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1、函数与导数Bl函数及其表示2 1.B l,B 1 2 2 0 1 3 江西卷 已知函数 f(x)=a(l-2 x-|j,a 为常数且 a 0.(1)证明：函数f(x)的图像关于直线x=2对称；(2)若X o满 足f(f(X o)=X o,但f(x o)K x o,则称X o为函数f(x)的二阶周期点.如果f(x)有两个二阶周期点x”X 2,试确定a的取值范围；(3)对于(2)中的X”X 2和a,设X 3为 函 数f(f(x)的最大值点，A(x,f(f(x,),B(x2,f(f(x j),C(X 3,0).记 A B C的面积为S(a),讨论S(a)的单调性.解：(1)证明：因为 f(g+x)=
2、a(l 2|x|),所以函数f(x)的图像关于直线x=J称.4a2x,x W ,14a2 (1-x),x -所 以f(f(x)=x只有一个解x=0,又f(0)=0,故0不是二阶周期点.|x,x W；,当 a=T时，有 f(f(x)=-所以f(f(x)=x有解集X错误!x W错误！，又当xW错误!时f(x)=x，故x错误!)xW错误!中的所有点都不是二阶周期点.r J1-2za当2 -14a x,x -，4af(f(x)=*.所以f(f(x)=x有四个解0,9o do2/9a Oo1 T不,心,，又f(0)=0,d=)=，f(备 3#高,(I 黯云儡,故只有冷益是f(x)的二阶周期点综上所述，所
3、求a 的取值范围为a*.2 a 4a2(3)由(2)得 士=0 1,X2=Mp,l+4a l+4a因为X 3 为函数f(f(x)的最大值点，所 以.春 或 X 34 a-14a*19a 1当 X f 时，当a)=4(；+4.,求导得:当X3=所以当a时，S(a)单调递增，当 a，+8 时 S(a)单调递减;4a 14aH+c/8；r-6；i+l ,1 2；r+4；i-3时 S(a)-(1+仃)求导得：S(a)-2 (l +4a：)”e J 1 1 H 士 c,/1 2 a2+4a-3因 a 从而有 S(a)=.(+,)。0所以当+8)时 s(a)单调递增.1 3.B L B l l 2 0 1
4、 3 江西卷设函数 f(x)在(0,+8)内可导，且 f(e x)=x +e、，则 伊(1)1 3.2 解析 f(e )=x+e ,利用换元法可得f(x)=l n x +x,f (x)T+l,所 以 f (1)=2.1 0.B l,B 8 2 0 1 3 江西卷如 图 1-3 所示，半径为1的半圆0与等边三角形A B C 夹在两平行线h,k之间，1 L,1 与半圆相交于F,G两点，与三角形A B C 两边相交于E,D两点.设弧 F G 的长为x(0 x 0 且 l -x 0,得 xG 0,1),故选 B.1 1.B 1 1 2 0 1 3 辽宁卷已知函数 f(x)=x22(a+2)x+a2,g
5、(x)=-x2+2(a2)x a2+8.设 H i(x)=m ax f(x),g(x),(x)=m in f(x),g(x)(m ax p,q 表示 p,q中的较大值，m in p,q 表示p,q 中的较小值).记H i(x)的最小值为A,H 2(x)的最大值为B,则 A B=()A.1 6 B.-1 6C.a 2 a1 6 D.a2+2 a 1 61 1.B 解析由题意知当 f(x)=g(x)时,即 x,2 (a+2)x+a?=x2+2 (a2)x a2+8,整理得 x22 ax+a24=0,所以 x=a+2 或 x=a 2,x22 (a+2)x+a (x W a 2),所以所(x)=m a
6、x f(x),g(x)=x +2 (a2)x a2+8 (a2 x a+2),KX22 (a+2)x+a2(x 2 a+2),H2(X)=m in f(x),g(x)=x?+2 (a2)x a*+8 (x W a2),x22 (a+2)x+a-(a2 x a+2),、一x?+2 (a2)x a+8 (x 2 a+2).由图形(图形略)可知,A=H i(x)m in=-4 a 4,B=H2(x)TO X=1 2 4 a,则 A B=-1 6.故选B.4.B l 2 0 1 3 全国卷已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2 x +l)的定义域为()A.(1,1)B.(-1,一C.(-
7、1,0)D.g,1)4.B 解析对 于 f(2x+l),-l 2 x+K 0,解得一 l x 一 看 即 函 数 f(2 x+D 的定义域为(-1，一；).8.Bl,J3 2013 陕西卷设函数 f(x)=(x-J X()，则当 x 0 时，表达式 一#,x 20,的展开式中常数项为()A.-20 B.20 C.-15 D.158.A 解析由已知表达式可得：展开式的通项为，+|=或；6 一(一y/xyjx(-l)r-xr-令 r3=0,可得 r=3,所以常数项为 T 尸一场=一20.37.Bl,B3,B12 2013 四川卷函数y=的图像大致是()3 17.C 解析函数的定义域是 x G R
8、lx W O ,排除选项A；当 x 0时，x30,3-1 0,排除选项B；当 x f +8时，y 0且 y-0,故为选项C 中的图像.19.B1,12,K 6 2013 新课标全国卷H经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润5 00元，未售出的产品，每 1 t亏 损 300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如 图 1 4 所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品，以 X(单位：t,100W X W 15 0)表示下 个销售季度内的市场需求量，T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将 T 表示为X的函数;(2)
9、根据直方图估计利润T不少于5 7 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X G 100,110),则 取 X=105,且 X=105 的概率等于需求量落入 100,110)的频率)，求 T的数学期望.图 1一419.解：当 X G 100,130)时，T=5 00X-300(130-X)=8 00X-39 000.当 X G 130,15 0 时，T=5 00X 130=6 5 000.8 00X-39 000,100 X 0)的反函数 f T(x)=()A.r(x 0)B.-r
10、(x 7 o)2-1 z 1C.2x-l(x e R)D.2x-l(x 0)5.A 解析令丫=1附(1+3,则 y 0,且 1+L=2:解得.x=4,交换x,y 得 f 一 X/X Z 11(x)=2,，(x 0).B 3 函数的单调性与最值21.B3,B9,B12 2013 四川卷 已知函数f(x)=rx 2_|_ 2x+a,x 0,A(x i,f (x i),B(X 2,f(X 2)为该函数图像上的两点,且X lX 2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A,B 处的切线互相垂直，且 X 20,求 X 2x i 的最小值；(3)若函数f(x)的图像在点A,B 处
11、的切线重合，求 a 的取值范围.2 1.解：(1)函 数 f(x)的单调递减区间为(-8,-1),单调递增区间为-1,0),(0,+)(2)由导数的几何意义可知，点 A处的切线斜率为f (x i)，点 B 处的切线斜率为f(X。,故当点A处的切线与点B 处的切线垂直时，有伊(x j=-L当 x 0时，对函数f(x)求 导,得 f (x)=2x+2.因为 XKX20,所以，(2x i+2)(2x 2+2)=1,所以 2x 1+2 0.因此 X 2 xi=3 (2 x1+2)+2 xz+2 2,(2 x+2)(2 xz+2)=1,3 I当且仅当一(2 x1+2)=2 x2+2=1,即 x1 =一
12、且 X 2=-时等号成立.所以，函数f(x)的图像在点A,B 处的切线互相垂直时，X 2 xi 的最小值为L当 xi X 2 x0 0 时，f(xi)W f(X 2),故 X i 0 X 2.当 x K O 时，函数f(x)的图像在点(X 1，f(x)处的切线方程为y (x?+2 xi+a)=(2 xi+2)(xxi),即 y=(2 x1+2)x x?+a.当 X 2 0时，函数f(x)的图像在点(X 2,f(X 2)处的切线方程为y In X 2=(xX 2),E P y x+l n X 2-1.X 2 x2两切线重合的充要条件是=2 xi+2,x2.In X 2-1 =x：+a.由及x】0
13、 X 2,知一l xKO.由得，a=xi+l n 7q 7l=xfl n(2 xi +2)1.设 h(xi)=xfIn(2 xi +2)1 (KxX O),则 h (xi)=2 xi 0.X i+1所以，h(x)(l xh(0)=In 2 1,所以 a l n 2-1.又当x(l,0)且趋近于一1 时，h(xj无限增大，所以a的取值范围是(一In 2-1,+8).故当函数f(x)的图像在点A,B 处的切线重合时，a的取值范围是(一In 2-1,+).1 0.B3,B1 2 2 0 1 3 四川卷设函数f(x)=42+x a(a R,。为自然对数的底数).若曲线y=s i n x上存在(xo,y
14、o)使得f(f(yj)=y o,则 a的取值范围是()A.1,e B.e l-1 1 C.1,e+1 D.e 1 1,e+1 1 0.A 解析因为y=s i n xo E 1,1 ,且 f(x)在 1,1 上(有意义时)是增函数，对于 yw 1,1 ,如果 f(yo)=c y o,则 f(f(yo)=f (c)f (yo)=c yo,不可能有 f(f(yo)=yo.同理,当 f(yo)=d V yo 时,则 f(f(yo)=f (d)V f (yo)=d V y o,也不可能有 f(f(yo)=yo,因此必有f(yo)=yo,即方程f(x)=x 在 1,1 上有解，即e +xa=x 在 1,1
15、 上有解.显然，当 x VO时，方程无解，即需要4?不=乂 在 0,1 上 有 解.当 x 20时，两边平方得ex+x a=x2,故 a=exx2+x.记 g(x)=exx2+x,贝 ij g (x)=ex2 x+l.当 x 0,T 时，ex0,2 x+1 2 0,故 g (x)0,当 x c Q,1 时，1,0 2 x+1 2 1,故 屋(x)0.综上，g (x)在 x 0,1 上恒大于0,所以g(x)在 0,1 上为增函数，值域为 1,e ,从而a的取值范围是 1,e .X37.Bl,B3,B1 2 2 0 1 3 四川卷函数丫=亡工的图像大致是()3 1AD图 1 57.C 解析函数的定
16、义域是 xGR l xW O ,排除选项A；当 x0 时，x30,3 -1 0,排除选项B；当 x+8 时，y0 且 y f。，故为选项C 中的图像.1 0.B3,B5,B8,B1 2 1 2 0 1 3 新课标全国卷H 已知函数f(x)u Y+a f+b x+c,下列结论中错误的是()A.X o GR,f(xo)=0B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形C.若 X。是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(-8,x。)单调递减D.若 X。是 f(x)的极值点，则 f，(xo)=01 0.C 解析x-8 时，f(x)0,f(x)连续，xo GR ,f(xo)=O,A正确；通过平移变换，函数
17、可以化为f(x)=x，+c ,从而函数y=f(x)的图像是中心对称图形，B 正确；若 X。是 f(x)的极小值点，可能还有极大值点X.,则 f(x)在区间(xi,X。)单调递减.C 错 误.D 正确.故答案为C.B 4函数的奇偶性与周期性2.B4 2 0 1 3 广东卷定义域为R的四个函数y=x，,y=2x,y=x2+l,y=2 s i n x 中，奇 函 数 的 个 数 是()A.4 B.3 C.2 D.12.C 解析函数y=x:y=2 s i n x 是奇函数.1 1.B4 2 0 1 3 江苏卷已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x0 时，f(x)=Y 4 x,则不等式f(x)x的 解
18、集 用 区 间 表 示 为.1 1.(-5,0)U(5,+8)解析设 x0.因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)=f(x)=(X2+4X).又 f(0)=0,于是不等式f(x)x等价于 x2 0,xx 一(x，+4 x)x.解得 x5 或一 5x0 时，f(x)=x2+-,贝 ij f(-l)X=()A.-2 B.0 C.1 D.23.A 解析,；f(x)为奇函数，；.f(1)=-f(l)=2.1 4.B4,E 3 2 0 1 3 四川卷已知f(x)是定义域为R的偶函数，当 x 20时，f(x)=x?一4 x,那么，不等式f(x+2)5 的解集是.1 4.(7,3)解析当 x+2 2 0 时
19、，f(x+2)=(x+2)24(x+2)=x24,由 f(x+2)5,得六一4 5,即 x?9,解得一3 x 3,又 x+2 2 0,故一2 W x 3 为所求.又因为f (x)为偶函数，故 f (x+2)的图像关于直线x=-2对称，于是一7 x V2也满足不等式.(注：本题还可以借助函数的图像及平移变换求解)B5二次函数4.A2、B 5 1 2 0 1 3 安徽卷“a W O”是“函数f (x)=|(a x-l)x|在区间(0,+8)内单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充 分 必 要 条 件 D.既不充分也不必要条件4.C 解析f (x)=|(a xl)x|=|a x2
20、x|,若 a=0,则 f(x)=|x|,此时 f(x)在区间(0,十8)上单调递增；若 a 0,则二次函数y=a x2 x 的对称轴x=；0,月.x=0时 y=0,2 a此 时 y=a x,一x 在区间(0,+8)上单调递减且y0,则二次函数y=a x?-x 的对称轴x=4 0,且在区间0,；上 y1In 425g(x)=x24 x+5215可知它们有2个交点，选 B.1 0.B 3,B 5,B 8,B 1 2 1 2 0 1 3 新课标全国卷H 已知函数f (x)u-+a x+b x+c,下列结论中错误的是()A.x0GR,f(x)=0B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形C.若 X。是
21、f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(-8,x。)单调递减D.若 xo是 f (x)的极值点,则f，(xo)=01 0.C 解析x-8 时，f(x)0,f(x)连续，xoe R ,f(xo)=O,A 正确；通过平移变换，函数可以化为f(x)=x3+c ,从而函数y=f(x)的图像是中心对称图形，B 正确；若 X。是 f(x)的极小值点，可能还有极大值点X,则 f(x)在区间(xi,X。)单调递减.C错 误.D正确.故答案为C.B6指数与指数函数6.E 3、B 6、B 7 2 0 1 3 安徽卷已知一元二次不等式f (x)0 的解集为x)x1,则 f(1 0*)0 的 解 集 为()A.x|x
22、1 g 2 B.x|-Kx 1 g 2 D.x|x0 的解是一l a 0,c b 0.(1)记集合M=(a,b,c)l a,b,c不能构成一个三角形的三条边长，且=同，贝 l j(a,b,c)e M 所对应的f(x)的 零 点 的 取 值 集 合 为；(2)若 a,b,c 是a A B C 的三条边长，则下列结论正确的是_ _ _ _ _ _ _ _.(写出所有正确结论的序号)xG(8,1),f (x)0；x e R,使 a b c*不能构成一个三角形的三条边长；若a A B C 为钝角三角形，贝 i j xe(l,2),使 f(x)=O.1 6.(1)X|0 Xa 0,c b 0,故 a+b
23、=2 a 城,令 f (x)=2 a c*=0,即 f(x)=c 2 件一1 =0,故可知 =；，又 吟 g 结合指数函数性质可知0 x W l,即取值集合为 x|0 a 0,c b 0,则 0。1,0(*g)A 所以。+(3 又 a，b,c为三角形三边，则 定 有 a+b c,故对 x(8,1),|1 0,即 f (x)=a*+b c =c g)+1 0,故正确；取 x=2,则(3 +色)己+9 取 x=3,则(2)+(3 +(3，由此递推，必然存在x=n时，有+9|1,即 a +b c ,故正确；对于，因 f(l)=a+b-c O,f(2)=T+b 2 c O Q 为钝角)，根据零点存在性
24、定理可知，xW(l,2),使 f(x)=O,故正确.故填.3.B 6,B 71 2 0 1 3 浙江卷已知x,y 为正实数，则()A 2虫 x+i g、=21g 乂+2心 丫 B 2Igx+y=218 x,2l8 yc.2l8，8 y=2s s+2lg!，D.2l sW=2l8 X 21B y3.D 解析.T g(x y)=lg x+lg y,.2 5=2-=2 呀,故选择 D.B7 对数与指数函数6.E 3、B 6、B 7 2013 安徽卷已知一元二次不等式f (x)0的解集为x )x|,则 f(10*)0的 解 集 为()A.x|x 1g 2B.x|lx 1g 2D.x|x 0的解是一l
25、xg，故解得x -lg 2.0,0 x 0,b 0,则 ln+(ab)=b ln a；若 a 0,b 0,则 In(ab)=ln a+ln b；若 a 0,b 0,则 ln+21n+aln+b；若 a0,b 0,贝 l j In+(a+b)W ln+a+lr/b +ln 2.其 中 的 真 命 题 有.(写出所有真命题的编号)16.解析中，当 ah21 时,V b 0,ln+(ab)=ln ab=b ln a=b ln+a；当 00,A 0al,ln+(ab)=b ln+a=O,正确；中,当 0ab l 时,左边=中+(址)=0,右边=ln+a+ln+b=ln a+0=ln a0,工不成立；中
26、，当即a Wb时，左边=0,右边=1 鼠2li/b W O,左边2 右边成立；当E 1时，左边=ln F=ln aIn b 0,若 ab l时，右边=ln aIn b,左边2 右边成立；若 0lb 0,左边=ln p=ln aIn b ln a,右边=ln a,b左边右边成立，正确；中，若 0a+b 0,左边W右边；若 a+b 2l,ln+(a+b)In 2=ln (a+b)In 2=ln 等也，又或斗龙W b,a,b至少有1 个大于1,In 其也W i n a 或 I n g W l n b,即有 In*(a+b)In 2=ln(a+b)In 2=ln -ln+a+ln+b,正确.8.B 7
27、,E l 2013 新课标全国卷H 设 a=lo g 3 6,b=lo g510,c=lo g?14,贝 i j()A.c b a B.b c aC.a c b D.a b c8.D 解析ab=lo g 3 6 lo g510=(l+lo g32)(l+lo g52)=lo g32 lo g520,b c=lo g s lO-lo g?14=(l+i o g52)(l+lo g?2)=lo g52 lo g720,所以ab c,选 D.3.B 6,B 7 2013 浙江卷已知x,y为正实数，贝 l j()A.21g x+】g y _ 2 x|21C 21g x i g y=21&x+2E y
28、0 2lgx y)=218 x 21R y3.D 解析.F g(x y)=lg x+lg y,二*、=21 2%故选择 D.B8嘉函数与函数的图像5.B 8 2013 北京卷函 数 f(x)的图像向右平移1 个单位长度，所得图像与曲线y=e*关于y 轴对称，则 f(x)=()A.x 4-1e n B.xe1 c C.e-x+1 D.ex15.D 解析依题意，f(x)向右平移一个单位长度得到f(x l)的图像，又丫=的图像关于y 轴对称的图像的解析式为y=e=,所以f(x -l)=e,所以f(x)=e-.10.B l,B 8 2013 江西卷如 图 13 所示，半径为1 的半圆0 与等边三角形A
29、 B C 夹在两平行线L,k之间，1L,1 与半圆相交于F,G两点，与三角形A B C 两边相交于E,D两点.设弧 F G 的长为x(0 x “)，y =E B+B C+C D,若 1 从 L 平行移动到k,则函数y=f (x)的图像大致是()O A图 1一3ABCD图1-410.D 解析 设 1,I2距离为 t,co s x=2t?1,得 t =.A A B C 的边长为2牛=，得 B E=5(l -t)，则 y=2 B E+B C=2 X (l t)+作=2小 一 耳乒尹,1_ 1 4 3 4 3 V 3 2小当 x e(0,n)时，非线性单调递增，排除A,B,求证x =方的情况可知选D.
30、10.B 3,B 5,B 8,B 1212013 新课标全国卷 H 已知函数 f (x)n x+ax+b x+c,下列结论中错误的是()A.x G R,f(x()=0B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形C.若 X。是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(-8,x。)单调递减D.若 X。是 f(x)的极值点,则f (x 0)=01 0.C 解析x 8 时，f(x)0,f(x)连续，x G R ,f(x )=O,A正确；通过平移变换，函数可以化为f(x)=x，+c ,从而函数y=f(x)的图像是中心对称图形，B 正确；若 X。是 f(x)的极小值点，可能还有极大值点x i,则 f(x)在区
31、间(x i,X。)单调递减.C错 误.D正确.故答案为C.B 9函数与方程-x 2+2 x x W 01 二 若I n (x+1),x 0.|f(x)|2 a x,则 a的取值范围是()A.(8,0 B.(8,1 C.2,1 D.2,0 1 1.D 解析方法一：若 x W O,I f (x)I=j X：!+2XI=x2x,x=0 时，不等式恒成立，x 0 时，不等式可变为a 2 x 2,而 x 2 0,|f (x)|=|l n(x+l)I=l n(x +l),由 l n(x+l)a x,可得 aw 恒成立,1 r (y-I-)V I X令 h(x)=-则 h，(x)=-.-，再令 g(x)=F
32、l n(x+l),则X X x+1Xg(x)=()，故 g(x)在(0,+8)上单调递减，所以g 以)g(0)=0,可得h(x)X I 1 )X I n (x+1)-2-0,a 0.综上可知，-2WaW0,故选D.方法二：数形结合：画出函数|f(x)|=x 12 x x 0,s与直线y=a x 的图像，如下图,I n (x+1),x 0要使I f (x)1 2 a x 恒成立，只要使直线y=a x 的斜率最小时与函数y=x,2 x,xWO在原点处的切线斜率相等即可，最大时与x 轴的斜率相等即可，因为 y-2 x-2,所以 y k=o=-2,所以一2 W a W 0.1 0.B9,B1 2 2
33、0 1 3 安徽卷若函数 f (x)n x+a x+b x+c 有极值点 x”x2,且 f(x j =x 则关于x的方程3(f(x)?+2 a f(x)+b=0 的不同实根个数是()A.3 B.4C.5 D.61 0.A 解析因为 f (x)=3 x?+2 a x+b,3 (f (x)?+2 a f (x)+b=0 且 3 x Z+2 a x+b=0的两根分别为X”X2,所以f(X)=X i或 f(X)=X 2,当 X i是极大值点时,f(X 1)=X 1,X 2 为极小值点,且X 2 X”如图(1)所 示,可知方程f(x)=x i有两个实根,f(x)=x z 有一个实根，故方程3(f(x)?
34、+2 a f(x)+b=0 共有3个不同实根;当 x i是极小值点时,f(x j=x i,X 2 为极大值点,且位、,如 图(2)所 示,可 知 方 程 f(x)=%有 两 个 实 根,f(x)=X 2 有一个实根，故方程3(f(x)?+2 a f(x)+b=0 共有3个不同实根;综合以上可知，方程3 (f(x)2+2 a f (x)+b=0共有3 个不同实根.8.B9 E 2 0 1 3 安徽卷函数y=f(x)的图像如图1 2所示,在区间 a,b 上可找到n(n 2 2)个不同的数x“X2,，Xn,使得f(X l)f(X 2)f (x)X iX,，则 n的取值范围是()A.C.3,4 3,4
35、,B.2,3,4)5 D.2 1 3 8.B 解析问题等价于直线y=k x 与函数y=f(x)图像的交点个数，从图中可以看出交点个数可以为2,3,4,故 n的取值范围是 2,3,4).5.B5,B9 2 0 1 3 湖南卷函数f (x)=2 1 n x的图像与函数g(x)=/4 x+5 的图像的交点 个 数 为()A.3 B.2 C.1 D.05.B 解析法-：作出函数解x)=2 1 n x,g(x)=x 一4 x+5 的图像如图：可知，其交点个数为2,选 B.法二：也可以采用数值法：X124f(x)=2 1 n x02 1 n 2 =l n 4 1I n 4 5g(x)=x24 x +521
36、5可知它们有2个交点，选 B.X2 1.B9、B1 2 1 2 0 1 3 山东卷设 函 数 f(x)=+c(e=2.7 1 8 2 8 是自然对数的底数,ecG R).(1)求 f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x的方程|I n x|=f(x)根的个数.2 1.解：f (x)=(l-2 x)e-2 x.由 (x)=0,解 得 x=0,f(x)单调递增；当 X*时，f (x)0,则 g(x)=l n x x e-2 xc,所以 g (x)=e-2 x-+2 x 1.2x因为 2 x 1 0,0,所以 g (x)0.x因此g(x)在(1,+8)上单调递增.当 x(0,1)时,l n x
37、l x 0,所以一1.X又所以一J+2 x 1 X 0,即 g (x)0.x因此g(x)在(0,1)上单调递减.综合可知，当 x (0,+8)时，g(x)/=一 八一c.当 g(l)=-e-2 c 0,即 c 一e-2 时，g(x)没有零点，故关于x的方程|l n x|=f(x)根的个数为0；当 g(D =-e-2c=0,即 c=-e-2 时，g(x)只有一个零点，故关于x的方程I I n x|=f (x)根的个数为1;当 g(l)=-e-2c l n x e-1+c l n x 1 c,要使 g(x)0,只需使 I n x 1 c 0,即*(8 ，,+)；(ii)当(0,1)时，山(1)知
38、g(x)=l n x-x e-2 x c I n x e-l+c I n x 1 c,要使 g(x)0,只需一I n x 1 c 0,即 x (0,e-l-c)；所以c e 时，g(x)有两个零点,故关于x的方程I I n x|=f(x)根的个数为2.综上所述，当 c 一e T 时,关 于 x的方程|l n x|=f (x)根的个数为2.x2+2 x+a,x 0,A(x i,f (x i),B(X2,f(X 2)为该函数图像上的两点,且X i X 2.(1)指出函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)的图像在点A,B 处的切线互相垂直，且 X 2 0,求 X 2 x i的最小值；(3)若函
39、数f(x)的图像在点A,B 处的切线重合，求 a 的取值范围.2 1.解：(1)函 数 f(x)的单调递减区间为(-8,1),单调递增区间为-1,0),(0,+).(2)山导数的几何意义可知，点 A处的切线斜率为f (x i)，点 B 处的切线斜率为f(X。，故当点A处的切线与点B 处的切线垂直时，有伊 区)卢(x2)=-l.当 x 0 时,对 函 数 f(x)求 导,得 f (x)=2 x+2.因为 XKX2 0.因此 x2xi=(2 x 1+2)+2 x2+2 (2 x i+2)(2X2+2)=1,3 1当且仅当一(2 x i+2)=2 x z+2=1,即 x i =一万 且 X 2=-时
40、等号成立.所以，函数f(x)的图像在点A,B 处的切线互相垂直时，X 2 x i 的最小值为L当 x i X 2 x i 0 时，f (x i)W f (X 2),故 x 0 0时，函数f(x)的图像在点(X 2,f(X2)处的切线方程为yIn X2=(xX2),即 y=x+ln X2-1.X 2 X 2两切线重合的充要条件是=2 x i+2,x2、ln X2-1=-x；+a.由及 XK 0 X 2,知一1X0.由得，a=xi+ln p l=x fIn(2xi+2)1.设 h(xi)=x?In(2xi+2)1(Kxi0),则 h(xi)=2xi,h(O)=-l n 2-1,所以 aln 2-1
41、.又当0)且趋近于一1 时;h(x j无限增大，所以a 的取值范围是(一In 2-1,+8).故当函数f(x)的图像在点A,B处的切线重合时，a 的取值范围是(一In 2-1,+-).7.B92013 天 津 卷 函 数 f(x)=2 llo g 0.5 x|-l的零点个数为()A.1 B.2 C.3 D.47.B 解 析f(x)=2X|logo.s2xlogo,5 x1,0l2xlog2 x1,0l.f(x)=-2log2X 1 在(0,1 上递减且x 接近于0 时，在x)接近于正无穷大,f(l)=-1 0,，f(x)在(1,十8)上有一零点.故f(x)共有2 个零点.B 1 0 函数模型及
42、其应用10.B102013 陕 西 卷 设 x表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x,y,有()A.x=x B,2x=2xC.x+y Wx+y D.x y x y10.D 解析 可取特值 x=3.5,则 -x=-3.5 =-4,一 以=一 3.5=-3,故A 错.2x=7=7,2x=23.5=6,故 B 错.再取 y=3.8,则x+y=7.3 =7,而3.5+3.8=3+3=6,故 C错.只 有 D正确.6.B102013 重庆卷 若 a V b V c,则函数 f(x)=(xa)(xb)+(xb)(xc)+(xc)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内 B.(,a
43、)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+8)内 D.(8,a)和(c,+8)内6.A 解析 因为 f (a)=(ab)(ac)0,f (b)=(b c)(b a)0,所以f(a)f(b)V O,f(b)f(c)0,所以函数的两个零点分别在(a,b)和(b,c)内,故选A.B ll导数及其运算x 2+2 x,x W O,1 1 .B9,Bl l 2 0 1 3 新 课 标 全 国 卷 I已 知 函 数 f(x)=0.|f(x)|ax,则 a 的取值范围是()A.(8,0 B.(8,1 C.-2,1 D.-2,0 1 1.D 解析 方法一：若 x W O,|f (x)|=|X2+2XI=x22 x
44、,x=0 时，不等式恒成立，x 0 时，不等式可变为a 2 x 2,而 x 2 0,|f (x)|=|l n(x+l)|=l n(x +l),由 l n(x+l)2 ax,可得 a W 1“(x+1)恒成立,n(Y-I-)v 1 Y令 h(x)=U L-,则 h (x)=-，再令 g(x)=-l n(x+l),则X X x+1g (x)=-(x；o,故 g(x)在(0,+8)上单调递减，所以 g(x)g(O)=O,可得 h，(x)；I I n (x+1)X-1-i=-2-0,aW O.综上可知，2 W a W 0,故选D.x 2 x x 0方法二：数形结合：画出函数|f(x)|=/:、八与直线
45、y=a x 的图像，如下图，I n (x+1),x 0要使|f(x)1 2 ax 恒成立，只要使直线y=a x 的斜率最小时与函数y =x22 x,xWO 在原点处的切线斜率相等即可，最大时与x 轴的斜率相等即可，因为 y =2 x 2,所以 y|x=o=-2,所以一2 W aW 0.1 0.B1 1 E 2 0 1 3 广东卷若曲线y =k x+l n x在点(1,k)处的切线平行于x轴，则 k=1 0.1 解析=k+p/.y,|x=i=k+l=0,故 k=-1.1 3.Bl,Bl l 2 0 1 3 江西卷设函数 f(x)在(0,+8)内可导，且 f(e*)=x+e,则 伊(1)1 3.2
46、 解析f(e)=x+e,利用换元法可得f(x)=l n x+x,f (x)=工+l,所以f (1)X=2.1 n V1 8.Bl l,B1 2 2 0 1 3 北京卷设 L 为曲线C：y=-y-在点(1,0)处的切线.(D 求 L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方二In v 1 1n V1 8.解：(1)设 f(x)=-贝 U f (x)=-X X所 以 广 =1.所以L 的方程为y=x-l.令 g(x)=x 1 f(x),则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g(x)0(x 0,x W l).g(x)满足g =0,且当 O x l 时,x2-l 0,I
47、 n x 0,所以 g (x)l 时，X 1 0,I n x 0,所以 g (x)0,故 g(x)单调递增.所以 g(x)g(l)=O(x 0,x W l).所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方.9.Bl l、B1 2 1 2 0 1 3 全国卷若函数f(x)=x 2+ax+：在9 +s)是增函数，则 a 的取值范围是()A.-1,0 B.-1,+8)C.0,3 D.3,+)9.D 解析f (x)=2 x+a在(今+8)上恒成立，即2 x 在(；，+j上恒成立，由于y=12 x 在(；，+8)上单调递减，所以y 0),0,/、l 6(x 2)(x3)f(x)=x5+-=-xx令 f (x)
48、=0,解得 xi=2,X2=3.当 0V xV 2或 x 3 时，户(x)0,故 f(x)在(0,2),(3,+8)上为增函数；当 2VxV 3 时,(x)0 时，f1 n(x)=l+-H-F-0,故 fn(x)在(0,+乙 n8)内单调递增.2k由于 fl =0,当 n22 时，fn(I)=2+4-.故 f“。.又 f,=-l+Z *431+-414-30XX2-31-32所以存在唯一的XnW鼻，1,满足fn(Xn)=O.0n+l(2)当 X 0 时，fn+1 (x)=fn(x)+/、2，fn(x)，故 fn+1(Xn)fn(Xn)=fn+l(X n+l)=0.(n+1 )由fn+l(x)在
49、(0,+8)内单调递增，X n+W X n,故 右 为单调递减数列.从而对任意n,p N*,X n+p X n.2n对任意 PN*,由于 fn(X n)=-l+X n+4-F=0,fn+p(X j i I p)=-1 +X u+p+2 2n2(n+1)%(n+p)=0,式减去式并移项，利用Ox.+P x.W l,得n vk.Yk P yk n+p kr-i-Aii-|-p An.An tp Ann-pX n X n+p=Z n-+Lk=2 K k=n+l K k=n+i K y 1/y 1 _L 1 A4 k (k-l)-n n+p n因此，对任意p N*,都有0 0,区间 1=x|f(x)0
50、 .(1)求I的长度(注：区间(a,B)的长度定义为B a)；(2)给定常数k d(0,1),当1-kWaWl+k时，求I长度的最小值.1 7.解：(1)因为方程 a x-(l+a 2)x2=0(a 0)有两个实根刈=0,X2=*,故 f(x)0 的解集为 x I X 1 X 0,d(a)单调递增；当 la W l +k 时，d (a)0,d(a)单调递减.所以当1 kWaWl+k时，d(a)的最小值必定在a=l k或a=l +k处取得.l-kd (1 k)1+(1-k)2 2 一k 一k 而d (1+k)=1 +k -=2-7+好L1+(1+k)2故 d (1 k)X I,如图(1)所示，可