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1、学习必备 欢迎下载 等比数列例题解析 【例 1】已知 Sn是数列an的前 n 项和，Snpn(pR，nN*)，那么数列an A是等比数列 B当 p0 时是等比数列 C当 p0，p1 时是等比数列 D不是等比数列【例 2】已知等比数列 1，x1，x2，x2n，2，求 x1x2 x3 x2n 【例3】a(1)a=4an25等比数列中，已知，求通项公12 式；(2)已知 a3a4a58，求 a2a3a4a5a6的值 【例 4】已知 a0，b0 且 ab，在 a，b 之间插入 n 个正数 x1，x2，xn，使得 a，x1，x2，xn，b 成等比数列，求证x xxabnn122 学习必备 欢迎下载【例
2、5】设 a、b、c、d 成等比数列，求证：(bc)2(ca)2(db)2(ad)2 【例 6】求数列的通项公式：(1)an中，a12，an+13an2(2)an中，a1=2，a25，且 an+23an+12an0 思路：转化为等比数列 【例7】aaaa(aa)a2a(aa)aaa=0aaaa1234122242213422321234若实数、都不为零，且满足求证：、成等比数列，且公比为 【例 8】若 a、b、c 成等差数列，且 a1、b、c 与 a、b、c2 都成等不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求通项公式已知求的值例已知且在之间插入个正数使得成等比数列求证学习必备欢迎下载例设成等
3、比数列求证例求数列的通项公式中中且思路转化为等比数列例若实数都不为零且满等比数列的公比都是又知且求与的值是不是中的项思路运用通项公式列方程例设是等差数列已知求等差数列的通项例三个数成等比数列若第二个数加就成等差数列再把这个等差数列的第项加又成等比数列求这三个数学习必备欢迎下的和是求这四个数分析本题有三种设未知数的方法例已知三个数成等差数列其和为另外三个数成等比数列把两个数列的对应项依次相加分别得到求这两个数列例已知在数列中成等差数列成等比数列的倒数成等差数列证明成等比数列学习必备 欢迎下载 比数列，求 b 的值 【例 9】已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是 d，又知 d1，且 a4
4、=b4，a10=b10：(1)求 a1与 d 的值；(2)b16是不是an中的项？思路：运用通项公式列方程 【例10】a b=(12)bbb=218b b b=18nnan123123设是等差数列，已知，求等差数列的通项 【例 11】三个数成等比数列，若第二个数加 4 就成等差数列，再把这个等差数列的第 3 项加 32 又成等比数列，求这三个数 不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求通项公式已知求的值例已知且在之间插入个正数使得成等比数列求证学习必备欢迎下载例设成等比数列求证例求数列的通项公式中中且思路转化为等比数列例若实数都不为零且满等比数列的公比都是又知且求与的值是不是中的项思路运
5、用通项公式列方程例设是等差数列已知求等差数列的通项例三个数成等比数列若第二个数加就成等差数列再把这个等差数列的第项加又成等比数列求这三个数学习必备欢迎下的和是求这四个数分析本题有三种设未知数的方法例已知三个数成等差数列其和为另外三个数成等比数列把两个数列的对应项依次相加分别得到求这两个数列例已知在数列中成等差数列成等比数列的倒数成等差数列证明成等比数列学习必备 欢迎下载 【例 12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数 分析 本题有三种设未知数的方法 【例 13】已知三个数成等差数列，其和为 126
6、；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到 85，76，84求这两个数列 【例 14】已知在数列an中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、a5成等比数列 【例 15】已知(bc)logmx(ca)logmy(ab)logmz=0(1)设 a，b，c 依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z 成等比数不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求通项公式已知求的值例已知且在之间插入个正数使得成等比数列求证学习必备欢迎下载例设成等比数列求证例求数列的通项公式中中且思路转化为等比数列例若实数都不为零且满
7、等比数列的公比都是又知且求与的值是不是中的项思路运用通项公式列方程例设是等差数列已知求等差数列的通项例三个数成等比数列若第二个数加就成等差数列再把这个等差数列的第项加又成等比数列求这三个数学习必备欢迎下的和是求这四个数分析本题有三种设未知数的方法例已知三个数成等差数列其和为另外三个数成等比数列把两个数列的对应项依次相加分别得到求这两个数列例已知在数列中成等差数列成等比数列的倒数成等差数列证明成等比数列学习必备 欢迎下载 列(2)设正数 x，y，z 依次成等比数列，且公比不为 1，求证：a，b，c 成等差数列 答案 【例 1】分析 由 Snpn(nN*)，有 a1=S1p，并且当 n2 时，an
8、=SnSn-1pnpn-1(p1)pn-1 故，因此数列成等比数列 a=(p1)pa p0p10(p1)p2nn 1()()ppp ppn212 但满足此条件的实数 p 是不存在的，故本题应选 D 说明 数列an成等比数列的必要条件是 an0(nN*)，还要注 意对任，都为同一常数是其定义规定的准确含义n*n2Naann 1【例 2】解 1，x1，x2，x2n，2 成等比数列，公比 q 21q2n+1 x1x2x3x2nqq2q3q2n=q1+2+3+2n=q2n(1+2n)2qnnn()212【例3】a(1)a=4an25等比数列中，已知，求通项公12 式；(2)已知 a3a4a58，求 a
9、2a3a4a5a6的值 解 (1)a=a q q=525 212 不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求通项公式已知求的值例已知且在之间插入个正数使得成等比数列求证学习必备欢迎下载例设成等比数列求证例求数列的通项公式中中且思路转化为等比数列例若实数都不为零且满等比数列的公比都是又知且求与的值是不是中的项思路运用通项公式列方程例设是等差数列已知求等差数列的通项例三个数成等比数列若第二个数加就成等差数列再把这个等差数列的第项加又成等比数列求这三个数学习必备欢迎下的和是求这四个数分析本题有三种设未知数的方法例已知三个数成等差数列其和为另外三个数成等比数列把两个数列的对应项依次相加分别得到求这
10、两个数列例已知在数列中成等差数列成等比数列的倒数成等差数列证明成等比数列学习必备 欢迎下载 aa q4()()(2)aaa aaaa=8n2n 2n 2n 43542345431212 a42 又a aa aaa a a a a=a=322635423456452【例 4】证明 设这 n2 个数所成数列的公比为 q，则 b=aqn+1 qbax xxaqaqaqaqababnnnnnn1122122【例 5】证法一 a、b、c、d 成等比数列 abbccd b2ac，c2bd，adbc 左边=b22bcc2c22aca2d22bdb2=2(b2ac)2(c2bd)(a22bcd2)a22add
11、2(ad)2右边 证毕 证法二 a、b、c、d 成等比数列，设其公比为 q，则：baq，caq2，d=aq3 左边(aqaq2)2(aq2a)2(aq3aq)2 a22a2q3a2q6=(aaq3)2 不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求通项公式已知求的值例已知且在之间插入个正数使得成等比数列求证学习必备欢迎下载例设成等比数列求证例求数列的通项公式中中且思路转化为等比数列例若实数都不为零且满等比数列的公比都是又知且求与的值是不是中的项思路运用通项公式列方程例设是等差数列已知求等差数列的通项例三个数成等比数列若第二个数加就成等差数列再把这个等差数列的第项加又成等比数列求这三个数学习必备
12、欢迎下的和是求这四个数分析本题有三种设未知数的方法例已知三个数成等差数列其和为另外三个数成等比数列把两个数列的对应项依次相加分别得到求这两个数列例已知在数列中成等差数列成等比数列的倒数成等差数列证明成等比数列学习必备 欢迎下载(ad)2=右边 证毕 说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目 证法一是抓住了求证式中右边没有 b、c 的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的 b、c 的路子证法二则是把 a、b、c、d 统一化成等比数列的基本元素 a、q 去解决的证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性【例 6】思路：转化为等比数列 解 (1)a=3
13、a2a1=3(a1)n+1nn+1n an1是等比数列 an1=33n-1 an=3n1(2)a3a2a=0aa=2(aa)n+2n+1nn+2n+1n+1n an+1an是等比数列，即 an+1an=(a2a1)2n-1=32n-1 再注意到 a2a1=3，a3a2=3 21，a4a3=3 22，anan-1=3 2n-2，这些等式相加，即可以得到 a=31222=3=3(21)n2n-2n 1 21211n 说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知(1)中发现an1是等比数列，(2)中发现an+1an是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现 例 7 证 a1、a2、a3、a4
14、均为不为零的实数 为实系数一元二次方程等式 说明上述方程有实数根(aa)x2a(aa)xaa=0(aa)a2a(aa)aaa=0a122222132232122242213422324 上述方程的判别式0，即 不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求通项公式已知求的值例已知且在之间插入个正数使得成等比数列求证学习必备欢迎下载例设成等比数列求证例求数列的通项公式中中且思路转化为等比数列例若实数都不为零且满等比数列的公比都是又知且求与的值是不是中的项思路运用通项公式列方程例设是等差数列已知求等差数列的通项例三个数成等比数列若第二个数加就成等差数列再把这个等差数列的第项加又成等比数列求这三个数
15、学习必备欢迎下的和是求这四个数分析本题有三种设未知数的方法例已知三个数成等差数列其和为另外三个数成等比数列把两个数列的对应项依次相加分别得到求这两个数列例已知在数列中成等差数列成等比数列的倒数成等差数列证明成等比数列学习必备 欢迎下载 2a(aa)4(aa)(aa)=4(aa a)0(aa a)02132122222322213222132 又a1、a2、a3为实数 必有即(aa a)0aa a=0a=a a2213222132213 因而 a1、a2、a3成等比数列 又a=2a42()()()aaaaaaaaa aaa1312222131213212 a4即为等比数列 a1、a2、a3的公比
16、【例 8】解 设 a、b、c 分别为 bd、b、bd，由已知 bd1、b、bd 与 bd、b、bd2 都成等比数列，有 b=(bd1)(bd)b=(bd)(bd2)22 整理，得 b=bdbdb=bd2b2d222222 bd=2b2d 即 b=3d 代入，得 9d2=(3dd1)(3dd)9d2=(2d1)4d 解之，得 d=4 或 d=0(舍)b=12【例 9】思路：运用通项公式列方程 解 (1)a=ba=b3d=a da9d=a da(1d)=3da(1d)=9d4410101131191319由a 不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求通项公式已知求的值例已知且在之间插入个正数
17、使得成等比数列求证学习必备欢迎下载例设成等比数列求证例求数列的通项公式中中且思路转化为等比数列例若实数都不为零且满等比数列的公比都是又知且求与的值是不是中的项思路运用通项公式列方程例设是等差数列已知求等差数列的通项例三个数成等比数列若第二个数加就成等差数列再把这个等差数列的第项加又成等比数列求这三个数学习必备欢迎下的和是求这四个数分析本题有三种设未知数的方法例已知三个数成等差数列其和为另外三个数成等比数列把两个数列的对应项依次相加分别得到求这两个数列例已知在数列中成等差数列成等比数列的倒数成等差数列证明成等比数列学习必备 欢迎下载 dd2=063舍 或ddadd1231331222()(2)b
18、16=b1d15=32b1 且a=a3d=2 2=bb=bd=2b=2 2b=a=2413441313113 b16=32b1=32a1，如果 b16是an中的第 k 项，则 32a1=a1(k1)d(k1)d=33a1=33d k=34 即 b16是an中的第 34 项 10解 设等差数列an的公差为 d，则 an=a1(n1)d b=(12)b b=(12)(12)=(12)bna13aa+2d2(a+d)221111()nd1 由，解得，解得，代入已知条件整理得b b b=18b=18b=12b b b=18b b=14bb=1781232321231313bbb123218 解这个方程
19、组，得 b=2b=18b=18b=21313，或，a1=1，d=2 或 a1=3，d=2 当 a1=1，d=2 时，an=a1(n1)d=2n3 不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求通项公式已知求的值例已知且在之间插入个正数使得成等比数列求证学习必备欢迎下载例设成等比数列求证例求数列的通项公式中中且思路转化为等比数列例若实数都不为零且满等比数列的公比都是又知且求与的值是不是中的项思路运用通项公式列方程例设是等差数列已知求等差数列的通项例三个数成等比数列若第二个数加就成等差数列再把这个等差数列的第项加又成等比数列求这三个数学习必备欢迎下的和是求这四个数分析本题有三种设未知数的方法例已知
20、三个数成等差数列其和为另外三个数成等比数列把两个数列的对应项依次相加分别得到求这两个数列例已知在数列中成等差数列成等比数列的倒数成等差数列证明成等比数列学习必备 欢迎下载 当 a1=3，d=2 时，an=a1(n1)d=52n【例 11】解法一 按等比数列设三个数，设原数列为 a，aq，aq2 由已知：a，aq4，aq2成等差数列 即：2(aq4)=aaq2 a，aq4，aq232 成等比数列 即：(aq4)2=a(aq232)aq2=4a，两式联立解得：或这三数为：，或，a=2q=3a=29q=5261829109509 解法二 按等差数列设三个数，设原数列为 bd，b4，bd 由已知：三个
21、数成等比数列 即：(b4)2=(bd)(bd)8bd=162 bd，b，bd32 成等比数列 即 b2=(bd)(bd32)32bd32d=02、两式联立，解得：或三数为，或，b=269d=83b=10d=8261829109509 解法三 任意设三个未知数，设原数列为 a1，a2，a3 由已知：a1，a2，a3成等比数列 不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求通项公式已知求的值例已知且在之间插入个正数使得成等比数列求证学习必备欢迎下载例设成等比数列求证例求数列的通项公式中中且思路转化为等比数列例若实数都不为零且满等比数列的公比都是又知且求与的值是不是中的项思路运用通项公式列方程例设是
22、等差数列已知求等差数列的通项例三个数成等比数列若第二个数加就成等差数列再把这个等差数列的第项加又成等比数列求这三个数学习必备欢迎下的和是求这四个数分析本题有三种设未知数的方法例已知三个数成等差数列其和为另外三个数成等比数列把两个数列的对应项依次相加分别得到求这两个数列例已知在数列中成等差数列成等比数列的倒数成等差数列证明成等比数列学习必备 欢迎下载 得：a=a a2213 a1，a24，a3成等差数列 得：2(a24)=a1a3 a1，a24，a332 成等比数列 得：(a24)2=a1(a332)、式联立，解得：或a=29a=109a=509a=2a=6a=18123123 说明 将三个成等
23、差数列的数设为 ad，a，ad；将三个成 等比数列的数设为，或，是一种常用技巧，可起到aaqaq(aaq)2aq 简化计算过程的作用【例 12】分析 本题有三种设未知数的方法 方法一 设前三个数为 ad，a，ad，则第四个数由已知条 件可推得：()ada2 方法二 设后三个数为 b，bq，bq2，则第一个数由已知条件推得为 2bbq 方法三 设第一个数与第二个数分别为 x，y，则第三、第四个数依次为12y，16x 由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，解法一 adaad设前三个数为 ，则第四个数为()ada2 依题意，有 ad=16a(ad)=12()ad
24、a2 不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求通项公式已知求的值例已知且在之间插入个正数使得成等比数列求证学习必备欢迎下载例设成等比数列求证例求数列的通项公式中中且思路转化为等比数列例若实数都不为零且满等比数列的公比都是又知且求与的值是不是中的项思路运用通项公式列方程例设是等差数列已知求等差数列的通项例三个数成等比数列若第二个数加就成等差数列再把这个等差数列的第项加又成等比数列求这三个数学习必备欢迎下的和是求这四个数分析本题有三种设未知数的方法例已知三个数成等差数列其和为另外三个数成等比数列把两个数列的对应项依次相加分别得到求这两个数列例已知在数列中成等差数列成等比数列的倒数成等差数列证
25、明成等比数列学习必备 欢迎下载 解方程组得：或a=4d=4a=9d=61122 所求四个数为：0，4，8，16 或 15，9，3，1 解法二 设后三个数为：b，bq，bq2，则第一个数为：2bbq 依题意有：2bbqbq=16bbq=122 解方程组得：或b=4q=2 b=9q=131122 所求四个数为：0，4，8，16 或 15，9，3，1 解法三 设四个数依次为 x，y，12y，16x 依题意有x(12y)=2yy(16x)=(12y)2 解方程组得：或x=0y=4x=15y=91122 这四个数为 0，4，8，16 或 15，9，3，1【例 13】解 设成等差数列的三个数为 bd，b，
26、bd，由已知，bdbbd=126 b=42 这三个数可写成 42d，42，42d 再设另三个数为 a，aq，aq2由题设，得 a42d=85ap42=76aq42d=842 整理，得 ad=43aq=34aqd=422 解这个方程组，得 a1=17 或 a2=68 当 a=17 时，q=2，d=26 不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求通项公式已知求的值例已知且在之间插入个正数使得成等比数列求证学习必备欢迎下载例设成等比数列求证例求数列的通项公式中中且思路转化为等比数列例若实数都不为零且满等比数列的公比都是又知且求与的值是不是中的项思路运用通项公式列方程例设是等差数列已知求等差数列的
27、通项例三个数成等比数列若第二个数加就成等差数列再把这个等差数列的第项加又成等比数列求这三个数学习必备欢迎下的和是求这四个数分析本题有三种设未知数的方法例已知三个数成等差数列其和为另外三个数成等比数列把两个数列的对应项依次相加分别得到求这两个数列例已知在数列中成等差数列成等比数列的倒数成等差数列证明成等比数列学习必备 欢迎下载 当时，a=68q=12d=25 从而得到：成等比数列的三个数为 17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为 68，34，17，此时成等差的三个数为 17，42，67【例 14】证明 由已知，有 2a2=a1a3 a=aa322421143
28、5aaa 由，得由，得代入，得a=2aaa+aa=a+a2a=a+a243535213321323535aaaa 整理，得a=a(a+a)a+a351235 即 a3(a3a5)=a5(a1a3)aa a=a aa aa=aa323515353215 所以 a1、a3、a5成等比数列【例 15】证明 (1)a，b，c 成等差数列，且公差 d0 bc=ab=d，ca=2d 代入已知条件，得：d(logmx2logmylogmz)=0 logmxlogmz=2logmy y2=xz x，y，z 均为正数 x，y，z 成等比数列(2)x，y，z 成等比数列且公比 q1 不是等比数列例已知等比数列求例
29、等比数列中已知求通项公式已知求的值例已知且在之间插入个正数使得成等比数列求证学习必备欢迎下载例设成等比数列求证例求数列的通项公式中中且思路转化为等比数列例若实数都不为零且满等比数列的公比都是又知且求与的值是不是中的项思路运用通项公式列方程例设是等差数列已知求等差数列的通项例三个数成等比数列若第二个数加就成等差数列再把这个等差数列的第项加又成等比数列求这三个数学习必备欢迎下的和是求这四个数分析本题有三种设未知数的方法例已知三个数成等差数列其和为另外三个数成等比数列把两个数列的对应项依次相加分别得到求这两个数列例已知在数列中成等差数列成等比数列的倒数成等差数列证明成等比数列学习必备 欢迎下载 y=
30、xq，z=xq2代入已知条件得：(bc)logmx(ca)logmxq(ab)logmxq2=0 变形、整理得：(ca2b)logmq=0 q1 logmq0 ca2b=0 即 2b=ac 即 a，b，c 成等差数列 不是等比数列例已知等比数列求例等比数列中已知求通项公式已知求的值例已知且在之间插入个正数使得成等比数列求证学习必备欢迎下载例设成等比数列求证例求数列的通项公式中中且思路转化为等比数列例若实数都不为零且满等比数列的公比都是又知且求与的值是不是中的项思路运用通项公式列方程例设是等差数列已知求等差数列的通项例三个数成等比数列若第二个数加就成等差数列再把这个等差数列的第项加又成等比数列求这三个数学习必备欢迎下的和是求这四个数分析本题有三种设未知数的方法例已知三个数成等差数列其和为另外三个数成等比数列把两个数列的对应项依次相加分别得到求这两个数列例已知在数列中成等差数列成等比数列的倒数成等差数列证明成等比数列