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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解三角形学问点小结一、学问梳理1. 内角和定理：在ABC 中, ABC；sinABsin C ；cosABcosC 上单调递减）sinAsinBAB , cosAcosBAB （ycosx 在 0,面积公式 :SABC1absinC1bcsinA1acsinB222设pabc就Sp papb pc2在三角形中大边对大角,反之亦然. 2正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：aAbBcC2R解三角形的重要工具 sinsinsina2 RsinAb2RsinB形式二：c2 RsinC边化正弦 形式三：a
2、 b csinA:sinB:sinC （比的性质）形式四：sinAa,sinBb,sinCc2R2R2R （正弦化边）3.余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 . 形式一：a2b2c22bccosA遇见二次想余弦 b2c2a22cacosBc2a2b22abcosC形式二：cosAb2c2a2,cosBa2c2b2,cos Ca2b2c22 bc2ac2ab二、方法归纳名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载bca1已知两角 A、B 与一边 a,由 A+
3、B+C= 及sinAsinBsinC ,可求出角C,再求 b、c. （2）已知两边及一角,用余弦定理；（3）已知三边,用余弦定理；（4）求角度,用余弦；三、经典例题问题一：利用正弦定懂得三角形【例 1】在ABC中,如b5,B4,sinA1,就 a . 3【例 2】在 ABC中,已知 a=3 ,b=2 ,B=45 , 求 A、C和 c.问题二：利用余弦定懂得三角形【例3】设ABC 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c. 已知a1,b2,AC的值 . cosC1. 4（）求ABC 的周长,（）求cos【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：名师归纳总结 sinsin
4、coscossin令sin 22sincos12sin2第 2 页,共 8 页coscoscossinsin令cos22 cossin22cos21tantantan2 cos1+cos21tantan2a、 b、 c, 且sin21cos22tan 212tan2tan【例4 】（ 2022 重庆文数）设ABC 的内角A、 B、 C 的对边长分别为32 b +32 c -32 a =42 bc . 求 sinA 的值； 求2sinA4sinBC4的值 . 1cos2A如条件改为：3sin2B3sin2C3sin2A42sinBsinC ？2 . 在 ABC中, a、b、c 分别是角 A, B
5、,C的对边,且cosB=-2bc. cosCa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）求角 B 的大小；（2）如 b= 问题三：正弦定理余弦定理综合应用13 ,a+c=4,求 ABC的面积 .【例 5】（ 2022 山东文数）在 ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 已知cosA-2cos C= 2c-acos B b（I ）求sin C 的值；（II ）如 cosB=1,ABC的周长为 5,求 b 的长 .sin A 4【注】“ 边化正弦,正弦化边”“ 余弦直接代入”1考虑以下式子：a cos C2 c b
6、,2 a c cos B b cos C , 2 a c cos b b cos C 0【例 6】（2022 全国卷理）在 ABC 中,内角 A、B、C的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知2 2a c 2 b ,且 sin A cos C 3cos A sin C , 求 b【注】 对已知条件 1 a 2c 22 b 左侧是二次的右侧是一次的 , 可以考虑余弦定理；而对已知条件 2 sin A cos C 3cos A sin C 化角化边都可以；3 在 ABC 中 , , , a b c 分 别 为 内 角 A、B、C 的 对 边,且2 sin A 2 b c sin B 2 c b
7、sin C .（）求角 A 的大小；（）如 sin B sin C 3,试判定 ABC 的外形；问题四：三角恒等变形【例 7】（08 重庆）设ABC 的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c ,且 A=60,c=3b. 求：a（）c 的值；（） cotB +cot C的值 . 【注】在解三角形的背景下一般见“ 切割化弦”同角三角函数的基本关系式：名师归纳总结 （1）平方关系：sin2cos21,1tan22 sec,1cot22 csc3a b c,第 3 页,共 8 页（2）倒数关系： sincsc=1,cossec=1,tancot=1, （3）商数关系：tansin,cotcoscoss
8、in4. （ 2022江 西 卷 理 ） ABC中 ,A B C所 对 的 边 分 别 为tanCsinAsinB, sinBA cosC .（1）求A C ；（2）如SABC3, 求a c .cosAcosBsinABac摸索： 1 如sinABc求 B；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 如2 sin 2 Csin 2CsinCcos2 C学习必备欢迎下载1,求 C 3 如3 tanAtanBtanAtanB3,求 C 问题五：判定三角形外形【例 8】在 ABC中,bcosAacosB,试判定ABC 三角形的外形 . 【例 9】 在 ABC中,如
9、cosA cosBb a,试判定ABC三角形的外形 . 5. 在 ABC中,如 2cosBsinA sinC ,就 ABC的外形肯定是 6. 在 ABC中,假如（ a 2+b 2）sin （A-B）=（ a 2-b 2）sin （A+B）,判定三角形的外形 . a b c摸索：如cos A cos B cos C ,判定三角形的外形 . 问题六：与其他学问综合【例 10】已知向量 m a c b , , n a c b a , 且 m n 0,其中 A,B, C 是 ABC的内角, a,b,c 分别是角 A,B,C的对边 . （1）求角 C的大小；（2）求 sin A sin B 的取值范畴
10、. 【注】坐标运算：设ax y 1 1,bx 2,y2,就：a b c ,且满向量的加减法运算：abx 1x ,2y 1y 2；实数与向量的积：ax y 1 1x 1,y 1；平面对量数量积：abx x 2y y =a bcos向量平行：a/ /babx y2x y 1向量垂直：aba bx x 2y y20摸索： 1. 如求cosAcosB ,sin2Asin2B ,2 cosAcos2B ？2.如已知c3,求三角形周长和面积的取值范畴；7. （ 2022 浙江文）（此题满分14 分）在ABC 中,角A B C 所对的边分别为足cosA2 5,AB AC3（I ）求ABC 的面积；（II ）
11、如c1,求 a 的25值注：如条件改为ABCA3问题 7：三角实际应用【例 11】 要测量对岸A、B 两点之间的距离, 选取相距3 km 的 C、D两点,并测得 ACB=75 , BCD=45 , ADC=30 , ADB=45 ,求 A、 B之间的距离 . 【解题思路】找到三角形,利用正弦定理和余弦定理；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【例 12】（2007 山东） 20（本小题满分12 分）如图 , 甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行 , 乙船按固定方向匀速直线航行 , 当甲船位
12、于 A 处时, 乙船位于甲船的北偏西 105 的方向 B 处, 此时两船相距 1 20 海里 . 当甲船航行 20 分钟到达 A 处时 , 乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B 处, 此时两船相距 10 2 海里 , 问乙船每小时航行多少海里 . 课后自我检测A 组 3 千米,1 ABC中,a5,b3,sin B2 2,就符合条 件的三角形有 A1 个 B 2 个 C3 个 D 0 个2. 在ABC 中,a=15,b=10,A=60 ,就 cosB = A 2 2 3 B 232 C 6 D 6333某人朝正东方向走x 千米后,向右转o 150 并走 3 千米,结果他离动身点恰好那么 x
13、 的值为（）A3 B2 3 C3或 2 3 D3 4. （ 2022 福建 在 ABC中,角 A、B、C的对边分别为 a、b、c, 如 a 2+c 2- b 2tan B= 3ac , 就角 B的值为（）A. B. C. 或5 D. 或26 3 6 6 3 35. 已知 ABC中,cot A 12,就 cosA；56. 在 ABC 中；如 b 1,c 3,c 2,就 a= ；37. 已知 a,b,c 分别是ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,如 a=1,b= 3 , A+C=2B, 就sinC= . 名师归纳总结 8已知ABC的周长为21,且 sinAsinB2 sinC 第 5 页,共
14、 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （I ）求边 AB 的长；（II ）如学习必备欢迎下载C ,求角 C 的度数ABC的面积为1 sin 69在ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为a 、 b 、 c ,且满意bsinAC3 cosB （I ）求角 B 的值；（II ）如 cos A210. 在 ABC 中,a , b , c 分别为内角2 5, 求 sinC 的值C4sinBsin1A5 , B,C的对边,且2cos B（）求 A ；（）如a3,sinB1,求 b 23B 组1. 如 ABC 的 三 个 内 角 满 足 s i n
15、 : s i n C : s i n, 就 ABC（） A 肯定是锐角三角形 . B肯定是直角三角形 . C. 肯定是钝角三角形 . D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 . 2已知圆的半径为 4,a、b、c 为该圆的内接三角形的三边,如 abc16 2,就三角形的面积为（）2A2 2 B8 2 C. 2 D.23要测量底部不能到达的电视塔 AB的高度 , 在 C点测得塔顶 A 的仰角是 45 , 在 D点测得塔顶 A的仰角是 30 , 并测得水平面上的BCD=120 , CD=40m,就电视塔的高度为（）B 20m C 203 m D40mA A102 m D 4. 在 ABC中,角
16、A、B、C的对边分别为a、b、c. 如 a 2c2bB C 2tan B3ac,就角 B的值名师归纳总结 为 3或2 3a22 b3 bc ,第 6 页,共 8 页A.B. 3 C. 6或5D.665. （ 2022 天津理）（7）在 ABC中,内角 A,B,C 的对边分别是a,b,c ,如sinC2 3sinB,就A= - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （）学习必备欢迎下载A.30 B. 060 C. 00 120 D.A15004,c6, 就a3,b6.2022湖北 在ABC 中,三个角A B C 的对边边长分别为bccosAcacosBabcos
17、 C 的值为 . 4,b3；7. 在ABC 中,角A B C 的对边分别为a b c B3,cos5（）求 sin C 的值；（）求ABC 的面积 . 8. 在ABC 中,BC5,AC3 ,sinC2sinA（）求 AB的值；（）求sin2A4的值；9.在 ABC中,已知 B=45 ,D 是 BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB的长 . 10. 设ABC 的 内 角A ,B,C所 对 的 边 分 别 为a,b ,c ,且acosCABC 的周长 l 的取值范畴 . 1cb. （1）求角 A 的大小；（2）如a1,求2C 组1假如等腰三角形的周长是底边长的 5 倍 ,那么它
18、的顶角的余弦值为 5 3 3 7A.18 B. 4 C. 2 D.82在 ABC中,角 A,B,C所对的边长分别为 a,b,c. 如 C120 , c2a,就 Aab BabCab Da 与 b 的大小关系不能确定13 2022 新课标全国卷 在 ABC中, D 为边 BC上一点, BD2CD, ADB120 , AD2. 如 ADC的面积为 33,就 BAC_. 4.（天津市河东区 20XX年高三一模） 17. 如下列图,在 ABC,已知 AB 4 6, cos B 6,3 6AC边上的中线BD5, 求：（1）BC的长度；（2） sin A 的值；名师归纳总结 - - - - - - -第
19、7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载5设 ABC的内角 A,B, C所对的边分别为a,b,c,且 atan B20 3, bsin A4. 1 求 cosB 和 a；2 如 ABC的面积 S10,求 cos4C的值6已知ABC的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,如 2b=a+c,且 2cos2B8cosB50,求角 B 的大小,并判定 ABC的外形7. 在 ABC 中, a b c、 分别为角 A B C、 的对边,且满意 b 2c 2a 2bc . （）求角 A 的值；（）如 a 3,设角 B 的大小为 x , ABC 的周长为
20、 y ,求 y f x 的最大值 . 8. 已知函数 f x 2 sin 2 x 2 sin 2 x,x R61 求函数 f x 的最小正周期；（2）记 ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a , b , c,如 f B ,1 b 1 , c 3,求 a2的值；名师归纳总结 9. 已知ABC 的三内角 A ,B ,C 所对边的长分别为a,b,c,设向量m 3 cb ,ab ,第 8 页,共 8 页n 3 a3 b ,c,m/n已 知 向 量1 求cosA的值； 2求sin2A30的值10. 山 东 省 青 岛 市20XX年3月 高 考 第 一 次 模 拟 文 科 asin ,1,b 3cos ,1, 函数f x ab a2.2 3,c4,2 求函数f x 的最小正周期 T ; 已知 a 、b 、c 分别为ABC 内角 A 、B 、C 的对边 , 其中 A 为锐角 ,a且f 1, 求A b和ABC 的面积 S . - - - - - - -