非常好高考立体几何专业题材复习资料.doc

-! 立体几何综合习题 一、考点分析 基本图形 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①★ ②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形 长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★②（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 平行垂直基础知识网络★★★ 平行关系 平面几何知识 线线平行 线面平行 面面平行 垂直关系 平面几何知识 线线垂直 线面垂直 面面垂直 判定 性质 判定推论 性质 判定 判定 性质 判定 面面垂直定义 1. 2. 3. 4. 5. 平行与垂直关系可互相转化 异面直线所成的角，线面角，二面角的求法★★★ 1．求异面直线所成的角： 解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2求直线与平面所成的角：关键找“两足”：垂足与斜足 解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。 3求二面角的平面角 解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。 二、典型例题 考点一：三视图 2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 1．一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________. 俯视图 第1题 2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________. 第2题 第3题 3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 . 4．若某几何体的三视图（单位：cm）如图4所示，则此几何体的体积是 . 3 正视图 俯视图 1 1 2 左视图 a 第4题 第5题 5．如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是，则 . 6．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 . 20 20 正视图 20 侧视图 10 10 20 俯视图 第6题 第7题 7.若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为_________m3。 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 3 2 2 第7题 第8题 9．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为_________________. 图9 10.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10所示（单位cm），则该三棱柱的表面积为_____________. 俯视图 正视图 图10 11. 如图11所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为_____________. 图 图11 图12 图13 12. 如图12，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为_____________. 13.已知某几何体的俯视图是如图13所示的边长为的正方形，主视图与左视图是边长为的正三角形，则其表面积是_____________. 14.如果一个几何体的三视图如图14所示(单位长度: ), 则此几何体的表面积是_____________. 图14 15．一个棱锥的三视图如图图9-3-7，则该棱锥的全面积（单位：）_____________. 正视图 左视图 俯视图 图15 16．图16是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_____________. 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 3 2 2 图16 图17 17.如图17，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为______________. 18.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图9-3-14所示，则这个棱柱的体积为______________. 图18 考点二 体积、表面积、距离、角 注：1-6体积表面积 7-11 异面直线所成角 12-15线面角 1. 将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了___________. 2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为___________. 3．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为_______________. 4．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的，则它的体积是原来的______________. 5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是 . 6.平行六面体的体积为30，则四面体的体积等于 . 7．如图7，在正方体中，分别是，中点，求异面直线与所成角的角______________. 8. 如图8所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为_____________. 第8题 第7题 9.正方体中,异面直线和所成的角的度数是_________________. 10．如图9-1-3，在长方体中，已知，则异面直线与所成的角是_________，异面直线与所成的角的度数是______________ 图13 11. 如图9-1-4，在空间四边形中， ,分别是AB、CD的中点，则 与所成角的大小为_____________. 12. 正方体中，与平面所成的角为 . 13．如图13在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为_______________. 14. 如图9-3-6，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为_______________. A1 C B A B1 C1 D1 D O 图9-3-6 15．如图9-3-1，已知为等腰直角三角形,为空间一点，且，，，的中点为，则与平面所成的角为 16．如图7，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为__________________. 17.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是______________. 18．长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=， ，则顶点A、B间的球面距离是_________________. 19.已知点在同一个球面上，若，则两点间的球面距离是 . 20. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是_________________. 21．△ABC的顶点B在平面a内， A、C在a的同一侧，AB、BC与a所成的角分别是30和45，若AB=3，BC= ，AC=5，则AC与a所成的角为_________. 22．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D， 则四面体ABCD的外接球的体积为_____________. 23．已知点在同一个球面上，若，则两点间的球面距离是 . 24．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________ . 25.已知是球表面上的点，，，， ，则球表面积等于____________. 26．已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为，则正方体的棱长为_________. 27. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_________. 考点四 平行与垂直的证明 1. 正方体，，E为棱的中点． (Ⅰ) 求证：； (Ⅱ) 求证：平面； （Ⅲ）求三棱锥的体积． 2.已知正方体，是底对角线的交点.求证：(１) C1O∥面；(2)面． 3．如图，矩形所在平面，、分别是和的中点. （Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）若，求证：平面. 4. 如图（1），ABCD为非直角梯形，点E，F分别为上下底AB，CD上的动点，且。现将梯形AEFD沿EF折起，得到图（2） （1）若折起后形成的空间图形满足，求证：； E B C F D A 图（2） （2）若折起后形成的空间图形满足四点共面，求证：平面； A B C D E F 图（1） A F E B C D M N 5．如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点， N为AE的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I) 证明平面AMD平面CDE； (II) 证明平面CDE； 6．在四棱锥P－ABCD中,侧面PCD是正三角形, 且与底面ABCD垂直,已知菱形ABCD中∠ADC＝60, P D A B C O M M是PA的中点，O是DC中点. （1）求证：OM // 平面PCB； （2）求证:PA⊥CD； （3）求证:平面PAB⊥平面COM. 7．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. （1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD 8.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长是，侧棱长是3，点E，F分别在BB1， DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D． (1)求证：A1C⊥面AEF； (2)求二面角A-EF-B的大小； (3)点B1到面AEF的距离. 考点五 异面直线所成的角，线面角，二面角 1. 如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD. 求证：（1）平面PAC⊥平面PBD； （2）求PC与平面PBD所成的角； 2.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为 _____________. 3．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是___________________. 4. 若正四棱锥的底面边长为2cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是________. 5. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点. （1）求证：； （2）求证：平面AEC； （3）若，求三棱锥E－ACD的体积； （4）求二面角E－AC－D的大小. 考点六 线面、面面关系判断题 1．已知直线l、m、平面α、β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题： （1）α∥β，则l⊥m （2）若l⊥m，则α∥β （3）若α⊥β，则l∥m （4）若l∥m，则α⊥β 其中正确的是__________________. 2. 是空间两条不同直线，是空间两条不同平面，下面有四个命题： ① ② ③ ④ 其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。 3. 为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ①；②；③． 其中正确的命题有_________________. 4. 对于平面和共面的直线、 (1)若则　　　　(2)若则 (3)若则　　　 (4)若、与所成的角相等，则 其中真命题的序号是_____________. 5. 关于直线m、n与平面与，有下列四个命题： ①若且，则； ②若且，则； ③若且，则； ④若且，则； 其中真命题的序号是_________________. 6. 已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： ① ② ③ ④ 其中正确命题的序号是_______________. 7.给出下列四个命题, 其中假命题的个数是______________. ①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行. ④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.