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1、学习必备 欢迎下载 1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。例 1.已知：如图 1 所示，ABC中，CACBCADDBAECF90，。求证：DEDF CFBAED图1 分析：由 ABC是等腰直角三角形可知，AB45，由 D 是 AB 中点，可考虑连结 CD，易得CDAD，DCF45。从而不难发现DCFDAE 证明：连结 CD ACBCABACBADDBCDBDADDCB
2、BAAECFADCBADCD 90，AD ECDFDEDF 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结 CD，因为 CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长 ED 到 G，使 DGDE，连结 BG，证 EFG是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。例 2.已知：如图 2 所示，ABCD，ADBC，AECF。求证：EF 学习必备 欢迎下载 DBCFEA图2 证明：连结 AC 在 ABC和 CDA中，ABCDBCADACCAABCCDA SSSBDABCDAECFBEDF，(
3、)在 BCE和 DAF中，BEDFBDBCDABCEDAF SASEF ()说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。2、证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于 90，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。例 3.如图 3 所示，设 BP、CQ 是 ABC的内角平分线，AH、AK 分别为 A
4、到 BP、CQ的垂线。求证：KHBC 关系很多其它问题最后都可化归为此类问题来证证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质其它如线段中垂线的性质角平分线的性质等腰三角形的判定与性质等也经常用到例已知如图所示中求证图分析由是等腰助线在等腰三角形中作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线显然在等腰直角三角形中更应该连结因为既是斜边上的中线又是底边上的中线本题亦可延长到使连结证是等腰直角三角形兴趣的同学不妨一试例已知如图所示角形这时应注意制造的全等三角形应分别包括求证中一量添辅助线能够直接得到的两个全等三角形证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中平行与垂直是两种特殊的位置证两直
5、线平行可用同位角内错角或同旁内角的关系来证也学习必备 欢迎下载 ABCMNQPKH图3 分析：由已知，BH 平分ABC，又 BHAH，延长 AH 交 BC 于 N，则 BABN，AHHN。同理，延长 AK 交 BC 于 M，则 CACM，AKKM。从而由三角形的中位线定理，知 KHBC。证明：延长 AH 交 BC 于 N，延长 AK 交 BC 于 M BH 平分ABC ABHNBH 又 BHAH AH BN H B 90 BHBH ABHNBHASABABNAHHN()，同理，CACM，AKKM KH是 AMN的中位线 KHMN/即 KH/BC 说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合
6、时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。例 4.已知：如图 4 所示，ABAC，AAEBFBDDC 90。求证：FDED 关系很多其它问题最后都可化归为此类问题来证证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质其它如线段中垂线的性质角平分线的性质等腰三角形的判定与性质等也经常用到例已知如图所示中求证图分析由是等腰助线在等腰三角形中作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线显然在等腰直角三角形中更应该连结因为既是斜边上的中线又是底边上的中线本题亦可延长到使连结证是等腰直角三角形兴趣的同学不妨一试例已知如图所示角形这
7、时应注意制造的全等三角形应分别包括求证中一量添辅助线能够直接得到的两个全等三角形证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中平行与垂直是两种特殊的位置证两直线平行可用同位角内错角或同旁内角的关系来证也学习必备 欢迎下载 BCAFED321图4 证明一：连结 AD ABACBDDCDAEDABBACBDDCBDADBDABDAE ，129090 在 ADE和 BDF中，AEBFBDAEADBDADEBDFFD ED ，313290 说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。证明二：如图 5 所示，延长 ED 到 M，使 DMED，连结 FE，FM，BM BC
8、AEFDM图5 关系很多其它问题最后都可化归为此类问题来证证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质其它如线段中垂线的性质角平分线的性质等腰三角形的判定与性质等也经常用到例已知如图所示中求证图分析由是等腰助线在等腰三角形中作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线显然在等腰直角三角形中更应该连结因为既是斜边上的中线又是底边上的中线本题亦可延长到使连结证是等腰直角三角形兴趣的同学不妨一试例已知如图所示角形这时应注意制造的全等三角形应分别包括求证中一量添辅助线能够直接得到的两个全等三角形证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中平行与垂直是两种特殊的位置证两直线平行可用同位角内错角
9、或同旁内角的关系来证也学习必备 欢迎下载 BDDCBDMCDEDMDEBDMCDECEBMCCBMBMACAABMAABACBFAEAFCEBM ，/9090 AEFBFMFEFMDMDEFD ED 说明：证明两直线垂直的方法如下：（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。（3）证明二直线的夹角等于 90。3、证明一线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）例 5.已知：如图 6 所示在 ABC中，B60，BAC、BCA 的角平分线 AD、CE相
10、交于 O。求证：ACAECD 图6BCAEDFO142356 分析：在 AC 上截取 AFAE。易知AEOAFO，12。由 B60，关系很多其它问题最后都可化归为此类问题来证证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质其它如线段中垂线的性质角平分线的性质等腰三角形的判定与性质等也经常用到例已知如图所示中求证图分析由是等腰助线在等腰三角形中作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线显然在等腰直角三角形中更应该连结因为既是斜边上的中线又是底边上的中线本题亦可延长到使连结证是等腰直角三角形兴趣的同学不妨一试例已知如图所示角形这时应注意制造的全等三角形应分别包括求证中一量添辅助线能够直
11、接得到的两个全等三角形证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中平行与垂直是两种特殊的位置证两直线平行可用同位角内错角或同旁内角的关系来证也学习必备 欢迎下载 知 566016023120，。123460，得：FOCDOCFCDC，证明：在 AC 上截取 AFAE BADCADAOAOAEOAFO SAS，42 又 B60 566016023120123460FOCDOCAASFCDC()即ACAECD （二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）例 6.已知：如图 7 所示，正方形 ABCD 中，F 在 DC 上，E 在 BC
12、上，EAF45。求证：EFBEDF GB ECAFD123图7 分析：此题若仿照例 1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长 CB 至 G，使 BGDF。证明：延长 CB 至 G，使 BGDF 在正方形 ABCD 中，ABGDABAD90，ABGADFSASAGAF()，13 关系很多其它问题最后都可化归为此类问题来证证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质其它如线段中垂线的性质角平分线的性质等腰三角形的判定与性质等也经常用到例已知如图所示中求证图分析由是等腰助线在等腰三角形中作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线显然在等腰直角三角形中更应该连结因为既是斜边上
13、的中线又是底边上的中线本题亦可延长到使连结证是等腰直角三角形兴趣的同学不妨一试例已知如图所示角形这时应注意制造的全等三角形应分别包括求证中一量添辅助线能够直接得到的两个全等三角形证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中平行与垂直是两种特殊的位置证两直线平行可用同位角内错角或同旁内角的关系来证也学习必备 欢迎下载 又 EAF45 23452145 即GAEFAE GEEFEFBEDF 4、中考题：如图 8 所示，已知 ABC为等边三角形，延长 BC 到 D，延长 BA 到 E，并且使 AEBD，连结 CE、DE。求证：ECED EBDFAC图8 证明：作 DF/AC 交 BE 于 F ABC是正
14、三角形 BFD是正三角形 又 AEBD AEFDBFBAAFEF 即 EFAC ACFDEACEFDEACDFESASECED/()题型展示：证明几何不等式：例题：已知：如图 9 所示，12，ABAC。求证：BDDC 关系很多其它问题最后都可化归为此类问题来证证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质其它如线段中垂线的性质角平分线的性质等腰三角形的判定与性质等也经常用到例已知如图所示中求证图分析由是等腰助线在等腰三角形中作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线显然在等腰直角三角形中更应该连结因为既是斜边上的中线又是底边上的中线本题亦可延长到使连结证是等腰直角三角形兴趣的同学
15、不妨一试例已知如图所示角形这时应注意制造的全等三角形应分别包括求证中一量添辅助线能够直接得到的两个全等三角形证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中平行与垂直是两种特殊的位置证两直线平行可用同位角内错角或同旁内角的关系来证也学习必备 欢迎下载 DBA1C2E图9 证明一：延长 AC 到 E，使 AEAB，连结 DE 在 ADE和 ADB中，AEABADADADEADBBDDEEBDCEBDCEEDEDCBDDC ，21 证明二：如图 10 所示，在 AB 上截取 AFAC，连结 DF DBA2C1F图1043 则易证ADFADC 3434，DFDCBFDBBFDBBDDFBDDC 说明：在有角
16、平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。【实战模拟】1.已知：如图 11 所示，ABC中，C90，D 是 AB 上一点，DECD 于 D，交 BC于 E，且有ACADCE。求证：DECD12 关系很多其它问题最后都可化归为此类问题来证证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质其它如线段中垂线的性质角平分线的性质等腰三角形的判定与性质等也经常用到例已知如图所示中求证图分析由是等腰助线在等腰三角形中作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线显然在等腰直角三角形中更应该连结因为既是斜边上的中线又是底边上的中线本题亦可延长到使连结证是等腰直角三角形兴趣的同学
17、不妨一试例已知如图所示角形这时应注意制造的全等三角形应分别包括求证中一量添辅助线能够直接得到的两个全等三角形证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中平行与垂直是两种特殊的位置证两直线平行可用同位角内错角或同旁内角的关系来证也学习必备 欢迎下载 C图11ABDE 2.已知：如图 12 所示，在 ABC中，AB2，CD 是C 的平分线。求证：BCACAD ACBD图12 3.已知：如图 13 所示，过 ABC的顶点 A，在A 内任引一射线，过 B、C 作此射线的垂线 BP 和 CQ。设 M 为 BC 的中点。求证：MPMQ BPMQCA图13 关系很多其它问题最后都可化归为此类问题来证证明两条线段
18、或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质其它如线段中垂线的性质角平分线的性质等腰三角形的判定与性质等也经常用到例已知如图所示中求证图分析由是等腰助线在等腰三角形中作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线显然在等腰直角三角形中更应该连结因为既是斜边上的中线又是底边上的中线本题亦可延长到使连结证是等腰直角三角形兴趣的同学不妨一试例已知如图所示角形这时应注意制造的全等三角形应分别包括求证中一量添辅助线能够直接得到的两个全等三角形证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中平行与垂直是两种特殊的位置证两直线平行可用同位角内错角或同旁内角的关系来证也学习必备 欢迎下载 4.ABC中，BACAD B
19、C90，于 D，求证：ADABACBC14 关系很多其它问题最后都可化归为此类问题来证证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质其它如线段中垂线的性质角平分线的性质等腰三角形的判定与性质等也经常用到例已知如图所示中求证图分析由是等腰助线在等腰三角形中作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线显然在等腰直角三角形中更应该连结因为既是斜边上的中线又是底边上的中线本题亦可延长到使连结证是等腰直角三角形兴趣的同学不妨一试例已知如图所示角形这时应注意制造的全等三角形应分别包括求证中一量添辅助线能够直接得到的两个全等三角形证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中平行与垂直是两种特殊的位置
20、证两直线平行可用同位角内错角或同旁内角的关系来证也学习必备 欢迎下载【试题答案】1.证明：取 CD 的中点 F，连结 AF 3EAD41CBF ACADAF CDAFCCDE 90 又 14901390，4312ACCEACFCEDASACFEDDECD()2.分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。BDCAE 证明：延长 CA 至 E，使 CECB，连结 ED 在 CB
21、D和 CED中，关系很多其它问题最后都可化归为此类问题来证证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质其它如线段中垂线的性质角平分线的性质等腰三角形的判定与性质等也经常用到例已知如图所示中求证图分析由是等腰助线在等腰三角形中作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线显然在等腰直角三角形中更应该连结因为既是斜边上的中线又是底边上的中线本题亦可延长到使连结证是等腰直角三角形兴趣的同学不妨一试例已知如图所示角形这时应注意制造的全等三角形应分别包括求证中一量添辅助线能够直接得到的两个全等三角形证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中平行与垂直是两种特殊的位置证两直线平行可用同位角内错角
22、或同旁内角的关系来证也学习必备 欢迎下载 CBCEBCDECDCDCDCBDCEDBEBACBBACE 22 又 BACADEE AD EEADAEBCCEACAEACAD，3.证明：延长 PM 交 CQ 于 R QPBMCAR CQ APBP APBPCQPBMRCM，/又BMCMBMPCMR，BPMCRMPMRM QM是Rt QPR斜边上的中线 MPMQ 关系很多其它问题最后都可化归为此类问题来证证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质其它如线段中垂线的性质角平分线的性质等腰三角形的判定与性质等也经常用到例已知如图所示中求证图分析由是等腰助线在等腰三角形中作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线显然在等腰直角三角形中更应该连结因为既是斜边上的中线又是底边上的中线本题亦可延长到使连结证是等腰直角三角形兴趣的同学不妨一试例已知如图所示角形这时应注意制造的全等三角形应分别包括求证中一量添辅助线能够直接得到的两个全等三角形证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中平行与垂直是两种特殊的位置证两直线平行可用同位角内错角或同旁内角的关系来证也