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1、学习必备 欢迎下载 同角三角函数的基本关系 东宁县绥阳中学 教学目的:知识目标:1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系;2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。能力目标:牢固掌握同角三角函数的两个关系式,并能灵活运用于解题,提高学生分析、解决三角的思维能力;教学重点:同角三角函数的基本关系式 教学难点:三角函数值的符号的确定,同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程:一、复习引入:1任意角的三角函数定义:设角是一个任意角,终边上任意一点(,)P x y,它与原点的距离为 2222(|0)r rxyxy,那么:sinyr,cosxr,tanyx
2、,2当角分别在不同的象限时,sin、cos、tg的符号分别是怎样的?3背景:如果53sinA,A为第一象限的角,如何求角 A的其它三角函数值;4问题:由于的三角函数都是由 x、y、r 表示的,则角的三个三角函数之间有什么关系?二、讲解新课:(一)同角三角函数的基本关系式:学习必备 欢迎下载(板书课题:同角的三角函数的基本关系)1.由三角函数的定义,我们可以得到以下关系:(1)商数关系:consintan (2)平方关系:1sin22con 说明:注意“同角”,至于角的形式无关重要,如22sin 4cos 41等;注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如 tancot1(,)2kkZ;对
3、这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用),如:2cos1 sin ,22sin1 cos,sincostan等。2例题分析:一、求值问题 例 1(1)已知12sin13,并且是第二象限角,求cos,tan,cot(2)已知4cos5,求sin,tan 解:(1)22sincos1,2222125cos1 sin1()()1313 又是第二象限角,cos0,即有5cos13,从而 sin12tancos5,15cottan12 (2)22sincos1,222243sin1 cos1()()55 ,又4cos05 ,在第二或三象限角。当在第二象限时,即有sin0,从而3si
4、n5,sin3tancos4;当在第四象限时,即有sin0,从而3sin5,sin3tancos4 总结:1.已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中,确定角的终边位置是关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解的情况不止一种。2.解题时产生遗漏的主要原因是:没有确定好或不去确定角的终边位置;利用平方关系开平方时,漏掉了负的平方根。例 2已知tan为非零实数,用tan表示sin,cos 角函数的基本关系式及它们之间的联系熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法能力目标牢固掌握同角三角函数的两个关系式并能灵活运用于解题提高学生分析解决三角
5、的思维能力教学重点同角三角函数的基本关函数定义设角是一个任意角终边上任意一点它与原点的距离为那么当角分别在不同的象限时的符号分别是怎样的背景如果函数值为一象限的角如何求角的其它三角问题由于的三角函数都是由表示的则角的三个三角函数之间有什么关定义我们可以得到以下关系商数关系平方关系说明注意同角至于角的形式无关重要如注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的如等对这些关系式不仅要牢固掌握还要能灵活运用正用反用变形用如等例题分析一求值问题例已学习必备 欢迎下载 解:22sincos1,sintancos,2222(costan)coscos(1tan)1,即有221cos1tan,又tan为非零实
6、数,为象限角。当在 第 一、四 象 限 时,即 有cos0,从 而22211tancos1tan1tan,22tan1tansintancos1tan;当在 第 二、三 象 限 时,即 有c os,从 而22211tancos1tan1tan ,22tan1tansintancos1tan 例 3、已知cos2sin,求cos2sin5cos4sin 解:2tancos2sin 611222tan54tancos2sin5cos4sin 强调(指出)技巧:1 分子、分母是正余弦的一次(或二次)齐次式 注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式,把分子、分母同除以cos,将分子、分母转化为tan的代
7、数式;2 “化 1 法”可利用平方关系1cossin22,将分子、分母都变为二次齐次式,再利用商数关系化归为tan的分式求值;小结:化简三角函数式,化简的一般要求是:(1)尽量使函数种类最少,项数最少,次数最低;(2)尽量使分母不含三角函数式;(3)根式内的三角函数式尽量开出来;22coscossin2sin2角函数的基本关系式及它们之间的联系熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法能力目标牢固掌握同角三角函数的两个关系式并能灵活运用于解题提高学生分析解决三角的思维能力教学重点同角三角函数的基本关函数定义设角是一个任意角终边上任意一点它与原点的距离为那么当角分别在不同的象限时的符号
8、分别是怎样的背景如果函数值为一象限的角如何求角的其它三角问题由于的三角函数都是由表示的则角的三个三角函数之间有什么关定义我们可以得到以下关系商数关系平方关系说明注意同角至于角的形式无关重要如注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的如等对这些关系式不仅要牢固掌握还要能灵活运用正用反用变形用如等例题分析一求值问题例已学习必备 欢迎下载(4)能求得数值的应计算出来,其次要注意在三角函数式变形时,常将式子中的“1”作巧妙的变形,二、化简 练习 1化简21 sin 440 解:原式221 sin(36080)1 sin 802cos 80cos80 练习 2)23(cos1cos1cos1cos1
9、化简 三、证明恒等式 例 4求证:cos1 sin1 sincosxxxx 证法一:由题义知cos0 x,所以1 sin0,1sin0 xx 左边=2cos(1sin)cos(1sin)(1sin)(1sin)cosxxxxxxx1 sincosxx右边 原式成立 证法二:由题义知cos0 x,所以1 sin0,1sin0 xx 又22(1sin)(1sin)1 sincoscoscosxxxxxx,cos1 sin1 sincosxxxx 证法三:由题义知cos0 x,所以1 sin0,1sin0 xx cos1 sin1 sincosxxxxcoscos(1sin)(1sin)(1sin)
10、cosxxxxxx 22cos1 sin0(1sin)cosxxxx,cos1 sin1 sincosxxxx 总结:证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的方法有:(1)从一边开始,证明它等于另一边;(2)证明左右两边同等于同一个式子;(3)证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立。四、小 结:本节课学习了以下内容:1同角三角函数基本关系式及成立的条件;2根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值;五、课后作业:习案作业第 五 课时 参考资料 化简1 2sin 40 cos40 角函数的基本关系式及它们之间的联系熟练掌握已知一个角的三角函数值求
11、其它三角函数值的方法能力目标牢固掌握同角三角函数的两个关系式并能灵活运用于解题提高学生分析解决三角的思维能力教学重点同角三角函数的基本关函数定义设角是一个任意角终边上任意一点它与原点的距离为那么当角分别在不同的象限时的符号分别是怎样的背景如果函数值为一象限的角如何求角的其它三角问题由于的三角函数都是由表示的则角的三个三角函数之间有什么关定义我们可以得到以下关系商数关系平方关系说明注意同角至于角的形式无关重要如注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的如等对这些关系式不仅要牢固掌握还要能灵活运用正用反用变形用如等例题分析一求值问题例已学习必备 欢迎下载 解:原式22sin 40cos 402s
12、in 40 cos40 2(sin 40cos40)|cos40sin 40|cos40sin 40 思考 1已知)0(51cossin,求的值。及33cossintan 解:1 由),2(0cos,0,2512cossin得:由57cossin,2549)cos(sin2得:联立:34tan53cos54sin57cossin51cossin 2 12591)53()54(cossin3333 2、已知是第四象限角,,53cos,524sinmmmm 求的值。tan 解:sin2 +cos2 =1 1)53()524(22mmmm 化简,整理得:8,00)8(21mmmm 当 m=0 时,是
13、第四象限角不合)与,(53cos,54sin 当 m=8 时,512tan135cos,1312sin,角函数的基本关系式及它们之间的联系熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法能力目标牢固掌握同角三角函数的两个关系式并能灵活运用于解题提高学生分析解决三角的思维能力教学重点同角三角函数的基本关函数定义设角是一个任意角终边上任意一点它与原点的距离为那么当角分别在不同的象限时的符号分别是怎样的背景如果函数值为一象限的角如何求角的其它三角问题由于的三角函数都是由表示的则角的三个三角函数之间有什么关定义我们可以得到以下关系商数关系平方关系说明注意同角至于角的形式无关重要如注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的如等对这些关系式不仅要牢固掌握还要能灵活运用正用反用变形用如等例题分析一求值问题例已