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1、学习必备 欢迎下载 数 学 B单元 函数与导数 B1 函数及其表示 14、2014 安徽卷 若函数 f(x)(xR)是周期为 4 的奇函数，且在0，2上的解析式为 f(x)x（1x），0 x1，sin x，1x2，则 f294f416_ 14.516、2、2014 北京卷 下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是()Ayex Byx3 Cyln x Dy|x|2B、21、2014 江西卷 将连续正整数 1，2，n(nN*)从小到大排列构成一个数 123n，F(n)为这个数的位数(如 n12 时，此数为 123456789101112，共有 15 个数字，F(12)15)，现从这个数中随机取一个
2、数字，p(n)为恰好取到 0 的概率(1)求 p(100)；(2)当 n2014 时，求 F(n)的表达式；(3)令 g(n)为这个数中数字 0 的个数，f(n)为这个数中数字 9 的个数，h(n)f(n)g(n)，Sn|h(n)1，n100，nN*，求当 nS 时 p(n)的最大值 21解：(1)当 n100 时，这个数中总共有 192 个数字，其中数字 0 的个数为 11，所以恰好取到 0 的概率为 p(100)11192.(2)F(n)n，1n9，2n9，10n99，3n108，100n999，4n1107，1000n2014.(3)当 nb(1b9，bN*)，g(n)0；当 n10kb
3、(1k9，0b9，kN*，bN)时，g(n)k；当 n100 时，g(n)11，即 g(n)0，1n9，k，n10kb，11，n100.1k9，0b9，kN*，bN，同理有 f(n)0，1n8，k，n10kb1，1k8，0b9，kN*，bN，n80，89n98，20，n99，100.由 h(n)f(n)g(n)1，可知 n9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以当 n100 时，S9，19，29，39，49，59，69，79，89，90 当 n9 时，p(9)0.当 n90 时，p(90)g（90）F（90）9171119.学习必备 欢迎下载 当 n10k9(1k8，kN
4、*)时，p(n)g（n）F（n）k2n9k20k9，由 yk20k9关于 k单调递增，故当 n10k9(1k8，kN*)时，p(n)的最大值为 p(89)8169.又8169119，所以当 nS 时，p(n)的最大值为119.32014 山东卷 函数 f(x)1log2x1的定义域为()A(0，2)B(0，2 C(2，)D2，)3C B2 反函数 52014 全国卷 函数 yln(3x1)(x1)的反函数是()Ay(1ex)3(x1)By(ex1)3(x1)Cy(1ex)3(xR)Dy(ex1)3(xR)5D B3 函数的单调性与最值 2、2014 北京卷 下列函数中，定义域是 R 且为增函数
5、的是()Ayex Byx3 Cyln x Dy|x|2B 4、2014 湖南卷 下列函数中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是()Af(x)1x2 Bf(x)x21 Cf(x)x3 Df(x)2x 4A 19、2014 江苏卷 已知函数 f(x)exex，其中 e 是自然对数的底数(1)证明：f(x)是 R 上的偶函数(2)若关于 x 的不等式 mf(x)ex m1 在(0，)上恒成立，求实数 m 的取值范围(3)已知正数 a 满足：存在 x01，)，使得 f(x0)0)，则 t1，所以 mt1t2t1 1t11t1 1对任意 t1 成立 下列函数中定义域是且为增函数的是江西卷将连续正整
6、数从小到大排列构成一个数为这个数的位数如时此数为共有个数字现从这个数中随机取一个数字为恰好取到的概率求当时求的表达式令为这个数中数字的个数为这个数中数字的由可知所以当时当时当时学习必备欢迎下载当时由关于单调递增故当时的最大值为又所以当时的最大值为的定义域为山东卷函数反函数全国卷函数的反函数是函数的单调性与最值北京卷下列函数中定义域是且为增函数的是湖南卷下不等式在上恒成立求实数的取值范围已知正数满足存在使得成立试比较与的大小并证明你的结论解证明因为对任意都有所以是上的偶函数由条件知在上恒成立令则所以对任意成立学习必备欢迎下载因为所以当且仅当即时等号成立因学习必备 欢迎下载 因为 t11t1 12
7、（t1）1t 113,所以 1t11t1 113，当且仅当 t2,即 x ln 2 时等号成立 因此实数 m 的取值范围是，13.(3)令函数 g(x)ex1ex a(x33x)，则 g(x)ex1ex3a(x21)当 x1 时，ex1ex0，x210.又 a0，故 g(x)0，所以 g(x)是1，)上的单调递增函数，因此 g(x)在1，)上的最小值是 g(1)ee12a.由于存在 x01，)，使 ex0ex0a(x30 3x0)0 成立，当且仅当最小值 g(1)0，故 ee12aee12.令函数 h(x)x(e1)ln x1，则 h(x)1e1x.令 h(x)0,得 xe1.当 x(0，e1
8、)时，h(x)0，故 h(x)是(e1，)上的单调递增函数 所以 h(x)在(0，)上的最小值是 h(e1)注意到 h(1)h(e)0，所以当 x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)h(1)0；当 x(e1，e)(e1，)时，h(x)h(e)0.所以 h(x)0 对任意的 x(1，e)成立 故当 aee12，e(1，e)时，h(a)0，即 a1(e1)ln a，从而 ea1h(e)0，即 a1(e1)ln a，故 ea1ae1.综上所述，当 aee12，e 时，ea1ae1.15、2014 四川卷 以 A表示值域为 R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数(x)组成的集合：对
9、于函数 (x)，存在一个正数 M，使得函数(x)的值域包含于区间M，M例如，当1(x)x3，2(x)sin x 时，1(x)A，2(x)B.现有如下命题：设函数 f(x)的定义域为 D，则“f(x)A”的充要条件是“bR，aD，f(a)b”；若函数 f(x)B，则 f(x)有最大值和最小值；若函数 f(x)，g(x)的定义域相同，且 f(x)A，g(x)B，则 f(x)g(x)/B；若函数 f(x)aln(x2)xx21(x2，aR)有最大值，则 f(x)B.其中的真命题有_(写出所有真命题的序号)15 21、2014 四川卷 已知函数 f(x)exax2bx1，其中 a，bR，e2.718
10、28为自然对数的底数(1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0，1上的最小值；(2)若 f(1)0，函数 f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e2a1.21解：(1)由 f(x)exax2bx1，得 g(x)f(x)ex2axb，所以 g(x)ex2a.下列函数中定义域是且为增函数的是江西卷将连续正整数从小到大排列构成一个数为这个数的位数如时此数为共有个数字现从这个数中随机取一个数字为恰好取到的概率求当时求的表达式令为这个数中数字的个数为这个数中数字的由可知所以当时当时当时学习必备欢迎下载当时由关于单调递增故当时的最大值为又所以当时的最大值为的定义域为山东卷函数反
11、函数全国卷函数的反函数是函数的单调性与最值北京卷下列函数中定义域是且为增函数的是湖南卷下不等式在上恒成立求实数的取值范围已知正数满足存在使得成立试比较与的大小并证明你的结论解证明因为对任意都有所以是上的偶函数由条件知在上恒成立令则所以对任意成立学习必备欢迎下载因为所以当且仅当即时等号成立因学习必备 欢迎下载 当 x0，1时，g(x)12a，e2a 当 a12时，g(x)0，所以 g(x)在0，1上单调递增，因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；当 ae2时，g(x)0，所以 g(x)在0，1上单调递减，因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab；当12ae2时，令 g(x
12、)0，得 xln(2a)(0，1)，所以函数 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增，于是，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当 a12时，g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；当12ae2时，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当 ae2时，g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab.(2)证明：设 x0为 f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由 f(0)f(x0)0 可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减 则 g(x)不可能恒为正，
13、也不可能恒为负 故 g(x)在区间(0，x0)内存在零点 x1.同理 g(x)在区间(x0，1)内存在零点 x2.故 g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点 由(1)知，当 a12时，g(x)在0，1上单调递增，故 g(x)在(0，1)内至多有一个零点；当 ae2时，g(x)在0，1上单调递减，故 g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意 所以12ae2.此时 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增 因此 x1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有 g(0)1b0，g(1)e2ab0.由 f(1)0 有 abe10，g(1)1a0.解
14、得 e2a1.所以，函数 f(x)在区间(0，1)内有零点时，e2a1.B4 函数的奇偶性与周期性 42014 重庆卷 下列函数为偶函数的是()Af(x)x1 Bf(x)x2x Cf(x)2x2x Df(x)2x2x 4D 14、2014 安徽卷 若函数 f(x)(xR)是周期为 4 的奇函数，且在0，2上的解析式为 f(x)x（1x），0 x1，sin x，1x2，则 f294f416_ 14.516 52014 广东卷 下列函数为奇函数的是()A2x12x Bx3sin x 下列函数中定义域是且为增函数的是江西卷将连续正整数从小到大排列构成一个数为这个数的位数如时此数为共有个数字现从这个数
15、中随机取一个数字为恰好取到的概率求当时求的表达式令为这个数中数字的个数为这个数中数字的由可知所以当时当时当时学习必备欢迎下载当时由关于单调递增故当时的最大值为又所以当时的最大值为的定义域为山东卷函数反函数全国卷函数的反函数是函数的单调性与最值北京卷下列函数中定义域是且为增函数的是湖南卷下不等式在上恒成立求实数的取值范围已知正数满足存在使得成立试比较与的大小并证明你的结论解证明因为对任意都有所以是上的偶函数由条件知在上恒成立令则所以对任意成立学习必备欢迎下载因为所以当且仅当即时等号成立因学习必备 欢迎下载 C2cos x1 Dx22x 5A 9、2014 湖北卷 已知 f(x)是定义在 R 上的
16、奇函数，当 x0 时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3 的零点的集合为()A1，3 B3，1，1，3 C2 7，1，3 D2 7，1，3 9D 4、2014 湖南卷 下列函数中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是()Af(x)1x2 Bf(x)x21 Cf(x)x3 Df(x)2x 4A 152014 湖南卷 若 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函数，则 a_ 1532 19、2014 江苏卷 已知函数 f(x)exex，其中 e 是自然对数的底数(1)证明：f(x)是 R 上的偶函数(2)若关于 x 的不等式 mf(x)ex m1 在(0，)上恒成立，求实数 m 的取值范
17、围(3)已知正数 a 满足：存在 x01，)，使得 f(x0)0)，则 t1，所以 mt1t2t1 1t11t1 1对任意 t1 成立 因为 t11t1 12（t1）1t 113,所以 1t11t1 113，当且仅当 t2,即 x ln 2 时等号成立 因此实数 m 的取值范围是，13.(3)令函数 g(x)ex1ex a(x33x)，则 g(x)ex1ex3a(x21)当 x1 时，ex1ex0，x210.又 a0，故 g(x)0，所以 g(x)是1，)上的单调递增函数，因此 g(x)在1，)上的最小值是 g(1)ee12a.由于存在 x01，)，使 ex0ex0a(x30 3x0)0 成立
18、，当且仅当最小值 g(1)0，故 ee12aee12.令函数 h(x)x(e1)ln x1，则 h(x)1e1x.令 h(x)0,得 xe1.当 x(0，e1)时，h(x)0，故 h(x)是(e1，)上的单调递增函数 下列函数中定义域是且为增函数的是江西卷将连续正整数从小到大排列构成一个数为这个数的位数如时此数为共有个数字现从这个数中随机取一个数字为恰好取到的概率求当时求的表达式令为这个数中数字的个数为这个数中数字的由可知所以当时当时当时学习必备欢迎下载当时由关于单调递增故当时的最大值为又所以当时的最大值为的定义域为山东卷函数反函数全国卷函数的反函数是函数的单调性与最值北京卷下列函数中定义域是
19、且为增函数的是湖南卷下不等式在上恒成立求实数的取值范围已知正数满足存在使得成立试比较与的大小并证明你的结论解证明因为对任意都有所以是上的偶函数由条件知在上恒成立令则所以对任意成立学习必备欢迎下载因为所以当且仅当即时等号成立因学习必备 欢迎下载 所以 h(x)在(0，)上的最小值是 h(e1)注意到 h(1)h(e)0，所以当 x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)h(1)0；当 x(e1，e)(e1，)时，h(x)h(e)0.所以 h(x)0 对任意的 x(1，e)成立 故当 aee12，e(1，e)时，h(a)0，即 a1(e1)ln a，从而 ea1h(e)0，即 a1(e1)l
20、n a，故 ea1ae1.综上所述，当 aee12，e 时，ea1ae1.122014 全国卷 奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x2)为偶函数，且 f(1)1，则 f(8)f(9)()A2 B1 C0 D1 12D 152014 新课标全国卷 偶函数 yf(x)的图像关于直线 x2 对称，f(3)3，则 f(1)_ 153 52014 全国新课标卷 设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数 Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数 5C 1
21、32014 四川卷 设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1，1)时，f(x)4x22，1x0，x，0 x1，则 f32_ 131 B5 二次函数 102014 江苏卷 已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)0 成立，则实数 m 的取值范围是_ 10.22，0 14、2014 全国卷 函数 ycos 2x2sin x 的最大值为_ 14.32 B6 指数与指数函数 52014 安徽卷 设 alog37，b21.1，c0.83.1，则()Abac Bcab 下列函数中定义域是且为增函数的是江西卷将连续正整数从小到大排列构成一个数为这个数的位数如时此
22、数为共有个数字现从这个数中随机取一个数字为恰好取到的概率求当时求的表达式令为这个数中数字的个数为这个数中数字的由可知所以当时当时当时学习必备欢迎下载当时由关于单调递增故当时的最大值为又所以当时的最大值为的定义域为山东卷函数反函数全国卷函数的反函数是函数的单调性与最值北京卷下列函数中定义域是且为增函数的是湖南卷下不等式在上恒成立求实数的取值范围已知正数满足存在使得成立试比较与的大小并证明你的结论解证明因为对任意都有所以是上的偶函数由条件知在上恒成立令则所以对任意成立学习必备欢迎下载因为所以当且仅当即时等号成立因学习必备 欢迎下载 Ccba Dac0，且 a1)的图像如图 1-2 所示，则下列函数
23、图像正确的是()图 1-2 A B C D 图 1-3 8B 3、2014 辽宁卷 已知 a213，blog213，clog1213，则()Aabc Bacb Ccba Dcab 3D 15、2014 全国新课标卷 设函数 f(x)ex1，x1，x13，x1，则使得 f(x)2 成立的 x 的取值范围是_ 15(，8 5，2014 山东卷 已知实数 x，y 满足 axay(0ay3 Bsin xsin y Cln(x21)ln(y21)D.1x211y21 5A 72014 陕西卷 下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)x3 Bf(x)3x Cf(x)x1
24、2 Df(x)12x 7B 122014 陕西卷 已知 4a2，lg xa，则 x_ 12.10 7、2014 四川卷 已知 b0，log5ba，lg bc，5d10，则下列等式一定成立的是()下列函数中定义域是且为增函数的是江西卷将连续正整数从小到大排列构成一个数为这个数的位数如时此数为共有个数字现从这个数中随机取一个数字为恰好取到的概率求当时求的表达式令为这个数中数字的个数为这个数中数字的由可知所以当时当时当时学习必备欢迎下载当时由关于单调递增故当时的最大值为又所以当时的最大值为的定义域为山东卷函数反函数全国卷函数的反函数是函数的单调性与最值北京卷下列函数中定义域是且为增函数的是湖南卷下不
25、等式在上恒成立求实数的取值范围已知正数满足存在使得成立试比较与的大小并证明你的结论解证明因为对任意都有所以是上的偶函数由条件知在上恒成立令则所以对任意成立学习必备欢迎下载因为所以当且仅当即时等号成立因学习必备 欢迎下载 Adac Bacd Ccad Ddac 7B 9、2014 四川卷 设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的取值范围是()A 5，2 5 B 10，2 5 C 10，4 5 D2 5，4 5 9B 42014 天津卷 设 alog2，blog12，c2，则()Aabc Bbac Cacb Dcba
26、4C B7 对数与对数函数 122014 天津卷 函数 f(x)lg x2的单调递减区间是_ 12(，0)112014 安徽卷 168134log354log345_.11.278 8、2014 浙江卷 在同一直角坐标系中，函数 f(x)xa(x0)，g(x)logax 的图像可能是()A B C D 图 1-2 8D 8，2014 福建卷 若函数 ylogax(a0，且 a1)的图像如图 1-2 所示，则下列函数图像正确的是()下列函数中定义域是且为增函数的是江西卷将连续正整数从小到大排列构成一个数为这个数的位数如时此数为共有个数字现从这个数中随机取一个数字为恰好取到的概率求当时求的表达式令
27、为这个数中数字的个数为这个数中数字的由可知所以当时当时当时学习必备欢迎下载当时由关于单调递增故当时的最大值为又所以当时的最大值为的定义域为山东卷函数反函数全国卷函数的反函数是函数的单调性与最值北京卷下列函数中定义域是且为增函数的是湖南卷下不等式在上恒成立求实数的取值范围已知正数满足存在使得成立试比较与的大小并证明你的结论解证明因为对任意都有所以是上的偶函数由条件知在上恒成立令则所以对任意成立学习必备欢迎下载因为所以当且仅当即时等号成立因学习必备 欢迎下载 图 1-2 A B C D 图 1-3 8B 13、2014 广东卷 等比数列an的各项均为正数，且 a1a54，则 log2a1log2a
28、2log2a3log2a4log2a5_ 135 3、2014 辽宁卷 已知 a213，blog213，clog1213，则()Aabc Bacb Ccba Dcab 3D 6，2014 山东卷 已知函数 yloga(xc)(a，c 为常数，其中 a0，a1)的图像如图 1-1所示，则下列结论成立的是()图 1-1 Aa1，x1 Ba1，0c1 C0a1 D0a1，0c0，且 a1)的图像如图 1-2 所示，则下列函数图像正确的是()图 1-2 A B C D 图 1-3 8B 152014 湖北卷 如图 1-4 所示，函数 yf(x)的图像由两条射线和三条线段组成 若xR，f(x)f(x1)
29、，则正实数 a 的取值范围为_ 图 1-4 15.0，16 下列函数中定义域是且为增函数的是江西卷将连续正整数从小到大排列构成一个数为这个数的位数如时此数为共有个数字现从这个数中随机取一个数字为恰好取到的概率求当时求的表达式令为这个数中数字的个数为这个数中数字的由可知所以当时当时当时学习必备欢迎下载当时由关于单调递增故当时的最大值为又所以当时的最大值为的定义域为山东卷函数反函数全国卷函数的反函数是函数的单调性与最值北京卷下列函数中定义域是且为增函数的是湖南卷下不等式在上恒成立求实数的取值范围已知正数满足存在使得成立试比较与的大小并证明你的结论解证明因为对任意都有所以是上的偶函数由条件知在上恒成
30、立令则所以对任意成立学习必备欢迎下载因为所以当且仅当即时等号成立因学习必备 欢迎下载 13、2014 江苏卷 已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0，3)时，f(x)x22x12.若函数 yf(x)a 在区间3，4上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是_ 13.0，12 15、2014 全国新课标卷 设函数 f(x)ex1，x1，x13，x1，则使得 f(x)2 成立的 x 的取值范围是_ 15(，8 6，2014 山东卷 已知函数 yloga(xc)(a，c 为常数，其中 a0，a1)的图像如图 1-1所示，则下列结论成立的是()图 1-1 Aa1，x
31、1 Ba1，0c1 C0a1 D0a1，0c1 6D B9 函数与方程 6 2014 北京卷 已知函数 f(x)6xlog2x，在下列区间中，包含 f(x)的零点的区间是()A(0，1)B(1，2)C(2，4)D(4，)6C 下列函数中定义域是且为增函数的是江西卷将连续正整数从小到大排列构成一个数为这个数的位数如时此数为共有个数字现从这个数中随机取一个数字为恰好取到的概率求当时求的表达式令为这个数中数字的个数为这个数中数字的由可知所以当时当时当时学习必备欢迎下载当时由关于单调递增故当时的最大值为又所以当时的最大值为的定义域为山东卷函数反函数全国卷函数的反函数是函数的单调性与最值北京卷下列函数中
32、定义域是且为增函数的是湖南卷下不等式在上恒成立求实数的取值范围已知正数满足存在使得成立试比较与的大小并证明你的结论解证明因为对任意都有所以是上的偶函数由条件知在上恒成立令则所以对任意成立学习必备欢迎下载因为所以当且仅当即时等号成立因学习必备 欢迎下载 72014 浙江卷 已知函数 f(x)x3ax2bxc，且 0f(1)f(2)f(3)3，则()Ac3 B3c6 C6c9 Dc9 7C 102014 重庆卷 已知函数 f(x)1x13，x（1，0，x，x（0，1，且 g(x)f(x)mxm 在(1，1内有且仅有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是()A.94，2 0，12 B.114，2
33、0，12 C.94，2 0，23 D.114，2 0，23 10A 152014 福建卷 函数 f(x)x22，x0，2x6ln x，x0的零点个数是_ 152 9、2014 湖北卷 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3 的零点的集合为()A1，3 B3，1，1，3 C2 7，1，3 D2 7，1，3 9D 13、2014 江苏卷 已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0，3)时，f(x)x22x12.若函数 yf(x)a 在区间3，4上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是_ 下列函数中定义域是
34、且为增函数的是江西卷将连续正整数从小到大排列构成一个数为这个数的位数如时此数为共有个数字现从这个数中随机取一个数字为恰好取到的概率求当时求的表达式令为这个数中数字的个数为这个数中数字的由可知所以当时当时当时学习必备欢迎下载当时由关于单调递增故当时的最大值为又所以当时的最大值为的定义域为山东卷函数反函数全国卷函数的反函数是函数的单调性与最值北京卷下列函数中定义域是且为增函数的是湖南卷下不等式在上恒成立求实数的取值范围已知正数满足存在使得成立试比较与的大小并证明你的结论解证明因为对任意都有所以是上的偶函数由条件知在上恒成立令则所以对任意成立学习必备欢迎下载因为所以当且仅当即时等号成立因学习必备 欢
35、迎下载 13.0，12 42014 江西卷 已知函数 f(x)a2x，x0，2x，x0(aR)若 ff(1)1，则 a()A.14 B.12 C1 D2 4A 152014 浙江卷 设函数 f(x)x22x2，x0，x2，x0.若 f(f(a)2，则 a_.15.2 212014 全国卷 函数 f(x)ax33x23x(a0)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)在区间(1，2)是增函数，求 a 的取值范围 21解：(1)f(x)3ax26x3，f(x)0 的判别式36(1a)(i)若 a1，则 f(x)0，且 f(x)0 当且仅当 a1，x1 时成立故此时 f(x)在 R 上是增函
36、数(ii)由于 a0，故当 a1 时，f(x)0 有两个根；x11 1aa，x21 1aa.若 0a1，则当 x(，x2)或 x(x1，)时，f(x)0，故 f(x)分别在(，x2)，(x1，)是增函数；当 x(x2，x1)时，f(x)0，故 f(x)在(x2，x1)是减函数 若 a0，则当 x(，x1)或(x2，)时，f(x)0，故 f(x)分别在(，x1)，(x2，)是减函数；当 x(x1，x2)时 f(x)0，故 f(x)在(x1，x2)是增函数(2)当 a0，x0 时，f(x)3ax26x30，故当 a0 时，f(x)在区间(1，2)是增函数 当 a0 时，f(x)在区间(1，2)是增
37、函数当且仅当 f(1)0 且 f(2)0，解得54a0.综上，a 的取值范围是54，0(0，)14 2014 天津卷 已知函数 f(x)|x25x4|，x0，2|x2|，x0.若函数 yf(x)a|x|恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为_ 14(1，2)下列函数中定义域是且为增函数的是江西卷将连续正整数从小到大排列构成一个数为这个数的位数如时此数为共有个数字现从这个数中随机取一个数字为恰好取到的概率求当时求的表达式令为这个数中数字的个数为这个数中数字的由可知所以当时当时当时学习必备欢迎下载当时由关于单调递增故当时的最大值为又所以当时的最大值为的定义域为山东卷函数反函数全国卷函数的反函数
38、是函数的单调性与最值北京卷下列函数中定义域是且为增函数的是湖南卷下不等式在上恒成立求实数的取值范围已知正数满足存在使得成立试比较与的大小并证明你的结论解证明因为对任意都有所以是上的偶函数由条件知在上恒成立令则所以对任意成立学习必备欢迎下载因为所以当且仅当即时等号成立因学习必备 欢迎下载 B10 函数模型及其应用 82014 北京卷 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 pat2btc(a，b，c 是常数)，图 1-2 记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()图 1
39、-2 A3.50 分钟 B3.75 分钟 C4.00 分钟 D4.25 分钟 8B 102014 陕西卷 如图 1-2 所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为()图 1-2 Ay12x312x2x By12x312x23x Cy14x3x 下列函数中定义域是且为增函数的是江西卷将连续正整数从小到大排列构成一个数为这个数的位数如时此数为共有个数字现从这个数中随机取一个数字为恰好取到的概率求当时求的表达式令为这个数中数字的个数为这个数中数字的由可知所以当时当时当时学习必备欢迎下载当时由关于单调递增故当时的最大值为
40、又所以当时的最大值为的定义域为山东卷函数反函数全国卷函数的反函数是函数的单调性与最值北京卷下列函数中定义域是且为增函数的是湖南卷下不等式在上恒成立求实数的取值范围已知正数满足存在使得成立试比较与的大小并证明你的结论解证明因为对任意都有所以是上的偶函数由条件知在上恒成立令则所以对任意成立学习必备欢迎下载因为所以当且仅当即时等号成立因学习必备 欢迎下载 Dy14x312x22x 10A B11 导数及其运算 21、2014 陕西卷 设函数 f(x)ln xmx，mR.(1)当 me(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值；(2)讨论函数 g(x)f(x)x3零点的个数；(3)若对任意 ba
41、0，f（b）f（a）ba1 恒成立，求 m 的取值范围 21解：(1)由题设，当 me 时，f(x)ln xex，则 f(x)xex2，当 x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增 xe 时，f(x)取得极小值 f(e)ln eee2，f(x)的极小值为 2.(2)由题设 g(x)f(x)x31xmx2x3(x0)，令 g(x)0，得 m13x3x(x0)，设 (x)13x3x(x0)，则 (x)x21(x1)(x1)，当 x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上单调递增；当 x(1，)时，(x)23时，函数 g(x)无零点；当 m23时，函数 g(x)有且只有一个零点；
42、当 0m23时，函数 g(x)无零点；当 m23或 m0 时，函数 g(x)有且只有一个零点；当 0ma0，f（b）f（a）ba1 恒成立，等价于 f(b)b0)，(*)等价于 h(x)在(0，)上单调递减 由 h(x)1xmx210 在(0，)上恒成立，得 mx2xx12214(x0)恒成立，m14对m14，h（x）0仅在x12时成立，m 的取值范围是14，.20、2014 安徽卷 设函数 f(x)1(1a)xx2x3，其中 a0.(1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性；(2)当 x0，1时，求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值 20解：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a
43、2x3x2.令 f(x)0，得 x11 43a3，x21 43a3，且 x1x2，所以 f(x)3(xx1)(xx2)当 xx2时，f(x)0；当 x1x0.故 f(x)在，1 43a3和 1 43a3，内单调递减，在1 43a3，1 43a3内单调递增(2)因为 a0，所以 x10，当 a4 时，x21，由(1)知，f(x)在0，1上单调递增，所以 f(x)在 x0 和 x1 处分别取得最小值和最大值 当 0a4 时，x21，由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2，1上单调递减，因此 f(x)在 xx21 43a3处取得最大值又 f(0)1，f(1)a，下列函数中定义域是且为增函数
44、的是江西卷将连续正整数从小到大排列构成一个数为这个数的位数如时此数为共有个数字现从这个数中随机取一个数字为恰好取到的概率求当时求的表达式令为这个数中数字的个数为这个数中数字的由可知所以当时当时当时学习必备欢迎下载当时由关于单调递增故当时的最大值为又所以当时的最大值为的定义域为山东卷函数反函数全国卷函数的反函数是函数的单调性与最值北京卷下列函数中定义域是且为增函数的是湖南卷下不等式在上恒成立求实数的取值范围已知正数满足存在使得成立试比较与的大小并证明你的结论解证明因为对任意都有所以是上的偶函数由条件知在上恒成立令则所以对任意成立学习必备欢迎下载因为所以当且仅当即时等号成立因学习必备 欢迎下载 所
45、以当 0a1 时，f(x)在 x1 处取得最小值；当 a1 时，f(x)在 x0 和 x1 处同时取得最小值；当 1a0，g（1）t10，解得3t1.故当过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切时，t 的取值范围是(3，1)(3)过点 A(1，2)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切；过点 B(2，10)存在 2 条直线与曲线 yf(x)相切；过点 C(0，2)存在 1 条直线与曲线 yf(x)相切 22、2014 福建卷 已知函数 f(x)exax(a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A，曲线 yf(x)在点 A处的切线斜率为1.(1)求 a 的值及函数 f(x)的极值；(
46、2)证明：当 x0 时，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数 c，总存在 x0，使得当 x(x0，)时，恒有 xcex.22解：方法一：(1)由 f(x)exax，得 f(x)exa.又 f(0)1a1，得 a2.下列函数中定义域是且为增函数的是江西卷将连续正整数从小到大排列构成一个数为这个数的位数如时此数为共有个数字现从这个数中随机取一个数字为恰好取到的概率求当时求的表达式令为这个数中数字的个数为这个数中数字的由可知所以当时当时当时学习必备欢迎下载当时由关于单调递增故当时的最大值为又所以当时的最大值为的定义域为山东卷函数反函数全国卷函数的反函数是函数的单调性与最值北京卷下列函数中定义域是且
47、为增函数的是湖南卷下不等式在上恒成立求实数的取值范围已知正数满足存在使得成立试比较与的大小并证明你的结论解证明因为对任意都有所以是上的偶函数由条件知在上恒成立令则所以对任意成立学习必备欢迎下载因为所以当且仅当即时等号成立因学习必备 欢迎下载 所以 f(x)ex2x，f(x)ex2.令 f(x)0，得 xln 2.当 xln 2 时，f(x)0，f(x)单调递减；当 xln 2 时，f(x)0，f(x)单调递增 所以当 xln 2 时，f(x)有极小值，且极小值为 f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值(2)证明：令 g(x)exx2，则 g(x)ex2x.由(1)得，g
48、(x)f(x)f(ln 2)2ln 40，即 g(x)0.所以 g(x)在 R 上单调递增，又 g(0)10，所以当 x0 时，g(x)g(0)0，即 x2ex.(3)证明：对任意给定的正数 c，取 x01c，由(2)知，当 x0 时，x2ex.所以当 xx0时，exx21cx，即 xln(kx)，即 xln xln k成立 若 0k1，则 ln k0，易知当 x0 时，xln xln xln k成立 即对任意 c1，)，取 x00，当 x(x0，)时，恒有 xcex.若 k1，令 h(x)xln xln k，则 h(x)11xx1x，所以当 x1 时，h(x)0，h(x)在(1，)上单调递增
49、 取 x04k，h(x0)4kln(4k)ln k2(kln k)2(kln 2)，易知 kln k，kln 2，所以 h(x0)0.因此对任意 c(0，1)，取 x04c，当 x(x0，)时，恒有 xcex.综上，对任意给定的正数 c，总存在 x0，当 x(x0，)时，恒有 xcex.方法三：(1)同方法一(2)同方法一(3)证明：若 c1，取 x00，由(2)的证明过程知，ex2x，所以当 x(x0，)时，有 cexex2xx，即 xcex.若 0c1，令 h(x)cexx，则 h(x)cex1.下列函数中定义域是且为增函数的是江西卷将连续正整数从小到大排列构成一个数为这个数的位数如时此数
50、为共有个数字现从这个数中随机取一个数字为恰好取到的概率求当时求的表达式令为这个数中数字的个数为这个数中数字的由可知所以当时当时当时学习必备欢迎下载当时由关于单调递增故当时的最大值为又所以当时的最大值为的定义域为山东卷函数反函数全国卷函数的反函数是函数的单调性与最值北京卷下列函数中定义域是且为增函数的是湖南卷下不等式在上恒成立求实数的取值范围已知正数满足存在使得成立试比较与的大小并证明你的结论解证明因为对任意都有所以是上的偶函数由条件知在上恒成立令则所以对任意成立学习必备欢迎下载因为所以当且仅当即时等号成立因学习必备 欢迎下载 令 h(x)0 得 xln1c.当 xln1c时，h(x)0，h(x