛物线上的动点线上的动点(1)求这个二次函数的解析式；求这个二次函数的解析式；(2)连接连接PO、PC，并将，并将POC沿沿y轴对折，得到四边形轴对折，得到四边形POPC，那么是否存在点，那么是否存在点P，使得四边形，使得四边形POPC为菱形？若为菱形？若存在，求出此时点存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在
9、，请说明理由；(3)当点当点P运动到什么位置时，四边形运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？的面积最大？求出此时求出此时P点的坐标和四边形点的坐标和四边形ABPC的最大面积的最大面积考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材例题分层分析例题分层分析(1)图中已知抛物线上几个点？图中已知抛物线上几个点？将将B、C的坐标代入求抛物线的解析式；的坐标代入求抛物线的解析式；图图412第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 考
10、点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材解题方法点析解题方法点析求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四边形面积转化为三角形面积的和或差边形面积转化为三角形面积的和或差(2)画出四边形画出四边形POPC，若四边形，若四边形POPC为菱形，那么为菱形，那么P点必在点必在OC的垂直平分线上，由此能求出的垂直平分线上，由此能求出P点坐标吗？点坐标吗？(3)由于由于ABC的面积为定值，求四边形的面积为定值，求四边形ABPC的最大的最大面积，即求面积，即求BPC的最大面积的最大面积第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题
11、类存在性问题 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 解：(1)将 B、C 两点的坐标代入 yx2bxc，得93bc0，c3，解得b2，c3.这个二次函数的解析式为 yx22x3.(2)假设抛物线上存在点 P(x，x22x3)，使得四边形 POPC 为菱形连接 PP交 CO 于点 E.四边形 POPC 为菱形，PCPO，PECO，OEEC32，考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 P 点的纵坐标为32，即 x22x33
12、2，解得 x12 102，x22 102(不合题意，舍去)存在点 P(2 102，32)，使得四边形 POPC 为菱形(3)过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 Q，交 OB 于点 F，设 P(x，x22x3)由 x22x30 得点 A 的坐标为(1，0)B 点的坐标为(3，0)，C 点的坐标为(0，3)，直线BC 的解析式为：yx3，Q 点的坐标为(x，x3)，AB4，CO3，BO3，PQx2+3x.考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 S四边形ABPCSABCSBPQSCPQ12AB CO12P
13、QBF12PQFO12ABCO12PQ(BFFO)12ABCO12PQBO124312(x23x)332x292x632x322758.当 x32时，四边形 ABPC的面积最大此时 P 点的坐标为32，154 ，四边形 ABPC 的最大面积为758.考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材探究三二次函数与相似三角形的结合探究三二次函数与相似三角形的结合 例例32013凉山凉山如图如图413，抛物线，抛物线yax22axc(a0)交交x轴于轴于A、B两点，两点，A点坐标为点坐标为(3，0)，与，与y轴交于点轴交于点C(0，4)，以以OC、OA为边作矩形为边作矩形OADC交抛物线于点交抛物
14、线于点G.(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴抛物线的对称轴l在边在边OA(不包括不包括O、A两点两点)上平行移上平行移动，分别交动，分别交x轴于点轴于点E，交，交CD于点于点F，交，交AC于点于点M，交抛物，交抛物线于点线于点P，若点，若点M的横坐标为的横坐标为m，请用含，请用含m的代数式表示的代数式表示PM的长；的长；第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材(3)在在(2)的条件下，连接的条件下，连接PC，则在，则在CD上方的抛物线部分上方的抛物线部分是否存在这样的点是否存在这
15、样的点P，使得以，使得以P、C、F为顶点的三角形和为顶点的三角形和AEM相似？若存在，求出此时相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断的值，并直接判断PCM的形状；若不存在，请说明理由的形状；若不存在，请说明理由图图413第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材例题分层分析例题分层分析 (1)将将_代入代入yax22axc，求出抛物线的，求出抛物线的解析式；解析式；(2)根据根据_的坐标，用待定系数法求出直线的坐标，用待定系数法求出直线AC的的解析式；解析式；(3)根据抛物线和直线根据抛物线和直线AC的解析
16、式如何表示出点的解析式如何表示出点P、点、点M的坐标和的坐标和PM的长？的长？(4)由于由于PFC和和AEM都是直角，都是直角，F和和E对应，则若以对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和为顶点的三角形和AEM相似时，分两种情况进行讨相似时，分两种情况进行讨论：论：PFC_，PFC_第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材解题方法点析解题方法点析此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直数的解析式，矩形的性质，
17、相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定要注意的是当相似三角形角三角形、等腰三角形的判定要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 解：(1)C(0，4)，A(3，0)在抛物线 yax22axc(a0)上，c4，9a6ac0，解得a43，c4.所求抛物线的解析式为 y43x283x4.(2)设直线 AC 的解
18、析式为 ykxb(k0)，A(3，0)，C(0，4)在直线 AC 上，3kb0，b4，解得k43，b4.直线 AC 的解析式为 y43x4，考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 Mm，43m4，Pm，43m283m4.点 P 在 M 的上方，PM43m283m443m443m283m443m443m24m.考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 (3)若PFCAEM，此时PCM 是直角三角形且PCM90.则PFAECF
19、ME，即PFCFAEME.又AEMAOC，AEAOMECO，即AEMEAOCO，PFCFAOCO34.PFPEEF43m283m4443m283m，CFOEm，43m283mm34.m0，m2316.考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 若PFCMEA，此时PCM 是等腰三角形且 PCCM.则PFMEFCEA，即PFFCMEEA.由得AOCOAEME34，OCOA43，PFFCOCOA43.同理，PF43m283m，CFOEm，43m283mm43.m0，m1.综上可得，存在这样的点 P 使以 P、C、F
20、 为顶点的三角形与AEM 相似，此时 m 的值为2316或 1，PCM 为直角三角形或等腰三角形考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材探究探究四四二次函数与圆的结合二次函数与圆的结合 例例42013巴中巴中如图如图414，在平面直角坐标系中，坐标原，在平面直角坐标系中，坐标原点为点为O，A点坐标为点坐标为(4，0)，B点坐标为点坐标为(1，0)，以，以AB的中点的中点P为圆心，为圆心，AB为直径作为直径作P与与y轴的正半轴交于点轴的正半轴交于点C.(1)求经过求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；三点的抛物线所对应的函数解析式；(2)设设M为为(1)中抛物线的顶点，求直线中
21、抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解对应的函数解析式；析式；(3)试说明直线试说明直线MC与与P的位置关系，并证明你的结论的位置关系，并证明你的结论第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材例题分层分析例题分层分析 (1)已知抛物线上的哪两个点？设经过已知抛物线上的哪两个点？设经过A、B、C三点的抛三点的抛物线解析式是物线解析式是ya(x4)(x1)，如何求出，如何求出C点坐标？点坐标？(2)怎么求出顶点怎么求出顶点M的坐标？的坐标？(3)若直线若直线MC与与P相切，如何去求证？相切，如何去求证？解题方法点析
22、解题方法点析用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键这些性质进行推理和计算是解此题的关键第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 解：(1)A(4
23、，0)，B(1，0)，AB5，半径是 PCPBPA52，OP52132，在CPO 中，由勾股定理得：OC CP2OP22，C(0，2)设经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式是 ya(x4)(x1)，把 C(0，2)代入得：2a(04)(01)，a12，y12(x4)(x1)12x232x2，考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 故经过 A、B、 C 三点的抛物线所对应的函数解析式是y12x232x2.(2)y12x232x212x322258， M32，258 .设直线 MC 对应的函数解析式是 ykx
24、b，把 C(0，2)，M32，258 代入，得25832kb，b2，解得 k34，b2，y34x2.故直线 MC 对应的函数解析式是 y34x2.考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第41课时课时二次函数与几何综合二次函数与几何综合 类存在性问题类存在性问题 (3)MC 与P的位置关系是相切证明：设直线 MC 交 x 轴于 D，当 y0 时，034x2，x83，OD83，D83，0.在COD 中，由勾股定理得 CD222832100940036.又 PC252225422536，PD252831262536，CD2PC2PD2，PCD90，PCDC.PC 为半径，MC 与P 的位置关系是相切.