解三角形函数知识点.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解三角形学问点小结一、学问梳理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 内角和定理：在ABC 中， ABC。 sin ABsin C 。 cos AB cosC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin AsinBAB ， cos Acos BAB （ ycosx 在 0, 上单调递减）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S ABC1 ab sin C1 bc sin A1

2、ac sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面积公式 :222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pabc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设2就Sp pa pb pc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在三角形中大边对大角，反之亦然.2正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形式一：a sin Ab sin Bc sin C2 R 解三角形的重要工具可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形式二：a 2R sin

3、Ab 2R sin Bc 2R sin C边化正弦 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形式三：a : b : csinA :sinB :sinC （比的性质）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形式四：sin Aa ,sin B 2 Rb ,sin C 2 Rc2R （正弦化边）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2形

4、式一： ab222bc2bc cos Aa2ca cos Bc22遇见二次想余弦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c2a2b 22ab cos C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形式二：cos Ab 2c2a 2cos Ba 2c2b2cosCa2b 2c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2bc，2ac，2ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、方法归纳可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - -

5、 - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 已知两角A、B 与一边 a,由 A+B+C= 及 sin Asin Bsin C ，可求出角C，再求 b、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c.（2）已知两边及一角，用余弦定理。（3）已知三边，用余弦定理。（4）求角度，用余弦。三、经典例题问题一：利用正弦定懂得三角形1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例

6、1】在ABC 中，如 b5 ，B , sin A，就 a.43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 2】在 ABC中，已知a=3 ,b=2 ,B=45 , 求 A、C 和 c.问题二：利用余弦定懂得三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例3 】设ABC 的内角A、 B、 C所对的边分别为a、b、c. 已 知 a1 ， b2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos C1 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求ABC 的周长，（）求cos AC 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【注】常利用到的三角公式两

7、角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscos令sinsin 22sincoscoscoscosmsin令sincos 2cos2sin22cos 2112sintanttan1 mtanantan2 1+cos2 cos22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan 22 tan1tan2sin2 1cos22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例4 】（ 2021重庆文数）设ABC 的内角A、 B、 C 的对边长分别为a 、 b 、 c, 且3 b2 +3 c2 -3 a2 =42 bc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 求

8、sinA 的值。 求2sin Asin BC 441 cos2A的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如条件改为：3sin 2 B3sin 2 C3sin 2 A42 sinB sin C ？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 . 在 ABC中， a、b、c 分别是角A， B， C 的对边，且cos B =-b.cosC2ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结

9、归纳 - - - - - - - - - - - -（ 1）求角 B 的大小。（ 2）如 b=13 ， a+c=4，求 ABC的面积 .问题三：正弦定理余弦定理综合应用【例5 】（ 2021 山东文数）在ABC 中，内角A， B， C 的对边分别为a， b， c 已知cos A-2cos C = 2c-a cos Bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ I ）求 sin C的值。（ II ）如 cosB= 1， VABC的周长为5，求 b的长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin A4【注】“边化正弦，正弦化边”“余弦直接代入”可编辑资料 - - - 欢迎下

10、载精品名师归纳总结考虑以下式子：a cos C1 cb2， 2 accos Bb cos C ， 2 accos bb cosC0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 6】（ 2021 全国卷理）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为a 、 b 、 c ，已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2c22b ，且 sinA cos C3cosA sin C ,求 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【注】 对已知条件 1 a 2c22b 左侧是二次的右侧是一次的, 可以考虑余弦定理。而对已可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结知条件

11、 2sinA cosC3cosA sin C , 化角化边都可以。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 在ABC中, a,b, c分别为内角A、B、C的对边，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a sin A2bcsin B2cb sin C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求角A 的大小。（）如 sin Bsin C3 ，试判定ABC 的外形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题四：三角恒等变形o【例 7】（ 08 重庆）设ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a,b,c ，且 A=60 ，c=3b. 求：可编辑资料 -

12、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）ac 的值。（） cotB +cot C的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【注】在解三角形的背景下一般见“切割化弦”同角三角函数的基本关系式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）平方关系：2sin2cos221,1tansec22,1cotcsc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）倒数关系： sincsc=1,cossec=1,tancot=1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）商数关系：tansin,cotcos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cossin

13、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. （ 2021江 西 卷 理 ） ABC中 ，A, B,C所 对 的 边 分 别 为a ,b,c，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tanCsin Asin B, sin BAcos C . （ 1）求A, C 。（ 2）如S ABC33 , 求 a ,c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos Acos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin AB摸索： 1 如 sin ABacc求 B。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资

14、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 如 sin2Csin 2C sin Ccos 2C1 ，求 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 如3 tan A tan Btan Atan B3 ，求 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题五：判定三角形外形【例 8】在 ABC

15、中， bcosA a cosB，试判定ABC 三角形的外形 .cosAb【例 9】 在 ABC中，如 cosB a ，试判定ABC 三角形的外形 .5. 在 ABC中，如 2cosBsinA sinC ，就 ABC的外形肯定是22226. 在 ABC中，假如（ a +b ） sin （ A-B） =（ a -b ） sin （ A+B），判定三角形的外形.abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结摸索：如cos Acos Bcos C ，判定三角形的外形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题六：与其他学问综合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例10】

16、已知向量mac,b, nac,ba, 且mn0 ，其中A，B， C 是 ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的内角， a,b,c分别是角A， B，C 的对边 . （ 1）求角 C的大小。（ 2）求 sin A范畴 .sinB 的取值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【注】坐标运算：设a x1,y1 , brrx2 , y2 ，就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量的加减法运算：abr x1x2 ， y1y2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

17、名师归纳总结实数与向量的积：ax1 , y1rrx1,y1。rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面对量数量积：a . bx1 x2y1 y2 = a b cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量平行：向量垂直：rrrra / /babx1 y2rrrraba . bx1 x2x2 y1y1 y20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结摸索： 1. 如求 cos Acos B ， sin2 Asin 2 B ， cos2 Acos2 B ？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

18、- - 欢迎下载精品名师归纳总结2.如已知 c3 ，求三角形周长和面积的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. （ 2021 浙江文）（此题满分14 分）在ABC 中，角A, B, C 所对的边分别为a,b,c ，且满可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结足 cos A2 5uuuruuur， ABAC3 （ I ）求ABC 的面积。（ II ）如 c1 ，求 a 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结25值uuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：如条件改为AB . CA3

19、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题 7：三角实际应用【例 11】 要测量对岸A、B 两点之间的距离，选取相距3 km 的 C、D 两点，并测得 ACB=75， BCD=45， ADC=30， ADB=45，求 A、 B 之间的距离 .【解题思路】找到三角形，利用正弦定理和余弦定理。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【例 12

20、】（ 2007 山东） 20（本小题满分12 分）如图 , 甲船以每小时302 海里可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的速度向正北方向航行, 乙船按固定方向匀速直线航行, 当甲船位于A1 处可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时, 乙船位于甲船的北偏西105 的方向B1处, 此时两船相距20 海里 . 当甲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结船航行 20 分钟到达A2 处时 , 乙船航行到甲船的北偏西120 方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向的

21、 B2 处, 此时两船相距102 海里 , 问乙船每小时航行多少海里.课后自我检测A组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 ABC中，a5，b3，sin B22 ，就符合条 件的三角形有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1 个B 2 个C 3 个D 0 个2. 在ABC 中，a=15,b=10,A=60 ，就 cos B =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 223B223C6D633可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3某人朝正东方向走x 千米后，向右转那么 x 的值为（）150 o 并走 3 千米，结果他离动身点恰好3 千米，可编

22、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A3B 23C3 或 23D 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. （ 2021 福建 在 ABC中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c, 如 a2+c2- b2tan B=3ac ,就角 B的值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. B.63C. 或 5 66D. 或 2 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 已知 ABC中，cot A12 ，就 cos A。52可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 在ABC 中。如 b1， c3 ，c，就 a=。3可编辑资料 - - -

23、 欢迎下载精品名师归纳总结7. 已知a,b,c分别是ABC 的三个内角A,B,C所对的边，如a=1,b=3 , A+C=2B,就sinC=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8已知 ABC 的周长为21，且 sin Asin B2 sin C 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编

24、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ I ）求边 AB 的长。（II ）如 ABC 的面积为1 sin C ，求角 C 的度数6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9在ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为a 、 b 、 c ，且满意b sin A3a cosB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（I ）求角 B 的值。（ II ）如Acos25， 求 sinC 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结25可编辑资料 - - - 欢迎下载

25、精品名师归纳总结10. 在ABC 中，a ,b, c 分别为内角A, B ,C的对边，且2 cosBC 4 sin B sin C1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求A 。（）如 a3 ， sin B21 ，求 b 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B组1.如 ABC的 三 个 内 角 满 足sin A :sin（）B :sin C5:11:13， 就 ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 肯定是锐角三角形.B肯定是直角三角形.C.肯定是钝角

26、三角形.D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 2已知圆的半径为4，a、b、c 为该圆的内接三角形的三边，如abc 162，就三角形的面积为（）A 22B 82C.2D.223要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度 , 在 C 点测得塔顶A 的仰角是45 , 在 D 点测得塔顶 A的仰角是30 , 并测得水平面上的BCD=120, CD=40m,就电视塔的高度为（）AA 102 mB 20mC 203 mD 40mDBC2224. 在 ABC中，角 A、B、C的对边分别为a、b、c. 如 a c b tan B3ac，就角 B的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 6B

27、.3C.56 或 6D.23 或 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. （ 2021 天津理）（ 7）在 ABC中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，如 a2b23bc ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin C23sinB，就A=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料

28、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）A. 300B.600C.1200D.150 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6.2021湖北 在 ABC 中，三个角A, B,C 的对边边长分别为a3,b4, c6 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bc cos AcacosBabcosC 的值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 在ABC 中，角A, B, C 的对边分别为a

29、, b,c, B， cos A 34 , b3 。5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求 sin C 的值。（）求ABC 的面积 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 在ABC 中， BC5, AC3, sin C2 sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求 AB 的值。（）求sin 2A 的值。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 在 ABC中，已知B=45,D 是 BC边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求 AB的长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精

30、品名师归纳总结10. 设ABC的 内 角A, B,C所 对 的 边 分 别 为a, b, c, 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a cos C1 cb . （ 1）求角 A 的大小。（ 2）如 a21 ，求ABC 的周长 l 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C组1假如等腰三角形的周长是底边长的5 倍 ，那么它的顶角的余弦值为5337A. 18B. 4C.2D. 82在 ABC中，角 A， B，C 所对的边长分别为a， b，c. 如 C 120， c2a，就 A abB abC abD a 与 b 的

31、大小关系不能确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 2021新课标全国卷 在 ABC中， D 为边 BC上一点， BD1CD， ADB 120， AD2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 如 ADC的面积为33 ，就 BAC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4.（天津市河东区2021 年高三一模） 17. 如下列图， 在 ABC，已知AB46 ,3cosB6 ，6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AC边上的中线BD5 ,求：（ 1） BC的长度。（ 2） sin A 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料

32、 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -5设 ABC的内角 A， B， C所对的边分别为a，b， c，且 atan B20， bsin A 4.3(1) 求 cos B 和 a。 2 如 ABC的面积 S 10，求 cos4C 的值6已知 ABC的三个内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，如 2b=a+c，且 2cos2 B 8cos B5 0，求角 B 的大小，并判定 ABC的外形可编辑资料 - -

33、 - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 在ABC 中， a、b、c分别为角A、B、C的对边，且满意b2c2a 2bc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求角A 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如 a3 ，设角 B 的大小为 x,ABC 的周长为y ，求yf x的最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 已知函数f x2 sin2 x62 sin 2x ， xR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 求函数f x 的最小正周期。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）记ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为的值。a,b,c ，如f B 21, b1,c3 ，求 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 已知ABC 的三内角A ，B ，C 所对边