《2022高考数学真题分类汇编05函数与导数（学生版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022高考数学真题分类汇编05函数与导数（学生版）.pdf（34页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022高考数学真题分类汇编五、函数与导数一、选择题1.(2 0 2 2 全国甲(文T 7)(理T 5)函数y =(3 3 在 区 间 一会 的图象大致为()2.(2 0 2 2 全国甲(文T 8)(理 T 6).当x =l 时，函数/(x)=a l nx +?取得最大值一 2,则/(2)=()X1 A.1 B.-C.-D.12 23.(2 0 2 2 全国乙(文T8)如图是下列四个函数中的某个函数在区间-3,3 的大致图像，则该函数是()2xcosxx2+1D.y =2sinxx2+1c.y4.(2 0 2 2 全国乙(理)T 1 2)已知函数/(%),g(%)的定义域均为R,且f(x)+g
2、(2-x)=5,g(x)f(x-4)=7.若了=8(外的图像关于直线X =2 对称，g =4,则22/(k)=()A=lA.-2 1 B.-2 2 C.-2 3 D.-2 45.(2 0 2 2 新高考I 卷 T 1 0)已 知 函 数/(幻=/一%+1,则()A.7(x)有两个极值点 B./5)有三个零点C 点(0,1)是曲线y =/(x)的对称中心 D.直线y =2 x 是曲线y =f(x)的切线6.(2 0 2 2 新高考I 卷 T12)已知函数/(X)及其导函数/(%)的定义域均为R,记 g(x)=7(x),若,g(2 +x)均为偶函数，则()A./(0)=0 B.g,；=0 C.f(
3、-l)=f(4)D.g(l)=g 7.(2 0 2 2 新高考II卷 T8)若函数/(X)的定义域为 R,S.f(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),/(I)=1 ,则22 f(k)=()k=A.-3 B.-2 C.0 D.1/(x)=1 8.(2 0 2 2 北京卷丁4)己知函数 1 +2*,则对任意实数x,有()A./(-x)+/(%)=0 B./(-x)-/(%)=()C.f(-x)+f(x)=D./(-x)-f(x)=19.(2 0 2 2 北京卷T 7)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二
4、氧化碳所处的状态与7 和馆尸的关系，其 中 丁 表示温度，单位是K；P表示压强，单位是b a r.下列结论中正确的是()A.当T =2 2 0,P=1 0 2 6 时，二氧化碳处于液态B.当T =2 70,P =1 2 8 时，二氧化碳处于气态C.当T =3 0 0，P =9 9 8 7时，二氧化碳处于超临界状态D.当T =360,P =72 9 时，二氧化碳处于超临界状态1 0.（2 0 2 2 浙江卷 T 7）己知 2 =5,l o g 8 3=b ,则 4 j=（）2 55A.2 5 B.5 C.D.-93二、填空题1.（2 0 2 2 全国乙（文 T 1 6）若/（x）=l n a +
5、8 是奇函数，则。=_ _ _ _,b=_.1-X2.（2 0 2 2 全国乙（理）T 1 6）已知x =X 和x =%2 分别是函数/（x）=2 a -e x 2（a 0且awl）的极小值点和极大值点.若王%，则。的取值范围是.3.（2 0 2 2 新高考I 卷 T 1 5）若曲线y =（x +a）e 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是4.（2 0 2 2 新高考II卷 T 1 4）写出曲线y =l n|x|过坐标原点的切线方程：,5.（2 0 2 2 北京卷T 1 1）函数 X 的定义域是.-a x +1,xl,I 1 2 l /(x)0时，/(%)l n(n +1).V P +1
6、也+2 yn2+n7.(2 0 2 2 北京卷T20)已知函数无)=6 E(l +X).(1)求曲线y =/(x)在点(0,7(0)处 切线方程；(2)设 g(x)=7(x),讨论函数g(x)在 。,+0 0)上的单调性;(3)证明：对任意的 s,f e(0,y),有/(s +，)/(s)+/Q).8.(2 0 2 2 浙江卷 T22)设函数/.(x)=上 +I n 无(X 0).2x(1)求/(x)的单调区间;(2)已知a,b e R,曲线丫=/(幻上不同的三点(苞,/(玉),(2，/(%2)，(七，/(工3)处的切线都经过点(a,b).(i)(ii)1 1 2 e a若 0 a e,$v%
7、工?,则/)1 0,c o s x 0,所以/(x)(),排除 C.乙)故选：A.2.【答案】B【解析】【分析】根据题意可知/(1)=-2,/=0即可解得“力，再根据/(力 即可解出.【详解】因 为 函 数 定 义 域 为(o,+“),所以依题可知，/0)=-2,r(i)=o,而/(力=一 勺，X X2?所以人=一2,一匕=0,即。=-21=-2,所以广(力=一 一+二，因此函数“X)在(0,1)上递增，在X X(1,+8)上递减，x=i时取最大值，满足题意，即有r(2)=i+g=g.故选：B.3.【答案】A【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设 力=胃，则
8、/(1)=0,故排除B;设(x)=,当xe(0,胃 时，0 c os x l,所以(x)=2 x：s x 0,故排除D.x+1 1 0故选：A.4.【答案】D【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到/(x)+/(x2)=2,从而得到3)+5)+.+/(2 1)=-1 0,/(4)+/(6)+.+/(2 2)=-1 0,然后根据条件得到了的值，再由题意得到g(3)=6从而得到了的值即可求解.【详解】因为y =g(x)的图像关于直线x=2对称，所以 g(2 -x)=g(x+2),因为g(x)_/(x 4)=7,所以 g(x+2)_/(x2)=7,即 g(x+2)=7+/(x2),因为，(x)+g(
9、2-x)=5 ,所以.f(x)+g(x+2)=5 ,代入得/(x)+7+/(x-2)=5 ,即/(X)+f(x-2)=-2,所以/(3)+5)+.+/(21)=(_2)X5=T0,/(4)+/(6)4-.+/(22)=(-2)X5=-10.因为/(x)+g(2 -x)=5,所以/(0)+g(2)=5,即 0)=1,所以/=一2-0)=3.因为 g(x)-/(一4)=7,所以 g(x+4)-/(x)=7,又因为/(x)+g(2-尤)=5 ,联立得，g(2 x)+g(x+4)=1 2 ,所以y =g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,所以g(3)=6因为/(x)+g
10、(x+2)=5,所以/(l)=5 _g(3)=l.所以22/a)=/(l)+/(2)+/(3)+/(5)+.+/(2 1)+/(4)+/(6)+.+/(2 2)=-l-3-1 0-1 0 =-2 4k=故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.5.【答案】A C【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A,结合f(x)的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；利用导数的儿何意义判断D.【详解】由题，/(X)=3f -1,令/)0得 光印 或 一 日，令/(幻0得 一 走x 走，3 3所以/(X)在(上单调
11、递减,在(_Q 0,一(日,+8)上单调递增,所以x =且 是 极 值 点，故A正确;3因/(-亭=1 +竽0,/g)=l 孚 0，/(-2)=-5 0,所以，函数“X)在-8,一方 上有一个零点，当XN当 时，浮)0,即函数/(%)在(日,+8上无零点，综上所述，函数/(x)有一个零点，故B错误；令/?(幻=%3 一 X,该函数的定义域为 R,/(-X)=(-X)3-(-%)=-x3+x =-/z(x),则(X)是奇函数，(0,0)是h(x)的对称中心，将 力(%)的图象向上移动一个单位得到f M的图象，所以点(0,1)是曲线y =/(幻的对称中心，故C正确；令/(x)=3f _l =2,可
12、得x =l,又/=当切点为(1,1)时，切线方程为y =2 x-l,当切点为(一1,1)时，切线方程为y =2 x +3,故D错误.故选：A C6.【答案】B C【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为/(1一2%),g(2 +x)均为偶函数，所 以/(|一2 x)=/(g +2 即,噌 x)=/1|+x),g(2 +x)=g(2 x),所以3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),则 -1)=/(4),故C正确;3函数f(x),g(x)的图象分别关于直线x=,x=2对称，2又g(X)=/(%)，且函数x)可导，所
13、以g(|)=0，g(3-x)=-g(x),所以 g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以 g(x+2)=-g(x+l)=g(x),所以g(_；)=g)=O，g(T)=g 6 =g(2)，故 B 正确，D错误；若函数/(x)满足题设条件，则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定TV)的函数值，故A错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.7.【答案】A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数可(力 的一个周期为6,求出函数一个周期中的/。),/(2),6
14、)的值，即可解出.【详解】因 为/(x+y)+/(尤 一 y)=x)y),令 x=l,y=O 可得，2 1)=1)0),所 以/(0)=2,令x=0可得，y)+/(-y)=2/(y),即/()=-y),所以函数/(x)为偶函数，令y=l得，/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(%),即有x+2)+/(x)=/(x+l),从而可知f(x+2)=/(xl),f(x_l)=_/(x_4),故/(x+2)=/(%_4),即/(%)=/(%+6),所以函数 的 一 个 周 期 为6.因为/=1一2=1,/(3)=2)_/3,此时二氧化碳处于固态，故 A 错误.当7 =2 7 0,。=128时
15、，2 lg P 3,此时二氧化碳处于液态，故 B 错误.当T=300,P=9987时，Ig P 与 4 非常接近，故此时二氧化碳处于固态，另一方面，T=300时对应的是非超临界状态，故 C 错误.当T=360,P=729时，因2 lg P 3,故此时二氧化碳处于超临界状态，故 D 正确.故选：D10.【答案】C【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，塞的运算性质以及对数的运算性质即可解出.1 4(2)-52 25【详解】因为2=5,=log83=-lo g,3,即2汕=3,所以4 *=而=卞=工.34(?3*I 3 9故选：C.二、填空题1.【答案】.；(2).In2.【解析】【分析】根据奇
16、函数的定义即可求出.【详解】因为函数/(x)=lna+J+匕为奇函数，所以其定义域关于原点对称.L-X由“+!*()可得，(1一力(。+1公)H 0,所以X=1 =1,解得：a=-,即函数的定义域为1-xa2(-oo,-l)u(-l,l)u(l,+oc),再由/(0)=0 可得，/?=ln 2.即/(x)=l n+ln2=ln,在定义域内满足/(r)=-y(x),符合题意.故答案为：；In 2-22.【答案】【解析】【分析】由XM分别是函数“X)=2。eV的极小值点和极大值点，可得西)。(与+s)时，f(x)0,再分41和041两种情况讨论，方程21na-一 2ex=0的两个根为%,七,即函数
17、y=l n a d与函数y=e龙的图象有两个不同的交点，构造函数g(x)=lna-a根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.【详解】解：/a)=2 1 n -2 e x,因 为 分 别 是 函 数/(X)=2a-ex2的极小值点和极大值点，所以函数/(x)在(F,XJ和(,”)上递减，在(,马)上递增，所以当 工(0,西)。(%2，+00)时，/，(%)1时，当 x 0,2 e x o,与前面矛盾，故 不 符 合 题 意,若0 a vl时，则方程2 I n。优-2e x =0的两个根为大，%，即方程I n。优=e%的两个根为与，工2 ,即函数y =I n。优与函数 =e x的图象有两个不同的交
18、点，令 g(x)=l n。优，则=l n2 6 r-aA,0 t z 0,解得a 0,a 的取值范围是+8),故答案为：(-8,-4)5。,+8)4 .【答案】.y-x .y=-xe e【解析】【分析】分x0和尤 0时设切点为(不/n/),求出函数 导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出,即可求出切线方程，当()时y =l n x,设切点为(不n/),由y =L,所以y L-=，所以切线方程为y-lnx0=(x-x0),XQ又切线过坐标原点，所以T n/=(一/),解得x 0=e,所以切线方程为y 1 =(x -e),即y =l x；/e e当x0时y =l
19、n(x),设切点为(,l n (-石)，由y =2，所以 所以切线方程为X玉y-l n(-x,)=(x-xt),x又切线过坐标原点，所以一I n(%)=(一%),解得玉=e,所以切线方程为y l =-(x +e),即M -e1y 二 一x；e故答案为：y=x*y=xe e5 .【答案】(F,O)D(O,1【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为/(x)=-+J K,所以 c,解得X W 1且X。，x xwO故函数的定义域为(,O)D(),1;故答案为：(F,0)D(0,l 6.【答案】0(答案不唯一).1【解析】【分析】根据分段函数中的函数卜
20、=-，a+1的单调性进行分类讨论，可知，。=()符合条件，。0时函数丫=-6+1没有最小值，故/(x)的最小值只能取y =(x-2)2的最小值，根据定义域讨论可知一4+1 20或一/+1“。一2)2,解得 0 al.1 ,x 0若a 0时，当x -oo,故f(x)没有最小值，不符合题目要求；若。0时，当x f(a)=-a2+i,0当x。时，/Wmi n=.0、2(a 2)(0 a 2)-4+1 2 0或一片+12(。2 ,解得0 a W l，综上可得O W a W l：故答案为：0(答案不唯一)，17.【答案】,(2).3 +百#百+32 8【解析】【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件
21、求出的最小值，。的最大值即可.r详解】由已知彼=-+2=%吟=泻t 3所 以 小回号.当 时，由 14/(为43 可得 14一丁+2 1 时，由 l V/(x)K 3 可得 l K x+工 1 K 3,所以 1XW 2 +J J，X1/(幻 3等价于1 4%2 +6，所以加三 一 1,2 +6 ,所以八一。的最大值为3 +故答案为：,3 +V 3 -2 8四、解答题1.【答案】3 (2)-l,4。，解得4 2 4x 1,3令l(x)0,解得x -g或0 x 0,再利用导数即可得证.x 2 X)【小问1详解】/(x)的定义域为(0,+8),令 x)=0,得 x=l当 x e (0,1),/(x)
22、,/V)0,/(x)单调递增/(x)/(I)=e +1 -a,若/(x)2 0,则 e+l-aN O,即 a e +l所以”的取值范围为(-8,e +l【小问2详解】由题知,/(x)一个零点小于1,一个零点大于1不妨设不 1%21要证吃/%2 kX2 )因为/（玉）=/（%），即证/（工2）/X2 Je 1即证-l nx+x-xer-I nx 0,XG(1,+O O)x x,er-I f n即证-xc _ 2 I nx x 0 x 2y x)_/下面证明1 1时，-xex 0J nx x 1,x则 g(x)=ex-1 exx所以p(x)O(l)=e,而/_ _e x+xe x-XXx 1 x
23、nr-eA 0厂所以 e；0,所以g(x)0X所以g。）在（1,一）单调递增即 g(x)g(D =0,所以 Je*一 xe-0 x令h(x)=I nx-H x1X,x 1hr(x)=xUl+J _ =2 x_x2 1)22(x2)2x2 2x2所以/7（X）在（1,+c。）单调递减I nx-2x 1 X 0,所以再冗2 V。即/(x)/z(l)=0,所以 I nxx j 0；e*-综上，xe、2x【点睛】关键点点睛：本题极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式=这个函数经常出现，需要掌握3.【答案】(1)-1(2)(0,+oo)【解析】【分析】(1)由导数确定函数的单调性，即可得
24、解；(2)求导得=二D,按照0 4 1结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.【小问1详解】当a=0时，/(x)=-l n x,x 0,则/(x)=4一!，X X X X当x e(O,l)时，f x)0,/(x)单调递增；当x e(l,+x )时，/(x)单调递减；所 以/(力 四=/(1)=一1；【小问2详解】/(x)=0,则=a+=当a 4 0时，a x-l 0,x)单调递增；当x e(l,十 功 时，户 )0,/(x)单调递减；所 以/(%),皿=/(1)=。1 0,此时函数无零点，不合题意；当0 1,在（0,1）,（：,+8）上，/）0,“X）单调递增；在（1,：）上，“X
25、）单调递减；又/=-1 1 时，;0,/（X）单调递增；在（）上，户 ）0,又a +（a+l）l n a,当趋近正无穷大时，趋近负无穷，所以“X）在（0,J有一个零点，在 5,+8）无零点，所以/（力 有唯一零点，符合题意；综上，”的取值范围为（0,+8）.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.4.【答案】（1）y-2 x（2）（-c o,-l）【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导，对“分类讨论，对x分（-1,0）,（0,-Ko）两部分研究【小问1详解】/(x)的定义域为(T,y)Y1 1 _
26、 Y当 a=1 时,f(x)=ln(l+x)+丁，f(0)=0,所以切点为(0,0)f (x)=+-,(0)=2,所以切线斜e 1 +x e率为2所以曲线y=/(x)在点(0,/(0)处的切线方程为y=2x【小问2详解】“、,”.ax/(x)=ln(l+x)+e/(x)=1 a(D _ e+a(l-x2)1 +x ev(l+x)ex设 g(x)=e”+a(l-x2)若 a 0,当 x e(l,0),g(x)=e+a(l即/(x)0所以f M在(1,0)上单调递增,/(x)0所以 g(x)在(0,+oo)上单调递增所以 g(x)g(0)=1 +a.0,即 f(x)0所以f M在(0,+8)上单调
27、递增,/(x)/(0)=0故f(x)在(0,+oo)上没有零点，不合题意3 若 a 0,所以 g(x)在(0,+)上单调递增g(0)=l+a0所以存在 m e(0,1)，使得 g(?)=0,即 f(rri)=0当 x G(0,m),/(x)0,/(x)单调递增所以当 xe(0,(x)+00,/(x)+O O所以f(X)在(w,+=o)上有唯一零点又(0,m)没有零点，即 X)在(0,+8)上有唯一零点(2)当 x W (-1,0),g(x)=ev+a(l-x2)设 h(x)=g(x)=eA-2axh(x)=ex-2 a 0所以g。)在(一 1,0)单调递增g (-l)=-+2 0e所以存在 G
28、 (-1,0)，使得g ()=0当 XG (-l,),g (x)0,g(x)单调递增 g(x)g(0)=l +a 0e所以存在 t e (-1,n)，使得 g(f)=0,即/)=0当x w 单调递增，当x e Q,0),/(x)单调递减有 x 1,/(x)00而/(0)=0,所以当 x e (7,0),/(%)0所以f M在(-1,6上有唯一零点,(，,0)上无零点即在(-1,0)上有唯一零点所以a 1时，e x =b的解的个数、=8的解的个数均为2,构建新函数(x)=e +l n x-2x,利用导数可得该函数只有一个零点且可得x),g(x)的大小关系，根据存在直线y =b与曲线y =x)、y
29、 =g(x)有三个不同的交点可得b的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.【小问1详解】/(x)=e -ax 的定义域为 R,而 f(x)=e -a，若则/(x)0,此时x)无最小值，故a 0.8(%)=以一111%的定义域为(0,+),而 g (x)=。一，=竺 _1当xc l n a时，f(x)l n a时，fx)0,故/a)在(I n a,+o o)上为增函数，故/(x)m m =/(l n a)=a-a l n a.当0 x ，时，g(x)0,故g(x)在 L,+oc上为增函数，a a)故 g(x)m in =gT T n La J a因为/(无)=巳1-必和双龙)二以一
30、心工有相同的最小值，1Q.故l-ln 二。一a ln a,整理得到-二 ln。，其中Q0,a 1 +Q设8(。)=?一1114，0，则g(a)=八 一 2=r_7-0，1 +a(1+Q)a Q(1+Q)故g(a)为(0,”)上的减函数，而g(l)=O,故g(a)=O的唯一解为a=l,故；设=Ina的解为a=1.综上，a=.【小问2详解】由(1)可得/(x)=e*-x和g(x)=x-lnx 的最小值为l-ln l=l-ln；=l.当人1时，考虑e、一x=8的解的个数、x lnx=8的解的个数.设 S(x)=e*Sf(x)=ev-1,当x 0时，S(x)OB寸，S(x)0,故S(x)在(-冷,0)
31、上为减函数，在(0,+o。)上为增函数，所以 S(X)m“,=S(O)=1 h 0,S =2 b,设 w =e-2Z?,其中人 1,则/=e -2 0,故在(1,+00)上为增函数，故a (l)=e-2 0 ,故S(0)0,故S(x)=e*x力 有两个不同的零点，即e*x 的解的个数为2.设T(x)=x-lnx-/7,F(x)=-,X当0 x l时，T x)1 时，r(x)0,故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,内)上为增函数，所以 丁(力皿=T(l)=l-Z?0,T(eb)=eh-2b 0 ,T(x)=x-l n x匕有两个不同的零点即x-l n x=Z?的解的个数为2.当人=1,由(
32、1)讨论可得无一l n x=/?、e x=Z?仅有一个零点，当力 l.设(x)=e*+I n x-2 x,其中 x 0,故(x)=e+,-2 ,X设s(x)=e*x-l,%(),则s 0,故s(x)在(0,+o o)上为增函数，故s(x)s =0即e x+l，所以 (x)x+，-1 2 2 1 0,所以(x)在(0,+8)上为增函数，1 _ o 9而/?(l)=e-20,力()=e3 -3一 一-e-3-0.e e e故h(x)在(O,+8)上有且只有一个零点%,5/1且：当0 c x%o 时，h(x)O H P ev-xx-nx E P f(x)/时，/z(x)0 即 ex-xx-nx 即/
33、(x)g(x),因此若存在直线y=b与曲线y=x)、y=g(x)有三个不同 交点,故=/($)=g(x()l，此时e*-x=b有 两 个 不 同 的 零 点0%)，此时x-l n x=Z?有两个不同的零点4 0，X 4(/1 1，故,4。即玉+/=2x.玉=4 b【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.6.【答案】(1)/(X)的减区间为(一8,0),增区间为(0,+8).1(2)a:时题设中的不等式不成立，再就结合放2 2缩法讨论h(x)符号，最后就a 4 0结合放缩法讨论(x
34、)的范围后可得参数的取值范围.(3)由(2)可 得 对 任 意 的 工 1恒成立，从而可得l n(+l)-l n /:对任意的e N*恒t yjn+n成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【小问1详解】当a =l时,/(x)=(x-l)eJ C,则/(x)=xe*,当x O il寸，/S x)0时，/工)0,故“X)的减区间为(一8,0),增区间为(0,+8).【小问2详解】设(x)=xe -e+l,则(0)=(),又/x)=(l+a x)e5 ,设g(x)=(l+o x)e_ e*,贝1I g，(x)=(2 a +a、)e。一 e ,若 a；，则 g(O)=2 a 1 0,因为g(x)为连
35、续不间断函数，故存在与 w(O，+8),使得V xe(O,X o),总有g x)0,故 g(x)在(),/)为增函数，故 g(x)g(O)=O,故妆 力 在(0,%)为增函数，故 (x)(O)=-l,与题设矛盾.若0 0,总有l n(l +x)x成立，1 _y证明：设S(x)=l n(l+x)-x,故S，(x)=-1 =0,故S(x)在(0,+o o)上为减函数,故S(x)S(O)=O即l n(l +x)x成立.由上述不等式有e,x+l n(l+a r)-er eax+ax 一e*=e2 a v-ev故 (x)W O总成立，即/z(x)在(0,+o。)上为减函数，所以/?(x)/z(O)=-l
36、.当a 0时，有/z (x)=eW e +a xe 1-1 +()=0,所 以/i(x)在(0,+8)上为减函数，所以/?(x)0,总有xe+_ e*+1,r=e,x=2 I n，故2 n f /l即2 1 n r 1恒成立.所以对任意的 GN*，有2 1 n整理得到：l n(7 i+l)-l n I n 2-l n l +l n 3-l n 2 4-+l n(n +l)-l n z 2#71 772 )=ln(+l),故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不
37、等式合理构建数列不等式.7.【答案】(1)y=(2)g(x)在 0,+8)上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】(1)先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；(2)在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解：(3)令加(x)=/(x+r)/(x),(x,t 0),即证机(x)加(0),由第二问结论可知皿幻在 o,+8)上单调递增，即得证.【小问1详解】解：因为f(x)=e ln(l+x),所以 0)=0,即切点坐标为(0,0),又/(xQ e Q n a +A O +J),1 +x切线斜率攵=r(o)=i.,切线方程为：【小问2详解】解：因为8(%)
38、=/(犬)=6*(1 1 1(1 +幻+一)，1 +X2 I所以 g(x)=e v(ln(l+x)+-1)，1 +x(1 +x)2 1令 h(x)=ln(l+x)+-,1 +X(1 +X),x 1 2 2%+1 _则/?(x)=-+-7-=-0 ,1 +x(1 +x)2(1 +x)3(1 +x)3在 0,+8)上单调递增，A /?(%)/?(0)=1 0.g(X)0 在 0,+8)上恒成立，g(x)0,+8)上单调递增.【小问3详解】解：原不等式等价于于(S+/)-/(.?)/(r)-/(0),令机(x)=/(x+r)/(x),(x1 0),即证机(x)m(0),:m(x)-f(x+t)-f(
39、x)=es ln(l+x+Z)-e ln(l+x),eX+!CeXmr(x)=eA+/ln(l+%+/)+-e ln(l+x)-=g(x+/)g(x),1+x+r 1+x由(2)知 8。)=/(%)=4 1 1 1(1 +幻+，一)在 0,+8)上单调递增，二 g(x+/)g(x),/.m(x)0.巩X)在(0,o)上单调递增，又因为x,f 0,：.m(x)m(0),所以命题得证.8.【答案】（1）x）的减区间为（ogj,增 区 间 为+8）.（2）（i ）见解析；（ii）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）（i ）由题设构造关于切点横坐标的方程，
40、根据方程有3 个不同的解可证明不等式成立，（ii）k=X ,王则题设不等式可转化为/,+/3-2-（二（:二：+12）em 3 6 加&+外结合零点满足的方程进一步m2-m +2转化为I n m +-0 ,利用导数可证该不等式成立.7 2（m+l）【小问1 详解】、e 1 2x-e当0cx/4%）0；当x|,故/（x）的减区间为0,/（x）的增区间为1 9,+8 .【小问2详解】（i ）因为过（a,）有三条不同的切线，设切点为（为,/（%）,i=l,2,3,故 了（%）=/（受）（%。）,故方程 x）h=/（x）（x a）有 3 个不同的根,该方程可整理为1-e-ln x+&=0,2x设 g(
41、x)=则 小)=1会+3*+|()-1品=-(x-e)(x-a)，当0 x e或xa时，g,x)0；当e x 0,故g(x)在(0,e),(a,+o。)上为减函数，在(e,a)上为增函数，因为g(x)有3个不同的零点，故g(e)0,整理得到：人：-+ln a =/(a),此时-黑-1)吱+1-匠+比。卜万卜设“(a)=一-l n a ,则 J 2 2a3 e故(。)为(e,+o。)上的减函数，故()耳一-I n e =0,(ii)当0 ve时，同(i )中讨论可得：故g(x)在(0,),(e,+o o)上为减函数，在(a,e)上为增函数,不妨设 Xj x2 x3,则。玉 。e X3，因为g(x
42、)有3个不同的零点，故g()0,故ee-。)-ln e +0且2 e1 ea 2a2a-a -n a +h 0,整理得到：+b +na,2 e 2 e因为王工2 工3，故0西 。工2 14 X ae要证:2 e-a+e 6e-；+兀（1 一 首,即 证 2+e-a6e2e e-（俨 4 丁-1 2 e-a即证:1 3-m2 -mt.+人 -6I 3加 6即证:一 13-m2 1-m 0,即证:c 2r,+r3-2 0八 一h 72即证：化+1)1町(吁13乂 m+12),oJ 72记 夕 =(,%,则8 )=正 卜 一 卜 21时0,i 1 2 2 2 uk)=k-2 n k,则/(&)=1+
43、正 _%_%=0 即夕 伏)故0(攵)在(1,+oo)上为增函数，故夕化)夕(加),所 以 化+l)l n 左(m-13)(m2-m+12)(m+l)l n m(m-13)(/n2-m+12)k-72-m-l-T 2-记 o(z)=l n tn-72(m +l),0 m 0,所以G(2)在(0,1)为增函数，故口(加)0(1)=0,13)777 一m+12)(m+l)l n/n (/n 13)(/z2 m+12)故 I n m+-o ,72(m +l)m 1 72故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.