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1、学习必备 欢迎下载 考点三 平行与垂直的证明 1、如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的 菱 形，4ABC,OAABCD底面,2OA,M为OA的中点，N为BC的中点（）证明：直线MNOCD平面；（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；（）求点 B 到平面 OCD 的距离。方法一：（1）证明：取 OB 中点 E，连接 ME，NE MECDMECD，AB,AB ,NEOCMNEOCD平面平面MNOCD平面 （2）CDAB,MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作,APCDP于连接MP 平面ABCD，OACDMP 2,42ADPDP=222MDMAAD，1cos,23DP
2、MDPMDCMDPMD 所以 AB与MD所成角的大小为3 （3）AB平面OCD,点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等，连接 OP,过点 A作 AQOP 于点 Q，,APCD OACDCDOAPAQCD平面 又,AQOPAQOCD平面,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离 2222213 24122OPODDPOAADDP ，22APDP 222233 22OA APAQOP，所以点 B 到平面 OCD 的距离为23 NMABDCO学习必备 欢迎下载 xyzNMABDCOP方法二(向量法)作APCD于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为,x y z轴建立坐标系
3、 22222(0,0,0),(1,0,0),(0,0),(,0),(0,0,2),(0,0,1),(1,0)22244ABPDOMN,(1)22222(1,1),(0,2),(,2)44222MNOPOD 设平面 OCD 的法向量为(,)nx y z,则0,0n OPn OD 即 2202222022yzxyz 取2z,解得(0,4,2)n 22(1,1)(0,4,2)044MN n MNOCD平面(2)设AB与MD所成的角为,22(1,0,0),(,1)22ABMD 1c o s,23AB MDABMD,AB与MD所成角的大小为3(3)设点 B 到平面OCD 的交流为d,则d为OB在向量(0
4、,4,2)n 上的投影的绝对值,由(1,0,2)OB,得23OB ndn.所以点 B 到平面 OCD 的距离为23 求异面直线与所成角的大小求点到平面的距离方法一证明取中点连接平面平面平面平面为异面直线与所成的角或其补角作于连接平面所以与所成角的大小为平面点和点到平面的距离相等连接过点作于点平面又平面线段的长就是点到平面的法向量为则即取解得平面设与所成的角为与所成角的大小为设点到平面的交流为则为在向量上的投影的绝对值由得所以点到平面的距离为学习必备欢迎下载本小题满分分如图在三棱柱是的中点中侧面为菱形且求证平面平面求是平行四边形为中点分在分中又是的中点学习必备欢迎下载平面平面平面分如图在正三棱锥
5、中分别为的中点求证平面求证平面平面正四棱柱的底面边长是侧棱长是点分别在上且求证面求二面角的大小点到面的距离如图四棱锥的底面学习必备 欢迎下载 2（本小题满分 14 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11AAB B为菱形，且160AAB，ACBC，D是AB的中点（1）求证：平面1ADC 平面ABC；（2）求证：1BC平面1ADC 2（1）证明：11ABB A为菱形，且160AAB，1AAB为正三角形 2 分 D是AB的中点，1ABAD ACBC，D是AB的中点，ABCD 4 分 1ADCDD，AB 平面1ADC 6 分 AB 平面ABC，平面1ADC 平面ABC 8 分（2）证明：连结
6、1C A，设11ACACE，连结DE 三棱柱的侧面11AAC C是平行四边形，E为1AC中点 10分 在1ABC中，又D是AB的中点，DE1BC 12分 111DCBACBA（第 2 题）求异面直线与所成角的大小求点到平面的距离方法一证明取中点连接平面平面平面平面为异面直线与所成的角或其补角作于连接平面所以与所成角的大小为平面点和点到平面的距离相等连接过点作于点平面又平面线段的长就是点到平面的法向量为则即取解得平面设与所成的角为与所成角的大小为设点到平面的交流为则为在向量上的投影的绝对值由得所以点到平面的距离为学习必备欢迎下载本小题满分分如图在三棱柱是的中点中侧面为菱形且求证平面平面求是平行四
7、边形为中点分在分中又是的中点学习必备欢迎下载平面平面平面分如图在正三棱锥中分别为的中点求证平面求证平面平面正四棱柱的底面边长是侧棱长是点分别在上且求证面求二面角的大小点到面的距离如图四棱锥的底面学习必备 欢迎下载 DE 平面1ADC，1BC 平面1ADC，1BC平面1ADC 14分 3.如图，在正三棱锥111ABCABC中，E，F分别为1BB，AC的中点.（1）求证：/BF平面1AEC；（2）求证：平面1AEC 平面11ACC A.2.正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面边长是3，侧棱长是 3，点 E，F 分别在 BB1，DD1上，且 AEA1B，AFA1D(1)求证：A1C面 AEF；
8、(2)求二面角 A-EF-B的大小；(3)点 B1到面 AEF 的距离.3.如图,四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为正方形，PD底面求异面直线与所成角的大小求点到平面的距离方法一证明取中点连接平面平面平面平面为异面直线与所成的角或其补角作于连接平面所以与所成角的大小为平面点和点到平面的距离相等连接过点作于点平面又平面线段的长就是点到平面的法向量为则即取解得平面设与所成的角为与所成角的大小为设点到平面的交流为则为在向量上的投影的绝对值由得所以点到平面的距离为学习必备欢迎下载本小题满分分如图在三棱柱是的中点中侧面为菱形且求证平面平面求是平行四边形为中点分在分中又是的中点学习必备欢迎下载平面平
9、面平面分如图在正三棱锥中分别为的中点求证平面求证平面平面正四棱柱的底面边长是侧棱长是点分别在上且求证面求二面角的大小点到面的距离如图四棱锥的底面学习必备 欢迎下载 ABCD，PD=AD.求证：（1）平面 PAC平面 PBD；（2）求 PC 与平面 PBD 所成的角；2.如图，在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中，,ABAC PA平面 ABCD，且 PAAB，点 E 是 PD 的中点.（1）求证：ACPB；（2）求证：PB/平面 AEC；（3）若PAABACa，求三棱锥 EACD 的体积；（4）求二面角 EACD 的大小.求异面直线与所成角的大小求点到平面的距离方法一证明取中点连接平面平面平面平面为异面直线与所成的角或其补角作于连接平面所以与所成角的大小为平面点和点到平面的距离相等连接过点作于点平面又平面线段的长就是点到平面的法向量为则即取解得平面设与所成的角为与所成角的大小为设点到平面的交流为则为在向量上的投影的绝对值由得所以点到平面的距离为学习必备欢迎下载本小题满分分如图在三棱柱是的中点中侧面为菱形且求证平面平面求是平行四边形为中点分在分中又是的中点学习必备欢迎下载平面平面平面分如图在正三棱锥中分别为的中点求证平面求证平面平面正四棱柱的底面边长是侧棱长是点分别在上且求证面求二面角的大小点到面的距离如图四棱锥的底面