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1、解三角形知识点小结 一、知识梳理 1.内角和定理：在ABC中，ABC ；sin()ABsinC；cos()ABcos C sinsinABAB，coscosABAB（cosyx在(0,)上单调递减）面积公式:111sinsinsin222ABCSabCbcAacB 设2abcp 则()()()Sp papbpc 在三角形中大边对大角，反之亦然.2正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一：RCcBbAa2sinsinsin (解三角形的重要工具)形式二：CRcBRbARasin2sin2sin2 (边化正弦)形式三：:sin:sin:sina b cABC（比的性质）形式
2、四：sin,sin,sin222abcABCRRR（正弦化边）3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一：2222cosabcbcA 2222cosbcacaB(遇见二次想余弦)2222coscababC 形式二：222cos2bcaAbc，222cos2acbBac，222cos2abcCab 二、方法归纳(1)已知两角 A、B 与一边 a,由 A+B+C=及sinsinsinabcABC，可求出角 C，再求 b、c.（2）已知两边及一角，用余弦定理。（3）已知三边，用余弦定理。（4）求角度，用余弦。三、经典例题 问题一：利用正弦定理
3、解三角形【例 1】在ABC中，若5b，4B,1sin3A，则a .【例 2】在ABC中，已知 a=3,b=2,B=45,求 A、C和 c.问题二：利用余弦定理解三角形【例 3】设ABC的内角CBA、所对的边分别为cba、.已知1a，2b，41cosC.（）求ABC的周长，（）求CAcos的值.【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscossinsin 22sincos令 2222222coscoscossinsincos 2cossin2cos11 2sintantan1+cos2tancos1tantan21 cos2sin22tantan21t
4、an令 mm【例 4】（2010 重庆文数）设ABC的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且32b+32c-32a=42bc.()求 sinA 的值；()求2sin()sin()441 cos 2ABCA 的值.若条件改为：2223sin3sin3sin4 2sinsinBCABC？2.在ABC中，a、b、c 分别是角 A，B，C的对边，且CBcoscos=-cab2.定理在一个三角形中各边和它的所对角的正弦的比相等形式一解三角形的重要工具形式二边化正弦形式三比的性质形式四正弦化边余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍形余弦定理求角度用
5、余弦三经典例题问题一利用正弦定理解三角形例在中若则例在中已知求和问题二利用余弦定理解三角形例设的内角所对的边分别为已知求的周长求的值注常利用到的三角公式两角和与差的正弦余弦正切公式及倍角的面积问题三正弦定理余弦定理综合应用例山东文数在中内角的对边分别为已知求的值若的周长为求的长注边化正弦正弦化边余弦直接代入考虑以下式子例全国卷理在中内角的对边长分别为已知且求注对已知条件左侧是二次的右侧（1）求角 B的大小；（2）若 b=13，a+c=4，求ABC的面积.问题三：正弦定理余弦定理综合应用【例 5】（2011 山东文数）在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知cos A-2cos
6、C2c-a=cos Bb （I）求sinsinCA的值；（II）若 cosB=14，5bABCV的周长为，求 的长.【注】“边化正弦，正弦化边”“余弦直接代入”考虑以下式子：1cos2aCcb，(2)coscosacBbC，(2)coscos0acbbC【例 6】（2009 全国卷理）在ABC中，内角 A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC 求 b 【注】对已知条件(1)222acb左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理；而对已知条件(2)sincos3cossin,ACAC化角化边都可以。3 在,ABCa b c中分别为内角A、B、C
7、的对边，且2 sin(2)sin(2)sin.aAbcBcbC （）求角 A的大小；（）若sinsin3BC，试判断ABC的形状。问题四：三角恒等变形【例 7】（08 重庆）设ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a,b,c，且 A=60o，c=3b.求：（）ac的值；（）cotB+cot C的值.【注】在解三角形的背景下一般见“切割化弦”同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc （2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：sincostan,cotcossin 4.（2009江 西 卷 理）
8、ABC中，,A B C所 对 的 边 分 别 为,a b c，sinsintancoscosABCAB,sin()cosBAC.（1）求,A C；（2）若33ABCS,求,a c.思考：1若sin()sin()ABacABc 求 B。定理在一个三角形中各边和它的所对角的正弦的比相等形式一解三角形的重要工具形式二边化正弦形式三比的性质形式四正弦化边余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍形余弦定理求角度用余弦三经典例题问题一利用正弦定理解三角形例在中若则例在中已知求和问题二利用余弦定理解三角形例设的内角所对的边分别为已知求的周长求的值注常利用到的三角
9、公式两角和与差的正弦余弦正切公式及倍角的面积问题三正弦定理余弦定理综合应用例山东文数在中内角的对边分别为已知求的值若的周长为求的长注边化正弦正弦化边余弦直接代入考虑以下式子例全国卷理在中内角的对边长分别为已知且求注对已知条件左侧是二次的右侧2 若2sin 2sin 2sincos 21CCCC，求 C 3 若3tantantantan3ABAB，求 C 问题五：判断三角形形状【例 8】在ABC中，bcosAacosB，试判断ABC三角形的形状.【例 9】在ABC中，若cosAcosB ba，试判断ABC三角形的形状.5.在ABC中，若 2cosBsinA sinC，则ABC的形状一定是 6.在
10、ABC中，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.思考：若coscoscosabcABC，判断三角形的形状.问题六：与其他知识综合【例 10】已知向量(,),(,),0ac bac ba 且mnm n，其中 A，B，C 是ABC的内角，a,b,c分别是角 A，B，C的对边.（1）求角 C的大小；（2）求sinsinAB的取值范围.【注】坐标运算：设1122(,),(,)ax ybxyrr，则：向量的加减法运算：12(abxx rr，12)yy。实数与向量的积：1111,ax yxy r。平面向量数量积：1212a bx xy y rr=cosa b
11、r r 向量平行：1221/ababx yx yrrrr 向量垂直：12120ababx xy y rrrr 思考：1.若求coscosAB，22sinsinAB，22coscosAB？2.若已知3c，求三角形周长和面积的取值范围。7.（2009 浙江文）（本题满分 14 分）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且满足2 5cos25A，3AB ACuuu r uuu r （I）求ABC的面积；（II）若1c，求a的值 注：若条件改为3AB CAuuu ruuu r 问题 7：三角实际应用【例 11】要测量对岸 A、B两点之间的距离，选取相距3 km 的 C、D两点，并测得A
12、CB=75，BCD=45，ADC=30，ADB=45，求 A、B之间的距离.【解题思路】找到三角形，利用正弦定理和余弦定理。定理在一个三角形中各边和它的所对角的正弦的比相等形式一解三角形的重要工具形式二边化正弦形式三比的性质形式四正弦化边余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍形余弦定理求角度用余弦三经典例题问题一利用正弦定理解三角形例在中若则例在中已知求和问题二利用余弦定理解三角形例设的内角所对的边分别为已知求的周长求的值注常利用到的三角公式两角和与差的正弦余弦正切公式及倍角的面积问题三正弦定理余弦定理综合应用例山东文数在中内角的对边分别为已知求
13、的值若的周长为求的长注边化正弦正弦化边余弦直接代入考虑以下式子例全国卷理在中内角的对边长分别为已知且求注对已知条件左侧是二次的右侧【例 12】（2007 山东）20（本小题满分 12 分）如图,甲船以每小时30 2海里 的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A处 时,乙船位于甲船的北偏西105的方向1B处,此时两船相距 20 海里.当甲 船航行 20 分钟到达2A处时,乙船航行到甲船的北偏西120方 向的2B处,此时两船相距10 2海里,问乙船每小时航行多少海里?课后自我检测 A 组 1 ABC中，a 5，b 3，sinB22，则符合条件的三角形有 ()A1 个 B2
14、个 C3 个 D 0 个 2.在ABC中，a=15,b=10,A=60，则cos B=()A 2 23 B 2 23 C 63 D 63 3某人朝正东方向走x千米后，向右转o150并走 3 千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x的值为 （）A3 B32 C3或32 D3 4.（2008 福建)在ABC中，角 A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B的值为 （）A.6 B.3 C.6或56 D.3或23 5.已知ABC中，12cot5A，则cos A 。6.在ABC中。若1b，3c，23c，则 a=。7.已知 a,b,c分别是ABC的三个内角 A,B,C
15、所对的边，若 a=1,b=3,A+C=2B,则sinC=.8已知ABC的周长为21，且sinsin2sinABC 定理在一个三角形中各边和它的所对角的正弦的比相等形式一解三角形的重要工具形式二边化正弦形式三比的性质形式四正弦化边余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍形余弦定理求角度用余弦三经典例题问题一利用正弦定理解三角形例在中若则例在中已知求和问题二利用余弦定理解三角形例设的内角所对的边分别为已知求的周长求的值注常利用到的三角公式两角和与差的正弦余弦正切公式及倍角的面积问题三正弦定理余弦定理综合应用例山东文数在中内角的对边分别为已知求的值若的周
16、长为求的长注边化正弦正弦化边余弦直接代入考虑以下式子例全国卷理在中内角的对边长分别为已知且求注对已知条件左侧是二次的右侧A B C D（I）求边AB的长；（II）若ABC的面积为1sin6C，求角C的度数 9在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足sin3 cosbAaB（I）求角B的值；（II）若2 5cos25A，求sinC的值 10.在ABC中，cba,分别为内角CBA,的对边，且1sinsin4)cos(2CBCB（）求A；（）若3a，312sinB，求b B 组 1.若 ABC的 三 个 内 角 满 足sin:sin:sin5:11:13ABC，则 ABC （）A
17、一定是锐角三角形.B一定是直角三角形.C.一定是钝角三角形.D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2已知圆的半径为 4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc16 2，则三角形的面积为（）A2 2 B8 2 C.2 D.22 3要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是 45,在D点测得塔顶A的仰角是 30,并测得水平面上的BCD=120,CD=40m,则电视塔的高度为 （）A102m B20m C203m D40m 4.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若(a2c2b2)tanB 3ac，则角B的值为()A.6 B.3 C.6或56 D.3或23
18、5.（2010 天津理）（7）在ABC中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若223abbc，sin2 3sinCB，则A=定理在一个三角形中各边和它的所对角的正弦的比相等形式一解三角形的重要工具形式二边化正弦形式三比的性质形式四正弦化边余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍形余弦定理求角度用余弦三经典例题问题一利用正弦定理解三角形例在中若则例在中已知求和问题二利用余弦定理解三角形例设的内角所对的边分别为已知求的周长求的值注常利用到的三角公式两角和与差的正弦余弦正切公式及倍角的面积问题三正弦定理余弦定理综合应用例山东文数在中内角的对边分
19、别为已知求的值若的周长为求的长注边化正弦正弦化边余弦直接代入考虑以下式子例全国卷理在中内角的对边长分别为已知且求注对已知条件左侧是二次的右侧（）A.030 B.060 C.0120 D.0150 6.(2008 湖北)在ABC中，三个角,A B C的对边边长分别为3,4,6abc,则 coscoscosbcA caBabC的值为 .7.在ABC中，角,A B C的对边分别为,3a b c B，4cos,35Ab。（）求sinC的值；（）求ABC的面积.8.在ABC中，ACACBCsin2sin,3,5（）求 AB的值。（）求)42sin(A的值。9.在ABC中，已知 B=45,D 是 BC边上
20、的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求 AB的长.10.设ABC的 内 角CBA,所 对 的 边 分 别 为,cba且bcCa21cos.（1）求角A的大小；（2）若1a，求ABC的周长l的取值范围.C 组 1如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为 ()A.518 B.34 C.32 D.78 2在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若C120，c 2a，则()Aab Bab Cab Da与b的大小关系不能确定 3(2010新课标全国卷)在ABC中，D为边BC上一点，BD12CD，ADB120，AD2.若ADC的面积为 3 3，则BAC_.4.（天津
21、市河东区 2009 年高三一模）17.如图所示，在ABC，已知4 63AB,6cos6B，AC边上的中线5BD,求：（1）BC的长度；（2）sin A的值。定理在一个三角形中各边和它的所对角的正弦的比相等形式一解三角形的重要工具形式二边化正弦形式三比的性质形式四正弦化边余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍形余弦定理求角度用余弦三经典例题问题一利用正弦定理解三角形例在中若则例在中已知求和问题二利用余弦定理解三角形例设的内角所对的边分别为已知求的周长求的值注常利用到的三角公式两角和与差的正弦余弦正切公式及倍角的面积问题三正弦定理余弦定理综合应用例山
22、东文数在中内角的对边分别为已知求的值若的周长为求的长注边化正弦正弦化边余弦直接代入考虑以下式子例全国卷理在中内角的对边长分别为已知且求注对已知条件左侧是二次的右侧5设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且atanB203，bsinA4.(1)求 cosB和a；(2)若ABC的面积S10，求 cos4C的值 6已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2b=a+c，且 2cos2B8cosB50，求角B的大小，并判断ABC的形状 7.在ABC中，a b c、分别为角A B C、的对边，且满足222bcabc.（）求角A的值；（）若3a，设角B的大小为,xABC的周长为y
23、，求()yf x的最大值.8.已知函数xxxf2sin262sin2)(，Rx(1)求函数)(xf的最小正周期；（2）记ABC的内角 A,B,C 的对边长分别为cba,，若3,1,1)2(cbBf，求a的值。9.已知ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量),3(babcm，),33(cban，nm/(1)求Acos的值；(2)求)302sin(A的值 10.(山 东 省 青 岛 市2011年3月 高 考 第 一 次 模 拟 文 科)已 知 向 量1(sin,1),(3cos,)2axbxrr,函数()()2f xaba rrr.()求函数()f x的最小正周期T;()已知a
24、、b、c分别为ABC内角A、B、C的对边,其中A为锐角,2 3,4ac,且()1f A,求,A b和ABC的面积S.定理在一个三角形中各边和它的所对角的正弦的比相等形式一解三角形的重要工具形式二边化正弦形式三比的性质形式四正弦化边余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍形余弦定理求角度用余弦三经典例题问题一利用正弦定理解三角形例在中若则例在中已知求和问题二利用余弦定理解三角形例设的内角所对的边分别为已知求的周长求的值注常利用到的三角公式两角和与差的正弦余弦正切公式及倍角的面积问题三正弦定理余弦定理综合应用例山东文数在中内角的对边分别为已知求的值若的周长为求的长注边化正弦正弦化边余弦直接代入考虑以下式子例全国卷理在中内角的对边长分别为已知且求注对已知条件左侧是二次的右侧